河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期期末考试理科数学试题（Word版含答案）

河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期期末考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．记等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．28 B．30 C．32 D．36
4．某新冠疫苗接种点为了解1000名60~70岁老人接种后的身体反应情况，先将这些老人编号为1，2，…，1000，再从这些老人中用系统抽样方法等距抽取100名老人进行回访调查，若97号老人被抽到，则被抽到的老人中编号按从小到大的顺序排在第63位的是（ ）
A．267 B．627 C．637 D．717
5．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．若某市高三某次数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），则从该市任选1名高三学生，其这次数学测试的成绩在100~108分内的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
A．0.1573 B．0.34135 C．0.49865 D．0.1359
7．已知函数（，，）的最小正周期为π，且为f（x）的最小值，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知某种产品的销售成本y（元）与该产品的数量x（百件）近似满足函数模型（k为常数），当生产40百件该产品时，销售成本为2850元，若该产品的销售成本减少为原来的，则该产品的数量与原来相比大约减少了（ ）百件．（参考数据：，）
A．6 B．8 C．9 D．12
9．已知正方体的核长为2，E，F，G分别是棱，AB，BC的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的动点，平而EFG，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．已知在平面四边形ABCD中，，，，，，则（ ）
A．1或2 B．2 C． D．0或2
11．已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上不与A，B重合的任意一点，直线AM与直线交于点D，过点B，D分别作BP⊥直线，DQ⊥直线，垂足分别为P，Q，则使成立的点M（ ）
A．有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知正项等比数列的前n项和为，公比为q，，，则q=______．
14．若实数x，y满足约束条件则的最大值为______．
15．三棱锥S—ABC的四个顶点都在球O的表面上，线段SC是球的直径，，，三棱锥S—ABC的体积为，则球O的表面积为______．
16．若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
如图所示，在平面四边形ABCD中，，且，，．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）若，求四边形ABCD的面积．
18．（12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为形，PA⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，M为线段AB的中点，求直线CD与平面MPC所成角的正弦值．
19．（12分）
已知动直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方．
（Ⅰ）若，求l的方程；
（Ⅱ）设点Q（n，0）（）是x轴上的定点，若l变化时，M总在以QF为直径的圆外，求n的取值范围．
20．（12分）
某校要组织知识竞赛，先外别在高一、高二年级内进行对抗预赛，然后高一、高二每个年级再派出预赛积分最高的一个队参加学校组织的决赛，高一预赛积分最高的是甲队，积分为8分，高二预赛积分最高的是乙队，积分为6分．决赛规则：甲、乙两队均要回答2道A组题和2道B组题，A组题答对一题计1分，B组题答对一题计2分，每题答错均不计分，每队四道题答完后，积分高的获得冠军，若每队四道题答完后积分相同，则预赛成绩计入总分，总分高的获得冠军．假设甲队答对A组每题的概率均为，答对B组每题的概率均为，乙队答对A，B两组每题的概率均为．
（Ⅰ）求乙队决赛答对题数X的概率分布列；
（Ⅱ）求甲队答对3题，乙队至少答对2题，且甲队获得冠军的概率．
21．（12分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（α为参数），直线l的参数方程为，（λ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l与C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求l与C的极坐标方程；
（Ⅱ）求的取值范围．
23．「选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的，总存在使成立，求实数a的取值范围．
理科数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D 2．C 3．A 4．В 5．B 6．А
7．A 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2 14．1 15．20π 16．
三、解答题：共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解析（Ⅰ）因为，所以．
在中，由余弦定理可得，
所以．
（Ⅱ）设四边形ABCD的面积为S，则．
因为．
在中，由余弦定理可得，
即，得，
所以，
故四边形ABCD的面积为．
18．解析（Ⅰ）如图，连接AC交BD于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以，
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD．
所以，又，所以BD⊥平面PAC，
又平面PAC，所以．
（Ⅱ）设E为PC的中点，易知OE⊥底面ABCD．
以O为原点，OB，OC，OE所在直线分别为x，y，z轴可建立如图所示的空间直角标系O—xyz，
则，B（1，0，0），，，．
因为M为AB的中点，所以，
所以，，．
设平面MPC的法向量为，由可得
令，可得．
设直线CD与平面MPC所成的角为θ，则，
即直线CD与平面MPC所成角的正弦值为．
19．解析（Ⅰ）由题意得F（1，0），设直线l的方程为，，，
联立方程得消去x可得，
由根与系数的关系得，．
因为，所以，有，
结合，解得，，
所以，l的方程为．
（Ⅱ）以QF为直径的圆的圆心为，半径为，
因为点M（x，y）在该圆外，
所以，即对任意恒成立．
令．则①，
解得；
②解得，又，故．
综上所述，n的取值范围是．
20．解析（Ⅰ）乙队决赛答对题数X的所有可能取值为0，1，2，3，4，X服从二项分布，
所以X的概率分布列如下表：
X 0 1 2 3 4
P
（Ⅱ）设甲队答对A组题的题数为i的事件为，答对B组题的题数为i的事件为，乙队答对A组题的题数为i的事件为，答对B组题的题数为i的事件为．
甲队答对3题，乙队至少答对2题，且甲队获得冠军，只能是乙队答对2题或3题．
分两种情况：
①记“甲队答对3题，乙队答对2题，且甲队获得冠军”的事件为，
则，
所以．
②记“甲队答对3题，乙队答对3题，且甲队获得冠军”的事件为，
则，
所以
．
故甲队答对3题，乙队至少答对2题，且甲队获得冠的概率为．
21．解析（Ⅰ）由题可知f（x）的定义域为，
．
若的最小值，即，则恒成立，
即，f（x）在上单调递减；
若，即，当或时，，f（x）单调递减，当时，，f（x）单调递增；
若，即，当时，，f（x）单调递减，
当时，，f（x）单调递增．
综上，若，f（x）在上单调递减；
若，f（x）在，上单调递减，在上单调递增；
若，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，，
则．
欲证不等式即，
设，则，即证．
设，则，
显然在在（0，1）上单调递增，因为，，
所以在（0，1）内有唯一根，即．
当时，，h（t）单调递减，当时，，h（t）单调递增，
所以，
，故原命题得证．
22．解析（Ⅰ）l的直角坐标方程为，化为极坐标方程为．
将圆C的参数方程变形为平方相加得，
化为极坐标方程为．
（Ⅱ）将代入圆C的极坐标方程得．
设，，则，，
，解得．
所以．
所以的取值范围是．
23．解析（Ⅰ），即，亦即，
等价于不等式组，或，或，
解得或，故实数a的取值范围是．
（Ⅱ）对任意的总存在，使成立，等价于．
因为，所以．
又，，当且仅当时取等号，
所以．
由，解得，故所求实数a的取值范围是．