内蒙古自治区通辽市2021-2022学年高三上学期期末考试数学（文）试题（Word版含答案）

通辽市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷（文科）
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 某高校甲 乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（ ）
A 3，5 B. 3，3 C. 3.5，5 D. 3.5，4
5. 若变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A. 5 B. 8 C. 12 D. 18
6. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A. 等腰非等边三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
9. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：，）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
10. 已知实数a，b满足，，则（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
11. 已知F是双曲线右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（ ）
①，②，③，，④
A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知平面向量，满足，则与夹角的大小为___________.
14. 如图所示，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结.若从该奥林匹克标志的五个环圈中任取2个，则这2个环圈恰好相交的概率为___________.
15. 根据抛物线光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为___________.
16. 已知为正方体表面上的一个动点，，是棱延长线上的一点，且，若，则动点运动轨迹的长为___________.
三 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 为加强环境保护，治理空气污染，某环境监测部门对某市空气质量状况进行调研，随机抽査了该市100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：）的数据，得到如下表格：
PM2.5
18 9 10
7 10 14
4 8 20
（1）分别估计该市一天的空气中PM2.5浓度在内和浓度在内的概率.
（2）根据以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为该市一天的空气中PM2.5浓度与浓度有关.
PM2.5 合计
合计
附：，其中..
0.050 0.010 0005
3.841 6.635 7879
18. 已知在数列中，，，且该数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）已知是数列的前n项和，且，求.
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为BC的中点，，.
（1）证明：；
（2）求点M到平面PAD的距离.
20. 已知椭圆的焦距为4，点在G上.
（1）求椭圆G的方程；
（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
21. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围.
22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.
（1）说明曲线C是什么曲线，并写出曲线C的一个参数方程；
（2）设P为曲线C上的一个动点，P到x，y轴的距离分别为，，求的最大值.
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集.
（2）若不等式的解集为M，且a，证明：.
通辽市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷（文科） 答案版
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
答案 D
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案 A
3. （ ）
A. B. C. D.
答案 C
4. 某高校甲 乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（ ）
A 3，5 B. 3，3 C. 3.5，5 D. 3.5，4
答案 C
5. 若变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A. 5 B. 8 C. 12 D. 18
答案 D
6. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
答案 A
7. 已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
答案 B
8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A. 等腰非等边三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
答案 B
9. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：，）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
答案 C
10. 已知实数a，b满足，，则（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
答案 B
11. 已知F是双曲线右焦点，过F且垂直于x轴的直线交E于A，B两点，若E的渐近线上恰好存在四个点，，，，使得，则E的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案 D
12. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（ ）
①，②，③，，④
A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④
答案 C
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知平面向量，满足，则与夹角的大小为___________.
答案 ##
14. 如图所示，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结.若从该奥林匹克标志的五个环圈中任取2个，则这2个环圈恰好相交的概率为___________.
答案
15. 根据抛物线光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为___________.
答案 12
16. 已知为正方体表面上的一个动点，，是棱延长线上的一点，且，若，则动点运动轨迹的长为___________.
答案
三 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 为加强环境保护，治理空气污染，某环境监测部门对某市空气质量状况进行调研，随机抽査了该市100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：）的数据，得到如下表格：
PM2.5
18 9 10
7 10 14
4 8 20
（1）分别估计该市一天的空气中PM2.5浓度在内和浓度在内的概率.
（2）根据以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为该市一天的空气中PM2.5浓度与浓度有关.
PM2.5 合计
合计
附：，其中..
0.050 0.010 0005
3.841 6.635 7879
答案 （1）；
（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为该市一天的空气中PM2.5浓度与浓度有关
18. 已知在数列中，，，且该数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）已知是数列的前n项和，且，求.
答案 （1）
（2）
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，，M为BC的中点，，.
（1）证明：；
（2）求点M到平面PAD的距离.
答案 （1）证明见解析
（2）
20. 已知椭圆的焦距为4，点在G上.
（1）求椭圆G的方程；
（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
答案 （1）；
（2）.
21. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围.
答案 （1）在上单调递减，在上单调递增
（2）
22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.
（1）说明曲线C是什么曲线，并写出曲线C的一个参数方程；
（2）设P为曲线C上的一个动点，P到x，y轴的距离分别为，，求的最大值.
答案 （1）曲线C是焦点在y轴上的椭圆，参数方程为（为参数）
（2）5
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集.
（2）若不等式的解集为M，且a，证明：.
答案 （1）；
（2）答案见解析.