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专题27.1-27.2.1图形的相似与相似三角形的判定
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）21教育网
1．（2020·河北初三其他）下列各组图形中，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国初三专题练习）如图，点P在△ABC的边AC上，添加一个条件可判断△ABP∽△ACB，其中添加不正确的是（ ）21·cn·jy·com
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A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝
3．（2020·上海市青浦区第一中学初三期中）如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
4．（2020·河北辛集·初三期末）如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
5．（2020·贵州江口·初三期末）如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
6．（2020·山西太原五中初三 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．
7．（2019·全国初三课时练习）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论不正确的是（ ）21cnjy.com
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A．AB2＝BCBD B．AB2＝ACBD
C．ACBD＝ABAD D．ABAC＝ADBC
8．（2018·河北沧县·初三期末）下列说法正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形相似 B．任意两个直角三角形相似
C．任意两个等腰直角三角形相似 D．任意两个钝角三角形相似
9．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语 ( http: / / www.21cnjy.com )实验学校初三期中）如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )【来源：21·世纪·教育·网】
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A． B． C． D．
10．（2014·全国初三课时练习）两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
11．（2020·哈尔滨德强学校初三开学 ( http: / / www.21cnjy.com )考试）如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作 EF∥AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
12．（2020·郑州枫杨外国语学校初三月考）点是中边上的一点，过点作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
13．（2018·烟台南山东海外国语学 ( http: / / www.21cnjy.com )校初三期中）在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图6所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
14．（2018·甘肃临洮·中考模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． +1﹣ C．﹣ D．﹣1
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江苏宜兴·初三月考）如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．21*cnjy*com
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16．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）把一个矩形剪去一个正方形后，若余下的矩形与原矩形相似，则原矩形长宽之比为________．【来源：21cnj*y.co*m】
17．（2020·海南琼山中学初三月考）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=________．【出处：21教育名师】
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18．（2019·北京市十一学校初三月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为________；当时，为________．（用含的式子表示）【版权所有：21教育】
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三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．www-2-1-cnjy-com
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20．（2020·河南初三专题 ( http: / / www.21cnjy.com )练习）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.21教育名师原创作品
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21．（2020·福建梅列·初三 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图，△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC∽△PAC（不写画法保留作图痕迹），并证明△ABC∽△PAC．21*cnjy*com
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22．（2018·全国初三单元测试）甲、乙两 ( http: / / www.21cnjy.com )位同学同解一道题目：“如图，F、G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E=∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC．”
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
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23．（2020·桐柏县新集一中月考）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形ABCD的“减半”矩形．请你解决下列问题：21世纪教育网版权所有
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽．
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
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24．（2018·北京顺义·初三期末）如图，E是□ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD交AB于点G．
（1）填空：图中与△CEF相似的三角形有__________；（写出图中与△CEF相似的所有三角形）
（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似．
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25．（2019·温州市第十二中学初三月考）图1，图2均为的正方形网格，的三个顶点均在格点上，
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（1）请在图1中以为边画一个格点三角形，使它与相似（不全等）；
（2）请在图2中以为边画一个格点三角形，使它与相似（不全等）．
26．（2019·全国初三期末）如图，□ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：△BDE是直角三角形；
（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．
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专题27.1-27.2.1图形的相似与相似三角形的判定
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）21·cn·jy·com
1．（2020·河北初三其他）下列各组图形中，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
．形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，此选项符合题意；
故选：．
2．（2020·全国初三专题练习）如图，点P在△ABC的边AC上，添加一个条件可判断△ABP∽△ACB，其中添加不正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝
【答案】D
【解析】解：∵在△ABP和△ACB中，∠BAP=∠CAB，
∴当∠ABP=∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；
当∠APB=∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；
当 时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；
故选：D．
3．（2020·上海市青浦区第一中学初三期中）如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
【答案】D
【解析】解：∵四边形的对角线相交于点，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB∽△COD．
故选：D．
4．（2020·河北辛集·初三期末）如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
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A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】A
【解析】解：由图，根据勾股定理，可得出
①图中阴影三角形的边长分别为：；
②图中阴影三角形的边长分别为：；
③图中阴影三角形的边长分别为：；
④图中阴影三角形的边长分别为：；
可以得出①②两个阴影三角形的边长，
所以图①②两个阴影三角形相似；
故答案为：A.
5．（2020·贵州江口·初三期末）如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
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A．△AFD B．△FED C．△AED D．不能确定
【答案】A
【解析】解：∵AF＝4，DF＝4 ，AD＝4 ，AB＝2，BC＝2 ，AC＝2 ，
∴，
∴△AFD∽△ABC．
故选：A．
6．（2020·山西太原五中 ( http: / / www.21cnjy.com )初三一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）21*cnjy*com
A． B．
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．
【答案】C
【解析】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选C．
7．（2019·全国初三课时练习）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AB2＝BCBD B．AB2＝ACBD
C．ACBD＝ABAD D．ABAC＝ADBC
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△DBA，
∴＝＝，
∴AB2＝BCBD，ACBD＝ABAD，ABAC＝ADBC，
故选B.
8．（2018·河北沧县·初三期末）下列说法正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形相似 B．任意两个直角三角形相似
C．任意两个等腰直角三角形相似 D．任意两个钝角三角形相似
【答案】C
【解析】A、不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不相似；
B、不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不相似；
C、正确，因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似；
D、因为没有说明角或边相等的条件，故不相似；
故选C．
9．（2020·四川省射洪县射洪中学外国 ( http: / / www.21cnjy.com )语实验学校初三期中）如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=( )2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是平行四边形,
故选A.
10．（2014·全国初三课时练习）两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】C
【解析】解：根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可以先求出m=，m=不合题意，舍去，【版权所有：21教育】
所以==
故选：C
11．（2020·哈尔滨德强学校初三开学 ( http: / / www.21cnjy.com )考试）如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作 EF∥AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为DE∥BC,
所以
因为EF∥AB,
所以
所以
故选A.
12．（2020·郑州枫杨外国语学校初三月考）点是中边上的一点，过点作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】C
【解析】 ( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）作∠APD＝∠C
∵∠A＝∠A
∴△APD∽△ABC
（2）作PE∥BC
∴△APE∽△ABC
（3）作∠BPF＝∠C
∵∠B＝∠B
∴△FBP∽△ABC
（4）作PG∥AC
∴△PBG∽△ABC
所以共4条
故答案选：C．
13．（2018·烟台南山东海外国语 ( http: / / www.21cnjy.com )学校初三期中）在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图6所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：正方形序号 边长 面积
1 5
2 5()2
3 5[()2]2
4 5[()3]2
n …… 5[()n－1]2
所以第2010个正方形的面积为5[()2010－1]2＝5()4018.
14．（2018·甘肃临洮·中考模拟）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（ ）21*cnjy*com
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A． B． +1﹣ C．﹣ D．﹣1
【答案】D
【解析】解：如图，过C作CF⊥AB于F，过点B作BG⊥CD于G．在Rt△BEG中，∠BED=45°，则GE=GB．在Rt△AFC中，∠A=45°，AC=，则AF=CF==1．在Rt△BFC中，∠ABC=30°，CF=1，则BC=2CF=2，BF=CF=，设DF=x，CE=DE=y，则BD=﹣x，∴△CDF∽△BDG，∴==，∴==，∴DG=，BG=．∵GE=GB，∴y+=，∴2y2+x（﹣x）=﹣x．在Rt△CDF中，∵CF2+DF2=CD2，∴1+x2=4y2，∴+x（﹣x）=﹣x，整理得：x2﹣（2+2）x+2﹣1=0，解得：x=1+﹣或1+﹣（舍弃），∴BD=﹣x=﹣1．故选D．www-2-1-cnjy-com
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二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江苏宜兴·初三月考）如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．21教育名师原创作品
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【答案】∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．
【解析】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A
∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED=∠B可证其相似；
∵∠2=∠B，∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC，故添加条件∠2=∠B可证其相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件AD∶AC＝AE∶AB可证其相似．
故答案为∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．
16．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）把一个矩形剪去一个正方形后，若余下的矩形与原矩形相似，则原矩形长宽之比为________．
【答案】
【解析】解：如图，
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矩形（中剪去正方形，
设，，
矩形与矩形相似，
，
，即，
解得，（舍去），
，
．
故答案为：．
17． （2020·海南琼山中学初三月考） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD=∠ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=________．
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【答案】DB=3
【解析】∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ，
∵AC=2，AD=1，
∴，
解得DB=3．
18．（2019·北京市十一学校初三月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为________；当时，为________．（用含的式子表示）
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【答案】,
【解析】解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，
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∴∠OHP=∠OGQ=90°．
∵∠ACB=90°，
∴四边形HCGO为矩形，
∴∠HOG=90°，
∴∠HOP=∠GOQ，
∴△PHO∽△QGO，
∴．
∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，
∴AH=x，OG=x．
在Rt△AHO中，由勾股定理，得
OH=x，
∴，
∴=．
故答案为．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．21教育网
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【答案】x=24，y=28，α=75°
【解析】∵两个四边形相似，
∴20：5=x：6=y：7，
解得：x=24，y=28，
∵四边形内角和等于360°，
∴α= =75°，
∴x=24，y=28，α=75°．
20．（2020·河南初三专题练习）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.2·1·c·n·j·y
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【答案】见解析
【解析】证明： ∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.
21．（2020·福建梅列·初三一模）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC∽△PAC（不写画法保留作图痕迹），并证明△ABC∽△PAC．21cnjy.com
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【答案】图及证明见解析．
【解析】解：如图所示：点P即为所求，
∵MN是AC的垂直平分线，交BC于点P，
∴AP＝CP，
∴∠C＝∠PAC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝∠PAC，
∴△ABC∽△PAC．
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22．（2018·全国初三单元 ( http: / / www.21cnjy.com )测试）甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F、G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E=∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC．”
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
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【答案】乙同学的解答不正确
【解析】
乙同学的解答不正确， 与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上证明如下：
∵DF∥BC，
∴∠GFE=∠ABC，
又∵∠E=∠C，
∴△GFE∽△ABC
23．（2020·桐柏县新集一中月考）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形ABCD的“减半”矩形．请你解决下列问题：21·世纪*教育网
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽．【来源：21cnj*y.co*m】
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
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【答案】（1）存在，长为，宽为；（2）不存在，见解析
【解析】解：（1）存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)=，
解得：x1=，x2=；
∴ “减半”矩形的长为，宽为；
（2）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
24．（2018·北京顺义·初三期末）如图，E是□ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD交AB于点G．
（1）填空：图中与△CEF相似的三角形有__________；（写出图中与△CEF相似的所有三角形）
（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似．
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【答案】（1）△ADF，△EBA，△FGA；（2）见详解
【解析】（1）△ADF，△EBA，△FGA；
（2）△ADF∽△ECF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥AD ，
∴∠DAF=∠E，∠FCE=∠D，
∴△ADF∽△ECF.
25．（2019·温州市第十二中学初三月考）图1，图2均为的正方形网格，的三个顶点均在格点上，
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（1）请在图1中以为边画一个格点三角形，使它与相似（不全等）；
（2）请在图2中以为边画一个格点三角形，使它与相似（不全等）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】解：（1）如图， ∵AB=2，BC=4，
∴当BE=1时，
∴
∴Rt∽Rt，
∴为所求；
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（2）如图， ∵AF=，
∴为所求．
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26．（2019·全国初三期末）如图，□ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．www.21-cn-jy.com
（1）求证：△BDE是直角三角形；
（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．
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【答案】（1）证明见解析；（2）相似，理由见解析.
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE=OB， ∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，
∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；
（2）△BDE与△DCE相似．
理由如下：
∵OE⊥CD，
∴∠CEO＋∠DCE=∠CDE＋∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵∠OBE=∠OEB，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE.
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