第二十七章 相似三角形性质与判定的应用举例 单元提高训练（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十七章 相似三角形性质与判定的应用举例
典例体系（本专题共71题125页）
( http: / / www.21cnjy.com )
考点1：平行线分线段成比例定理的辅助线添加
典例：（2019·浙江台州·初 ( http: / / www.21cnjy.com )三期末）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】FN：ND=2：3．
【解析】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴，
∵AF：BF=1：2，
∴=，
∴，
即FE=BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD=BC，
∵FE∥BD，
∴．
即FN：ND=2：3．
方法或规律点拨
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
巩固练习
1．（2020·大庆市第五十七中学初二期末）如图，AD是的中线，E是AD上一点，且AE：ED=1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】C
【解析】解：作DH∥BF交AC于H，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD是△ABC的中线，
∴FH=HC，
∵DH∥BF，
∴，
∴AF：FC=1：4，
故选：C．
2．（2020·江苏苏州·初二期末）如图，是中线，点在上，交于点．若，则值是______．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】解：过点D作BE的平行线交AC于点G，
∵，∴，
∵AD是中线，∴D是BC中点，∴G是CE中点，
∵，∴，∴E是AG中点，
∴．
故答案是：．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2020·上海市静安区实验中学初三 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF=____cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】4
【解析】解：延长CF交AB于点H，连接DH．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴CH是△ABC的中线，
∵∠ACB=90°，
∴CH=AB=6cm，
∵BD=CD，BH=AH，
∴DH∥AC，AC=2DH，
∴，
∴CF=2FH，
∴CF=CH=4cm．
故答案为：4
4．（2020·温州育英国际实 ( http: / / www.21cnjy.com )验学校初二月考）如图，等边△ABC的边长为5，D在BC延长线上，CD＝3，点E在线段AD上，且AE＝AB，连接BE交AC于F，则CF的长为________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】1
【解析】解：过点A作AG⊥BD于点G，过点E作EH∥AC，交BD于点H，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵△ABC是等边三角形，
∴
∵DC＝3
∴DG＝CG＋DC＝2.5＋3＝5.5
在Rt△AGD中，
；
∴DE＝7－5＝2
∵EH∥AC，
∴ 即
解之：
∵CF∥EH，
∴ 即
解之：CF＝1
故答案为：1．
5．（2020·江苏无锡· ( http: / / www.21cnjy.com )初三其他）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】解：如图，过点D作DF∥AE，
( http: / / www.21cnjy.com )
则，
∵，
∴DF=2EC，
∴DO=2OC，
∴DO=DC，
∴S△ADO=S△ADC，S△BDO=S△BDC，
∴S△ABO=S△ABC，
∵∠ACB=90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：×4×2=4，
此时△ABO的面积最大为：×4=．
故答案为：．
6．（2020·江苏泰兴·初三其他） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】2
【解析】如图，连接AG并延长AG交BC于D，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，即，
∴，
∵由GH⊥BC，∠ACB=90°，
∴GH//BC，
∴，
∵AC=6，
∴GH=AC·=6×=2，
( http: / / www.21cnjy.com )
故答案为：2
7．（2020·桂林·广西师大附属 ( http: / / www.21cnjy.com )外国语学校初三月考）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE∶EC=2∶1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】3
【解析】解：如图，点F可能在AD边上，也可能在AB边上，
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）点F在AD边上时，
当P与C重合时，点F与G重合， ( http: / / www.21cnjy.com )此时点M在K处，当点P与Q重合时，点F与A重合，点M在H处，点M的运动轨迹是线段HK．
可求得DG=CE=2，AG=4，21世纪教育网版权所有
∴HK=AG=2，
（2）点F在AB边上时，
当P与D重合时，点F与O重合，此时点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN．
∵△OBE∽△CED，
∴,
∴OB=2，
∴OA=2，
∴HN=AO=1，
∴点M的运动路径的长=HK+HN=2+1=3．
故答案为3．
8．（2020·上海松江·初一期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）理由见解析；（2）1或3
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
∵AB＝AC，DE＝CE，
∴BM＝BC＝3，CD＝2CN，
∵AM⊥BC，EN⊥BC，
∴AM∥EN，
∴，
∴，
∴BN＝，
∴CN＝BC﹣BN＝，
∴CD＝1，
综上所述，CD的长为1或3．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
9．（2020·全国初三专题练习）如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】2
【解析】解：如解图，过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．
∵，，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点2：动点问题中的相似问题
典例： （2020·无锡市钱 ( http: / / www.21cnjy.com )桥中学初三月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点O为对角线的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC，以每秒2厘米的速度向终点运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）当点O在正方形PQMN内部时，t的取值范围 ；
（3）当直线DN平分△BCD面积时求出t的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）；（2）；（3），，
【解析】解：（1）如图，当点N落在BD上时，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵四边形PQMN是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
当时，点N落在BD上；
（2）①如图，当MN过点O时，
( http: / / www.21cnjy.com )
，，
∵四边形PQMN是正方形，
∴，
∵点O是DB中点，
∴QM=BM，
∴，解得，
②如图，当PQ过点O时，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵AB=8，AD=6，
∴DB=10，
∵点O是DB的中点，
∴DO=5，
∴，解得，
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是；
（3）设直线DN与BC交于点E，
∵直线DN平分面积，
∴，
①如图，点P在AD上，过点E作交AD于点H，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵，
∴，
∵，，，，
∴，解得；
②如图，点P在DO上，连接OE，
( http: / / www.21cnjy.com )
有OE=4，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，解得；
③如图，点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，
( http: / / www.21cnjy.com )
有OE=4，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
综上：t的值为，，．
方法或规律点拨
本题考查动点问题，涉及矩形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )相似三角形的性质和判定，解题的关键是用时间t根据题意表示出对应的线段长，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出t的值．www.21-cn-jy.com
巩固练习
1．（2020·山东安丘·东埠初中初三月考）如图，在中，，，，点是上一动点，连接，将沿折叠，点落在点，连接交于点，连接．当是直角三角形时，的长为______．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】3或
【解析】在△ABC△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，由勾股定理得BC==8，
∵△BC′D是直角三角形时
当∠DC′B=90 ，∠AC′D=90 ， ( http: / / www.21cnjy.com )则C′与E重合，如图，AC=AC′=6，∴BC′=AB-AC′=4，CD=C′D=x，BD=8-x，由勾股定理得x2+42=(8-x)2，解得x=3
( http: / / www.21cnjy.com )
当∠CDB=90 ，如下图：
∠C=∠AC′D=90 ，
∠C=∠AC′D=∠CDC′=90 ，AC=AC′，
四边形ACDC′为正方形，
CA=C′A=CD=6，BD=2，设DE=x，C′E=6-x，由BD∥AC，
∴△AC′E∽△BDE，
即，解得x=，
故答案为：3或．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2019·全国初三单元测试）如图，在矩形ABCD中，，，，点P从点E出发，沿EB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）当t为何值时，？
（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形PBCQ的面积是四边形PQDE的面积的4倍？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
（4）连接BD，点O是BD的中点，是否存在某一时刻t，使P，O，Q在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在. （4）不存在，详见解析．
【解析】解：（1）由题意，得，，.
在Rt△ABE中，，，
∴.
则.若.则，即，∴.
（2）如图，过点P作，则，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴.
又∵，
∴.
∴，即，
∴，.
∴.
∴.
.
∴y与t的函数关系式为.
（3）存在.由题意，得
.
∵，
∴，
解得（舍去），，∴当时，四边形PBCQ的面积是四动形PQDE的面积的4倍.
（4）不存在.理由：
①当点P在点O上方，点Q在点O下方时，如图1，延长QO至点Q'易得，
( http: / / www.21cnjy.com )
过点P作于点M，
∴，∴，即..
∵，但实际，∴此时不存在.
②当点P在点O下方，点Q在点O上方时，如图2，延长QO交AB于点Q'，作于点G，于点H.
( http: / / www.21cnjy.com )
则，.
∵，
∴，.
易证，
∴，
，
易证，
∴，
∴，即，
∴，∴方程无解，∴不存在.
综上所述，不存在某一时刻t，使P，O，Q在同一直线上.
3．（2020·河北邯郸·初三其他）在中，，，，边在的边上，且 ．沿射线 向右平移，速度为每秒，运动时间为秒，时， 点与 重合；当点落在 上时停止运动．
（1）如图，当点与重合时，交于点，于点，此时线段_______ ， ______ ；
（2）如图，在向右平移的过程中，交 于点，交于点 ，当点为中点时，求 的值；
（3）如果的边上有一点，在向右平移的同时，点从点出发沿 运动，当点在边上运动时，速度为每秒，当点在边上运动时，速度为每秒，当时，请求出当为直角三角形时的值
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1），；（2）；（3）或
【解析】解：（1）∵，，，
∴AB=10cm；
∵，点与重合
∴
∵，
∴DE=DC,
∴
∴OE=BC=6cm
∴EA=4cm,
设AD=xcm，则DE=DC=（8-x）cm
在Rt中，
∴x=5，即AD=5cm
∴DE=3cm
（2）在 中，
，
2
（3）当时，点在 边上
此时，，
①当时，如图，
即
解得
②当时，如图，
即
解得
综上，的值为或
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴、轴于点，函数的图象分别交轴、轴于点，且，过点作射线轴．
（1）求直线的解析式；
（2）点自点沿射线以每秒个单位长度运动，同时点自点沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设的面积为，点的运动时间为（秒），求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；21cnjy.com
（3）在（2）的条件下，过点作，交轴于点，连接，在运动的过程中，是否存在值，使得，若存在，求值：若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【解析】解：（1）函数的图象分别交轴、轴于点，，
，，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
（2）如图1中，
( http: / / www.21cnjy.com )
由题意，易知，，
（3）存在；
情形①如图2中，取点，连接，，作垂足为交于，作垂足为．
( http: / / www.21cnjy.com )
，，
，
，，
，
的等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
．
情形②如图3中，由，可知，
( http: / / www.21cnjy.com )
由得到，
，
，
综上所述或．
5．（2020·陕西交大附中分校初三月考）在中，分别为边的动点．
（1）若，则当_________时，与相似（用含的式子表示）；
（2）若点从点处出发，沿线段以每秒钟5个单位的速度向点运动，同时点从点处出发，沿线段以每秒钟4个单位的速度向点运动：
①当运动到第几秒时，
②令线段的中点为，则运动过程中，的周长的最小值是多少
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）或；（2）①；②16．
【解析】解：（1）∵
∴AB=
当时，
可知，即
解得
同理，当时，
可知，即
解得
故答案为：或
（2）①如图，过点P做PD⊥AC于点D
( http: / / www.21cnjy.com )
设两点运动时间为t，则AP=5t，CQ=4t
∵DP∥CB
∴
∴AD=4t，DP=3t
∴DC=8-4t
∵,
∴
∵
∴
∴，即
解得t= ，t=0（舍去）
②如图，分别取AC、AB中点E、F，接EF，交EF于点M
过点P做PN⊥EF与点N
( http: / / www.21cnjy.com )
由已知，PF=5-5t
∵EF∥CB ，PN∥AC
∴
∴PN=4-4t
∴PN=QE
∵
∴
∴M为PQ中点，故在P、Q运动过程中，PQ中点M在EF上运动．
∵EF为中位线
∴点C与点A关于直线EF对称
∴当点M与点F重合时，MB+MC最小
此时MB+MC=AB=10
则的周长的最小值是10+6=16．
6．（2020·吉林长春·初三一模）如图，在中，，，点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设的面积为S，点P的运动时间为秒．
（1）求点A与BC之间的距离．
（2）当时，求的值．
（3）求S与之间的函数关系式．
（4）当线段PQ与的某条边垂直时，直接写出的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）4；（2）或；（3）当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；当2＜t≤3时，；（4）或或．
【解析】（1）如图，作AD⊥BC于点D．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，BC＝6，
∴BD＝BC＝3．
∴在Rt△ABD中，AD＝．
（2）当0＜t≤1时，由题意可知：BP＝2t，AQ＝5－5t，
∵，
∴，
解得．
当2＜t≤3时，由题意可知：BP＝2t，AQ＝5(t－2)＝5t－10，
∵，
∴，
解得．
综上所述，当时，的值为或．
（3）当0＜t≤1时，如图，点Q在AC上，过点Q作QE⊥BC于点E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD⊥BC，QE⊥BC，
∴AD∥QE，
∴△QEC∽△ADC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当1＜t≤2时，如图，点Q与点A重合，
( http: / / www.21cnjy.com )
则，
∴；
当2＜t≤3时，如图，点Q在AB上，过点Q作QE⊥BC于点E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD⊥BC，QE⊥BC，
∴AD∥QE，
∴△QEB∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述：当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；当2＜t≤3时，；
（4）当PQ⊥AC时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠ADC＝∠PQC＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△PQC∽△ADC，
∴，
∴，
解得：，
当PQ⊥BC时，
由题意可知此时点Q与点A重合，且点P与点D重合，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
则BP＝BD＝3，
∴2t＝3，
解得：，
当PQ⊥AB时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD⊥BC，PQ⊥AB，
∴∠ADB＝∠PQB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△PQB∽△ADB，
∴，
∴，
解得：，
综上所述：当线段PQ与的某条边垂直时，t的值为或或．
7．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，过点作，交折线于点，过点、分别平行于、的直线相交于点．设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）直接写出线段的长．（用含的代数式表示）
（2）当点落在边上时，求的值．
（3）当与重叠部分图形为三角形时，求与之间的函数关系式．
（4）直接写出或平分面积时的值．
【答案】（1）；（2）；（3）S=；（4）t=或t=．
【解析】（1）作交AB于D点，
( http: / / www.21cnjy.com )
在中，
∵
∴，
∴当P和D重合时，
①当时，AP=5t，如下图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
∴
∴
∴
∴
②当时，AP=5t，如下图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
∴
∴
∴
∴
综上所述，；
故答案为：．
（2）当落在边上时，得到下图
( http: / / www.21cnjy.com )
∵，，且，
∴，
又PQ∥AB，
∴∠PQR=90°，
∴△CQR∽△CBA，
∵PR∥BC，
∴△ARP∽△ABC，
∵AP=5t，
∴PR=4t，
又PQ∥AB，
∴∠PQR=90°，
∴△CQR∽△CBA，
∴PQ=，
又PQ=，
∴，
解得：；
故答案为：．
（3）当与重叠部分图形为三角形时，
由（2）可知，当 时满足要求，
故此时QR=；
∴S=，
故答案为：S=．
（4）直接写出或平分面积时的值
①当AQ平分△PQR面积时，令AQ交PR于点M，连接AR，如下图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )
则根据三角形等面积可知此时PM=RM，
∴四边形BQPR为平行四边形，四边形ARQP时矩形，
∴QM=PM=BQ==，
∴AQ=BQ=BP==，CQ=BC-BQ=，
故根据勾股定理可得
，
解得：t=；
②当PC平分△PQR面积时，令PC交QR于点N，此时R在CD上，如下图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )
则根据三角形等面积可知此时QN=RN，
∴四边形PQRD为矩形，四边形CQPR为平行四边形，
∴DR=PQ，CE=PQ，
∴CD=2PQ=，
又CD=，
即，
解得：t=；
故答案为：t=或t=．
8．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中初三月考）如图，在，，，BC=6,点是边的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，当与点不重合时，以为边构造，使，，且点与点在直线同侧，设点的运动时间为秒（），与重叠部分图形面积为．
（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）当点落在边BC上时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时， 求与的函数关系式．
（4）当点落在内部或边上时， 直接写出点与的顶点的连线平分面积时的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）当时，；当时，；（2）；（3）时，；时，；（4），，．
【解析】解：（1）由题意得，AB=,AD=BD=AB=5
当P在线段BD上且不与D重合时，有PD=5-4t（）；
当P在线段AD上且不与D重合时，有PD=4t-5（）；
则当时，；当时，；
（2）如图1∵∠PDQ=∠A, ∠DPQ=∠ACB=90°,
∴△DQP∽△ABC
∴ ,DQ=
又∵∠PDQ=∠A
∴DQ//AC,
∵点是边的中点
∴DQ为△ABC的中位线
∴当点Q落在BC上时，DQ=AC=4
∴=4,解得t=；
（3）由（1）（2）可知：
①如图2：当0＜t＜时，重叠部分为四边形
S=S△BND-S△BPM
=
=；
②如图3：当Q在AC上时，P在AD的中点，即此时t=
当＜t＜时，重叠部分为四边形
S=S△ADQ-S△APM
=
=；
（4）①如图4，当AQ平分△ABC的面积且P在BD上时，有，解得t=；
②如图5，当AQ平分△ABC的面积且P在AD上时，作MN⊥AB于N,则MN=,BN=
∴AN=10-BN=
由题意得：△APQ∽△ANM,即,
∴PQ=PD=(4t-5)
∵AP=10-4t
∴，解得t=；
③如图6，当BQ平分△ABC的面积时，M为AC的中点，即AM=AC
∵∠PDQ=∠A
∴DQ//AM
∴DQ为△ABM的中位线
∴DQ=AM=AC=2
∴PD=，即5-4t=，解得t=．
综上，当点落在内部或边上时，点与的顶点的连线平分面积时的值为，，．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
考点3：折叠背景下的相似三角形应用
典例： （2020·深圳市宝安中学（集团）初三月考）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝4cm，BC＝8cm，对角线AC＝cm．21·世纪*教育网
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，点Q是AC上一点，点P是BC上一点，点P不与点B重合，，连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求BP的值；21*cnjy*com
（3）如图3，若动点Q从点C出发，以每秒cm的速度在对角线AC上运动至点A止，过点Q作BC垂线于点P，连接PQ，将△PQC沿PQ折叠，使点C落在直线BC上的点E处，得△PQE，是否存在某一时刻t，使得△EAQ为直角三角形？请求出所有可能的结果．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）见解析；（2）BP=6；（3）存在，t=或
【解析】（1）∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在△ABC中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC＝cm，
，
∴△ABC是直角三角形且，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）设，
∵，
∴，
过点Q作于点E，
( http: / / www.21cnjy.com )
易证：，
∴，
即，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
即，
得：，
又，
∴，
故的值为6．
（3）由题意可得：，
，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
由折叠可得：，
∴，，，
当，即时，
，
∴，
若△EAQ是直角三角形，则，
∴，
∴，
，
，
得：（舍），；
当，即时，
，
若△EAQ是直角三角形，则，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，，
当时，，不符合题意，舍去，故；
综上所述，t的值为或时，△EAQ为直角三角形．
法或规律点拨
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·辽宁绥中·一模）如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，
= =10.
∵△ADE是由△ADC翻折得到，
∴AE=AC=6,∠AED=∠C=90°，
∴∠BED=∠C=90°，BE=10-6=4.
在△BDE和△BAC中
∴△BDE∽△BAC
∴
∵AB=10,BE=4,BC=8,
∴
解得：BD=5.
∵CD+BD=BC,
∴CD=3.
在Rt△ACD中，
故选A.
2．（2019·北京市第十二中学初 ( http: / / www.21cnjy.com )三期中）将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】2或
【解析】设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有，
即：，解得：；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有，
即：，解得：；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或．
16．（2019·乐清市英华学校初三期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是_____．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】如图，连接EC，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∵EC＝，
∴，
∴FE＝2
故答案为：
4．（2020·安徽埇桥·初三月考）如图，矩形中，点分别在边，上，连接，将和分别沿，折叠，使点恰好落在上的同一点，记为点．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）__________．
（2）若，，则_____________．
【答案】90°
【解析】解：（1）∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
故答案是：；
（2）∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，解得，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案是：．
5．（2020·揭阳市榕城 ( http: / / www.21cnjy.com )区仙桥实验学校初三期中）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；21·cn·jy·com
（4）如图②，连接PC，并把△PQ ( http: / / www.21cnjy.com )C沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）t＝s；（2）；（3）不存在，理由详见解析；（4）
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝5，
由题意知：AP＝5 t，AQ＝2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴，∴，
∴t＝，
∴当t＝时，PQ∥BC；
（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴，∴，
∴PH＝3 ，
∴y＝×AQ×PH＝×2t×（3 ）＝ ＋3t，
（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP＋AQ＝BP＋BC＋CQ，
∴（5 t）＋2t＝t＋3＋（4 2t），解得t＝1，
若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ＝S△ABC，即 ＋3t＝3，
∵t＝1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分；
（4）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四边形PQP′C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM＝CM，
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴，∴，
∴PN＝，
∴QM＝CM＝，
∴＋＋2t＝4，解得：t＝，
∴当t＝s时，四边形PQP′C是菱形，
此时PM＝3 ＝cm，CM＝＝cm，
在Rt△PMC中，PC＝＝cm，
∴菱形PQP′C边长为cm．
6．（2020·广东揭西 ( http: / / www.21cnjy.com )·初三月考）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．
（1）当t＝2时，求线段PQ的长度；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？
（3）在P、Q运动过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）cm；（2）当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2；（3）能垂直，理由见解析.
【解析】解：（1）当t=2时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP=2厘米，QC=4厘米，
∴PC=4，在Rt△PQC中PQ=厘米；
（2）∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴PC=AC﹣AP=6﹣t，CQ=2t，
∴S△CPQ=CP CQ
=，
∴t2﹣6t+5=0
解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）
∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2；
（3）能垂直，理由如下：
延长QE交AC于点D，
∵将△PQC翻折，得到△EPQ，
∴△QCP≌△QEP，
∴∠C=∠QEP=90°，
若PE⊥AB，则QD∥AB，
∴△CQD∽△CBA，
∴，
∴，
∴QD=2.5t，
∵QC=QE=2t
∴DE=0.5t
易证△ABC∽△DPE，
∴
∴，
解得：t=（0≤t≤4），
综上可知：当t=时，PE⊥AB．
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2020·长春市第四十七中学初三月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）探究：如图①，点A、点 D在直线BC上方，且 AB⊥BC，DC⊥BC．点E是线段BC上的点，AE⊥DE．求证：△ABE∽△ECD．
应用：如图①，在探究的条件下，若BE=2，CD=4，DE=6，求AE的长．
拓展：如图②，矩形ABCD中，AB=12，BC=8．将矩形ABCD翻折，使点A落在边 CD上的点E处，折痕为MN．若DE=DC，则BN = ________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】探究：见解析；应用： ；拓展：2
【解析】探究：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
应用：∵，
∴,
又∵，，，
∴，
拓展：过点，作交于点，
∵将矩形ABCD翻折，使点A落在边 CD上的点E处，折痕为MN，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，，
设，则，，
∴在中，，
解之得：，
即有：，，
设，则，，
由探究可知，，
∴
即：，
解之得：，
即：
( http: / / www.21cnjy.com )
8．（2020·揭阳市实验中学初三 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求∠BDE的度数．
（2）求证：△DEB∽△ADB．
（3）若BC＝4，求BE的长．
【答案】（1）36°；（2）详见解析；（3）
【解析】（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，
∴∠C=90°-∠B=54°．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠BAD=∠B=36°，∠DAC=∠C=54°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=72°．
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠ADF=∠ADC=72°，
∴∠BDE=180°-∠ADC-∠ADF=180°-72°-72°=36°．
（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD，
∵∠B＝36°，∴∠BAD＝36°，
∵∠BDE＝36°，
∴∠B＝∠B，∠BDE＝∠BAD，
∴△DEB∽△ADB．
（3）∵△DEB∽△ADB，
∴，设BE＝x，
∵BC＝4，
∴，
∴BE＝x＝
考点4：旋转背景下的相似三角形应用
典例： （2020·郑州一中国际航空港 ( http: / / www.21cnjy.com )实验学校初三三模）问题：如图（1），点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，试判断 BM、MN、ND之间的数量关系．
（1）研究发现
( http: / / www.21cnjy.com )
如图1，小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，从而发现BM、MN、DN之间的数量关系为　 （直接写出结果，不用证明）
（2）类比引申
如图2，在（1）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的对角线BD于点E、F．已知EF＝5，DF＝4．求BE的长．
（3）拓展提升
如图3，在（2）的条件下， ( http: / / www.21cnjy.com )AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，连接PQ．请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积．
【答案】（1）BM+DN＝MN，理由见解析；（2）BE＝3；（3）以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．
【解析】（1）如图1，BM+DN＝MN，理由如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°，
小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，
由旋转可得：BG＝DN，AN＝AG，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，
∴∠ABG+∠ABM＝90°+90°＝180°，
因此，点G，B，M在同一条直线上，
∵∠MAN＝45°，
∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠GAM＝∠MAN，
∵AM＝AM，
∴△AMN≌△AMG（SAS），
∴MN＝GM，
∵GM＝BM+BG＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）如图2，把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABF'，连接EF'，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴AF ′ ＝AF，∠DAF＝∠BAF '，∠ABF ′ ＝∠ADF＝45°，BF ′ ＝DF＝4，
∵∠ABE＝45°，
∴∠EBF ′ ＝45°+45°＝90°，
∵AE＝AE，
同理得△EAF≌△EAF '（SAS），
∴EF'＝EF＝5，
在Rt△EBF'中，由勾股定理得：BE＝＝3；
（3）由（2）知：BE＝3，EF＝5，DF＝4，
∴BD＝3+4+5＝12，
由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2，
∵AB＝AD，
∴AB2＝72，
如图3，把△ADP绕点A顺时针旋转90°至△ABP '，连接BP ′，则∠ABP′＝∠ADP，PD＝P ′B，AP＝AP ′，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，
∴∠ADP＝∠ABQ＝135°，
∴∠DAP+∠APD＝45°，
∵∠DAP+∠BAQ＝45°，
∴∠BAQ＝∠APD，
∴△ADP∽△QBA，
∴，
∴BQ PD＝AD AB＝72，
∵∠ABP'＝∠ABQ＝135°，
∴∠QBP'＝360°﹣135°﹣135°＝90°，
∴S△BP'Q＝BQ BP′＝BQ DP＝×72＝36，
∵AP＝AP'，∠PAQ＝∠P'AQ，AQ＝AQ，
∴△QAP≌△QAP'（SAS），
∴PQ＝P'Q，
∴以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．
方法或规律点拨
本题是感知，探究，创新新 ( http: / / www.21cnjy.com )题型，主要考查了学生对正方形的性质，旋转变换，勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用．关键是灵活掌握所学知识，同时会从感知中学到方法，结合下一图形，找到解决问题的方法，以及突破口，在创新中，注意把给出的问题进行转化，利用转化思想来解决．
巩固练习
1．（2020·天津河北· ( http: / / www.21cnjy.com )初三二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（﹣） B．（﹣） C．（﹣） D．（﹣）
【答案】A
【解析】过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，
( http: / / www.21cnjy.com )
由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，
∠1=∠2=∠3，
则△A1OM∽△OC1N，
∵OA=5，OC=3，
∴OA1=5，A1M=3，
∴OM=4，
∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，
则（3x）2+（4x）2=9，
解得：x=±（负数舍去），
则NO=，NC1=，
故点C的对应点C1的坐标为：（-，）．
故选A．
2．（2020·陕西交大附中分校初三月考）如图，中，，现把另一个顶点放在边上一点（与个重合），冉将绕点旋转，旋转过程中，与线段始终有交点与线段始终有交点，若已知，则=___________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
∴四边形AMEN为矩形
∴∠MEN=90°
∴∠PEN +∠PEM=90°
∵∠PEQ=90°
∴∠QEM +∠PEM=90°
∴∠PEN=∠QEM
∵∠PNE=∠QME=90°
∴△PNE∽△QME
∴
∵EM∥AB
∴
∴EM=8
∵EN∥AC
∴
∴EN=12
∴
3．（2020·吉林省实验繁荣学校初三月考）（问题情境）如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ．
（探索发现）如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.（问题情境）中的结论还成立吗？请说明理由．
（类比迁移）如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】问题情境：；探索发现：成立，见解析；类比迁移：或
【解析】问题情境：，证明如下：
∵在中，，，点为中点，
∴，
∴
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴
探索发现：成立，
理由：∵在中，为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
∴
类比迁移：
当点E在线段AC上时，如图③，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵是等边三角形，，点是中点，
∴，，
设，则，，
∵是的外角，，
∴
即
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
解得，（大于4，不符合题意，舍去）
当点E在线段AC的延长线时，如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
设，则，，
同理可得
∴
解得，（不符合题意，舍去）
综上所述，或．
故答案为：或．
4．（2020·浙江南浔·初三其他）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连结AE，CF．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求证：△ABE≌△CBF．
（2）如图2，连结DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．
（3）如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．
【答案】（1）详见解析；（2）6；（3）
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）如图2，过点E作EH⊥AB于H，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵△ABE≌△CBF，
∴S△ABE＝S△CBF，
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，
∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，
∴∠EAB＝∠AEH＝45°，
∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，
∴10＝BE2+（4﹣BE）2，
∴BE＝1或3，
当BE＝1时
∴S△ABE＝S△CBF＝AB×EH＝×4×1＝1，
当BE＝3时
∴S△ABE＝S△CBF＝AB×EH＝×4×3＝6，
（3）如图3，过点P作PK⊥AE于K，
( http: / / www.21cnjy.com )
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，
∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点G，点C，点D四点共圆，
∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，
∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝PG，
∴MP+PG＝MP+PK，
∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，
如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，
∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，
∵CQ＝＝＝，
∴CE＝CQ﹣EQ＝﹣，
∵MK⊥AE，CE⊥AE，
∴MK∥CE，
∴，
又∵M是CD的中点，
∴DC＝2DM，
∴MP＝CE＝．
5．（2020·上虞市实验中学初二月考）如图1，（）绕点顺时针旋转得，射线交射线于点．21教育网
（1）与的关系是　 　；
（2）如图2，当旋转角为60°时，点，点与线段的中点恰好在同一直线上，延长至点，使，连接．
①与的关系是　 　，请说明理由；
②如图3，连接，若，，求线段的长度．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）；（2）①或，理由见解析；②
【解析】解：（1）如图1，
与的交点记作点，由旋转知，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为；
（2）①或，
理由：如图2，连接，由旋转知，，，，
∴是等边三角形，∴，
∵，
∴∽，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴≌（），
∴，
∴，
∴，
∴或，
故答案为或；
②由①知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由①知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，，
在中，，
∴，
∴．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2020·辽宁绥中·初三二模）如图，为等边三角形，点为线段的中点，连接，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接交于点．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）如图1，当点与点重合时，直接写出线段和线段的数量关系；
（2）如图2，当时，过点作的平行线交于点，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当时，请直接写出点到直线的距离．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）
【解析】解：（1）
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
（2）
证明：
为等边三角形
∴
∵，
∴，
∴为等边三角形
∴，
∴
∴，
∵，为的中点，
∴，∴
∵为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中
∴
∴
∴
（3）过O作NEBC于E
∵，点为线段的中点，
∴
在Rt中，，
∴
∴MN=3，
∵，
∴
∴，
∴
∴
∴
∵△MNC的面积=点到直线的距离
∴点到直线的距离
∴点到直线的距离=
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2020·浙江余姚·初 ( http: / / www.21cnjy.com )三其他）（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是　 ，位置关系是　 ；21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
（探究证明）（2）如图2，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由见解析；（3）画出图形见解析，线段BE的长度为．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）BD⊥CE，
理由：如图2，连接BD，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，
( http: / / www.21cnjy.com )
由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴，即，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，
∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝AC BD＝BC AC，
∴AC＝AE＝，AD＝，
∴AF=，CE＝2CF＝2×，
∴BE＝．
8．（2020·河南初三一模）在中，，，是线段上的点，是线段上的点，且．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）观察猜想
如图1，若点是线段的三等分点，则__________，___________．由此，我们猜想线段，，，之间满足的数量关系是_________．
（2）类比探究
将在平面内绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，，猜想在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
将在平面内绕点自由旋转，若，请直接写出线段的最大值．
【答案】（1），，；（2）成立，证明详见解析；（3）的最大值为．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）成立，证明如下：
由（1）可知，，且，，
∴，，，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
∴；
（3）由（2）可知，
∴求线段的最大值，即为求线段的最大值，
由题意，可得，
在中，由三角形的三边关系，可得，
∴当点共线时，，即线段的最大值为2，
∵，
把代入得，
∴线段的最大值为．
9．（2020·江西初三一模）如图1，和都是等腰直角三角形，的斜边落在的斜边上，直角边落在边上．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）当时，求的长；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，使恰好平分，交于点，延长交于点．
①当时，求长；
②写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②；理由见解析．
【解析】（1）∵和都是等腰直角三角形
( http: / / www.21cnjy.com )
∴，，
∴
（2）①∵平分，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
②，理由如下：
∵，
∴
∴
∴
设，则，
∴
∴
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
考点5：综合问题中的相似三角形的应用
典例：（2020·江苏宜兴·初三月考）如图，一次函数y＝－3x＋3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线过点A且垂直于x轴．两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止），运动速度分别是每秒1个单位长度和3个单位长度．点G、E关于直线对称，GE交AB于点F．设D、E的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；
（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）秒；不相似，理由见解析；（2）1∶3或5∶6
【解析】解：（1）∵一次函数y＝－3x＋3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（1，0），B（0，3）
∴由勾股定理得：AB=
( http: / / www.21cnjy.com )
由题意可得：BE=3t，AD=t，∴OE=3-3t，
∵点G、E关于直线对称，
∴EF∥AD，
将y=3-3t代入y＝－3x＋3得x=t；
∴EF=t，
∴EF=AD，且EF∥AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．
当DE=EF=t时， ADEF是菱形，
∴ED∥AB，
∴△ODE∽△OBA
∴
∴
∴
∴当秒时，四边形ADEF是菱形
当四边形 ADEF是菱形时，t＝秒，
此时△AFG与△AGB不相似 ，
理由：当t＝时，OE=3-3t=
∴E(0，)，
∴G(2，)，
∵AG2＝，AFAB＝=
∴AG2≠AFAB
∴△AFG与△AGB不相似
（2）∵△ADF 是直角三角形，
∴∠ADF＝90°或∠AFD＝90°
①当∠ADF＝90°时
∵EF∥x轴， 得四边形OEDF为矩形，∴OD＝EF
又∵由⑴知：EF＝AD，得OD＝AD＝t
∴t＝，则FG=
∴EF∶FG＝1∶3
∴S△BEF∶S△BFG＝1∶3
( http: / / www.21cnjy.com )
②∠AFD＝90°时
∵由⑴知：
∴DE＝AF＝
∵∠DFA＝∠AOB，∠OAB＝∠FAD
∴△ADF∽△ABO
∴
∴
∴t＝，则FG=
∴EF∶FG＝5∶6
∴S△BEF∶S△BFG＝5∶6
( http: / / www.21cnjy.com )
方法或规律点拨
本题是中考压轴题，涉及一次函数的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象与性质、相似三角形、平行四边形、菱形的判定和性质等知识点．第（2）问中，有两种情形存在，需要分类讨论，避免漏解．2-1-c-n-j-y
巩固练习
1．（2019·河南南阳·初三期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在、轴上，、的长分别是方程的两个根．动点以和每秒1个单位的速度，从点出发沿折线段向点运动，运动的时间为秒．定点，设与矩形重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形 若存在，直接写出点的坐标；否则，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）B(2,4)；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3）存在，符合条件的点P的坐标有：(2,4－)，(2, )，(2, )
【解析】（1），
解得：x=2或4，
OA=2，OC=4，
B(2,4)．
（2）分类讨论：
①当点P位于线段BC上时，即0≤t≤2时，点P的坐标为(t,4)，
如图，作PEAO交AO于点E，
则OE=t，PE=4，OM=1，
ME=1+t，
COAO，
COPE，
∽，
，
，
OD=，
==(0≤t≤2)；
( http: / / www.21cnjy.com )
②当点P位于线段AB上时，即2则AP=6－t，AM=3，OM=1，
由①同理可证：∽，
，
，
OF=，
==(2( http: / / www.21cnjy.com )
综上所述： ( http: / / www.21cnjy.com )．
（3）分类讨论：
CM==，
①当CM=CP时，以点C为圆心，CM的长度为半径画圆，与线段AB的交点P1即为所求，
( http: / / www.21cnjy.com )
，
P1(2,4－)；
②当MC=MP时，以点M为圆心，CM的长度为半径画圆，与线段AB的交点P2即为所求，
( http: / / www.21cnjy.com )
，
P2(2, )；
③当MP=CP时，作MC的中垂线，与线段AB的交点P3即为所求，
( http: / / www.21cnjy.com )
，
，
，
解得：t=，
AP3=6－=，
P3(2, )．
综上所述，符合条件的点P的坐标有：(2,4－)，(2, )，(2, )．
2．（2020·哈尔滨市第三十九中学初二月考）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，为等边三角形，点的坐标为，点在第一象限，点从出发沿线段以每秒2个单位的速度向运动，同时点从出发沿轴也以每秒2个单位的速度向轴负方向运动，当点停止时，点也随之停止．连接，交边于点．设点、运动时间为秒，．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图，试求与的关系式．
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）如图，当时，求值．
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）在图中作交轴于点，且，为直线上一点，满足，直线交直线于，当时，求．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）m＝9+t；（2）t＝3；（3）m=11或13．
【解析】解：（1）过P作PC∥OB，交OA于点C，如图1，
( http: / / www.21cnjy.com )
则△ACP为等边三角形，
∴AC＝AP＝CP＝2t，
∵PC∥OB，
∴∠CPQ＝∠OQP，
在△DOQ和△DCP中，
∵∠OQP＝∠CPQ，∠ODQ＝∠CDP，OQ＝CP＝2t，
∴△DOQ≌△DCP（AAS）,
∴OD＝CD＝＝9﹣t，
∴m＝CD+AC＝9﹣t+2t＝9+t；
（2）∵∠AOB＝∠OQD+∠ODQ＝60°，∠OQP＝30°，
∴∠ODQ＝30°，
∴OQ＝OD＝2t，即2t＝9﹣t，解得t＝3，
∴∠OQP＝30°时，t＝3；
（3）当点E在P点左侧时，如图2，∵∠A=60°，∠QPH=60°，
∴∠ADP+∠APD=120°，∠BPH+∠APD=120°，
∴∠ADP=∠BPH，
又∵∠A=∠PBH=60°，
∴△ADP∽△BPH，
∴，
∵AP=2t，AD=9+t，BP=18－2t，
∴①，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵BE=BP，
∴∠BPE=∠BEP，
∵∠PHQ=60°+∠BPH=∠BPE，
∴∠PHQ=∠BEP，
∴∠BHP=∠BEQ，
又∵∠FBH=∠QBE，
∴△BFH∽△BEQ，
∴，
∵BQ=18+2t，BE=BP=18－2t，BF=18－2t－6=12－2t，
∴②，
①×②，得，
解得：t=2，此时m=9+2=11；
当点E在P点右侧时，如图3，
同上面的方法可得△ADP∽△BPH，
∴③，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵∠BHP=∠BEQ，∠FBH=∠QBE，
∴△BFH∽△BEQ，
∴，
∵BQ=18+2t，BE=BP=18－2t，BF=18－2t+6=24－2t，
∴④，
③×④，得，
解得t=4，此时m=9+4=13；
综上，m=11或13．
3．（2020·哈尔滨市 ( http: / / www.21cnjy.com )征仪路学校初二期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且△AOB的面积为32．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求一次函数的解析式；
（2）动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度向终点B运动，点P出发的同时，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正半轴运动，当点P停止运动时，动点Q也随之停止运动，连接PQ，设点P的运动时间为t，△BPQ的面积为S．求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，D为AB中点，连接OD，交直线PQ于点F，若OF＝3DF，求线段QF的长．
【答案】（1）一次函数的表达式为y＝x+8；（2）S＝﹣t2+4t+32(0≤t≤8)；（3）QF＝
【解析】解：（1）对于y＝x+b，令x＝0，则y＝b，令y＝0，则x+b＝0，解得x＝﹣b，
故点A、B的坐标分别为(﹣b，0)、(0，b)，则AO＝OB＝b，
△AOB的面积＝×AO×BO＝b2＝32，解得b＝8，
故点A、B的坐标分别为(﹣8，0)、(0，8)，
故一次函数的表达式为y＝x+8；
（2）
如图，过点P作PK⊥x轴于点K，连接BQ，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵OA＝OB＝8，故∠BAO＝，
t秒时，AP＝t，OQ＝2t，则AK＝PK＝t＝yP，故点P的坐标为(﹣8+t，t)，点Q(2t，0)，
S＝＝×AQ×(yB﹣yP)＝×(2t+8)×(8﹣t)＝﹣t2+4t+32(0≤t≤8)；
（3）点D是A、B的中点，则点D(﹣4，4)，
由（2）知，点P的坐标为(﹣8+t，t)，点Q(2t，0)，
设直线PQ的表达式为y＝mx+n，则，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故直线PQ的表达式为
∵OF＝3DF，则OF：OD＝3：4，
如上图，分别过点D、F作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∴△OFN∽△ODM，则，
而DM＝4，故FN＝3，
由O、D的坐标知，直线OD的表达式为y＝﹣x，
当y＝3时，则x＝﹣3，故点F(﹣3，3)，
将点F的坐标代入得，，解得（舍去负值），
故t＝，则点Q，
由点QF的坐标得，
4．（2020·河北石家庄·初二期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，的坐标分别为，．点是线段上的一个动点（点与点，不重合），直线过点并与折线交于点，设的面积为，回答下列问题：【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
探究：（1）当直线过点时，的值是________；
延伸：（2）如图2，当点在线段上时，矩形关于直线对称的图形为矩形，线段与线段交于点，线段与线段交于点，得到菱形．
直接写出：菱形面积的最大值是：________，此时________；
拓展：（3）在点运动的过程中，①直接写出与的函数关系式；
②当________时，（2）中菱形的面积与相等．
【答案】（1）；（2）5， -；（3）①S＝ ( http: / / www.21cnjy.com )；②k=或k=
【解析】把代入，得
，
解得
k=；
（2）解：，
当x=0时，y=5，
当y=0时，x=-5k，
∴OF=5，OE=-5k，
过DM⊥OA于M，
∵的坐标为，
∴DM=OC=2．
∵∠FOE=90°，DM⊥OA，
∴DM//OF，
∴△DME∽△FOE，
∴，
即，
∴ME=-2k，
设DH=HE=x，
在△DHE中，由勾股定理得：22+(x+2k)2=x2，
解得：x=-k-，
即DH=HE=-k-，
∴S菱形DHEG=2(-k-)=-2k-，
∵菱形DHEG的高一定，
∴当HE最长时，菱形DHEG的面积取得最大值，只要求出矩形过点O和点A时的面积比较即可．
当H与O重合时，E(-k-，0)，
∴，
解得
k=-（正值舍去），
∴S菱形DHEG=-2×(-)-=5；
当E与A重合时，E(6，0)，
由（1）知k=，
∴S菱形DHEG=-2×()-=；
∵5>，
∴菱形面积的最大值是5，此时-；
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）①∵矩形OABC中，点A，C的坐标分别为(6，0)，(0，2)，
∴点B的坐标为(6，2)．
若直线经过点B(6，2)，则k=．
当点E在线段OA上时，即≤k<0时，（如图1-1）
由（2）知OF=5，OE=-5k，
∴S =×(-5k)×2=-5k；
( http: / / www.21cnjy.com )
当点E在线段BA上时，即＜k＜时，（如图1-2）
∵点D，E在直线上
当y=2时，x=-3k；
当x=6时，y=，
∴点D的坐标为(-3k，2)，点E的坐标为(6，)，
∴BD=6+3k，BE=，
∴S=S矩形OABC-S△COD-S△OAE-S△DBE=6×2 (-3k)×2 ()×6 (6+3k )() =．
( http: / / www.21cnjy.com )
综上可得：S＝ ( http: / / www.21cnjy.com )；
②当-2k-=-5k时，
解得
k=（正值舍去）；
当-2k-=时，
解得
k1=，k2=（舍去）；
综上可知，当k=或k=时，（2）中菱形的面积与相等．
5．（2020·河北石家庄二中初三其他）如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4， 轴，垂足为点A，AC与OB交于点M．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1），
所以点A坐标为（0，4)，点C坐标为（1，0），
又轴，点B坐标为（2，4），
设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B，C坐标代入表达式，
得，解得：k=4，b=﹣4，
所以直线的表达式为．
(2) 轴，∴AB∥x轴，
，
∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
6．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴上，，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿着轴正方向运动，过点作轴，与线段，分别交于点，．设点的运动时间为秒．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求点和点的坐标；
（2）当时，求点的橫坐标；
（3）点在线段上，连接，，，设的面积为，的面积为．当时，直接写出点的坐标（用含的代数式表示）．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
解：（1）当时，，
∴点的坐标为，
在中，，
∴点的坐标为；
（2）当时，，
∵，∴，，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为；
（3）延长交轴于点，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
设，则
∴的解析式为：
把代入可得：
∴
∴，
∴当时，
解得：
∴
7．（2020·沈阳市第一二六中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上，点在第二象限，，，．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）点坐标为______，点坐标为______，点坐标为______；
（2）过点作直线平行于轴，点是直线上一点，点在第二象限，且的面积是面积的2倍，则点的坐标为______；
（3）在轴上有一点，使，则点的坐标为______．
【答案】（1）A（-1，0），B（0，2），C（-2，3）；（2）（，3）；（3）（，0）
【解析】解：（1）作CH⊥y轴于H，
∵OA=1，
∴点A的坐标（-1，0）
∵OA=1，AB=BC=，
∴OB=，
∴点B的坐标（0，2）
作CH⊥y轴于H，
∴∠CBH+∠BCH=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBH+∠ABO=90°，
∴∠CBH=∠BAO
又∵∠CHB=∠BOA，BC=AB
∴△OAB≌△BHC，
∴BH= OA=1，CH=OB=2，
∴OH=OB+ BH=3，
∴点C的坐标（-2，3）；
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）延长AB交MN于E，过P作PF⊥AB交AB于F，
，
∵△ABP的面积是△ABC面积的2倍，
∴PF=2BC，
∵MN平行于x轴，
∴△EHB∽△AOB，
∴
∵OA=1，OB=2，HB=1，
∴EH=，
∵CH=2
∴EC=EH+CH=，
∵PF⊥AB，AB⊥BC，
∴BC∥PF，
∴△EFP∽△EBC
∴
∴EP=5，PH=PE-EH=，
∵OH=3，
∴点P的坐标是（，3）；
（3）作∠BAO的角平分线AG交y轴于G，找A关于y轴的对称点I（1，0），连接IG，作BD∥IG交x轴于D，
∵AG平分∠BAO，A关于y轴的对称点I（1，0），
∴∠OAG=∠BAO=∠OIG，
∵BD∥IG，
∴∠OIG=∠BDA，
∴∠BDA=∠BAD
∵AG平分∠BAO，
∴，则OG=，
∵BD∥IG，
∴，
∵OG=，OB=2，OI=1，
∴OD=，
∴点D的坐标（，0）．
8．（2020·沈阳市虹桥中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求的长度．
（2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围．
（3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标．
【答案】（1）10；（2）①时，；②t>10时， ；（3）当时，，；当t>10时，，．
【解析】（1）在中
（2）由于D在x轴上，故以CD为底边，高h=OB=6
①当时，CD=AC-AD=10-t，；
②当t>10时，CD=AD-AC=t-10, ；
（3）如图：当时，作，交DG于N，交BC于M，
．
又
设DN=m，则AD=
OD=，
当时
BH=，同理
在中，
即
解得
(舍去)或
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
当t>10时，如图：
作，交DG于N，交BC于M，
．
又
设DN=m，则AD=
OD=，
当时
BH=，同理
在中，
即
解得
或(舍去)
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
综上所述，当时，，；当t>10时，，．
9．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边，分别在轴，轴的正半轴上（），且，的长分别是一元二次方程的两个根，线段的垂直平分线交于点，分别交轴，轴于点，．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求点、的坐标
（2）求线段的长
（3）已知是直线上一个动点，点是直线上一个动点，则在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以5为边长的正方形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）存在，点的坐标为，，，．
【解析】（1）解方程，
解得：，，
∵，
∴，．
（2）在中，
∵，，．
∴．
∵线段的垂直平分线交于点，
∴．
在与中，
∵，
∴，
∴，．
解得：．
（3）∵．
∴以点，，，为顶点的正方形的边长为5，且点与点或点重合，
分两种情况：
①当点与点重合时，
∴点在过点且垂直的直线上，
设直线解析式为，
将点，点代入得，解得
，
解得
∴直线的解析式为：．
设直线解析式为：
将点代入得，，
∴直线解析式为：．设
∵，，
∴
化简整理得：，解得，，
∴，
②当点与点重合时，
∴，
设直线解析式为：，
将点代入得：，
解得．
∴直线解析式为：．
设
∵，，
∴
化简整理得：，
解得，，
∴，．
综上所述，点的坐标为：），，，．
10．（2020·上海宝山·初三月考）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA//BC，D是BC上一点，BD=0．25OA=根号2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设，，试确定与之间的函数关系；
（3）当是等腰三角形时，将沿折叠，得到，求与五边形重叠部分的面积
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，
【解析】（1）过点B作x轴的垂线，垂足为M，
Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°，
∴AM=BM=AB·sin∠BAM=，
∵，
∴AO=，
∴BC=OA-AM=，
∴CD=BC-BD=，
∴点D的坐标为（，）；
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）连接OD，如图（1），由（1）知，D在∠COA的平分线上，
∴∠DOE=∠COD=45°，
又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，
∴∠DOE=∠OAB，OD=AB=3，
∵∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，∠2=∠DEA-∠DEF=∠DEA-45°，
∴∠1=∠2，
∴△ODE∽△AEF，
∴，
即，
∴y= ；
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）当△AEF为等腰三角形时，有EF=AF、EF=AE、AE=AF共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），B在A′F上（A′F⊥EF），
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积，
∵AE=OA-OE=AO-CD=，
∴AF=AE sin45°=，，
∴，
∴ ；
( http: / / www.21cnjy.com )
②当EF=AE时，如图（3），此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF的面积，
∠DEF=∠EFA=45°，DE//AB，又DB//EA，
∴四边形DEAB是平行四边形，
∴AE=DB=，
∴；
( http: / / www.21cnjy.com )
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内，
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分为△A′EF的面积，
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
∴AE=AF=OA-OE=，
过F作FH⊥AE于H，则FH=AF sin45°=，
∴，
( http: / / www.21cnjy.com )
综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或．
11．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）在平面直角坐标系中，点和点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上，且、（）的长恰好是方程的两根，点是的中点，直角绕点旋转，射线分别交轴、轴于点、，射线交轴于点，连接．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求点的坐标及AB的长．
（2）当点和点分别在轴的负半轴和轴的正半轴时，若，求点的坐标．
（3）直角绕点旋转的过程中，的大小是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为，；（2）点的坐标为；（3）的大小不会发生变化．理由见解析．
【解析】（1）∵，的长为方程的两个根（），
∴，
解得，，
∵，，点是的中点，
∴点的坐标为，．
（2）如图，过点作轴于，作轴于，
( http: / / www.21cnjy.com )
则，，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得（舍去），，
∴，
∴点的坐标为．
（3）在直角绕点旋转的过程中，的大小不会发生变化，
由（2）可得，，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵大小不变，
∴的大小不会发生变化．
12．（2020·江苏江阴·初三月考）如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0），B（0，8），点C的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P．
①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．
②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）y=﹣2x+8；（2）①点P（1，6）或（3，2）；②点P的坐标为（2，4）或点P（，）．
【解析】
（1）设直线AB的解析式为,依题意
,解得：
∴；
（2）①设动点P （x,）
则,
∴
∴,
经检验,都符合题意
∴点P（1,6）或（3,2）；
②存在,分两种情况
第一种：
∴∽
( http: / / www.21cnjy.com )
而点C的坐标为（2,0）
∴点P（2,4 ）
第二种
∵,∠PAC=∠BAO
∴△APC∽△AOB
∴
∴
∴
如图,过点P作轴,垂足为H
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
∴∽
∴
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴,
∴
∴点P（,）
∴点P的坐标为（2,4）或点P（,）．
13．（2020·吉林长春·初三其他）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．以AP为腰作等腰三角形APQ，点Q在射线AC上，以点Q为直角顶点向PQ右侧作直角三角形PQD，使(点P不与点A，B重合）．设点P的运动时间为秒．
（1）用含的代数式表示线段DQ的长；
（2）当点D落在边BC上时，求t的值；
（3）设与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）设E为边PD的中点，作射线BE，当射线BE将分成面积比为1：3的两部分时．直接写出此时t的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，；（4）或
【解析】解：（1）.
（2）当点D落在边BC上时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
由，
解得.
（3）当时，如图，.
( http: / / www.21cnjy.com )
当时，如图，.
( http: / / www.21cnjy.com )
当时，如图，.
( http: / / www.21cnjy.com )
（4）或.
提示：如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（2020·浙江温州·初三期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．21教育名师原创作品
（1）求EF的长．
（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）EF=2；（2）y＝x（0≤x≤12）；（3）满足条件的CN的值为或12．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵AF＝BE＝2，
∴BF＝6﹣2＝4，
∴EF＝＝＝2．
（2）由题意：＝，
∴＝，
∴y＝x（0≤x≤12）．
（3）如图3﹣1中，延长FE交DC的延长线于H．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵△EFB∽△EHC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EH＝6，CH＝12，
当MN∥DF时，＝，
∴＝，
∵y＝x，
解得x＝，
如图3﹣2中，当MN∥DE时，＝，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴＝ ，
∵y＝x，
解得x＝12，
综上所述，满足条件的CN的值为或12．
考点6：相似三角形的实际应用问题
典例：（2020·浙江东阳·初三期末）在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，.
求（1）线段与的差值是___
（2）的长度.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】9 6
【解析】(1)如图1，延长FG交BC于H，
设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，
由轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，
∴H'F'＝AF＝9＋x，
∵AD＝BC＝16，
∴DF＝16 （9＋x）＝7 x，
即C'D'＝DF＝7 x＝F'G'，
∴FG＝7 x，
∴GH＝9 （7 x）＝2＋x，EH＝16 x （9＋x）＝7 2x，
∴EH∥AB，
∴△EGH∽△EAB，
∴，
∴，
解得x＝1或31（舍），、及FG
∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9
故答案为：9;
(2)由（1）得FG＝7 x =7-1=6.
( http: / / www.21cnjy.com )
方法或规律点拨
本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．
巩固练习
1．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）如图，在离某围端的6米处有一棵树，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，太阳光下的影长为3米，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在墙上处，墙上的影高为4米，那么这棵树高约为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】解：过点A作AF∥ ( http: / / www.21cnjy.com )DE交CD于点F，
则DF=AE=4m，△CAF∽△C′CD′．
∴D′C′：C′C=CF：CA，即2：3=CF：6．
∴CF=4．
∴DC=4+4=8（m）．
即：这棵树高8m．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）如图是小明设计用平面镜来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，小明站在点处恰好能从镜子里看到古城墙的顶端，已知小明的眼睛距离地面的高度米，米，米，那么该古城墙的高度是________米．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】由光线反射原理可得：，
又，，
，
，
，即，
米．
故答案为：8．
3．（2020·渠县崇德实验学校初三期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】围墙AB的高度是4.4m
【解析】延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=0.8m，OE=0.8m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=xm，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴=，
=，
解得：x=4.4m．
经检验：x=4.4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4.4m．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2020·西安市铁一中学初三三模）小明和小刚都是篮球迷，他们常常晚上写完作业后，抽出一点时间到小区附近的室外篮球场打篮球，小明注意到篮球场两侧有两个一样高的路灯，他想正好可以用所学的知识来测量一下路灯的高度，便设计出如下的测量方案如图，用、两点表示路灯，、、，小明站在上的处．小刚帮他测得他在路灯主照射下的影长米，在路灯照射下的影长米．已知小明的身高米，篮球场的宽米，请根据以上数据计算出路灯的高度（或的长）．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】8米
【解析】解：设BH=x米，
∵BD=15，FH=1.75，FG=2，
∴DH=15-x，BG=1.75+2+x=3.75+x，
∵AB⊥BD、CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB∥EF∥CD，
∴△EFG∽△ABG，△EHF∽△CHD，
∴，，
∴，，
解得：AB=8（m），
答：路灯的高度为8m．
5．（2019·山东潍坊·初三 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求矩形EFGH的周长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】矩形EFGH的周长为30cm．
【解析】∵矩形EFGH中，EH∥FG，EH=GF，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AM⊥EH，
∴，
设EH=3x，则MD=EF=2x，AM=12﹣2x，
∴，
解得：x=3，
∴EH=3x=9，EF=2x=6，
∴矩形EFGH的周长为：2×（9+6）=30（cm）．
6．（2020·长沙麓山国际实验学校初三 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】电线杆AB的高为8米
【解析】过C点作CG⊥AB于点G，∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米，∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，∴∠NFM＝∠ACG，∴△NMF∽△AGC，∴，∴AG＝＝6，∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8(米)，故电线杆AB的高为8米
7．（2020·四川龙泉驿·初二期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】旗杆AB的高度为16m．
【解析】∵法线l⊥AD，∠1=∠2，
∴∠ECD=∠BCA，
又∵∠EDC=∠BAC=90°，
∴△ECD∽△BCA，
∴，
∵DE=1.5m，CD=3m，AC=32m，
∴，
解得：AB=16(m)，
答：旗杆AB的高度为16m．
7．（2020·全国初三课时练习）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”外貌，如果向西走到点处，可以开始看到“明珠”的顶端；若想看到“明珠”的全貌，必须向西至少再走，求大厦主体建筑的高度．（不含顶部“明珠”部分的高度）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】大厦主体建筑的高度为.
【解析】由题图，知，易证，
∴，即，∴.
同理易证，∴，
即，∴.
∵，∴，
解得或（不合题意，舍去）.
∴大厦主体建筑的高度为.
8．（2020·陕西西安·初三三模） ( http: / / www.21cnjy.com )西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，GC=53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】大雁塔的高度AB为55米．
【解析】∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴，，
∵DC=HG，∴，
∴，
∴CA=106(米)．
∵，
∴，
∴AB=55(米)，
答：大雁塔的高度AB为55米．
9．（2020·江苏海陵·初三期末）小亮晚上 ( http: / / www.21cnjy.com )在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯 ( http: / / www.21cnjy.com )杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
【答案】（1）如图，BE为所作；见解析；（2）小亮（CD）的影长为3m．
【解析】（1）如图，连接PA并延长交直线BO于点E，则线段BE即为小亮站在AB处的影子：
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）延长PC交OD于F，如图，则DF为小亮站在CD处的影子，
AB＝CD＝1.6，OB＝2.4，BE＝1.2，OD＝6，
∵AB∥OP，
∴△EBA∽△EOP，
∴即
解得OP＝4.8，
∵CD∥OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴，即，
解得FD＝3
答：小亮（CD）的影长为3m．
10．（2019·河南平舆·初三期中）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量学校旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长米，斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，斜坡与水平地面成的角，求旗杆的高度（精确到米）．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】旗杆高约20米．
【解析】延长，交于点，过作于
则米，米
设米
由知
得
答：旗杆高约米．
( http: / / www.21cnjy.com )
11．（2020·陕西交大附中分校初三月考）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点处，将镜子放在点处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2．8米，到达点处，将镜子放在点处时，刚好看到在树的顶端（点在同一条直线上），若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为1．6米，求大树的高度．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】9.6米
【解析】解：设的长为米，则米，
由题意，得，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
解得，
答：大树的高度为9.6米．
12．（2019·即墨市第二十八中学初三月考）有一块三角形的余料，为，一条直角边为1.5米，另一条直角边为2米，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边落在上，其余两个顶点，分别在，上，且，求矩形的长和宽分别是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】矩形的长和宽分别是米和米
【解析】过作于，交于，则为边上的高，为边上的高，
，，
即，
解得．
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴
即，
解得，
所以．
所以矩形的长和宽分别是米和米．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．（2019·保定市乐凯中学初三期中）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的图柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为．敏敏观察到高度矮圆柱的影子落在地面上，其影长为；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题:【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）若敏敏的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，求影子的长度．
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为，请你画出示意图并求出高圆柱的高度．
【答案】（1）敏敏的影长为；（2）高圆柱高度为
【解析】（1）设敏敏的影长为cm，
由题意得：，
解得：，
答：敏敏的影长为；
（2）如图所示，为高圆柱，为高圆柱落在墙上的影子，
由题可知：，
延长交延长线于点， 则，即：，
，
∴的影长为，
∵，
∴
∴，
即高圆柱高度为．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（2020·山西平定·初三期末）如图，某学校宣传栏背后的道路上每隔植有一棵树，这排树共有6棵.小明站在宣传栏前面的点处正好看到两端的树干，其余的4棵树均被宣传栏挡住.已知，于点，与相交于点，，，求宣传栏的长（不记宣传栏的厚度）.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】6
【解析】∵每隔植有一棵小树，共种了6棵树．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
解得：()．
答：宣传栏的长为6．
15．（2019·安徽相 ( http: / / www.21cnjy.com )山·初三月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为多少步．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】解：DH=100，DK=100，AH=15，
∵AH∥DK，
∴∠CDK=∠A，
而∠CKD=∠AHD，
∴△CDK∽△DAH，
∴，即，
∴CK=
答：KC的长为步．
16．（2019·河北石家庄·初三月考）有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆的长度分别为200厘米和300厘米，厘米．现有一人站在斜杆下方的点处，直立、单手上举时中指指尖（点）到地面的高度厘米，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆的点处，此时，就将与的差值（厘米）作为此人此次的弹跳成绩，设厘米．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）用含的代数式表示；
（2）若他弹跳时的位置为，求该人的弹跳成绩．
【答案】（1）y=；（2）45cm
【解析】解：过A作AH⊥BD,交BD于H,AH交GE于K．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）由已知可得GE∥BD,所以△AGK∽△AHB,得：GK∶BH=AK∶AH
即：,
整理得：y=
（2）当时，y=（cm）
所以该人的弹跳成绩45cm.
17．（2020·江西中考真题）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究：
( http: / / www.21cnjy.com )
类比探究
（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ；
推广验证
（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积．
【答案】（1）；（2）结论成立，证明看解析；（3）
【解析】（1）∵△ABC是直角三角形，
∴，
∵△ABD、△ACE、△BCF均为直角三角形，且，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得证．
（2）成立，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴，
∵在△ABD、△ACE、△BCF中，，，
∴∽∽，
∴，，
∴
∴得证．
（3）过点A作AHBP于点H，连接PD，BD，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴PH=AH=，
∴，，
∴，
∵，ED=2，
∴，，
∴，
∵，
∴△ABP∽△EDP，
∴，，
∴，，
∴，
，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴△ABP∽△EDP∽△CBD
∴
故最后答案为．
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十七章 相似三角形性质与判定的应用举例
典例体系（本专题共71题125页）
( http: / / www.21cnjy.com )
考点1：平行线分线段成比例定理的辅助线添加
典例：（2019·浙江台州 ( http: / / www.21cnjy.com )·初三期末）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
方法或规律点拨
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
巩固练习
1．（2020·大庆市第五十七中学初二期末）如图，AD是的中线，E是AD上一点，且AE：ED=1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC=（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
2．（2020·江苏苏州·初二期末）如图，是中线，点在上，交于点．若，则值是______．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2020·上海市静安区实验中学初三课 ( http: / / www.21cnjy.com )时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF=____cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2020·温州育英国际实验学校初二月考）如图，等边△ABC的边长为5，D在BC延长线上，CD＝3，点E在线段AD上，且AE＝AB，连接BE交AC于F，则CF的长为________．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2020·江苏无锡·初三其他）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2020·江苏泰兴·初三 ( http: / / www.21cnjy.com )其他）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2020·桂林·广西 ( http: / / www.21cnjy.com )师大附属外国语学校初三月考）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE∶EC=2∶1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．（2020·上海松江·初一期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
9．（2020·全国初三专题练习）如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点2：动点问题中的相似问题
典例：（2020·无锡市 ( http: / / www.21cnjy.com )钱桥中学初三月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点O为对角线的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC，以每秒2厘米的速度向终点运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）当点O在正方形PQMN内部时，t的取值范围 ；
（3）当直线DN平分△BCD面积时求出t的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
方法或规律点拨
本题考查动点问题，涉及矩形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是用时间t根据题意表示出对应的线段长，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出t的值．21·世纪*教育网
巩固练习
1．（2020·山东安丘·东埠初中初三月考）如图，在中，，，，点是上一动点，连接，将沿折叠，点落在点，连接交于点，连接．当是直角三角形时，的长为______．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2019·全国初三单元测试）如图，在矩形ABCD中，，，，点P从点E出发，沿EB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（），解答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）当t为何值时，？
（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形PBCQ的面积是四边形PQDE的面积的4倍？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.21世纪教育网版权所有
（4）连接BD，点O是BD的中点，是否存在某一时刻t，使P，O，Q在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
3．（2020·河北邯郸·初三其他）在中，，，，边在的边上，且 ．沿射线 向右平移，速度为每秒，运动时间为秒，时， 点与 重合；当点落在 上时停止运动．
（1）如图，当点与重合时，交于点，于点，此时线段_______ ， ______ ；
（2）如图，在向右平移的过程中，交 于点，交于点 ，当点为中点时，求 的值；
（3）如果的边上有一点，在向右平移的同时，点从点出发沿 运动，当点在边上运动时，速度为每秒，当点在边上运动时，速度为每秒，当时，请求出当为直角三角形时的值
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴、轴于点，函数的图象分别交轴、轴于点，且，过点作射线轴．
（1）求直线的解析式；
（2）点自点沿射线以每秒个单位长度运动，同时点自点沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设的面积为，点的运动时间为（秒），求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点作，交轴于点，连接，在运动的过程中，是否存在值，使得，若存在，求值：若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2020·陕西交大附中分校初三月考）在中，分别为边的动点．
（1）若，则当_________时，与相似（用含的式子表示）；
（2）若点从点处出发，沿线段以每秒钟5个单位的速度向点运动，同时点从点处出发，沿线段以每秒钟4个单位的速度向点运动：21教育名师原创作品
①当运动到第几秒时，
②令线段的中点为，则运动过程中，的周长的最小值是多少
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2020·吉林长春·初三一模）如图，在中，，，点P从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动，到达点A时，点Q停止1秒，然后继续运动．分别连结PQ、BQ．设的面积为S，点P的运动时间为秒．【出处：21教育名师】
（1）求点A与BC之间的距离．
（2）当时，求的值．
（3）求S与之间的函数关系式．
（4）当线段PQ与的某条边垂直时，直接写出的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2020·长春市新朝阳实验学校初三月考）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，过点作，交折线于点，过点、分别平行于、的直线相交于点．设点运动的时间为秒，与重叠部分的面积为．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）直接写出线段的长．（用含的代数式表示）
（2）当点落在边上时，求的值．
（3）当与重叠部分图形为三角形时，求与之间的函数关系式．
（4）直接写出或平分面积时的值．
8．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中初三月考）如图，在，，，BC=6,点是边的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，当与点不重合时，以为边构造，使，，且点与点在直线同侧，设点的运动时间为秒（），与重叠部分图形面积为．
（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）当点落在边BC上时，求的值；
（3）当与重叠部分图形为四边形时， 求与的函数关系式．
（4）当点落在内部或边上时， 直接写出点与的顶点的连线平分面积时的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点3：折叠背景下的相似三角形应用
典例：（2020·深圳市宝安中学（集团）初三月考）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝4cm，BC＝8cm，对角线AC＝cm．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，点Q是AC上一点，点P是BC上一点，点P不与点B重合，，连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求BP的值；
（3）如图3，若动点Q从点C出发，以每秒cm的速度在对角线AC上运动至点A止，过点Q作BC垂线于点P，连接PQ，将△PQC沿PQ折叠，使点C落在直线BC上的点E处，得△PQE，是否存在某一时刻t，使得△EAQ为直角三角形？请求出所有可能的结果．
( http: / / www.21cnjy.com )
法或规律点拨
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·辽宁绥中·一模）如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
2．（2019·北京市第十二中学初三期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2019·乐清市英华学校初三期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是_____．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2020·安徽埇桥·初三月考）如图，矩形中，点分别在边，上，连接，将和分别沿，折叠，使点恰好落在上的同一点，记为点．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）__________．
（2）若，，则_____________．
5．（2020·揭阳市榕城区 ( http: / / www.21cnjy.com )仙桥实验学校初三期中）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把 ( http: / / www.21cnjy.com )△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2020·广东揭西·初三月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．
（1）当t＝2时，求线段PQ的长度；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？
（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△ ( http: / / www.21cnjy.com )PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2020·长春市第四十七中学初 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考）探究：如图①，点A、点 D在直线BC上方，且 AB⊥BC，DC⊥BC．点E是线段BC上的点，AE⊥DE．求证：△ABE∽△ECD．
应用：如图①，在探究的条件下，若BE=2，CD=4，DE=6，求AE的长．
拓展：如图②，矩形ABCD中，AB=12，BC=8．将矩形ABCD翻折，使点A落在边 CD上的点E处，折痕为MN．若DE=DC，则BN = ________．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．（2020·揭阳市实验中学初三期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求∠BDE的度数．
（2）求证：△DEB∽△ADB．
（3）若BC＝4，求BE的长．
考点4：旋转背景下的相似三角形应用
典例： （2020·郑州一中国际航空港实 ( http: / / www.21cnjy.com )验学校初三三模）问题：如图（1），点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，试判断 BM、MN、ND之间的数量关系．2·1·c·n·j·y
（1）研究发现
( http: / / www.21cnjy.com )
如图1，小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，从而发现BM、MN、DN之间的数量关系为　 （直接写出结果，不用证明）
（2）类比引申
如图2，在（1）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的对角线BD于点E、F．已知EF＝5，DF＝4．求BE的长．
（3）拓展提升
如图3，在（2）的条件下，AM、A ( http: / / www.21cnjy.com )N分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，连接PQ．请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积．www.21-cn-jy.com
方法或规律点拨
本题是感知，探究，创新新题型，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了学生对正方形的性质，旋转变换，勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用．关键是灵活掌握所学知识，同时会从感知中学到方法，结合下一图形，找到解决问题的方法，以及突破口，在创新中，注意把给出的问题进行转化，利用转化思想来解决．
巩固练习
1．（2020·天津河北·初 ( http: / / www.21cnjy.com )三二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．（﹣） B．（﹣） C．（﹣） D．（﹣）
2．（2020·陕西交大附中分校初三月考）如图，中，，现把另一个顶点放在边上一点（与个重合），冉将绕点旋转，旋转过程中，与线段始终有交点与线段始终有交点，若已知，则=___________．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2020·吉林省实验繁荣学校初三月考）（问题情境）如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ．
（探索发现）如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.（问题情境）中的结论还成立吗？请说明理由．
（类比迁移）如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2020·浙江南浔·初三其他）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连结AE，CF．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求证：△ABE≌△CBF．
（2）如图2，连结DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．
（3）如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．
5．（2020·上虞市实验中学初二月考）如图1，（）绕点顺时针旋转得，射线交射线于点．
（1）与的关系是　 　；
（2）如图2，当旋转角为60°时，点，点与线段的中点恰好在同一直线上，延长至点，使，连接．
①与的关系是　 　，请说明理由；
②如图3，连接，若，，求线段的长度．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2020·辽宁绥中·初三二模）如图，为等边三角形，点为线段的中点，连接，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接交于点．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）如图1，当点与点重合时，直接写出线段和线段的数量关系；
（2）如图2，当时，过点作的平行线交于点，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当时，请直接写出点到直线的距离．
7．（2020·浙江余姚·初三其他 ( http: / / www.21cnjy.com )）（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是　 ，位置关系是　 ；2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
（探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；【来源：21cnj*y.co*m】
（拓展延伸）（3）如图3，在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．【版权所有：21教育】
8．（2020·河南初三一模）在中，，，是线段上的点，是线段上的点，且．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）观察猜想
如图1，若点是线段的三等分点，则__________，___________．由此，我们猜想线段，，，之间满足的数量关系是_________．
（2）类比探究
将在平面内绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，，猜想在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
将在平面内绕点自由旋转，若，请直接写出线段的最大值．
9．（2020·江西初三一模）如图1，和都是等腰直角三角形，的斜边落在的斜边上，直角边落在边上．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）当时，求的长；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，使恰好平分，交于点，延长交于点．
①当时，求长；
②写出与的数量关系，并说明理由．
考点5：综合问题中的相似三角形的应用
典例：（2020·江苏宜兴·初三月考）如图，一次函数y＝－3x＋3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线过点A且垂直于x轴．两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止），运动速度分别是每秒1个单位长度和3个单位长度．点G、E关于直线对称，GE交AB于点F．设D、E的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；
（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比．
( http: / / www.21cnjy.com )
方法或规律点拨
本题是中考压轴题，涉及一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数的图象与性质、相似三角形、平行四边形、菱形的判定和性质等知识点．第（2）问中，有两种情形存在，需要分类讨论，避免漏解．
巩固练习
1．（2019·河南南阳·初三期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在、轴上，、的长分别是方程的两个根．动点以和每秒1个单位的速度，从点出发沿折线段向点运动，运动的时间为秒．定点，设与矩形重叠部分的面积为．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形 若存在，直接写出点的坐标；否则，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2020·哈尔滨市第三十九中学初二月考）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，为等边三角形，点的坐标为，点在第一象限，点从出发沿线段以每秒2个单位的速度向运动，同时点从出发沿轴也以每秒2个单位的速度向轴负方向运动，当点停止时，点也随之停止．连接，交边于点．设点、运动时间为秒，．
（1）如图，试求与的关系式．
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）如图，当时，求值．
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）在图中作交轴于点，且，为直线上一点，满足，直线交直线于，当时，求．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2020·哈尔滨市征仪路学校初二期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且△AOB的面积为32．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求一次函数的解析式；
（2）动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度向终点B运动，点P出发的同时，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正半轴运动，当点P停止运动时，动点Q也随之停止运动，连接PQ，设点P的运动时间为t，△BPQ的面积为S．求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，D为AB中点，连接OD，交直线PQ于点F，若OF＝3DF，求线段QF的长．
4．（2020·河北石家庄·初二期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，的坐标分别为，．点是线段上的一个动点（点与点，不重合），直线过点并与折线交于点，设的面积为，回答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com )
探究：（1）当直线过点时，的值是________；
延伸：（2）如图2，当点在线段上时，矩形关于直线对称的图形为矩形，线段与线段交于点，线段与线段交于点，得到菱形．
直接写出：菱形面积的最大值是：________，此时________；
拓展：（3）在点运动的过程中，①直接写出与的函数关系式；
②当________时，（2）中菱形的面积与相等．
5．（2020·河北石家庄二中初三其他）如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4， 轴，垂足为点A，AC与OB交于点M．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2020·辽宁沈阳·初三月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴上，，动点从点出发以每秒1个单位的速度沿着轴正方向运动，过点作轴，与线段，分别交于点，．设点的运动时间为秒．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求点和点的坐标；
（2）当时，求点的橫坐标；
（3）点在线段上，连接，，，设的面积为，的面积为．当时，直接写出点的坐标（用含的代数式表示）．21cnjy.com
7．（2020·沈阳市第一二六中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上，点在第二象限，，，．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）点坐标为______，点坐标为______，点坐标为______；
（2）过点作直线平行于轴，点是直线上一点，点在第二象限，且的面积是面积的2倍，则点的坐标为______；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）在轴上有一点，使，则点的坐标为______．
8．（2020·沈阳市虹桥中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求的长度．
（2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围．
（3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和点坐标．
9．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边，分别在轴，轴的正半轴上（），且，的长分别是一元二次方程的两个根，线段的垂直平分线交于点，分别交轴，轴于点，．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求点、的坐标
（2）求线段的长
（3）已知是直线上一个动点，点是直线上一个动点，则在坐标平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以5为边长的正方形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
10．（2020·上海宝山·初三月考）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA//BC，D是BC上一点，BD=0．25OA=根号2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设，，试确定与之间的函数关系；
（3）当是等腰三角形时，将沿折叠，得到，求与五边形重叠部分的面积
11．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）在平面直角坐标系中，点和点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上，且、（）的长恰好是方程的两根，点是的中点，直角绕点旋转，射线分别交轴、轴于点、，射线交轴于点，连接．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求点的坐标及AB的长．
（2）当点和点分别在轴的负半轴和轴的正半轴时，若，求点的坐标．
（3）直角绕点旋转的过程中，的大小是否会发生变化？请说明理由．
12．（2020·江苏江阴·初三月考）如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（4，0），B（0，8），点C的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P．
①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标．
②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．（2020·吉林长春·初三其他）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．以AP为腰作等腰三角形APQ，点Q在射线AC上，以点Q为直角顶点向PQ右侧作直角三角形PQD，使(点P不与点A，B重合）．设点P的运动时间为秒．
（1）用含的代数式表示线段DQ的长；
（2）当点D落在边BC上时，求t的值；
（3）设与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）设E为边PD的中点，作射线BE，当射线BE将分成面积比为1：3的两部分时．直接写出此时t的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
14．（2020·浙江温州 ( http: / / www.21cnjy.com )·初三期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．
（1）求EF的长．
（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点6：相似三角形的实际应用问题
典例：（2020·浙江东阳·初三期末）在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，.
求（1）线段与的差值是___
（2）的长度.
( http: / / www.21cnjy.com )
方法或规律点拨
本题考查了图形的拼剪，轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．
巩固练习
1．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）如图，在离某围端的6米处有一棵树，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，太阳光下的影长为3米，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在墙上处，墙上的影高为4米，那么这棵树高约为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．6 B．8 C．9 D．10
2．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）如图是小明设计用平面镜来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，小明站在点处恰好能从镜子里看到古城墙的顶端，已知小明的眼睛距离地面的高度米，米，米，那么该古城墙的高度是________米．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2020·渠县崇德实验学 ( http: / / www.21cnjy.com )校初三期中）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2020·西安市铁一中学初三三模）小明和小刚都是篮球迷，他们常常晚上写完作业后，抽出一点时间到小区附近的室外篮球场打篮球，小明注意到篮球场两侧有两个一样高的路灯，他想正好可以用所学的知识来测量一下路灯的高度，便设计出如下的测量方案如图，用、两点表示路灯，、、，小明站在上的处．小刚帮他测得他在路灯主照射下的影长米，在路灯照射下的影长米．已知小明的身高米，篮球场的宽米，请根据以上数据计算出路灯的高度（或的长）．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．（2019·山东潍坊·初三期中）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求矩形EFGH的周长．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2020·长沙麓山国际实验学校初三期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2020·四川龙泉驿·初二期末）某班 ( http: / / www.21cnjy.com )在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2020·全国初三课时练习）如图，明珠大厦的顶部建有一直径为的“明珠”，它的西面处有一高的小型建筑，人站在的西面附近无法看到“明珠”外貌，如果向西走到点处，可以开始看到“明珠”的顶端；若想看到“明珠”的全貌，必须向西至少再走，求大厦主体建筑的高度．（不含顶部“明珠”部分的高度）
( http: / / www.21cnjy.com )
8．（2020·陕西西安 ( http: / / www.21cnjy.com )·初三三模）西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，GC=53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．
( http: / / www.21cnjy.com )
9．（2020·江苏海陵·初三期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小 ( http: / / www.21cnjy.com )亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？21*cnjy*com
10．（2019·河南平舆·初三期中）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量学校旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长米，斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，斜坡与水平地面成的角，求旗杆的高度（精确到米）．
( http: / / www.21cnjy.com )
11．（2020·陕西交大附中分校初三月考）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点处，将镜子放在点处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2．8米，到达点处，将镜子放在点处时，刚好看到在树的顶端（点在同一条直线上），若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为1．6米，求大树的高度．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．（2019·即墨市第二十八中学初三月考）有一块三角形的余料，为，一条直角边为1.5米，另一条直角边为2米，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边落在上，其余两个顶点，分别在，上，且，求矩形的长和宽分别是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
13．（2019·保定市乐凯中学初三期中）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的图柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为．敏敏观察到高度矮圆柱的影子落在地面上，其影长为；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题:
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）若敏敏的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，求影子的长度．
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为，请你画出示意图并求出高圆柱的高度．
14．（2020·山西平定·初三期末）如图，某学校宣传栏背后的道路上每隔植有一棵树，这排树共有6棵.小明站在宣传栏前面的点处正好看到两端的树干，其余的4棵树均被宣传栏挡住.已知，于点，与相交于点，，，求宣传栏的长（不记宣传栏的厚度）.
( http: / / www.21cnjy.com )
15．（2019·安徽相山 ( http: / / www.21cnjy.com )·初三月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为多少步．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2019·河北石家庄·初三月考）有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆的长度分别为200厘米和300厘米，厘米．现有一人站在斜杆下方的点处，直立、单手上举时中指指尖（点）到地面的高度厘米，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆的点处，此时，就将与的差值（厘米）作为此人此次的弹跳成绩，设厘米．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）用含的代数式表示；
（2）若他弹跳时的位置为，求该人的弹跳成绩．
17．（2020·江西中考真题）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，，之间的关系问题”进行了以下探究：
( http: / / www.21cnjy.com )
类比探究
（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，，，若，则面积，，之间的关系式为 ；
推广验证
（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，，，满足，，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用
（3）如图4，在五边形中，，，，，点在上，，，求五边形的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)