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专题27.2.3相似三角形的性质及应用
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）2-1-c-n-j-y
1．（2020·江苏惠山·阳山中学月考）若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
【答案】C
【解析】解：∵∠A=30°，∠C=110°，
∴∠B=40°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B=40°，
故选：C．【来源：21cnj*y.co*m】
2．（2020·深圳市宝安中学（集团）初三月考）通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（ ）
A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍
B．△ABC放大后周长是原来的3倍
C．△ABC放大后，面积是原来的3倍
D．以上都不对
【答案】B
【解析】解：一个能放大3倍的放大镜看△ABC，则看到的三角形与△ABC相似，相似比是3：1，
A、两个相似三角形的对应角相等，故A错；
B、周长的比等于相似比，即△ABC放大后，周长是原来的3倍，故B正确；
C、面积的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面积是原来的9倍，故C错；
D、B选项正确，故D错．
故选B．
3．（2020·江苏惠山·阳 ( http: / / www.21cnjy.com )山中学月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，求DE：DC的值为（ ）
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A．4：25 B．2：5 C．2：7 D．4：29
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴S△DEF：S△ABF＝（）2＝4：25，
∴，
故选：B．
4．（2020·四川北大附中成都为明学校初三月考）如图，，则下列结论不成立的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A.
，
故A正确，不符合题意；
B.
，
故B正确，不符合题意；
C.根据题目已知条件，不能判断BD:CE=2:1，故C错误，符合题意；
D. 的相似比为2：1
，
故D正确，不符合题意，
故选：C
5．（2020·福建省惠安荷山中学初三月考）若与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）21教育名师原创作品
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
【答案】C
【解析】解：∵与的相似比为1：4，∴与的周长比为：1：4.
故选：C.
6．（2020·上海浦东新·月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）
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A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
【答案】A
【解析】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD=，∴CE=OD=2，DE=OA=1，
∴OE=7，∴C（2，7），
故选A．
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7．（2020·山东滕州·北辛中学初三月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作//，//．分别交、、、于、、、，连接．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）21cnjy.com
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A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD
∴△AEP∽△CFP
∴
∴FC EP =AE PF=8×3=24
又∵EF∥BC
∴四边形EFCB为矩形
∴EB=FC
∵阴影部分的面积为 BE PE
∴阴影部分的面积为 BE PE= FC PE=×24=12www.21-cn-jy.com
故选：B．
8．（2020·福建省惠安荷山 ( http: / / www.21cnjy.com )中学初三月考）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（ ）
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A．12 B．9 C．6 D．16
【答案】A
【解析】解：AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABE，∠CDE＝∠A，
∴△ABE∽△DCE，
∴，AB＝4，
∴BE CD＝4EC
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，EF＝3，
∴BE CD＝3BC＝3（BE+EC），
∴4EC＝3BE+3EC，
∴EC＝3BE，
∴BC＝4BE，
，
∴CD＝12．
答：CD的长为12．
故选：A．
9．（2020·江苏惠山·阳山中学月考）直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF，
在△BCE与△ACF中，
∴△CBE≌△ACF（ASA）
∴CF＝BE，CE＝AF，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4，
在Rt△ACF中，
∵AF＝4，CF＝3，
∴AC＝5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
，
，
，
在Rt△BCD中，
∵，BC＝5，
所以．
故答案为：D．
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10．（2020·上海宝山·月考）如图，中，是中点，是中点，的延长线交于，则的值为（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：过G作GF∥AB，交CD于F，
∴△CFG∽△CDB，
∴BG：CG=DF：FC
∵G是BC的中点，
∴BG=CG
∴DF=FC
∵GF∥AB，
∴∠DAG=∠FGA
∵E是AG的中点，
∴AE=GE
∵∠DEA=∠FEG
∴△DAE≌△FEG
∴DE=EF
∴DF=2DE=2EF
∴FC=2DE
∴EC=3DE
∴
故选：B
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11．（2020·浙江杭州 ( http: / / www.21cnjy.com )·初三其他）如图，点G、F分别是△ACD的边AC、CD上的点，AD的延长线与GF的延长线相交于点B，DE∥AC交GB于点E，则下列结论错误的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项正确：∵DE∥AC，
∴，
∴，
故A正确；
B选项正确：∵DE∥AC，
∴，
∴，
故B正确；
C选项错误：∵，
∴，
故C错误；
D选项正确：∵DE∥AC，
∴，
故D正确；
所以答案为：C．
12．（2020·江苏泰兴·初三月考）如图所示，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形叫黄金三角形，已知腰长AB＝1，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形，以此类推，第2007个黄金三角形的周长为（ ）
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A．k2006 B．k2007 C． D．k2006(2+k)
【答案】D
【解析】解：∵AB=AC=1，
∴的周长为2+k，
与都为顶角为36°的等腰三角形，
的周长为：
的周长为
依此类推，第2007个黄金三角形的周长为
故选：D．
13．（2020·无锡市钱桥中学初三月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个
①AE⊥BF；②QB=QF；③；④S四边形ECFG=2S△BGE．
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A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
∴≌(SAS)，
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故①正确；
②由折叠的性质得：∠PFB＝∠BFC，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QB＝QF，故②正确；
③∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，
∴∽∽，
∴，
设GE＝x，则BG＝2x，AG＝4x，
∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，
∴FG＝BF－BG＝3x，
∴，故③正确；
④由③知，设GE＝x，则BG＝2x，BF＝5x，
∴在中，，
∴，
∵∠BGE=∠BCF=90°，∠GBE=∠CBF，
∴∽，
∴，
∴，
∴，故④错误，
综上所述，共有3个结论正确．
故选：C．
14．（2020·银川外国语实验学校初三月考）如图，在直角梯形中，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）21教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：如图示：
( http: / / www.21cnjy.com )
，
．
，
．
设的长为，则长为．
若边上存在点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，
即，
解得：
②若，则，
即，
解得：或6．
满足条件的点的个数是3个，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·上海宝山·月考）当两个相似三角形的相似比为______时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形．21·世纪*教育网
【答案】
【解析】解：两个相似三角形的相似比为1时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形，
故答案为：1．
16．（2020·上海宝山·月考）如图，，与交于点，若，则_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠ODC，
又∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△DOC，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
17．（2020·河南一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是_____．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝12，
∵PC＝8，
∴BP＝4，
∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，
∴∠BAP＝∠CPQ，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴QC＝，
故答案为：．
18．（2020·无锡市钱桥中学初三月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰和等腰，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①；②CD=BE；③MP MD=MA ME；④2CB2=CP CM．其中正确的是_________（请填上序号）．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】①②③④
【解析】和都是等腰三角形，
，
，
，则结论①正确；
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
即，则结论②正确；
，
，即，
在和中，，
，
，
，则结论③正确；
在和中，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
又，
，则结论④正确；
综上，结论正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·陕西宁强· ( http: / / www.21cnjy.com )初三期末）如图，A，B两点间有一湖泊，无法直接测量AB的长，测得CA=60米，CD=24米，DE∥AB，DE=32米.求AB的长.【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】80米
【解析】∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴.
又∵CD=24米，CA=60米，DE=32米，
∴，
∴AB=80米，即AB的长是80米.
20．（2019·河南南阳·初三期中）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求证：；（2）若，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】证明：（1）∵DB平分，
，且，
（2）
，且
，且，
，
且
( http: / / www.21cnjy.com )
21．（2019·雁塔·陕西师大附 ( http: / / www.21cnjy.com )中初三期中）光污染是继废气、废水、废渣和噪声等污染之后的一种新的环境污染源，主要包括白亮污染、人工白昼污染和彩光污染，如图，小明家正对面的高楼外墙上安装着一幅巨型广告宣传牌AB，小明想要测量窗外的广告宣传牌AB的高度，他发现晚上家里熄灯后对面楼上的广告宣传牌从A处发出的光恰好从窗户的最高点C处射进房间落在地板上F处，从窗户的最低点D处射进房间向落在地板上E处（B、O、E、F在同一直线E），小明测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求广告宣传牌AB的高度．
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【答案】AB的高度是10m．
【解析】解：∵DO⊥BF，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝1m，OE＝1m，
∴∠DEB＝45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝EB＝xm，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴，
即
解得：x＝10．
经检验：x＝10是原方程的解．
答：AB的高度是10m．
22．（2020·上海浦东新·月考）如图，已知，，是三个全等的等腰三角，底边BC、CE、EG在同一直线上，且，，联结AG，分别交DC、DE、EF于点P、Q、R．
（1）判断是否也是等腰三角形？并证明你的结论；
（2）求的值．
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【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析；（2）
【解析】（1）是等腰三角形
∵，
∴，且为公共角，
∴，
∵是等腰三角形，
∴也是等腰三角形
（2）在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
23．（2020·江阴高新区实验中学初三月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．
（1）求证：；
（2）若AD＝6，DE＝4，求CE的长．
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【答案】（1）见解析；（2）
【解析】证明：（1）四边形是平行四边形
,
．
,
∴．
（2）,
,
．
，,
,
．
24．（2020·江苏泰兴·初三月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD21·cn·jy·com
（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）AF与DF相等吗？为什么？
（3）BC＝8，DE＝3，求△BFD的面积．
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【答案】（1） ∽，理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【解析】解：（1）∵DE是BC垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵AB=AD，
∴∠ABC=∠ADB，
∴△FDB∽△ABC；
（2）∵△FDB∽△ABC，
∴，
∴AB=2FD，
∵AB=AD，
∴AD=2FD，
∴DF=AF；
（3）∵AF=DF，
∴△AFB的面积=△BFD的面积，△AEF的面积=△EFD的面积，
∴△ABC的面积=3△BDE的面积=3×××8×3＝18，
∵△FDB∽△ABC，
∴＝是相似比，
∴△DFB的面积=．
25．（2020·长春市第四十七中学初三月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以 2cm/s速度向点C 移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点 A 移动，设它们的运动时间为t．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）根据题意知：CQ= ，CP= ；（用含 t 的代数式表示）；
（2）t 为何值时，△CPQ 的面积等于1？
（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？
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【答案】（1），；（2）1；（3）1.2秒或秒
【解析】解：（1）经过t秒后，PC=4-2t，CQ=t；
（2）∵
∴
（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即，解得t=1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，即，解得t=；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．
答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或秒．www-2-1-cnjy-com
26．（2020·河北石家庄·初三月考）（1）问题发现
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如图1，在中，，，点在线段上运动（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接．填空：线段和的数量关系为______，位置关系为______；【版权所有：21教育】
（2）探究证明
如图2，在（1）的条件下，若点在线段的延长线上运动，请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在锐角中，，，，若点在线段上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接，过点作交于点．请求出线段取得最大值时的面积．
【答案】（1），；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE＝BD，∠ACE＝∠B，
∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝90°，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE＝BD，CE⊥BD，
故填：，．
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
由旋转的性质，得，，
∵，，
∴．
∴≌．
∴，．
∵，
∴，
∴．
（3）如图，过点作于点，
过点作，交的延长线于点，
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则．
由旋转的性质，得，．
∴．
又∵，
∴，
∴≌．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，四边形为矩形．
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴∽，
∴．
设，则，
∴．
∴，
∴当时线段有最大值，最大值为．
∴此时．
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专题27.2.3相似三角形的性质及应用
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）21cnjy.com
1．（2020·江苏惠山·阳山中学月考）若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
2．（2020·深圳市宝安中学（集团）初三月考）通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（ ）
A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍
B．△ABC放大后周长是原来的3倍
C．△ABC放大后，面积是原来的3倍
D．以上都不对
3．（2020·江苏惠山 ( http: / / www.21cnjy.com )·阳山中学月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，求DE：DC的值为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．4：25 B．2：5 C．2：7 D．4：29
4．（2020·四川北大附中成都为明学校初三月考）如图，，则下列结论不成立的是（ ）
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A． B．
C． D．
5．（2020·福建省惠安荷山中学初三月考）若与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）21·世纪*教育网
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
6．（2020·上海浦东新·月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）21教育网
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A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
7．（2020·山东滕州·北辛中学初三月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作//，//．分别交、、、于、、、，连接．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．8 B．12 C．16 D．24
8．（2020·福建省惠安荷山中学初三月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．12 B．9 C．6 D．16
9．（2020·江苏惠山·阳山中学月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
10．（2020·上海宝山·月考）如图，中，是中点，是中点，的延长线交于，则的值为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
11．（2020·浙江杭州·初三其他）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，点G、F分别是△ACD的边AC、CD上的点，AD的延长线与GF的延长线相交于点B，DE∥AC交GB于点E，则下列结论错误的是（ ）
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A． B． C． D．
12．（2020·江苏泰兴·初三月考）如图所示，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形叫黄金三角形，已知腰长AB＝1，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形，以此类推，第2007个黄金三角形的周长为（ ）
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A．k2006 B．k2007 C． D．k2006(2+k)
13．（2020·无锡市钱桥 ( http: / / www.21cnjy.com )中学初三月考）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个21*cnjy*com
①AE⊥BF；②QB=QF；③；④S四边形ECFG=2S△BGE．
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A．1 B．4 C．3 D．2
14．（2020·银川外国语实验学校初三月考）如图，在直角梯形中，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）21教育名师原创作品
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·上海宝山·月考）当两个相似三角形的相似比为______时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形．
16．（2020·上海宝山·月考）如图，，与交于点，若，则_______．
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17．（2020·河南一模）如图，在等 ( http: / / www.21cnjy.com )边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是_____．
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18．（2020·无锡市钱桥中学初三月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰和等腰，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①；②CD=BE；③MP MD=MA ME；④2CB2=CP CM．其中正确的是_________（请填上序号）．
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三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·陕西宁强·初三期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，A，B两点间有一湖泊，无法直接测量AB的长，测得CA=60米，CD=24米，DE∥AB，DE=32米.求AB的长.
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20．（2019·河南南阳·初三期中）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．21·cn·jy·com
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（1）求证：；（2）若，求MN的长．
21．（2019·雁塔·陕西师大附中初三 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）光污染是继废气、废水、废渣和噪声等污染之后的一种新的环境污染源，主要包括白亮污染、人工白昼污染和彩光污染，如图，小明家正对面的高楼外墙上安装着一幅巨型广告宣传牌AB，小明想要测量窗外的广告宣传牌AB的高度，他发现晚上家里熄灯后对面楼上的广告宣传牌从A处发出的光恰好从窗户的最高点C处射进房间落在地板上F处，从窗户的最低点D处射进房间向落在地板上E处（B、O、E、F在同一直线E），小明测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求广告宣传牌AB的高度．
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22．（2020·上海浦东新·月考）如图，已知，，是三个全等的等腰三角，底边BC、CE、EG在同一直线上，且，，联结AG，分别交DC、DE、EF于点P、Q、R．
（1）判断是否也是等腰三角形？并证明你的结论；
（2）求的值．
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23．（2020·江阴高新区实验中学初三月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．
（1）求证：；
（2）若AD＝6，DE＝4，求CE的长．
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24．（2020·江苏泰兴·初三月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB＝AD21世纪教育网版权所有
（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）AF与DF相等吗？为什么？
（3）BC＝8，DE＝3，求△BFD的面积．
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【答案】（1） ∽，理由见解析；（2），理由见解析；（3）
25．（2020·长春市第四十七中学初三月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以 2cm/s速度向点C 移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点 A 移动，设它们的运动时间为t．2·1·c·n·j·y
（1）根据题意知：CQ= ，CP= ；（用含 t 的代数式表示）；
（2）t 为何值时，△CPQ 的面积等于1？
（3）运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？
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26．（2020·河北石家庄·初三月考）（1）问题发现
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如图1，在中，，，点在线段上运动（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接．填空：线段和的数量关系为______，位置关系为______；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）探究证明
如图2，在（1）的条件下，若点在线段的延长线上运动，请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）拓展延伸
如图3，在锐角中，，，，若点在线段上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到，连接，过点作交于点．请求出线段取得最大值时的面积．【版权所有：21教育】
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