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第二十七章 相似测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·湖南广益实验中学初三二模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由，可得：2y＝5（x﹣2y），
解得：5x＝12y，
所以的值为，
故选：D．
2．（2020·上海宝山·初三月考）有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB．BC的比例中项；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．
其中正确的判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有，说法正确；
②如果点C是线段AB的中点，≠，故AC不是AB．BC的比例中项，说法错误；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=×2=-1，说法正确；
综上可得：①③④正确，共3个．
故选：C．
3．（2020·深圳市南山区前海中学期中）如图，直线l1l2l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．25
【答案】B
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，DE=15，
∴，即，
解得，EF=9，
故选：B．
4．（2020·长春市第四十七中学初三月考）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，路板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，原来捣头点着地，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（ ）
A．1.2米 B．1米 C．0.8米 D．1.5米
【答案】C
【解析】解：如图：
∵AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴AD：DE=AB：EF，
∴0.6：1.6=0.3：EF，
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故选：C
5．（2020·上海市西南模范中学月考）如图，在中，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解： ，，
，
设，则，
故选B．
6．（2020·全国初三课时练习）如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）
A．2：1 B．3：1 C．：1 D．4：1
【答案】C
【解析】根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD，
∴，
设AD=x，AB=y，则AE=x．则，即：x2=y2．
∴．
∴x：y=：1．
即原矩形长与宽的比为：1．
故选C．
7．（2020·湖南茶陵·初三期末）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁
【答案】C
【解析】∵甲中的三角形的三边分别是：，2，；
乙中的三角形的三边分别是：，，；
丙中的三角形的三边分别是：，，；
丁中的三角形的三边分别是：，，；
只有甲与丙中的三角形的三边成比例：，
∴甲与丙相似．
故选：C．
8．（2020·江苏江阴·初三月考）如图，点E在 ABCD的边BC延长线上，连AE，交边CD于点F，在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△ADF∽△ECF，△ABE∽△FCE，
∴△ABE∽△FDA.
即图中共有3对相似三角形.
故选C.
9．（2020·保定市第三中学分校初三期末）如图，，，以下结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
【答案】C
【解析】解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x
∴AB=x，AC=x，AD=x，OC=2x，OD=3x，BD=2x ,
∴，
∴
∴．
故答案为C．
10．（2020·河南其他）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A．
11．（2020·河南沁阳·初三二模）平面直角坐标系中，直线和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】解：如图，
①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等），
②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似．
③作∠AOP3=∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似．
④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似．
故选C．
12．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，若线段和是位似图形，位似中心在轴上，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由位似性质可得：位似中心为B、C的中点，
∵B(0，5)，C(0，－1)，
∴位似中心坐标为(0，3)．
故选：D．
13．（2020·浙江温州·初三期末）有一等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】解：如图：
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝CD＝5+2＝7，
∵AD＝2+1＝3，
∴S△ABD＝S△ACD＝＝
∵EF∥AD，
∴△EBF∽△ABD，
∴＝（）2＝，
∴S甲＝，
∴S乙＝，
同理＝（）2＝，
∴S丙＝，
∴S丁＝﹣＝，
∵，
∴面积最大的是丁，
故选：D．
14．（2019·漳州外国语学校初三一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的情况是（ ）
A．一直减小 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【解析】解：在Rt△4BC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
AB=
设PD=x.AB边上的高为h.
h=
∵PD//BC。
∴△ADP∽△ACB
∴
∴AD=x，PA=x
∴
∴当0 当≤x≤4时，S1+S2的值随x的增大而增大．
故答案为D．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·广东南山·蛇口育才二中初三月考）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 _.
【答案】8．
【解析】
根据相似三角形的周长等于相似比的性质，得△ABC的周长∶△A′B′C′的周长=3∶4，
由△ABC的周长为6，得△A′B′C′的周长为8．
16．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC上一点，且BP＝1，点D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为________.
【答案】．
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴PC=2，
∴，
∴CD=．
答案为．
17．（2016·山东滕州·初三单元测试）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程AC=________．
【答案】7.5米
【解析】∵AE⊥OD，FC⊥OD，
∴△AEB∽△OGB，
,
解得AB=2m；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC=5m
同理可得△DFC∽△DGO，
∴，
解得AC=7.5m．
故答案为7.5m．
18．（2019·辽宁绥中·初三一模）已知∠BAC=36°， 都是顶角36”的等腰三角形，即°，点在射线AC上，在射线AB上，若，则线段的长为_________；
【答案】．
【解析】解：∵∠A=∠，∠
∴，，设
∴
∴
解得：（负根已经舍去）
同理可证：，，
∵
∴
∴
解得：，即，
同法可得：，…
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·四川北大附中成都为明学校初三月考）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和、、．若，＝．
（1）求的长；
（2）如果＝，＝，求的长．
【答案】（1）AB=4；（2）BE= 9
【解析】解：（1）∵AD∥BE∥CF
∴，即，
又∵，即，AC=14，
∴AB=4；
(2)过A作AG∥DF交BE于H，交CF于G，如图所示：
∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
又∵CF=14，
∴CG=7，
又∵BE∥CF，
∴ ，
故BH=2，
∴BE=BH+HE=9．
20．（2020·全国初三课时练习）如图，四边形与四边形相似，求的大小和的长度．
【答案】，，
【解析】∵四边形与四边形相似，
．
在四边形中，．
∵四边形与四边形相似，
，
解得
21．（2020·丹东第十中学初三月考）如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF．
（1）判断这两个三角形是否相似？如果相似，请说明理由．
（2）在网格内再画一个三角形△D1E1F1，使它与△DEF相似，使其相似比为．
【答案】（1）相似，见解析；（2）见解析
【解析】（1）相似，理由如下：
由题意得：
△ABC∽△EDF
（2）如图所示：
22．（2020·上海初三二模）如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且．
求证：（1）∽；
（2）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明：（1）∵，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴，
∴，∵，
∴；
（2）∵，∴，
∵四边形ABCD是菱形，∴，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴．
23．（2020·四川省成都市七中育才学校月考）如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形的顶点均为格点．
（1）请以点O为位似中心，在网格中作出四边形，使四边形与四边形位似，且．
（2）线段的长为______．
（3）求出的面积．
【答案】（1）画图见解析；（2）；（3）10．
【解析】（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求：
（2）．
（3），
，
，
∴，．
∴为等腰直角三角形，
∴．
即的面积为10．
24．（2019·山东滨州·初三期末）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．
（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．
【答案】（1）矩形零件PQMN的面积为2304mm2;（2）这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.
【解析】解：（1）设PQ=xmm，
易得四边形PQDE为矩形，则ED=PQ=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
，
即，
，
∵PN=PQ，
，
解得x=48．
故正方形零件PQMN面积S=48×48=2304（mm2）．
（2）
当时，S有最大值==2400（mm2）．
所以这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.
25．（2019·广州市南武实验学校初三月考）已知，如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，交AB于F，连结FC（AB>AE）．
（1）求证：
（2）与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．
（3）设，是否存在这样的值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）相似，理由见解析；（3）存在，k=．
【解析】解：（1）∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DEC=∠AFE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠GED，∠A=∠EDG，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG（ASA）．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC（SAS）．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AEF∽△ECF；
（3）存在k值，使得△AEF与△BFC相似．
理由如下：
假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况：
当∠AFE=∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的；
当∠AFE=∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，
设BC=a，则AB=ka，
∵△AEF∽△BCF，
∴，
∴AF=ka，BF=ka，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
解得，k=．
26．（2020·河南洛阳·东方二中初三其他）（1）（问题发现）
如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．
填空：①线段与的数量关系为______；
②直线与所夹锐角的度数为_______．
（2）（拓展探究）
如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）（解决问题）
如图③，在正方形中，，点M为直线上异于B，C的一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．
【答案】（1）①；②；（2）仍然成立，证明见解析；（3）或
【解析】解：（1）【问题发现】如图①中，①线段与的数量关系为；
②直线与所夹锐角的度数为．
理由：如图①中，连接．易证，，三点共线．
∵．，
∴．
故答案为，．
（2）【拓展探究】结论不变．
理由：连接，，延长交的延长线于点，交于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）【解决问题】
①当点M在线段BC上时，如图，连接AB，AN，
∵四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
∵，
∴△ABM∽△CAN，
∴，
∴CN=BM，
∵，
∴BM=AC-CM=2，
∴CN=BM=；
②当点M在线段BC的延长线上时，如图，连接AB，AN，
∵四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN,
∵,
∴△ABM∽△CAN，
∴，
∴CN=BM，
∵，
∴BM=AC+CM=2=6，
∴CN=BM=．
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第二十七章 相似测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·湖南广益实验中学初三二模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·上海宝山·初三月考）有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB．BC的比例中项；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．
其中正确的判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020·深圳市南山区前海中学期中）如图，直线l1l2l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．25
4．（2020·长春市第四十七中学初三月考）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，路板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，原来捣头点着地，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（ ）
A．1.2米 B．1米 C．0.8米 D．1.5米
5．（2020·上海市西南模范中学月考）如图，在中，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国初三课时练习）如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）
A．2：1 B．3：1 C．：1 D．4：1
7．（2020·湖南茶陵·初三期末）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁
8．（2020·江苏江阴·初三月考）如图，点E在 ABCD的边BC延长线上，连AE，交边CD于点F，在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．（2020·保定市第三中学分校初三期末）如图，，，以下结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．以上结论都不对
10．（2020·河南其他）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·河南沁阳·初三二模）平面直角坐标系中，直线和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，若线段和是位似图形，位似中心在轴上，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·浙江温州·初三期末）有一等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
14．（2019·漳州外国语学校初三一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的情况是（ ）
A．一直减小 B．一直增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·广东南山·蛇口育才二中初三月考）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 _.
16．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，等边△ABC的边长为3，点P为BC上一点，且BP＝1，点D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为________.
17．（2016·山东滕州·初三单元测试）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程AC=________．
18．（2019·辽宁绥中·初三一模）已知∠BAC=36°， 都是顶角36”的等腰三角形，即°，点在射线AC上，在射线AB上，若，则线段的长为_________；
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·四川北大附中成都为明学校初三月考）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和、、．若，＝．
（1）求的长；
（2）如果＝，＝，求的长．
20．（2020·全国初三课时练习）如图，四边形与四边形相似，求的大小和的长度．
21．（2020·丹东第十中学初三月考）如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF．
（1）判断这两个三角形是否相似？如果相似，请说明理由．
（2）在网格内再画一个三角形△D1E1F1，使它与△DEF相似，使其相似比为．
22．（2020·上海初三二模）如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且．
求证：（1）∽；
（2）
23．（2020·四川省成都市七中育才学校月考）如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形的顶点均为格点．
（1）请以点O为位似中心，在网格中作出四边形，使四边形与四边形位似，且．
（2）线段的长为______．
（3）求出的面积．
24．（2019·山东滨州·初三期末）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．
（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；
（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．
25．（2019·广州市南武实验学校初三月考）已知，如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，交AB于F，连结FC（AB>AE）．
（1）求证：
（2）与是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．
（3）设，是否存在这样的值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出的值；若不存在，说明理由．
26．（2020·河南洛阳·东方二中初三其他）（1）（问题发现）
如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．
填空：①线段与的数量关系为______；
②直线与所夹锐角的度数为_______．
（2）（拓展探究）
如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）（解决问题）
如图③，在正方形中，，点M为直线上异于B，C的一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．
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