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第二十九章 视图与投影的常见问题举例
典例体系（本专题共79题45页）
考点1：平行投影
典例：（2019·台湾中考真题）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
方法或规律点拨
本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？
2．数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1．5米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2．4米，台阶的高度均为0．3米，宽度均为0．5米．求大树的高度．
3．如图，上午小明在上学路上发现路灯的灯泡在太阳光下的影子恰好落到点处，他自己的影子恰好落在另一灯杆的底部点处，晚自习放学时，小明又站在上午同一地方，此时发现灯泡的灯光下自己的影子恰好落在点处.请在图中画出表示小明身高的线段（用线段表示）.
4．如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在阳光下的投影．
（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影．
5．如图，公路旁有两个高度相同的路灯，小明上午上学时发现路灯在太阳下的影子恰好落到处，他自己的影子恰好落在路灯的底部处．晚自习放学时，站在上午同一地方，发现在路灯的灯光下自己的影手恰好落在处．
（1）在图中画出小明的位置（用线段表示）并画出光线，标明太阳光、灯光．
（2）若上午上学时髙1m的木棒的影子为2m，小明身高为1.6m，他离恰好4m，求路灯高．
6．如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30 cm,50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．
7．（2019·陕西西安·初三期中）如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE=2.4米；然后，小希在BD的延长线上找出一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得DF=2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD=1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB．
8．（2018·全国初三单元测试）图①是一起吊重物的简单装置，AB是吊杆，当它倾斜时，将重物挂起，当它逐渐直立时，重物便能逐渐升高．在阳光下，当吊杆的倾斜角∠ABC＝60°时，量得吊杆的影子长BC＝11.5米，很快将吊杆直立(直立过程所需的时间忽略不计)，如图②，AB与地面垂直时，量得吊杆AB的影长BC＝4米，求吊杆AB的长．
考点2：中心投影
典例：学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH;
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH的中点B1处时,其影子长为B1C1;当小明继续走剩下路程的到B2处时,其影子长为B2C2;当小明继续走剩下路程的到B3处,…,按此规律继续走下去,当小明走剩下路程的到Bn处时,其影子BnCn的长为 m.(直接用含n的代数式表示)
方法或规律点拨
本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．
巩固练习
1．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？
2．（2018·南通市启秀中学初三期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置并画出小亮在灯光下形成的影子；
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.6m，且他到路灯的距离AD＝2.4m，求灯泡的高．
3．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，请求出小亮影子的长度．
4．如图，小明在晚上由路灯C底部A走向路灯D底部B，当他行至点P处时，发现他在路灯D下的影长为2米，影子顶端正好落在A点，接着他又走了6.5米至点Q处，此时在路灯C下的影子的顶端正好落在B点.已知小明身高1.8米，灯杆高9米.
(1)标出小明站在点P处时，在路灯D下的影子；
(2)计算小明站在点Q处时，在路灯C下的影子的长度；
(3)求灯杆的高度.
5．如图，某光源下有三根杆子，甲杆GH的影子为GM，乙杆EF的影子一部分落在地面EA上，一部分落在斜坡AB上的AD处.
（1）请在图中画出形成影子的光线，确定光源所在的位置R，并画出丙杆PQ在地面的影子.
（2）在（1）的结论下，若过点F的光线，斜坡与地面的夹角为60°，m， m，请求出乙杆EF的高度：（结果保留根号）.
6．如图，晚上小明由路灯走向路灯，当他行至点P处时，发现他在路灯BC下的影长为，且影子的顶端恰好在A点，接着他又走了至点Q处，此时他在路灯AD下的影子的顶端恰好在B点，已知小明的身高为，路灯BC的高度为.
（1）计算小明站在点Q处时在路灯AD下影子的长度；
（2）计算路灯AD的高度。
7．（2019·全国）如图，晚上小红和小颖在广场的一盏路灯下玩耍，AB表示小红的身高，BC表示她的影子，DE表示小颖的身高，表示她的影子，请在图中画出灯泡的位置，并且画出形成影子的小木杆。（用线段表示）
9．如图，公路旁有两个高度相同的路灯AB，CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处。
（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标出太阳光、灯光；
（2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E恰好5米，求路灯的高度.
考点3：与盲区有关的问题
典例：图1至图7中的网格图均是20×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）．侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况．当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）．设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）．
（1）在区域MNCD内，请你针对图1，图2，图3，图4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
（2）只考虑在区域ABCD内开成的盲区．设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）．
①如图5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式；
②如图6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式；
③如图7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；
④根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况．
（3）根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想．
法或规律点拨
本题主要考查了梯形的面积公式，盲区，一次函数等知识点，知识点比较多，需要细心求解．
巩固练习
1．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是( )
A．AB B．BC C．CD D．DE
2．（2019·全国初三单元测试）当你去看电影的时候，你想坐得离屏幕近一些，可是又不想为了看屏幕边缘的镜头不停地转动眼睛．如图所示，点A、B分别为屏幕边缘两点，若你在P点，则视角为∠APB.如果你觉得电影院内P点是观看的最佳位置，可是已经有人坐在那了，那么你会找到一个位置Q，使得在Q、P两点有相同的视角吗？请在图中画出来(保留画图痕迹，不写画法)．
3．（2018·全国初三单元测试）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一颗大树，它的影子是．
试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点表示）．如果是太阳光请画出光线．
在图中画出表示大树高的线段．
若小明的眼睛近似地看成是点，试画图分析小明能否看见大树．
4．（2018·全国初三单元测试）作图题： 如图所示：大王站在墙前，小明站在墙后，小明不能让大王看见，请你画出小明的活动区域.
5．如图，正方形的边长为，点，，分别为，，的中点．现从点观察线段，当长度为的线段（图中的黑粗线）以每秒个单位长的速度沿线段从左向右运动时，将阻挡部分观察视线，在区域内形成盲区．设的左端点从点开始，运动时间为秒．设区域内的盲区面积为（平方单位）．
求与之间的函数关系式；
请简单概括随的变化而变化的情况．
6．如图，在房子外的屋檐处装有一台监视器，房子前面有一面落地的广告牌．
监视器的盲区在哪一部分？
已知房子上的监视器离地面高，广告牌高，广告牌距离房子，求盲区在地面上的长度．
7．（2018·全国初三单元测试）如图，两楼之间距离MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与BM楼相距多少米时，才能看到后面的NC楼？此时，你的仰角是多少度？
8．（2018·全国初三单元测试）如图，小区管理者打算在广场的地面上安装一盏路灯路灯高度忽略不计小明此刻正在某建筑物的B处向下看，请问：此路灯安在什么位置，小明在B处看不到？请把这段范围用线段表示出来．
9．（2019·全国）我国《道路交通安全法》第四十七条规定“机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人通过人行横道，应当停车让行”．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到行人时刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？
考点4：有三视图还原几何体
典例：（2020·江苏徐州·初三一模）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的名称是（ ）
A．四棱柱 B．三棱锥 C．四棱锥 D．圆锥
方法或规律点拨
本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．
巩固练习
1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．正三棱柱 D．正三棱锥
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．由4个相同的小正方体搭建了一个积木，从不同方向看积木，所得到的图形如图所示，则这个积木可能是（ ）
A．A B．B C．C D．D
5．（2020·湖北初三一模）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（ ）
A． B． C． D．
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是
A． B． C． D．
7．（2020·云南昆明·初三学业考试）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·陕西西安·高新一中初三其他）某几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则其对应的几何体是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是（ ）．
A． B． C． D．
11．诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的本质，就必须从不同角度去观察．下图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断最接近本质的是（ ）．
A．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管
B．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管
C．是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管
D．是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管
12．右侧的三视图对应的物体为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·河南郑州·初三二模）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )
A．立方体 B．四棱柱 C．圆锥 D．直三棱柱
14．（2020·眉山市东坡区苏辙中学初三其他）如图所示为某一物体的主视图，下面是这个物体的是（）
A． B．
C． D．
考点5：有三视图求几何体表面积和侧面积
典例：（2020·成都西川中学月考）如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图．
（1）这个几何体的名称是 ．
（2）若从正面看到的长方形的宽为，长为，从左面看到的宽为，从上面看到的直角三角形的斜边为，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？
方法或规律点拨
此题主要考查了由三视图判断几何体的形状，正确得出物体的形状是解题关键．
巩固练习
1．（2020·山东日照·二模）如图是某工件的三视图．则此工件的表面积为（ ）
A．20πcm2 B．36πcm2 C．56πcm2 D．24πcm2
2．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）．
A． B．12π C． D．24π
3．（2020·重庆）要制作一个密封的长方体铁盒，嘉嘉设计出了它的三视图，如图，按图中尺寸(单位：cm)判断，要制作这个长方体铁盒，如果只考虑面积因素，采用下列哪种面积的铁板最合理( )
A．1000cm2 B．1030cm2 C．1100cm2 D．1200cm2
4．（2020·四川中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（ ）
A．20π B．18π C．16π D．14π
5．如图是某几何体的三视图，其侧面积为( )
A．6 B．4π C．6π D．12π
6．如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体表面积的大小为（ ）
A．12π B．15π C．12π+6 D．15π+12
7．（2020·云南初三二模）云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·哈尔滨市实验学校初三月考）如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它的视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小 D．主视图,俯视图,左视图的面积一样大
9．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱的高BC＝6 cm，圆锥的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是( )
A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm2
10．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）
A．4 B．2 C． D．
11．（2020·黑龙江初三月考）如图，该几何体由棱长为1的六个小正方体叠合形成，其左视图面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2020·四川初三）如图是一个由5个棱长为1的小正方形搭成的几何体，下列说法正确的是（ ）
A．左视图的面积为3 B．主视图的面积为5
C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4
13．如图，由若干个棱长为1的小正方体摆成的几何体，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积为4 B．左视图的面积为4
C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4
14．（2020·耒阳市冠湘中学初三月考）如图所示的几何体是由5个相同的小正方体组成的，下列有关三视图面积的说法中正确的是（ ）
A．左视图面积最大
B．俯视图面积最小
C．左视图与主视图面积相等
D．俯视图与主视图面积相等
15．（2020·安徽志诚教育科技有限公司初三月考）如图，由10个大小相同的正方体搭成的几何体，则下列说法中正确的是（ ）
A．从正面看到的平面图形面积最大
B．从左面看到的平面图形面积最大
C．从上面看到的平面图形面积最大
D．从三个方向看到的平面图形面积一样大
16．（2020·全国初三课时练习）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1∶4的三视图中，其主视图的面积是（ ）
A． B． C． D．
17．（2020·四川师范大学实验外国语学校月考）下图是由几个棱长为1的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图；并计算出该几何体的表面积
18．如图所示是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．
考点6：已知三视图确定小正方体个数范围
典例：方法或规律点拨
本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．
巩固练习
1．（2020·深圳亚迪学校月考）用若干大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和从上面看到这个几何体的形状如图所示，该几何体至多是用（ ）个小立方块搭成的．
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2020·怀安县教育体育和科学技术局教育科学研究室初一开学考试）要拼一个从上面、正面、侧面看到的都是的图形，至少用多少个？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图是一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成该几何体的小正方体个数最少是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2020·全国初三月考）如图是一个由小正方体搭成的几何体，若添加一个小正方体，使得添加后的几何体与原来几何体的主视图相同，则添加方法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
6．（2020·山东初三一模）几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图和俯视图如图所示，那么组合体中正方体的个数最少是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2019·广东深圳中学初一期中）如图，是一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则该几何体最多可由多少个小正方体组合而成？（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
8．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（ ）
A．13个 B．16个 C．19个 D．22个
9．（2019·河南初三一模）由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成该几何体的小正方体最少有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2020·青岛市崂山区第三中学月考）下图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面、从正面看到的形状图．这样搭建的几何体最少需要多少________个小立方块，最多需要______个小立方块．
11．（2020·会宁县会师中学初一月考）在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为__．
12．几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图和俯视图如右图所示，那么组合体中正方体的个数至多有________个．
13．（2020·四川省成都市第八中学校月考）由若干个小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是________个，最少是________个．
主视图 俯视图
14．（2020·重庆文德中学校期中）用小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，请解答下列问题：
（1）=________，=_________，=_________．
（2）这个几何体最少由________个小立方块搭成，最多由________个小立方块搭成．
（3）当==1，=2时，画出这个几何体的左视图．
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第二十九章 视图与投影的常见问题举例第五章
典例体系（本专题共79题45页）
考点1：平行投影
典例：（2019·台湾中考真题）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
【答案】（1）敏敏的影长为公分；（2）高圆柱的高度为公分．
解：（1）设敏敏的影长为公分．
由题意：，
解得（公分），
经检验：是分式方程的解．
∴敏敏的影长为公分．
（2）如图，连接，作．
，
∴四边形是平行四边形，
公分，
设公分，由题意落在地面上的影从为公分．
，
（公分），
（公分），
答：高圆柱的高度为公分．
方法或规律点拨
本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？
【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm
解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得：，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）正确，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度，
∴，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴，
∴AH==200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
2．数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1．5米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2．4米，台阶的高度均为0．3米，宽度均为0．5米．求大树的高度．
【答案】米
【详解】解：延长交于点，延长交于．
可求，．
由，可得．
∴．
由，可得．
所以，大树的高度为3．45米．
3．如图，上午小明在上学路上发现路灯的灯泡在太阳光下的影子恰好落到点处，他自己的影子恰好落在另一灯杆的底部点处，晚自习放学时，小明又站在上午同一地方，此时发现灯泡的灯光下自己的影子恰好落在点处.请在图中画出表示小明身高的线段（用线段表示）.
【答案】详见解析.
【详解】
如图所示，线段即为所求.
4．如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在阳光下的投影．
（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影．
（2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6m，计算的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】解：（1）如图所示，为在阳光下的投影．
（2）∵该投影为平行投影，
∴，即，
∴．
5．如图，公路旁有两个高度相同的路灯，小明上午上学时发现路灯在太阳下的影子恰好落到处，他自己的影子恰好落在路灯的底部处．晚自习放学时，站在上午同一地方，发现在路灯的灯光下自己的影手恰好落在处．
（1）在图中画出小明的位置（用线段表示）并画出光线，标明太阳光、灯光．
（2）若上午上学时髙1m的木棒的影子为2m，小明身高为1.6m，他离恰好4m，求路灯高．
【答案】（1）见解析；（2）路灯高2.88m．
【解析】解：（1）如图所示．
（2）上午上学时，1m木棒的影子为2m，小明身髙为1.6m，
∴小明的影子长为3.2m．
∴．
∵，∴
∵晚上小明的影子投在点，
∴，即．
∴．
答：路灯高2.88m．
6．如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30 cm,50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．
【答案】1200cm2
【解析】解 如图，AB＝30 cm，BC＝50 cm，AB⊥AC，
在Rt△ABC中，AC＝＝40 cm，
所以该平行四边形的面积＝30×40＝1 200(cm2)．
7．（2019·陕西西安·初三期中）如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE=2.4米；然后，小希在BD的延长线上找出一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得DF=2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD=1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB．
【答案】43米.
【解析】由题意得：∠ABD=∠CDE=90°，∠ADB=∠CED，∴△CDE∽△ABD，
∴=．
∵∠F=∠F，∴△CDF∽△ABF，
∴=，∴=，即=，
∴BD=60，∴=，∴AB=43．
答：小雁塔的高度AB是43米．
8．（2018·全国初三单元测试）图①是一起吊重物的简单装置，AB是吊杆，当它倾斜时，将重物挂起，当它逐渐直立时，重物便能逐渐升高．在阳光下，当吊杆的倾斜角∠ABC＝60°时，量得吊杆的影子长BC＝11.5米，很快将吊杆直立(直立过程所需的时间忽略不计)，如图②，AB与地面垂直时，量得吊杆AB的影长BC＝4米，求吊杆AB的长．
【答案】23-
【解析】在题图①中，过点A作AD⊥BC于点D.
设BD＝x米，则DC＝(11.5－x)米．
又因为∠ABC＝60°，
所以AD＝x米，AB＝2x米．
因为太阳光是平行的，根据同一时刻，同一地点物高与影长成正比，
所以题图①中的“AD∶DC”和题图②中的“AB∶BC”相等，
即x∶(11.5－x)＝2x∶4，
解得x＝11.5－2 (x＝0不符合题意，舍去)，
所以吊杆AB＝2x＝(23－4)米．
考点2：中心投影
典例：学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G;
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH;
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH的中点B1处时,其影子长为B1C1;当小明继续走剩下路程的到B2处时,其影子长为B2C2;当小明继续走剩下路程的到B3处,…,按此规律继续走下去,当小明走剩下路程的到Bn处时,其影子BnCn的长为 m.(直接用含n的代数式表示)
【答案】(1)详见解析；（2）路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m；（3）BnCn=.
【解析】解:(1)形成影子的光线如图所示,路灯灯泡所在的位置为点G.
(2)根据题意,得△ABC∽△GHC,∴,∴,解得GH=4.8 m.
答:路灯灯泡的垂直高度GH是4.8 m.
(3)提示:同理可得△A1B1C1∽△GHC1,∴,
设B1C1长为x m,则,
解得x=1.5,即B1C1=1.5 m.
同理,解得B2C2=1 m,
∴,解得BnCn=.
方法或规律点拨
本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．
巩固练习
1．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？
【答案】AB=4.5m
【详解】解：如图，∵∠ABE＝90°，∠E＝45°，
∴∠E＝∠EAB＝∠EFD＝45°，
∴AB＝BE，DE=DF=1.5，
∵MC∥AB，
∴△DCM∽△DBA，
∴，
设AB＝x，则BD＝x﹣1.5，
∴，
解得：x＝4.5．
∴路灯A的高度AB为4.5m．
2．（2018·南通市启秀中学初三期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置并画出小亮在灯光下形成的影子；
（2）如果小明的身高AB＝1.8m，他的影子长AC＝1.6m，且他到路灯的距离AD＝2.4m，求灯泡的高．
【答案】（1）如图，见解析；点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子；（2）灯泡的高为4.5m．
【详解】
（1）如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）由已知可得：，
∴，
∴DO=4.5m，
∴灯泡的高为4.5m．
3．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，请求出小亮影子的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）小亮影子的长度为2m．
【详解】
解：（1）如图所示：FN即为所求；
（2）∵FG∥DE，
∴△GFN∽△NDE，
∴＝，
∵灯杆高12m，小亮的身高1.6m，小亮与灯杆的距离13m，
∴＝，
解得：FN＝2，
答：小亮影子的长度为2m．
4．如图，小明在晚上由路灯C底部A走向路灯D底部B，当他行至点P处时，发现他在路灯D下的影长为2米，影子顶端正好落在A点，接着他又走了6.5米至点Q处，此时在路灯C下的影子的顶端正好落在B点.已知小明身高1.8米，灯杆高9米.
(1)标出小明站在点P处时，在路灯D下的影子；
(2)计算小明站在点Q处时，在路灯C下的影子的长度；
(3)求灯杆的高度.
【答案】（1）见解析；（2）在路灯C下的影子的长度为1.5米；（2）12米
【详解】
解：（1）如图，线段即为小明在路灯D下的影子.
(2)设小明在路灯C下的影长为x米，如图.
∵，，
∴.
又∵，
∴.
∴，即.
解得.
∴小明站在点Q处时，在路灯C下的影子的长度为1.5米.
(3)由题意易知，，
∴.
设米，则，
解得.
∴灯杆的高度为12米.
5．如图，某光源下有三根杆子，甲杆GH的影子为GM，乙杆EF的影子一部分落在地面EA上，一部分落在斜坡AB上的AD处.
（1）请在图中画出形成影子的光线，确定光源所在的位置R，并画出丙杆PQ在地面的影子.
（2）在（1）的结论下，若过点F的光线，斜坡与地面的夹角为60°，m， m，请求出乙杆EF的高度：（结果保留根号）.
【答案】(1)见解析；（2）m.
【解析】（1）如图所示，QN即为PQ在地面的影子。
（2）分别延长FD，EA交于点S.在中，∠ADS=90°，
∵，
∴.
∵，
∴，，
∴
.在中，∵，，
∴，
由勾股定理得m.
6．如图，晚上小明由路灯走向路灯，当他行至点P处时，发现他在路灯BC下的影长为，且影子的顶端恰好在A点，接着他又走了至点Q处，此时他在路灯AD下的影子的顶端恰好在B点，已知小明的身高为，路灯BC的高度为.
（1）计算小明站在点Q处时在路灯AD下影子的长度；
（2）计算路灯AD的高度。
【答案】（1）小明站在点Q处时在路灯AD下影子的长度为；（2）路灯AD的高度为.
【解析】解：（1）根据题图，得，，
，即，
，
，
即小明站在点Q处时在路灯AD下影子的长度为.
（2）同（1）可知，
，即，
，
即路灯AD的高度为.
7．（2019·全国）如图，晚上小红和小颖在广场的一盏路灯下玩耍，AB表示小红的身高，BC表示她的影子，DE表示小颖的身高，表示她的影子，请在图中画出灯泡的位置，并且画出形成影子的小木杆。（用线段表示）
【答案】见解析.
【解析】解：如图，连接CA、FD并延长，交点即为路灯P的位置；
连接PM，过点N作NQ⊥MN交PM于Q，则形成影子MN的小木杆为QN.
9．如图，公路旁有两个高度相同的路灯AB，CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处。
（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线，标出太阳光、灯光；
（2）若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E恰好5米，求路灯的高度.
【答案】（1）见解析；（2）路灯的高度为2.4米.
【解析】解：（1）根据题意画图如图所示.
（2）∵上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明的身高为1.5米，
∴小明的影长CF为3米.
，
，
，
，
∵小明离里程碑E恰好5米，即米，
，
，
答：路灯的高度为2.4米.
考点3：与盲区有关的问题
典例：图1至图7中的网格图均是20×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）．侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况．当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）．设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）．
（1）在区域MNCD内，请你针对图1，图2，图3，图4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
（2）只考虑在区域ABCD内开成的盲区．设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）．
①如图5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式；
②如图6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式；
③如图7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式；
④根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况．
（3）根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）在P视点看不见的列车后的区域就是盲区，也就是过P和列车的两端的射线交CD于两点，这两点和列车两端构成的梯形就是所指的盲区．如图1的梯形AA1D1D，图2的梯形A2B2C2D2，图3的梯形B3BCC3．
（2）①如图1，当5≤t≤10时，盲区是梯形AA1D1D
∵O是PQ中点，且OA∥QD，
∴A1，A分别是PD1和PD中点
∴A1A是△PD1D的中位线．
又∵A1A=t-5，∴D1D=2（t-5）
而梯形AA1D1D的高OQ=10，
∴y= [（t-5）+2（t-5）]×10=15t-75
∴y=15t-75．
②如图2，当10≤t≤15时，盲区是梯形A2B2C2D2，
易知A2B2是△PC2D2的中位线，且A2B2=5，
∴C2D2=10
又∵梯形A2B2C2D2的高OQ=10，
∴y=（5+10）×10=75
∴y=75．
③如图3，当15≤t≤20时，盲区是梯形B3BCC3
易知BB3是△PCC3的中位线
且BB3=5-（t-15）=20-t
又∵梯形B3BCC3的高OQ=10，
∴y= [（20-t）+2（20-t）]×10=300-15t
∴y=300-15t．
④当5≤t≤10时，由一次函数y=15t-75的性质可知，盲区的面积由0逐渐增大到75；
当10≤t≤15时，盲区的面积y为定值75；
当15≤t≤20时，由一次函数y=300-15t的性质可知，盲区的面积由75逐渐减小到0．
（3）通过上述研究可知，列车从M点向N点方向运行的过程中，在区域MNCD内盲区面积大小的变化是：
①在0≤t≤10时段内，盲区面积从0逐渐增大到75；
②在10≤t≤15时段内，盲区的面积为定值75；
③在15≤t≤20时段内，盲区面积从75逐渐减小到0．
法或规律点拨
本题主要考查了梯形的面积公式，盲区，一次函数等知识点，知识点比较多，需要细心求解．
巩固练习
1．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是( )
A．AB B．BC C．CD D．DE
【答案】B
【解析】由图知：当乘车在BC段行驶时，建筑物PD位于自己的盲区内，因此看不到建筑物PD的路段是BC段.
故选B．
2．（2019·全国初三单元测试）当你去看电影的时候，你想坐得离屏幕近一些，可是又不想为了看屏幕边缘的镜头不停地转动眼睛．如图所示，点A、B分别为屏幕边缘两点，若你在P点，则视角为∠APB.如果你觉得电影院内P点是观看的最佳位置，可是已经有人坐在那了，那么你会找到一个位置Q，使得在Q、P两点有相同的视角吗？请在图中画出来(保留画图痕迹，不写画法)．
【答案】详见解析.
【解析】解：作AB，AP的中垂线，交点为O，以O为圆心，OP长为半径做三角形ABP的外接圆，
在圆上P点同侧找一点Q，连接AQ，BQ，则点Q即可所求点．
3．（2018·全国初三单元测试）如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一颗大树，它的影子是．
试判断是路灯还是太阳光，如果是路灯确定路灯的位置（用点表示）．如果是太阳光请画出光线．
在图中画出表示大树高的线段．
若小明的眼睛近似地看成是点，试画图分析小明能否看见大树．
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】解：根据光线相交于一点，即可得出路灯确定路灯的位置；如图所示：如图所示，小明的眼睛近似地看成是点，小明不能看见大树．
4．（2018·全国初三单元测试）作图题： 如图所示：大王站在墙前，小明站在墙后，小明不能让大王看见，请你画出小明的活动区域.
【答案】见解析
【解析】如图，小明的活动区域是A、B、C三个阴影部分区域．
5．如图，正方形的边长为，点，，分别为，，的中点．现从点观察线段，当长度为的线段（图中的黑粗线）以每秒个单位长的速度沿线段从左向右运动时，将阻挡部分观察视线，在区域内形成盲区．设的左端点从点开始，运动时间为秒．设区域内的盲区面积为（平方单位）．
求与之间的函数关系式；
请简单概括随的变化而变化的情况．
【答案】（1）时，，时，，时，；（2）秒内，随的增大而增大；秒到秒，的值不变；秒到秒，随的增大而减小．
【详解】∵正方形的边长为，点，，分别为，，的中点，
∴，盲区为梯形，且上底为下底的一半，高为，
当时，，
当时，，
当时， ；
（2）秒内，随的增大而增大；秒到秒，的值不变；秒到秒，随的增大而减小．
6．如图，在房子外的屋檐处装有一台监视器，房子前面有一面落地的广告牌．
监视器的盲区在哪一部分？
已知房子上的监视器离地面高，广告牌高，广告牌距离房子，求盲区在地面上的长度．
【答案】米．
【解析】（1）把墙看做如图的线段，则如图，ABC所围成的部分就是监控不到的区域：
（2）由题意结合图形可得：BC为盲区，
设BC=x，则CD=x+5，
∴，
解得：x=5．
答：盲区在地面上的长度是5米．
7．（2018·全国初三单元测试）如图，两楼之间距离MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与BM楼相距多少米时，才能看到后面的NC楼？此时，你的仰角是多少度？
【答案】10m时，才能看到后面的NC楼，此时的仰角为30°.
【解析】解：连接CB并延长交NM的延长线于点A，设AM＝x m，
则＝，x＝10，tan∠BAM＝＝＝，
∴∠BAM＝30°，故当人与BM楼至少为10 m时，才能看到后面的NC楼，此时的仰角为30°.
8．（2018·全国初三单元测试）如图，小区管理者打算在广场的地面上安装一盏路灯路灯高度忽略不计小明此刻正在某建筑物的B处向下看，请问：此路灯安在什么位置，小明在B处看不到？请把这段范围用线段表示出来．
【答案】见解析.
【解析】
如图所示：线段BE以下为盲区，此路灯安在BE下面，小明在B处看不到．
9．（2019·全国）我国《道路交通安全法》第四十七条规定“机动车行经人行横道时，应当减速行驶；遇行人通过人行横道，应当停车让行”．如图：一辆汽车在一个十字路口遇到行人时刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°，如果斑马线的宽度是AB＝3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？
【答案】0.7米
【详解】
如图所示：延长AB，
∵CD∥AB，
∴∠CAB=30°，∠CBF=60°，
∴∠BCA=60°﹣30°=30°，即∠BAC=∠BCA，
∴BC=AB=3m，
在Rt△BCF中，BC=3m，∠CBF=60°，
∴BF=BC=1.5m，
故x=BF﹣EF=1.5﹣0.8=0.7（m），
答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7m．
考点4：有三视图还原几何体
典例：（2020·江苏徐州·初三一模）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的名称是（ ）
A．四棱柱 B．三棱锥 C．四棱锥 D．圆锥
【答案】C
【详解】
解：∵空间几何体的主视图、左视图所对应的三角形皆为正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，
∴空间几何体是正四棱锥，
故选C．
方法或规律点拨
本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．
巩固练习
1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱
【答案】B
【解析】根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．故选B．
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．正三棱柱 D．正三棱锥
【答案】B
【解析】根据这个几何体的三视图即可得这个几何体为圆锥．
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选C．
4．由4个相同的小正方体搭建了一个积木，从不同方向看积木，所得到的图形如图所示，则这个积木可能是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【解析】解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成．故选B．
5．（2020·湖北初三一模）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由图可得，此三视图所对应的直观图是
故选：B．
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为四棱柱，
故选C．
7．（2020·云南昆明·初三学业考试）某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：底层正方体可能的个数应是3个，第二层正方体可能的个数应该是1个，
因此这个几何体可能的图示如图所示，
故选：A．
8．（2020·陕西西安·高新一中初三其他）某几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则其对应的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据三视图可得这个几何体的名称是三棱柱；
故选：B.
9．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆锥 B．三棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【答案】C
【详解】
解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、三棱锥的三视图均为三角形，不符合题意；
C、三棱柱的主视图和左视图均为矩形，俯视图为三角形，符合题意；
D、四棱柱的主视图、左视图和俯视图均为矩形，不符合题意；
故选：C．
10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵主视图和左视图是长方形，
∴该几何体是柱体，
∵主视图有虚线，俯视图是四边形，
∴该几何体是前宽后窄的四棱柱．
故选：C．
11．诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的本质，就必须从不同角度去观察．下图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断最接近本质的是（ ）．
A．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管
B．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管
C．是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管
D．是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管
【答案】D
【详解】
由三视图可知：几何体的外部为圆柱体，内部为两个互相平行的空心管
故选：Ｄ
12．右侧的三视图对应的物体为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为一个长方体和圆，且长方体的宽度和圆的直径相等．只有选项C满足这两点，
故选C．
13．（2020·河南郑州·初三二模）一个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )
A．立方体 B．四棱柱 C．圆锥 D．直三棱柱
【答案】D
【详解】
解：该几何体是直三棱柱，
故答案选：D．
14．（2020·眉山市东坡区苏辙中学初三其他）如图所示为某一物体的主视图，下面是这个物体的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：从该组合体的主视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有两个正方体，第二列有三个正方体，第三列有一个，可得只有选项D符合题意．
故选：D．
考点5：有三视图求几何体表面积和侧面积
典例：（2020·成都西川中学月考）如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图．
（1）这个几何体的名称是 ．
（2）若从正面看到的长方形的宽为，长为，从左面看到的宽为，从上面看到的直角三角形的斜边为，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？
【答案】（1）直三棱柱；（2）；
【详解】（1）这个几何体是直三棱柱；
故答案为：直三棱柱
（2）由题意可得：
它的所有棱长之和为：
（3+4+5）×2+9×3=51（cm）；
它的表面积为：
2×(×3×4)+（3+4+5）×9=120(cm2)
答：所有棱长的和是51cm，它的表面积为120cm2．
方法或规律点拨
此题主要考查了由三视图判断几何体的形状，正确得出物体的形状是解题关键．
巩固练习
1．（2020·山东日照·二模）如图是某工件的三视图．则此工件的表面积为（ ）
A．20πcm2 B．36πcm2 C．56πcm2 D．24πcm2
【答案】B
【详解】
解：由三视图，得：
OB=8÷2=4cm，OA=3cm，
由勾股定理得AB==5cm，
圆锥的侧面积为：×8π×5=20πcm ，
圆锥的底面积为：π×4 =16πcm ，
∴圆锥的表面积为：20π+16π=36πcm .
故答案为：B.
2．如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）．
A． B．12π C． D．24π
【答案】B
【详解】
由三视图可判断该几何体是圆锥，底面直径为4，母线长为6，
∴这个几何体的侧面积为：．
故选：B．
3．（2020·重庆）要制作一个密封的长方体铁盒，嘉嘉设计出了它的三视图，如图，按图中尺寸(单位：cm)判断，要制作这个长方体铁盒，如果只考虑面积因素，采用下列哪种面积的铁板最合理( )
A．1000cm2 B．1030cm2 C．1100cm2 D．1200cm2
【答案】C
【详解】
(18×12+18×10+12×10)×2
=(216+180+120)×2
=516×2
=1032(cm2)，
故如果只考虑面积因素，采用面积1100cm2的铁板最合理．
故选：C．
4．（2020·四川中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（ ）
A．20π B．18π C．16π D．14π
【答案】B
【详解】
由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为，
∴这个几何体的表面积
=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积
=22π+222π+32π=18π，
故选：B．
5．如图是某几何体的三视图，其侧面积为( )
A．6 B．4π C．6π D．12π
【答案】C
【解析】观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，
∴侧面积为：πdh=2π×3=6π．
故选C．
6．如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体表面积的大小为（ ）
A．12π B．15π C．12π+6 D．15π+12
【答案】D
【详解】
解：由几何体的三视图可得：
该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成，
其侧面积为：
上下底面面积为：
∴这个几何体表面积为9π+12+6π=15π+12，
故选：D．
7．（2020·云南初三二模）云南是全国拥有少数民族数量最多的省份，风俗文化多种多样，使得“云南十八怪”成为云南旅游文化的一张名片，图①是十八怪中的“草帽当锅盖”，图②是一个草帽的三视图，根据图中所给的数据计算出该草帽的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵圆锥的底面直径为48cm,则半径为=24，又∵圆锥的高为10cm,∴圆锥的母线长为： ，圆锥的底面周长(扇形的弧长)为:2r=48,
∴该圆锥的侧面积=×48π×26=624π，
故选C．
8．（2020·哈尔滨市实验学校初三月考）如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它的视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最小 B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小 D．主视图,俯视图,左视图的面积一样大
【答案】B
【详解】
解：观察图形可知，几何体的主视图由4个正方形组成，俯视图由4个正方形组成，左视图由3个正方形组成，
所以左视图的面积最小．
故答案为：B．
9．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱的高BC＝6 cm，圆锥的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是( )
A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm2
【答案】C
【解析】∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．
10．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】
由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，
该几何体的左视图为长方形，
该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，
∵底面等边三角形的高=，
∴ 它的左视图的面积是，
故选：D.
11．（2020·黑龙江初三月考）如图，该几何体由棱长为1的六个小正方体叠合形成，其左视图面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】
解：由左侧可以：看到上层有一个正方形、下层两个正方形
又由每个正方形的边长为1，则面积为1
所以看到的3个正方形的面积为3．
故答案为A．
12．（2020·四川初三）如图是一个由5个棱长为1的小正方形搭成的几何体，下列说法正确的是（ ）
A．左视图的面积为3 B．主视图的面积为5
C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4
【答案】A
【详解】
A.从左面看，可以看到3个面，所以面积为3，故A选项正确；
B.从正面看，可以看到4个面，所以面积为4，故B选项错误；
C.从上面看，可以得到4个面，所以面积为4，故C选项错误；
D.左视图由3个面，故D错误；
故答案选A．
13．如图，由若干个棱长为1的小正方体摆成的几何体，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图的面积为4 B．左视图的面积为4
C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是4
【答案】A
【详解】
解：根据几何体的摆放，可以发现：
主视图有4个正方体，故主视图的面积为4，选项A正确；
左视图有3个正方体，故左视图的面积为3，选项B、选项D均错误；
而俯视图有四个正方体，故俯视图的面积为4，故选项C错误；
故选A．
14．（2020·耒阳市冠湘中学初三月考）如图所示的几何体是由5个相同的小正方体组成的，下列有关三视图面积的说法中正确的是（ ）
A．左视图面积最大
B．俯视图面积最小
C．左视图与主视图面积相等
D．俯视图与主视图面积相等
【答案】D
【详解】
解：如图所示：
则俯视图与主视图面积相等．
故选：D．
15．（2020·安徽志诚教育科技有限公司初三月考）如图，由10个大小相同的正方体搭成的几何体，则下列说法中正确的是（ ）
A．从正面看到的平面图形面积最大
B．从左面看到的平面图形面积最大
C．从上面看到的平面图形面积最大
D．从三个方向看到的平面图形面积一样大
【答案】D
【详解】
观察图形可知，几何体的主视图由6个正方形组成，俯视图由6个正方形组成，左视图由6个正方形组成，
从三个方向看到的平面图形面积一样大，
故选D．
16．（2020·全国初三课时练习）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1∶4的三视图中，其主视图的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：空心卷筒纸的形状可以看成是空心圆柱．
由题意得，其主视图是宽为10cm，长为12cm的矩形．
在比例图中，主视图的长、宽分别为，，
所以面积为．
故选D．
17．（2020·四川师范大学实验外国语学校月考）下图是由几个棱长为1的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图；并计算出该几何体的表面积
【答案】画图见解析；40
【详解】
解：主视图和左视图如图所示：
此几何体为：
∴其几何表面积为：
．
18．如图所示是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这条路线的最短路程．
【答案】（1）圆锥；（2）16π；（3）3
【详解】解：（1）由该几何体的三视图可知：这个几何体是圆锥；
（2）由图中数据可知：这个圆锥的底面半径为2，母线长为6，
∴S表＝S侧＋S底＝π r l＋π r2＝12π＋4π＝16π(cm2)；
（3）如下图所示，将圆锥侧面沿AB展开，则图中线段BD′为所求最短路程．
设∠BAB′的度数为n，则由可得：
，解得：，
∵点C′为的中点，
∴∠BAC′=60°，
又∵AB=AC′，
∴△ABC′是等边三角形，
又∵D′是AC′的中点，
∴∠AD′B=90°，
∴sin∠BAD′=，
∴BD′=AB·sin60°=6×=（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程是cm.
考点6：已知三视图确定小正方体个数范围
典例：
方法或规律点拨
本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．
巩固练习
1．（2020·深圳亚迪学校月考）用若干大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和从上面看到这个几何体的形状如图所示，该几何体至多是用（ ）个小立方块搭成的．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】
解：由俯视图可知该几何体底层有5个正方体，上层左侧至多有3个正方体，
∴该几何体至多是用8个小立方块搭成的．
故选：D．
2．（2020·怀安县教育体育和科学技术局教育科学研究室初一开学考试）要拼一个从上面、正面、侧面看到的都是的图形，至少用多少个？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】
解：如下图：2×2×2-2=6，B符合题意，
故选B．
3．如图是一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成该几何体的小正方体个数最少是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
由主视图和左视图可知，俯视图可为3×3正方形，每个位置上最少可摆正方体的个数如图所示：
因此，最少可由6个正方体搭建而成，
故选：B．
4．一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】
解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，
故选：B．
5．（2020·全国初三月考）如图是一个由小正方体搭成的几何体，若添加一个小正方体，使得添加后的几何体与原来几何体的主视图相同，则添加方法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】D
解：由题意知，主视图是指从前面往后看得到的图形，
故添加的小正方体在最前面有3种摆法，在最后面也有3种摆法，
故共有：3+3=6种摆法．
故选：D．
6．（2020·山东初三一模）几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图和俯视图如图所示，那么组合体中正方体的个数最少是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】
第一层有1+2+3=6个正方体，第二层最少有2个正方体，
∴这个几何体最少有6+2=8个正方体组成，
故选：D．
7．（2019·广东深圳中学初一期中）如图，是一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则该几何体最多可由多少个小正方体组合而成？（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
【答案】C
【详解】
由主视图和左视图可知，俯视图可为3×3正方形，每个位置上最多可摆正方体的个数如图所示：
因此，最多可由14个正方体搭建而成，
故选：C．
8．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（ ）
A．13个 B．16个 C．19个 D．22个
【答案】A
【详解】
根据俯视图我们可以判断该几何体共有7摞小正方体组成，
根据正视图，可得：左边2摞，最高层数为3，故小正方体最少有3+1=4个，
中间2摞，最高层数为2，故小正方体最少有2+1=3个，
右边3摞，最高层数为4，故小正方体最少有4+1+1=6个，
故小正方体最少有13个．
故选A．
9．（2019·河南初三一模）由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成该几何体的小正方体最少有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】
解：综合俯视图和主视图，这个几何体的右边第一层最少1个正方体，左边第一层最少有2个正方体， 右边第二层最少1个正方体，左边第二层最少有0个正方体，所以组成这个几何体的小正方块最少，1+2+1=4块小正方形，
故选B．
10．（2020·青岛市崂山区第三中学月考）下图是由几个小立方块所搭成几何体的从上面、从正面看到的形状图．这样搭建的几何体最少需要多少________个小立方块，最多需要______个小立方块．
【答案】11 17
【详解】
解：搭这样的几何体最少需要8+2+1=11个小正方体，
最多需要8+6+3=17个小正方体；
故答案为：11，17.
11．（2020·会宁县会师中学初一月考）在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为__．
【答案】5
【详解】
由主视图和左视图可得此几何体有三行，三列，
∵底层正方体最少有3个小正方体，第二层最少有2个正方体，
∴组成这个几何体的小正方体的个数最少有5个，
∴n的最小值为5，
故答案为：5
12．几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图和俯视图如右图所示，那么组合体中正方体的个数至多有________个．
【答案】10
【详解】
解：第一层有1+2+3＝6个正方体，第二层最多有4个正方体，所以这个几何体最多有6+4＝10个正方体．
故答案为：10．
13．（2020·四川省成都市第八中学校月考）由若干个小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是________个，最少是________个．
主视图 俯视图
【答案】17 11
【详解】
由主视图和俯视图可知：几何体的第一层最多有（个）
第二层最多有（个）
第三层最多有（个）
故正方体的个数最多有（个）
几何体的第一层最少有（个），
第二层最少有（个）
第三层最少有1个，
故正方体的个数最少有（个）
故答案为：17；11．
14．（2020·重庆文德中学校期中）用小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，请解答下列问题：
（1）=________，=_________，=_________．
（2）这个几何体最少由________个小立方块搭成，最多由________个小立方块搭成．
（3）当==1，=2时，画出这个几何体的左视图．
【答案】（1）；（2）；（3）画图见解析．
【详解】
解：（1）由主视图可知，第二列小立方体的个数均为1，第3列小正方体的个数为3，
所以：．
故答案为：3，1，1；
（2）由第一列小立方体的个数最少为2+1+1，最多为2+2+2，
所以这个几何体最少由4+2+3=9个小立方块搭成；
这个几何体最多由6+2+3=11个小立方块搭成；
故答案为：
（3）由左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2，
如图所示：
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