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专题26.1 反比例函数
典例体系（本专题共45题35页） ( http: / / www.21cnjy.com )
一、知识点
1.反比例函数的概念：一般地，（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。
（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）
2.反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ ←→ ←→ ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k.21世纪教育网版权所有
3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即>。（通常第二种方法更适用）21教育网
4.反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线
反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；
②选取的点越多画的图越准确；
③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。
5.反比例函数性质：
①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。
6.反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)
点P(x,y)在双曲线上都有
二、考点点拨与训练
考点1：反比例函数的定义及应用
典例：（2019·湖南澧县·初三 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）已知函数y = y1 +y2，y1与x成反比例，y2与x-2成正比例，且当x =1时，y = -1,当x = 3时，y = 3. 求y关于x的函数解析式.www.21-cn-jy.com
方法或规律点拨
本题考查待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．
巩固练习
1．（2020·青浦区实验中学初二期中）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；时，．求：关于的函数解析式21·世纪*教育网
2．（2020·全国初三课时练习）已知函数
（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；
（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
3．（2020·芜湖市第二中学初三期末）已知函数解析式为y=(m-2)
（1）若函数为正比例函数，试说明函数y随x增大而减小
（2）若函数为二次函数，写出函数解析式，并写出开口方向
（3）若函数为反比例函数，写出函数解析式，并说明函数在第几象限
4．（2020·江西余干·初三零模）已知y ( http: / / www.21cnjy.com )=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．21cnjy.com
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=5时，求y的值．
5．（2019·全国初二课时练习）已知，是的反比例函数，是的正比例函数，当时，；当时，.21*cnjy*com
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值.
6．（2018·浙江金东·初二期末）已知：y＝y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝﹣1时y＝1．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求y关于x的函数关系式．
(2)求x＝﹣时，y的值．
7．（2019·江苏兴化·初二月考）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知y＝y1-y2， y1与x+2成正比例，y2与x2成反比例．当x＝-1时，y＝－2；当x＝1时，y＝2．
(1)求y与x的函数关系式.
(2)当x＝时，求y的值
8．已知y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m是什么？
9．（2019·全国初二课时练习）当m为何值时，函数y=（m﹣3）x2﹣|m|是反比例函数？当m为何值时，此函数是正比例函数？
10．（2019·全国初三单元测试）已知函数．
若它是正比例函数，求的值；
若它是反比例函数，求m的值
考点2：确定反比例函数解析式
典例：（2019·广东深圳实验学校初三开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点处，得到矩形，与交于点．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求图象经过点的反比例函数的解析式；
（2）设（1）中的反比例函数图象交于点，求出直线的解析式．
方法或规律点拨
本题主要考查相似三角形的判定与性质，能够运用待定系数法求得函数的解析式，根据函数的解析式确定点的坐标．
巩固练习
1．（2018·河北初三其他）某气 ( http: / / www.21cnjy.com )球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
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（1）求该反比例函数的表达式．
（2）当气体体积为1m3时，气球内气体的气压是多少？
（3）当气球内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球内气体的体积应不小于多少？
2．（2019·全国初三单元测试）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.求反比例函数的解析式．
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3．（2019·全国初三期末）如图，一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=图象的一个交点为M（﹣2，m）．21·cn·jy·com
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△MOB的面积．
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4．（2019·江苏常熟·初二期末）点 P(－2，4)关于 y 轴的对称点 P'在反比例函数 y＝（k≠0）的图象上．
(1)求此反比例函数关系式；
(2)当 x 在什么范围取值时，y 是小于 1 的正数？
5．（2019·河南镇平·初二期中）已知反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
6．（2020·江苏无锡·初二期末）如图，已知点、都在反比例函数的图像上．
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（1）求和的值；
（2）以为一边在第一象限内作，若点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标．
7．（2019·济宁市第十五中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
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考点3：反比例函数增减性的应用
典例：（2020·河北青龙·月考）已知反比例函数（为常数，且）．
（1）若在其图象的每一个分支上，的值随的值增大而减小，求的取值范围；
（2）若点在该反比例函数的图象上．
①求的值；
②当时，直接写出的取值范围．
方法或规律点拨
本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求解析式，求函数的取值范围时，数形结合是关键.
巩固练习
1．（2019·全国初三单元测试）已知反比例函数的图象在所在的每一个象限内，y随x的增大而增大，求该反比例函数的表达式.
2．（2019·天津市北仓第二中学初三月考）已知点P（2，6）在反比例函数（）的图象上.
（1）当时，求的值；（2）当时，求的取值范围.
3．k为何值时，函数是反比例函数？k为何值时在每一象限内y随x的增大而增大？k为何值时在每一象限内y随x的增大而减小？【版权所有：21教育】
4．（2019·沙雅县第一中学初三月考）已知反比例函数（k为常数，k≠1）．
（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．
5．（2019·涡阳县王元中学初三月考）已知反比例函数y＝的图像经过点A（2，－4）．
（1）求k的值；
（2）它的图象在第 象限内，在各象限内，y随x增大而 （填变化情况）；
（3）当≤x≤2时，求y的取值范围．
6．（2020·河南遂平·初二期中）如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．
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7．（2020·江苏沭阳·初二期末）已知反比例函数y＝的图象经过点和．点和也在比反比例函数的图象上，且x1＜x2．
（1）求n和k的值；
（2）试比较y1与y2的大小．
8．（2019·全国初二单元测试）已知函数.
（1）当为何值时，它是正比例函数，且随的减小而减小；
（2）当为何值时，它是反比例函数，且函数图像在第一、三象限.
考点4：由图形面积求比例系数
典例：（2020·浙江北仑·）如图，已知点A（2，m）是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，△ABO的面积为6．
（1）求k和m的值；
（2）直线y＝2x+a（a≤0）与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F；
①若a＝0，已知E（p，q），则F的坐标为 （用含p，q的坐标表示）；
②若a＝﹣2．求AC的长．
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方法或规律点拨
本题考查了反比例函数系数k的几何 ( http: / / www.21cnjy.com )意义、反比例函数的性质以及函数图象上点的坐标特点等知识，属于基本知识题型，熟练掌握反比例函数的图象与性质及其系数k的几何意义是解题关键．
巩固练习
1．（2020·河北青县·初三其他）如图，已知双曲线经过斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为3，求的值．2·1·c·n·j·y
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2．（2020·广东初三二模）如图，等边△ABC的顶点A，B分别在双曲线y＝的两个分支上，且AB经过原点O．BD⊥x轴于D，S△BOD＝2．【出处：21教育名师】
（1）直接写出该双曲线的解析式为_______；
（2）若OD＝2，求A、B、C点的坐标．
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3．（2016·江苏海安·初三月考）如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，过B点作BE⊥x轴，垂足为E．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，
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（1）求四边形DCEB的面积．
（2）求k的值．
4．（2020·河北）如图，已知反比例函数的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为4．
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（1）求k和m的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数的图象上，当y≤2（y≠0）时，求自变量x的取值范围．
考点5：已知反比例函数求面积
典例：．（2020·湖北利川·）已知，反比例函数和的部分图象如图所示，点P在上，PC垂直x轴于点C，交于点A（2，1），PD垂直y轴于点D，交于点B，连接OA，OB．
（1）求B点和P点的坐标；
（2）求四边形AOBP的面积．
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方法或规律点拨
本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，以及利用间接法求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．www-2-1-cnjy-com
巩固练习
1．（2018·全国初三单元测试）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P（1，4）在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B（1，m），求k，m的值及△POB的面积．
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2．（2020·四川双流·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图像与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，且点A的坐标为（6，a）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点C（b，4）在反比例函数y＝的图像上，点P在x轴上，若△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍，请求出点P的坐标．
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2．（2020·河南西华·初三一模）小亮在研究矩形的面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：
x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12
y 12 6 ■ 3 2 1.5 1 0.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的数据为_________；
（2）y与x的函数关系式为_________，且y随x的增大而_________；
（3）如图是小亮画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断与的大小关系，并说明理由；2-1-c-n-j-y
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（4）在（3）的条件下，交于点G，反比例函数的图象经过点G交于点H，连接、，则四边形的面积为_________．21教育名师原创作品
3．如图，点在双曲线的第一象限的那一支上，垂直于轴于点，点在轴正半轴上，且，点在线段上，且，点为的中点，若的面积为3，则的值为______．21*cnjy*com
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4．（2019·石家庄市第十七中学初三期中）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，且反比例函数y＝在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，连结OD，△BOD的面积是4．
（1）求反比例函数解析式；
（2）将△AOB沿x轴向左运动，运动速度是每秒钟3个单位长度，求△AOB与反比例函数图象没有交点时，运动时间t的取值范围．
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5．（2019·河北桥东·邢台三中初三月考）已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
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6．（2019·河北保定·初三期末）如图所示，点A（，3）在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝之上，且AB∥x轴，C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，求它的面积．
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7．（2019·甘肃天水·初三期中）如图所示，双曲线经过斜边上的点，且满足，与交于点，，求的值.
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8．（2018·全国初三单元测试）如图．矩形的边，在坐标轴上，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过的中点，交于点，且四边形的面积为．求的值．
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9．（2019·全国初三单元测试）如图，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为．
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求的值；
当点在反比例函数图象上运动，其它条件不变，的面积发生变化吗？并说明你的理由．
10．（2018·全国初三期末）已知反比例函数的图象如图所示，点，是该图象上的两点．
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（1）求的取值范围；
（2）比较与的大小；
（3）若点在该反比例函数图象上，求此反比例函数的解析式；
（4）若为第一象限上的一点，作轴于点，求的面积（用含的式子表示）
11． （2020·大石桥市周家镇中学初三月考）已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点B(3，2)，点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求这个反比函数的表达式；
（2）求△ACD的面积．
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P
B
A
O
P
B
A
O
图4
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专题26.1 反比例函数
典例体系（本专题共45题35页）
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一、知识点
1.反比例函数的概念：一般地，（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。
（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）
2.反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ ←→ ←→ ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k.www-2-1-cnjy-com
3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即>。（通常第二种方法更适用）
4.反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线
反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；
②选取的点越多画的图越准确；
③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。
5.反比例函数性质：
①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。
6.反比例函数图象的几何特征:(如图4所示)
点P(x,y)在双曲线上都有
二、考点点拨与训练
考点1：反比例函数的定义及应用
典例：（2019·湖南澧县·初三月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知函数y = y1 +y2，y1与x成反比例，y2与x-2成正比例，且当x =1时，y = -1,当x = 3时，y = 3. 求y关于x的函数解析式.
【答案】
【解析】解：∵y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与（x-2）成正比例，
∴设出y1=，y2=k2（x-2），（k1≠0，k2≠0），则y=+k2（x-2），
把当x=1时，y=-1；x=3时，y=3代入得：
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解得：
.
方法或规律点拨
本题考查待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．
巩固练习
1．（2020·青浦区实验中学初二期中）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；时，．求：关于的函数解析式
【答案】
【解析】解：设，，
则，
根据题意得：，
解得：，
则函数解析式是：.
2．（2020·全国初三课时练习）已知函数
（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；
（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
【答案】（1）m=2或m=﹣1（2）y=3x﹣1
【解析】（1）由y=（m2+2m）是正比例函数，得
m2﹣m﹣1=1且m2+2m≠0，
解得m=2或m=﹣1；
（2）由y=（m2+2m）是反比例函数，得
m2﹣m﹣1=﹣1且m2+2m≠0，
解得m=1．
故y与x的函数关系式y=3x﹣1 ．
3．（2020·芜湖市第二中学初三期末）已知函数解析式为y=(m-2)
（1）若函数为正比例函数，试说明函数y随x增大而减小
（2）若函数为二次函数，写出函数解析式，并写出开口方向
（3）若函数为反比例函数，写出函数解析式，并说明函数在第几象限
【答案】（1）详见解析；（2）y=-4x2，开口向下；（3）y=-x-1或y=-3x-1，函数在二四象限
【解析】
解：(1)若为正比例函数则 -2=1，m=±，
∴m-2＜0，函数y随x增大而减小；
(2) 若函数为二次函数，-2=2且m-2≠0，
∴m=-2，函数解析式为y=-4x2，开口向下
（3）若函数为反比例函数，-2=-1， m=±1， m-2＜0，
解析式为y=-x-1或y=-3x-1，函数在二四象限
4．（2020·江西余干·初三零模）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=5时，求y的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，
设y1=a(x+1)(a≠0)，y2= (b≠0)．
∵y=y1+y2，∴y=a(x+1)+ ，
把(0，﹣5)，(2，﹣7)代入得：，
解得：，∴y=﹣2(x+1)﹣，
答：y与x的函数关系式是y=﹣2(x+1)﹣．
（2）当x=5时，y=﹣2(x+1)﹣=﹣2×(5+1)﹣=﹣12 ，
答：当x=5时，y的值是﹣12．
5．（2019·全国初二课时练习）已知，是的反比例函数，是的正比例函数，当时，；当时，.
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值.
【答案】（1）；（2）18.
【解析】（1）设，，则 ( http: / / www.21cnjy.com ) 解得 故.
（2）当时，
6．（2018·浙江金东·初二期末）已知：y＝y1﹣y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝﹣1时y＝1．
(1)求y关于x的函数关系式．
(2)求x＝﹣时，y的值．
【答案】(1)y＝2x2+；(2)y＝﹣．
【解析】解：(1)设y1＝k1x2，y2＝，
∵y＝y1﹣y2，
∴y＝k1 x2﹣，
把x＝1，y＝3代入y＝k1 x2﹣得：k1﹣k2＝3①，
把x＝﹣1，y＝1代入y＝k1 x2﹣得：k1 + k2＝1②，
①，②联立，解得：k1＝2，k2＝﹣1，
即y关于x的函数关系式为y＝2x2+，
(2)把x＝﹣代入y＝2x2+，
解得y＝﹣．
7．（2019·江苏兴化·初二月考）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝y1-y2， y1与x+2成正比例，y2与x2成反比例．当x＝-1时，y＝－2；当x＝1时，y＝2．
(1)求y与x的函数关系式.
(2)当x＝时，求y的值
【答案】（1） ；（2）-11
【解析】
（1）设y1= a（x+2），y2=，则y= a（x+2）-，
把x=﹣1，y=-2；x=1，y=2分别代入得 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得，
所以y与x之间的函数关系为；
（2）当x＝时， .
8．已知y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m是什么？
【答案】.
【解析】∵y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，
∴，
解得：.
9．（2019·全国初二课时练习）当m为何值时，函数y=（m﹣3）x2﹣|m|是反比例函数？当m为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】m=﹣3时，函数y=（m﹣3）x2﹣|m|是反比例函数；当m=±1，此函数是正比例函数
【解析】根据反比例函数的定义知2﹣|m|=﹣1，m﹣3≠0，
解得：m=﹣3；
根据正比例函数的定义知2﹣|m|=1，m﹣3≠0，
解得：m=±1．
故答案为：m=﹣3时，函数y=（m﹣3）x2﹣|m|是反比例函数；当m=±1，此函数是正比例函数．
10．（2019·全国初三单元测试）已知函数．
若它是正比例函数，求的值；
若它是反比例函数，求m的值
【答案】（1）3；（2）．
【解析】
是正比例函数，
，
，
是反比例函数，
，，
.
考点2：确定反比例函数解析式
典例： （2019·广东深圳实验学校初三开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点处，得到矩形，与交于点．21·世纪*教育网
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（1）求图象经过点的反比例函数的解析式；
（2）设（1）中的反比例函数图象交于点，求出直线的解析式．
【答案】（1） （2）
【解析】解：（1）∵∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON
∴△OGA∽△OMN，
∴ ∴ ， 解得AG=1．
设反比例函数，把A（1，2）代入得k=2，
∴过点A的反比例函数的解析式为：．
（2）∵点B的横坐标为4，x=4代 中，故（4，）
设直线AB的解析式y=mx+n，把A（1，2）、B（4，）代入，
得 ( http: / / www.21cnjy.com )， 解得 ．
∴直线AB的解析式．
方法或规律点拨
本题主要考查相似三角形的判定与性质，能够运用待定系数法求得函数的解析式，根据函数的解析式确定点的坐标．21*cnjy*com
巩固练习
1．（2018·河北初三其他）某气球内 ( http: / / www.21cnjy.com )充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
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（1）求该反比例函数的表达式．
（2）当气体体积为1m3时，气球内气体的气压是多少？
（3）当气球内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球内气体的体积应不小于多少？
【答案】（1） ；（2）96kPa；（3） .
【解析】解：（1）设ρ=，由题意知120=，所以k=96，故ρ=（v＞0）；
（2）当v=1m3时，ρ==96，∴气球内气体的气压是96kPa；
（3）当p=200kPa时，v==．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于m3．
2．（2019·全国初三单元测试）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.求反比例函数的解析式．
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【答案】反比例函数的解析式为y＝－.
【解析】∵将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，
∴OA=2，
∵AB//y轴，AB=，
∴B点坐标为：（-2，），
把B（-2，），代入y＝中，得到k＝－3，
∴反比例函数的解析式为y＝－.
3．（2019·全国初三期末）如图，一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y2=图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△MOB的面积．
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【答案】(1);(2)1
【解析】解：（1）∵M（﹣2，m）在一次函数y1=﹣x﹣1的图象上，
∴代入得：m=﹣（﹣2）﹣1=1，
∴M的坐标是（﹣2，1），
把M的坐标代入y2=得：k=﹣2，
即反比例函数的解析式是：；
（2）y1=﹣x﹣1，
当x=0时，y1=﹣1，
即B的坐标是（0，﹣1），
所以OB=1，
∵M（﹣2，1），
∴点M到OB的距离是2，
∴△MOB的面积是×1×2=1．
4．（2019·江苏常熟·初二期末）点 P(－2，4)关于 y 轴的对称点 P'在反比例函数 y＝（k≠0）的图象上．
(1)求此反比例函数关系式；
(2)当 x 在什么范围取值时，y 是小于 1 的正数？
【答案】（1）y=；（2）x＞8；
【解析】（1）∵点P（-2，4）与点P′关于y轴对称，
∴P′（2，4），
∵点P′在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴4=，解得k=8，
∴反比例函数的关系式为：y=；
（2）∵y是小于1的正数，
∴0＜＜1，解得x＞8．
5．（2019·河南镇平·初二期中）已知反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）．
（1）求k的值；
（2）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
【答案】（1）k＝9；（2）图象位于二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
【解析】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4），
∴1﹣k=2×（﹣4）=﹣8；
解得：k＝9；
（2）∵1﹣k=﹣8＜0，
∴图象位于二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
6．（2020·江苏无锡·初二期末）如图，已知点、都在反比例函数的图像上．
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（1）求和的值；
（2）以为一边在第一象限内作，若点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标．
【答案】（1），；（2）
【解析】解：（1）把，代入，解得：．
把代入，解得：，．
（2）∵点横坐标为，设．
连，过点作轴，作，，则，，
∵，或，
，或，
解得：，．
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7．（2019·济宁市第十五中学初三月考）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
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【答案】（1）点坐标为；（2）.
【解析】解：∵轴，
∴点的纵坐标为，
把代入得，
∴点坐标为；
∵，
∴，
∴，
而，
∴．
考点3：反比例函数增减性的应用
典例：（2020·河北青龙·月考）已知反比例函数（为常数，且）．
（1）若在其图象的每一个分支上，的值随的值增大而减小，求的取值范围；
（2）若点在该反比例函数的图象上．
①求的值；
②当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）的取值范围为；（2）①的值为6；②的取值范围为．
【解析】解：（1）∵在图象的每一个分支上，的值随的值增大而减小，
∴，
∴；
（2）①∵点在该反比例函数图像上，
∴，
∴，
②反比例函数解析式为，
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当时，，
由图可得，当时，．
方法或规律点拨
本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求解析式，求函数的取值范围时，数形结合是关键.
巩固练习
1．（2019·全国初三单元测试）已知反比例函数的图象在所在的每一个象限内，y随x的增大而增大，求该反比例函数的表达式.21教育名师原创作品
【答案】.
【解析】解：∵反比例函数的图象在所在的每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴，解得，
∴，
∴该反比例函数的表达式为：.
2．（2019·天津市北仓第二中学初三月考）已知点P（2，6）在反比例函数（）的图象上.
（1）当时，求的值；（2）当时，求的取值范围.
【答案】(1)当x= 3时，y= 4.(2)当1【解析】(1)∵点P(2,6)在反比例函数的图象上，
∴，即k=12，
∴反比例函数的解析式为.
∴当x= 3时，y= 4.
(2)∵当x=1时，y=12；当x=3时，y=4，
又反比例函数,在x>0时,y值随x值的增大而减小，
∴当13．k为何值时，函数是反比例函数？k为何值时在每一象限内y随x的增大而增大？k为何值时在每一象限内y随x的增大而减小？【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】k=0或k=－1时是反比例函数;k=－1时在每一象限内y随x的增大而增大;
k=0时在每一象限内y随x的增大而减小
【解析】（1）∵y与x是反比例函数，
∴ ，解得k=0或k=－1；
（2）当<0，即<-时，在每一象限内y随x的增大而增大，所以k=－1；
（3）当>0，即>-时，在每一象限内y随x的增大而减小, 所以k=0.
4．（2019·沙雅县第一中学初三月考）已知反比例函数（k为常数，k≠1）．
（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；
（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．
【答案】（Ⅰ）5（Ⅱ）k＞1（Ⅲ）x1＞x2
【解析】解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）
∵点P在正比例函数y=x的图象上，∴2=m，即m=2．
∴点P的坐标为（2，2）．
∵点P在反比例函数的图象上，∴，解得k=5．
（Ⅱ）∵在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴k－1＞0，解得k＞1．
（Ⅲ）∵反比例函数图象的一支位于第二象限，
∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．
∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，
∴x1＞x2．
（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，从而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数的图象上，所以，解得k=5．
（2）由于在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k－1＞0，求出k的取值范围即可．
（3）反比例函数图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2．
5．（2019·涡阳县王元中学初三月考）已知反比例函数y＝的图像经过点A（2，－4）．
（1）求k的值；
（2）它的图象在第 象限内，在各象限内，y随x增大而 （填变化情况）；
（3）当≤x≤2时，求y的取值范围．
【答案】（1）9；（2）二、四，增大；（3）
【解析】解：（1）依题意得：1﹣k＝2×（﹣4）＝﹣8，所以k＝9；
（2）∵1﹣k＝﹣8＜0，
∴反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，且在各象限内，y随x增大而增大；
故答案是：二、四，增大；
（3）由（1）得反比例函数表达式为y＝ ，
当x=2时，y=-4，
当x＝时，y= -16，
所以，当≤x≤2时，．21cnjy.com
6．（2020·河南遂平·初二期中）如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．
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【答案】(1) k＝4， m＝1；(2)当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－.
【解析】（1）∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为，∵A（4，m），∴m==1；
（2）∵当x=﹣3时，y=﹣；
当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数在x＜0时，y随x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣．
7．（2020·江苏沭阳·初二期末）已知反比例函数y＝的图象经过点和．点和也在比反比例函数的图象上，且x1＜x2．
（1）求n和k的值；
（2）试比较y1与y2的大小．
【答案】（1），；（2）当或时，y1＜y2；当时，y1＞y2
【解析】（1）将点和 代入反比例函数y＝
即
解得
∴n和k的值分别为：，；
（2）∵n和k的值分别为：，
∴反比例函数解析式为：
∵点和也在比反比例函数的图象上
∴，
∴
∵
∴
∴当或时，
∴
即y1＜y2
当时，
∴
即y1＞y2．
8．（2019·全国初二单元测试）已知函数.
（1）当为何值时，它是正比例函数，且随的减小而减小；
（2）当为何值时，它是反比例函数，且函数图像在第一、三象限.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知可得：，解得：或，
又随的减小而减小，
，即，
，
（2）由已知可得：，解得：或，又∵函数图像在第一、三象限，
，即，或，.
考点4：由图形面积求比例系数
典例：（2020·浙江北仑·）如图，已知点A（2，m）是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，△ABO的面积为6．
（1）求k和m的值；
（2）直线y＝2x+a（a≤0）与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F；
①若a＝0，已知E（p，q），则F的坐标为 （用含p，q的坐标表示）；
②若a＝﹣2．求AC的长．
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【答案】（1）k＝12，m＝6；（2）①（﹣p，﹣q）；②4．
【解析】解：（1）∵点A（2，m）是反比例函数y＝的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S△AOB＝|k|＝6，
∴|k|＝2×6＝12，
∵图象在第一、三象限，∴k＝12，
∴反比例函数为y＝，
∴2m＝12，解得：m＝6；
（2）①若a＝0，则y＝2x是正比例函数，
∵直线y＝2x与反比例函数图象交于点E，F，且E（p，q），
∴F（﹣p，﹣q），
故答案为（﹣p，﹣q）；
②若a＝﹣2，则函数为y＝2x﹣2，
把x＝2代入y＝2x﹣2得，y＝2，
∴C（2，2），
∵A（2，6），
∴AC＝6﹣2＝4．
方法或规律点拨
本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的性质以及函数图象上点的坐标特点等知识，属于基本知识题型，熟练掌握反比例函数的图象与性质及其系数k的几何意义是解题关键．
巩固练习
1．（2020·河北青县·初三其他）如图，已知双曲线经过斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为3，求的值．
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【答案】
【解析】解：过点做轴，垂足为，
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∵中，，
∴
∵为斜边的中点，
∴为的中位线
∴且
∵双曲线的解析式是
∴，
解得
2．（2020·广东初三二模）如图，等边△ABC的顶点A，B分别在双曲线y＝的两个分支上，且AB经过原点O．BD⊥x轴于D，S△BOD＝2．21世纪教育网版权所有
（1）直接写出该双曲线的解析式为_______；
（2）若OD＝2，求A、B、C点的坐标．
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【答案】（1）y＝﹣；（2）C（2，2）．
【解析】解：（1）∵点B在双曲线y＝的图象上，且BD⊥x轴于D，
∴S△BOD＝|k|，
∵S△BOD＝2，
∴|k|＝4，
∵图象在二四象限，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
故答案为y＝﹣；
（2）作CE⊥x轴于E，连接OC，
∵OD＝2，
∴B的横坐标为2，
把x＝2代入y＝﹣，求得y＝﹣2，
∴B（2，﹣2），
∵A、B关于原点对称，
∴A（﹣2，2），
∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，∠BCO＝30°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠COE+∠BOD＝90°，
∵CE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠CEO＝∠ODB＝∠COE+∠OCE＝90°，
∴∠BOD＝∠OCE，
∴△COE∽△OBD，
∴，即，
∴OE＝CE＝2，
∴C（2，2）．
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3．（2016·江苏海安·初三月考）如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，过B点作BE⊥x轴，垂足为E．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，
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（1）求四边形DCEB的面积．
（2）求k的值．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）∵A、B是双曲线y=上的两点，BE⊥x轴，AC⊥x轴，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴；
（2）∵D为OB的中点，BE⊥x轴，AC⊥x轴，
∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE．
设A（x，），则B（2x，），
则CD=，AD=-，
∵△ADO的面积为1，
∴AD OC=1，
即（-） x=1，
解得k=．
4．（2020·河北）如图，已知反比例函数的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为4．21*cnjy*com
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（1）求k和m的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数的图象上，当y≤2（y≠0）时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1），；（2）在第一象限：当时，；在第三象限：当时，
【解析】解：（1）的面积为4，
，
反比例函数解析式为，
（2）当时，；
∴或．
∴答案为：在第一象限：当时，，在第三象限：当时，
考点5：已知反比例函数求面积
典例：．（2020·湖北利川·）已知，反比例函数和的部分图象如图所示，点P在上，PC垂直x轴于点C，交于点A（2，1），PD垂直y轴于点D，交于点B，连接OA，OB．
（1）求B点和P点的坐标；
（2）求四边形AOBP的面积．
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【答案】（1）B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）；（3）4
【解析】解：（1）由题意知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，
∵P点在上，把代入得，
∴P点的坐标为（2，3），B点的纵坐标为3．
又∵B点在上，把代入得，
∴B点的坐标为（，3），P点的坐标为（2，3）．
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（2）如图，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD=，
用S表示图形的面积，由题意得：
，
，
，
=4．
方法或规律点拨
本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，以及利用间接法求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．21教育网
巩固练习
1．（2018·全国初三单元测试）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P（1，4）在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B（1，m），求k，m的值及△POB的面积．
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【答案】k=4，m=2，．
【解析】解：∵P（1，4），∴k=4；
∵B（1，m），C2解析式为：y=，∴m=2；
S△POB=S△POA－S△BOA=2－1=1.
2．（2020·四川双流·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图像与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，且点A的坐标为（6，a）．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点C（b，4）在反比例函数y＝的图像上，点P在x轴上，若△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍，请求出点P的坐标．【出处：21教育名师】
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【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝；（2）点P的坐标为（，0）或（－，0）．
【解析】解：（1）∵点A（6，a）在正比例函数y＝x的图像上
∴a＝×6＝2
∵点A（6，2）在反比例函数y＝的图像上
∴2＝，
k＝12
∴反比例函数的表达式为y＝．
（2）分别过点C，A作CD⊥轴，AE⊥轴，垂足分别为点D，E．
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∵点C（b，4）在反比例函数y＝的图像上
∴4＝，b＝3，即点C的坐标为（3，4）
∵点A，C都在反比例函数y＝的图像上
∴S△OAE＝S△COD＝×12＝6
∴S△AOC＝S四边形COEA－S△OAE＝S四边形COEA－S△COD＝S梯形CDEA
∴S△AOC＝×(CD＋AE)·DE＝×(4＋2)×(6－3)＝9
∵△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍
∴S△AOP＝S△AOC＝，
设点P的坐标为（m，0）
则S△AOP＝×2·︱m︱＝，．
∴m＝，
∴点P的坐标为（，0）或（－，0）．
2．（2020·河南西华·初三一模）小亮在研究矩形的面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：
x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12
y 12 6 ■ 3 2 1.5 1 0.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的数据为_________；
（2）y与x的函数关系式为_________，且y随x的增大而_________；
（3）如图是小亮画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断与的大小关系，并说明理由；2·1·c·n·j·y
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（4）在（3）的条件下，交于点G，反比例函数的图象经过点G交于点H，连接、，则四边形的面积为_________．
【答案】（1）4；（2）y=，减小；（3），说明见解析；（4）4
【解析】（1）∵表格中x、y表示矩形的边长
则S=xy=0.5，解得：S=6
∴当x=1.5时，y=4；
（2）∵S=xy=6
∴y=
根据反比例函数的性质，在第一象限内，y随x的增大而减小；
（3）∵y=
其中k=6表示任取函数图像上一点P，过点分别做x轴、y轴垂线，则与坐标轴构成的矩形面积为6
∴，
∴；
（4）如下图，ED与OH交于点M
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反比例函数k的几何意义还可以如下图，表示为：任取函数上一点P，向x轴作垂线，交x轴于点N，则△ONP的面积为
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∵点G在函数图像上
∴==1
∴
∴．
3．如图，点在双曲线的第一象限的那一支上，垂直于轴于点，点在轴正半轴上，且，点在线段上，且，点为的中点，若的面积为3，则的值为______．21·cn·jy·com
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【答案】
【解析】解：连接DC，如图，
∵AE=3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，
而点D为OB的中点，
∴BD=OD=b，
∵S梯形OBAC=S△ABD＋S△ADC＋S△ODC，
∴(a＋2a)×b=a×b＋4＋×2a×b，
∴ab=，
把A（a，b）代入双曲线y=，
∴k=ab=．
故答案为：．
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4．（2019·石家庄市第十七中学初三期中）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，且反比例函数y＝在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，连结OD，△BOD的面积是4．
（1）求反比例函数解析式；
（2）将△AOB沿x轴向左运动，运动速度是每秒钟3个单位长度，求△AOB与反比例函数图象没有交点时，运动时间t的取值范围．
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【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）∵反比例函数y＝在第一象限内，
∴k>0，
∵S△BOD＝k，
∴k＝4，
解得k＝8，
∴反比例函数解析式为；
（2）当A点恰好移到上时，
∵AB=8，即为点A的纵坐标的值，
∴点A的横坐标是：，
∵OB＝4，
∴点A移动的距离是4－1=3，移动的时间是3÷3=1秒，
所以若△AOB与反比例函数图象没有交点，则．
5．（2019·河北桥东·邢台三中初三月考）已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．【版权所有：21教育】
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【答案】（1）第三象限，m＞2；（2）m＝8
【解析】解（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣2＞0，则m＞2；
（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，设AB交x轴于点C，
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∴△OAC的面积为3．
设A（x， ），
则：△OAC的面积 ＝3，
解得m＝8．
6．（2019·河北保定·初三期末）如图所示，点A（，3）在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝之上，且AB∥x轴，C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，求它的面积．2-1-c-n-j-y
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【答案】2
【解析】解：∵A（，3），AB∥x轴，点B在双曲线y＝之上，
∴B（1，3），
∴AB＝1﹣＝，AD＝3，
∴S＝AB AD＝×3＝2．
7．（2019·甘肃天水·初三期中）如图所示，双曲线经过斜边上的点，且满足，与交于点，，求的值.
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【答案】8
【解析】过作轴，垂足为，则
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∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵点，分别在双曲线上，
∴.
∴
∴
∴
8．（2018·全国初三单元测试）如图．矩形的边，在坐标轴上，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过的中点，交于点，且四边形的面积为．求的值．
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【答案】
【解析】解：设点坐标为，
∵矩形的边的中点为，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴．
9．（2019·全国初三单元测试）如图，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为．
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求的值；
当点在反比例函数图象上运动，其它条件不变，的面积发生变化吗？并说明你的理由．
【答案】（1）；（2）的面积不发生变化．
【解析】解：∵的面积是，
∴．
又∵图象在二，四象限，，
∴．
∵是反比例函数图象上的点，
∴，
∴的面积不发生变化．
10．（2018·全国初三期末）已知反比例函数的图象如图所示，点，是该图象上的两点．
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（1）求的取值范围；
（2）比较与的大小；
（3）若点在该反比例函数图象上，求此反比例函数的解析式；
（4）若为第一象限上的一点，作轴于点，求的面积（用含的式子表示）
【答案】（1）；（2）；（3）：；（4）．
【解析】（1）∵反比例函数的图象在一、三象限，
，即；
（2）∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴在每一象限内随的增大而减小，
∴，
∴；
（3）∵点在该反比例函数图象上，
∴，解得，
∴此函数的解析式为：；
（4）∵为第一象限上的一点，轴于点，
∴．
11． （2020·大石桥市周家镇中学初三月考）已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点B(3，2)，点B与点C关于原点O对称，BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点Dwww.21-cn-jy.com
（1）求这个反比函数的表达式；
（2）求△ACD的面积．
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【答案】（1 ）；（2）6.
【解析】(1)将B点坐标代入y＝中，得＝2，解得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)∵点B与点C关于原点O对称，
∴C点坐标为(－3，－2)．
∵BA⊥x轴，CD⊥x轴，
∴A点坐标为(3，0)，D点坐标为(－3，0)．
∴S△ACD＝AD·CD＝×[3－(－3)]×|－2|＝6
P
B
A
O
P
B
A
O
图4
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