第六章 特殊平行四边形专项训练 中点四边形（含解析）
文档属性
| 名称 | 第六章 特殊平行四边形专项训练 中点四边形（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-26 21:51:35 | ||
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文档简介
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专项训练
中点四边形
类型一 由原四边形的形状推断中点四边形的形状
1.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
2.如图，把矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则顺次连接四边形ADEC各边中点，得到的四边形的形状一定是_____________.
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若AC+BD=36，AB=10，求△OEF的周长.
4.(1)如图，P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD，E，F, G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，请猜想四边形EFGH的形状并证明；
(2)若改变(1)中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，请猜想四边形EFGH的形状并证明.
类型二 由中点四边形的形状推断原四边形的形状
5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( )
A.互相平分 B.相等 C.互相垂直 D.互相垂直平分
6.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，AC⊥BD.若四边形EFGH为正方形，则对角线AC，BD应满足的条件是＿＿＿＿.
7.如图，D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC+AC)的边AB，AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OA，OB，OC，G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.
(1)当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形.
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？为什么？
(3)当OA与BC满足____________时，四边形DGFE是矩形.
类型三 与中点四边形有关的综合题
8.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，BD=4，CD=3，四边形EFGH的周长为11，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则AD的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.7
9.(1)如图，顺次连接正方形ABCD的各边中点，得到一个小正方形EFGH，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是多少
(2)依次连接菱形、矩形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是多少？
(3)对于任意四边形，是否也有类似结论
参考答案
1.C 2.菱形
3.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO.∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EO=，FO=，，HO.∴EO=GO，FO=HO.∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)∵E，F分别是AO，BO的中点，∴EF是△ABO的中位线.∴EF=∵AC+BD=36,∴AO+BO=18.∴EO+FO=9.∴△OEF的周长=EO+FO+EF=9+5=14.
4.(1)四边形EFGH是菱形
如图，连接AC，BD.∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠BPD=∠APC.在△APC和△BPD中，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD,
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴ ∴EF=FG=GH=EH.∴四边形EFGH是菱形.
(2)四边形EFGH是正方形
设AC与BD交于点O，与PD交于点M.∵△APC≌△BPD,∴∠ACP=∠BDP.
∵∠CPD=90°,∴∠PDC+∠PCD=90°.∴∠PDC+∠ACP+∠OCD=90°.∴∠BDP+∠PDC+∠OCD=90°.∴∠ODC+∠OCD=90°.∴∠COD=90°.∴AC⊥BD.
∵E，G，H分别为AB，CD，DA的中点，∴EH∥BD，HG//AC.∴易得EH⊥HG.
∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形.
5.C 6. AC=BD
7.(1)∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC.同理得 GF∥BC，DE∥GF，DE=GF.∴四边形DGFE是平行四边形.
(2)OA=BC(点O不在射线CD，射线BE上)∵四边形DGFE是菱形，∴DG=GF.∵D，G，F分别是AB，OB，OC的中点，∴ BC.∴OA=BC(点O不在射线CD，射线BE上).
(3)OA⊥BC.
8.A
9.(1)如图①，连接AC，BD.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线.∴EF=AC.同理得EH=BD.∵四边形EFGH和四边形ABCD都是正方形， S正方形ABCD。 即正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1：2.
(2)如图②，依次连接菱形ABCD的各边中点和两条对角线.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线.∴EF AC，EF∥AC.同理得 ∴EF=HG,EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形.∴EH∥FG，EH=FG.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴EF⊥EH.∴四边形EFGH是矩形. S菱形ABCD.∴S矩形EFGH：S菱形ABCD=1：2，即矩形EFGH与菱形ABCD的面积比是1∶2.同理，依次连接矩形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1：2.
(3)由(2)，得对于任意四边形，依次连接四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1:2.
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专项训练
中点四边形
类型一 由原四边形的形状推断中点四边形的形状
1.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
2.如图，把矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则顺次连接四边形ADEC各边中点，得到的四边形的形状一定是_____________.
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若AC+BD=36，AB=10，求△OEF的周长.
4.(1)如图，P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD，E，F, G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，请猜想四边形EFGH的形状并证明；
(2)若改变(1)中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，请猜想四边形EFGH的形状并证明.
类型二 由中点四边形的形状推断原四边形的形状
5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( )
A.互相平分 B.相等 C.互相垂直 D.互相垂直平分
6.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，AC⊥BD.若四边形EFGH为正方形，则对角线AC，BD应满足的条件是＿＿＿＿.
7.如图，D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC+AC)的边AB，AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OA，OB，OC，G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.
(1)当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形.
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？为什么？
(3)当OA与BC满足____________时，四边形DGFE是矩形.
类型三 与中点四边形有关的综合题
8.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，BD=4，CD=3，四边形EFGH的周长为11，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则AD的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.7
9.(1)如图，顺次连接正方形ABCD的各边中点，得到一个小正方形EFGH，则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是多少
(2)依次连接菱形、矩形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是多少？
(3)对于任意四边形，是否也有类似结论
参考答案
1.C 2.菱形
3.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO.∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EO=，FO=，，HO.∴EO=GO，FO=HO.∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)∵E，F分别是AO，BO的中点，∴EF是△ABO的中位线.∴EF=∵AC+BD=36,∴AO+BO=18.∴EO+FO=9.∴△OEF的周长=EO+FO+EF=9+5=14.
4.(1)四边形EFGH是菱形
如图，连接AC，BD.∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠BPD=∠APC.在△APC和△BPD中，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD,
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴ ∴EF=FG=GH=EH.∴四边形EFGH是菱形.
(2)四边形EFGH是正方形
设AC与BD交于点O，与PD交于点M.∵△APC≌△BPD,∴∠ACP=∠BDP.
∵∠CPD=90°,∴∠PDC+∠PCD=90°.∴∠PDC+∠ACP+∠OCD=90°.∴∠BDP+∠PDC+∠OCD=90°.∴∠ODC+∠OCD=90°.∴∠COD=90°.∴AC⊥BD.
∵E，G，H分别为AB，CD，DA的中点，∴EH∥BD，HG//AC.∴易得EH⊥HG.
∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形.
5.C 6. AC=BD
7.(1)∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC.同理得 GF∥BC，DE∥GF，DE=GF.∴四边形DGFE是平行四边形.
(2)OA=BC(点O不在射线CD，射线BE上)∵四边形DGFE是菱形，∴DG=GF.∵D，G，F分别是AB，OB，OC的中点，∴ BC.∴OA=BC(点O不在射线CD，射线BE上).
(3)OA⊥BC.
8.A
9.(1)如图①，连接AC，BD.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线.∴EF=AC.同理得EH=BD.∵四边形EFGH和四边形ABCD都是正方形， S正方形ABCD。 即正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1：2.
(2)如图②，依次连接菱形ABCD的各边中点和两条对角线.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线.∴EF AC，EF∥AC.同理得 ∴EF=HG,EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形.∴EH∥FG，EH=FG.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴EF⊥EH.∴四边形EFGH是矩形. S菱形ABCD.∴S矩形EFGH：S菱形ABCD=1：2，即矩形EFGH与菱形ABCD的面积比是1∶2.同理，依次连接矩形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1：2.
(3)由(2)，得对于任意四边形，依次连接四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1:2.
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