启用前★注意保密
贵阳市普通中学2021-2022学年度第一学期期末监测考试试卷
高三文科数学
2
注意事项
1.本试卷共6页,满分150分,考试时间120分钟
2.答案一律写在答题卡上,写在试卷上的不给分.
3.考试过程中不得使用计算器
第I卷(选择题共60分)
、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。
已知集合A={x|x2-4x≤0},B={x|x=2n-1,n∈公},则A∩B=
A.{2,3,4
{1,3
2.设复数z
则在复平面内z的共轭复数对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x2+-,则f(-1)
D.2
4.已知双曲线的方程为412=1,双曲线的右顶点4到渐近线的距离为
A.1
B
D.23
高三文科数学第1页共6页
5.“直播电商”己经成为当前经济发展的新增长点,某电商平台的直播间经营化妆品和服
装两大类商品,2020年前三个季度,该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入
翻了一番,其前三季度的收入情况如图所示,则下列说法正确的是
收入百分比
口化妆品收入口服装收
第一季
第二季笫三季季度
A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍
B.该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的
C.该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的1
D.该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和
当02c0s2x+8sin
的最小值为
sin 2x
B.2
D.43
7在正方体ABCD-4BCD中,P,QR分别是AD2CD,A1的中点那么过P,Q,R
三点的截面图形是
A.三角形
B.四边形
五边形
D.六边形
已知非零向量ab满足|a=√2|b,且a⊥(a-2b),则a与b的夹为
C
高三文科数学第2页共6页
9.由直线x+2y-7=0上一点P引圆x2+y2-2x+4y+2=0的一条切线,切点为A,
则|PA|的最小值为
C.2
10.若a=n3,b=lg5,c=log26,则
A. a>b>c
b>c>a
a>c>b
1.已知三棱柱ABC-A1BC1的6个顶点都在球O的表面上,AB=AC=A1=2
∠BAC=120°,则球O的表面积是
16
A.4兀
C.16丌
D.20丌
12.过抛物线E:x2=2py(P>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物
线上的一动点Q(1,2),若
AB||CD|4,则PF|+|PQ的最小值是
D.4
第∏卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须
作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分
y
≥0
13.若x,y满足约束条件x+y-2≤0,则z=3x-4y的最小值为
≥0
14.曲线y=在点(2,)处的切线与直线y=ax+1垂直,则实数a=
15.将函数f(x)=2sin(2x+n)的图像向右平移φ个单位,所得函数图象关于y轴对称
则正数的最小值为
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贵阳市普通中学 2021-2022 学年度第一学期期末监测考试试卷
文科数学参考答案及评分建议
2022.1
一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A C D C D C B D D C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
题号 13 14 15 16
5
答案 1 2 1≤ c 2
12
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）∵9a1，3a2 ， a3 成等差数列，∴6a2 ＝9a1 + a3 ，
∵{an}是首项为 1 的等比数列，设其公比为 q，
n 1 n 1
则 6q＝9+q2，∴q＝3，∴an＝ a1q ＝3 ，
na
∴b = n n 3n 2 n N *n ＝ ．（ ）
3
………………………………………………………………………………………………6分
n 1 n 2
（2）解：由（1）知 an＝3 ，bn＝n 3 ，
Tn =1 3
1 + 2 30 +3 31 + 4 32 + （n 1） 3n 3 + n 3n 2 ①
3T 1 30n = + 2 3
1 + 3 32 + 4 33 + （n 1） 3n 2 + n 3n 1 ②
2T 1 3 1 +1 30 2①﹣②得， n = +1 3 +1 3
3 + +1 3n 2 n 3n 1，
3 （1 1 3n）
∴ 2Tn = n 3
n 1
1 3
1 1
∴ 2Tn = +（ n） 3
n 1
6 2
1 n 1
∴Tn ＝ +（ ） 3
n 1
.（n N * ）
12 2 4
………………………………………………………………………………………………12分
高三文科数学参考答案及评分建议 第 1 页 （共 7 页）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）设根据剔除后数据建立的 y 关于 x 的回归直线方程为 y = b x+ a ，
11
x 120
1 10 i 1120 120
剔除异常数据后的数学平均分为 x = xi =
i=1 = =100 ，
10 i=1 10 10
11
y
1 10 i 0 660 0
剔除异常数据后的物理平均分为 y = i=1 yi = = = 66，
10 i=1 10 10
10 11
2 2
又因为 xi = xi 120
2 =122726 14400 =108326
i=1 i=1
68586 10 66 100 2586所以b = = 0.31，a = 66 0.31 100= 35，
108326 10 1002 8326
所以所求回归直线方程为 y = 0.31x +35，又物理缺考考生的数学成绩为 120，
所以估计其可能取得的物理成绩为 y = 0.31 120+35 = 72.2 .
………………………………………………………………………………………………6分
（2）由茎叶图可知，男生有6 人，女生有4 人，采用分层抽样的方法抽取5人，则男生应抽
取3人，记这3名男生为a1,a2 ,a3 ；女生应抽取2 人，记这2 名女生为b1,b2，从这5人中随机
抽取3人一共有10种，分别为
(a1,a2 ,a3), (a1,a2 ,b1), (a1,a2 ,b2 ), (a1, a3,b1), (a1, a3,b2 ), (a1,b1,b2 ), (a2 , a3,b1),
(a2 ,a3 ,b2 ), (a2 ,b1,b2 ), (a3,b1,b2 ),其中抽出的学生中恰好有一名女生包括 6 种情况，
6
所以所求事件的概率为 = 0.6 .
10
………………………………………………………………………………………………12分
19．（本小题满分 12 分）
解：（1） AEF 是直角三角形。 P
∵ PA ⊥平面 ABCD，
F
∴ PA⊥ BC，
又∵底面 ABCD是矩形， A
∴ AB ⊥ BC，且PA AB = A， B
E
∴ BC ⊥平面PAB，又 AF 平面PAB， D C
∴ BC ⊥ AF ，
高三文科数学参考答案及评分建议 第 2 页 （共 7 页）
又∵ AF ⊥ PB，且PB BC = B，
∴ AF ⊥平面PBC ，又EF 平面 PBC ，
∴ AF ⊥ EF ，即 AFE = 90 ，
∴当点E 在线段BC 上移动时， AEF 是直角三角形。
………………………………………………………………………………………………6分
（2）解：∵PA ⊥平面 ABCD， DE 平面 ABCD，
∴ PA ⊥ DE ，又PC ⊥ DE, PA PC = P ，
∴ DE ⊥平面PAC ，又 AC 平面PAC ， P
∴ DE ⊥ AC，
F
∴ EDC + DCA= 90 ，又 ABCD是矩形，
∴ ADC = DCE = 90 ， M
A B
∴ EDC + DEC = 90 ， E
D C
∴ DCA= DEC，
∴△ADC △DCE，
AD DC
∴ = ，又 AB = DC = 2，点E 是BC 的中点，所以 AD = BC = 2 2 ，
DC CE
1
又因为PA ⊥平面 ABCD，取 AB 的中点M ，连接 FM ，则有FM = PA =1，且FM //PA，
2
∴ FM ⊥平面 ABCD，即FM 为三棱锥F ADE 的高，
1 1
∴ S ADE = AB BC = 2 2 2 = 2 2 ，
2 2
1 1 2 2
∴V = S FM = 2 2 1= . F ADE ADE
3 3 3
2 2
∴三棱锥F ADE 的体积为 .
3
………………………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分 12 分）
c 3
解： (1) 由题意得e = = , 2a =1+ 3,a
2 = b2 + c2 ，
a 2
解得: a = 2,b =1,c = 3
高三文科数学参考答案及评分建议 第 3 页 （共 7 页）
x2
E + y2所以椭圆 的方程为： =1.
4
………………………………………………………………………………………………6分
（2）①当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 l : x = t ,
4 t2 4 t2
由题可知 t 0，且 | t | 2 ，设 A(t， )，B(t，- )，
2 2
4 t 2 4 t 2
1 1
因为直线PA, PB的斜率之和为 2，所以 2 + 2 = 2，
t t
化简得 t =1.所以直线 l 的方程为 x =1 .
②当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 方程为 y = kx +m(m 1)， A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
x2
+ y2 =1 2 2 2
联立 4 消去 y ，化简得 (4k +1)x +8kmx + 4m 4 = 0 .
y = kx +m
8km 4m2 4
x1 + x2 = ，x1x2 =
4k 2 +1 4k 2 +1
2
由题意可得 =16(4k m
2 +1) 0
y 1 y 1
因为直线PA, PB的斜率之和为 2，所以 1 + 2 = 2 ，
x1 x2
kx1 +m 1 kx2 +m 1∴ + = 2，
x1 x2
2kx1x2 + (m 1)(x1 + x )∴ 2 = 2 ，
x1x2
∴ (2k + 2)x1x2 + (m 1)(x1 + x2 )=0，
4m2 4 8km
∴ (2k + 2). + (m 1). = 0( m 1)
4k 2 +1 4k 2 +1
化简整理得 k = m 1
当且仅当 =16[4(m +1)
2 m2 +1] =16(3m2 +8m + 5) 0时，
∴直线 AB 的方程： y = ( m 1)x +m，即 y +1= ( m 1)(x 1)．
故直线 l 过定点 (1， 1) ．
综上①②可得直线 l 过定点 (1， 1) .
高三文科数学参考答案及评分建议 第 4 页 （共 7 页）
………………………………………………………………………………………………12分
法二：（设直线 AB 的方程： x = my + n(m+ n 0)）
21. （本小题满分 12 分）
解：（1）∵ f (x) = ex sin x ，( x R )，
∴ f (x) = e
x sin x + ex cos x = 2ex sin(x + )，
4
令 f (x) 0，即sin(x + ) 0，
4
3
解得2k x 2k + ,k Z ，
4 4
3
∴ f (x) 的单调增区间为 (2k ，2k + ）,k Z ；
4 4
………………………………………………………………………………………………6分
（2）由已知，当 x 0时，ex sin x ex (sin x 1) + x + a2 a 1，
2
∴ a a 1 ex x恒成立（ x 0），
设 g(x) = e
x x ，则 g (x) = e
x 1 0，
∴ g(x)在 (0,+ )上单调递增，
∴ g(x) g(0) =1，
2
∴ a a 1≤1，解得 1≤a≤2，
故 a 的取值范围是[ 1,2] .
………………………………………………………………………………………………12分
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．
22.选修4 4：坐标系与参数方程（本题满分 10 分）
x = 2cos
解：(1)∵曲线C 的参数方程为 （ 为参数），
y = 2+ 2sin
2 2
∴C : x + (y 2) = 4 ，
∵直线 l的极坐标方程为 2 cos( ) = 3，
4
高三文科数学参考答案及评分建议 第 5 页 （共 7 页）
x = cos
化简得 cos + sin = 3，由 得 x + y 3 = 0，
y = sin
∴直线 l的直角坐标方程为 x + y 3 = 0 .
………………………………………………………………………………………………5分
（2）由点P 的极坐标为 (3, )，
2
∴点P 的直角坐标为P(0,3) ，
∴点P 在直线 l： x + y 3 = 0上，
2
x = t
2
∴直线 l的参数方程为 （ t 为参数），
2
y = 3+ t
2
代入C : x
2 + (y 2)2 = 4 t2得 + 2t 3 = 0
∴ t1 + t2 = 2,t1t2 = 3，
故不妨设 t1 0，t2 0且 | PA |=| t1 |,| PB |=| t2 |，
∴ || PA | | PB ||=|| t1 | | t2 ||=| t1 + t2 |= 2
………………………………………………………………………………………………10分
23.选修4 5：不等式选讲（本题满分10分）
解:(1)法一：当 x 1时， f (x) = (x+1) (x 2) = 2x+1 (3，+ )
当 1≤ x 2时， f (x) = (x+1) (x 2) = 3，
当 x≥2时， f (x) = (x +1)+ (x 2)=2x 1 [3,+ )
综上， f (x) 的最小值为3（也可由分段函数图像得到）.
………………………………………………………………………………………………5分
法二：由绝对值的几何意义可得 f (x)≥3， f (x) 的最小值为3 .
法三：由 f (x) =| x+1| + | x 2 |≥| (x+1) (x 2) |= 3可得 f (x)≥3， f (x) 的最小值为 3.
(2) 证明: a、b均为正实数，且 f (x) 的最小值 5，
即 f (x) =| x+ a | + | x b |≥| (x + a) (x b) |=| a +b |= a +b=5，
1 1 1 1 1 1 b a 1 b a 4
∵ + = ( + )(a +b) = (2+ + ) ≥ (2+ 2 . ) = .
a b 5 a b 5 a b 5 a b 5
b a 5
( 当且仅当 = 且a +b = 5时，即a = b = ，取“=”)
a b 2
高三文科数学参考答案及评分建议 第 6 页 （共 7 页）
………………………………………………………………………………………………10分
高三文科数学参考答案及评分建议 第 7 页 （共 7 页）
