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专题27.2.2成比例线段、平行线分线段成比例
典例体系(本专题共44题28页)
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一、知识点
1.比例线段
在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.21·cn·jy·com
2.比例的基本性质
(1)基本性质: ad=bc;(b、d≠0)
(2)合比性质: =;(b、d≠0)
(3)等比性质:=…==k(b+d+…+n≠0)
=.(b、d、···、n≠0)
3.平行线分线段成比例定理
(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例.即如图所示,若l3∥l4∥l5,则.
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(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),所得的对应线段成比例.即如图所示,若AB∥CD,则.21·世纪*教育网
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(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.
如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
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4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果==≈0.618,那么线段AB被点C黄金分割.其中点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
例:把长为10cm的线段进行黄金分割,那么较长线段长为5(-1)cm
二、考点点拨与训练
考点1:比例的性质
典例:(2020·四川师范大学附属中学初三月考)已知一次函数中,比例系数满足,那么直线与轴的交点坐标为______.2-1-c-n-j-y
方法或规律点拨
本题考查一次函数与比例的综合应用,根据比例的性质对a、b、c的取值进行讨论是解题关键.
巩固练习
1.(2020·保定市第三中学分校初三期末)若,设,,,则、、的大小顺序为( )【来源:21cnj*y.co*m】
A. B. C. D.
2.(2020·上海浦东新·初三月考)已知,且所有字母均表示正实数,则下列各式不成立的是( )
A. B. C. D.
3.(2020·北京大峪中学初三月考)已知,那么x的值是( )
A. B. C. D.
4.(2020·中国科技大学附属中学初三月考)若,则的值为( )
A. B.-1 C.1 D.
5.(2020·上海浦东新·初三月考)已知,则的值为________.
6.(2020·辽宁省实验中学分校初三期中)已知=,则=_____.
7.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)若,则_______.
8.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)已知,且,则的值为______.
9.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)若成立,则的值为______.
10.(2020·中国科技大学附属中学初三月考)已知;,且,求的值
11.(2020·安徽省潜山县第四中学初三月考)已知a,b,c是△ABC的三边,满足,且.
(1)求a,b,c的值.
(2)若线段x是线段a、b的比例中项,求x.
12.(2019·全国初三课时练习)若P在线段AB上,点Q在AB的延长线上,,且,求PQ的长.
考点2:线段的比
典例:(2020·上海炫学培训学校有限公司期中)在比例尺为1:10000的地图上,相距2厘米的两地实际距离是_________米.21教育网
方法或规律点拨
本题考查了两条线段的比,解答关键是注意单一变化.
巩固练习
1.(2020·上海浦东新·初三月考)在一幅比例尺为的地图上,若量得甲、乙两地的距离是,则甲、乙两地实际距离为( )2·1·c·n·j·y
A.125km B.12.5km C.1.25km D.1250km
2.(2019·全国初三期中)在一张比例尺为的地图上,量得、两地的距离是5,那么、两地的实际距离是( )【来源:21·世纪·教育·网】
A. B.
C. D.
3.(2020·射阳县第 ( http: / / www.21cnjy.com )二初级中学月考)在一幅比例尺是1∶6000000的图纸上,量得两地的图上距离是2厘米,则两地的实际距离是_____千米.【出处:21教育名师】
4.(2020·江阴高新区实验中学月考)在比例尺为1:300的地图上,一条长为6cm的线段实际长为____m.
考点3:成比例线段的概念及判定
典例:(2019·广东惠来·初三期中)下列四条线段能成比例的是( )
A.a=4, b=6, c=5,d=10 B.a= ,b=3,c=2,d=
C.a=2,b= ,c= ,d= D.a=1,b=2,c=3, d=4
方法或规律点拨
本题主要考查了成比例的定义,关键在于理解线段成比例时,各个线段的顺序.
巩固练习
1.(2020·无锡市钱桥中学月考)下列各组的四条线段成比例的是( )
A.,3,2,, B.4,6,5,10 C.1,2,,2 D.2,3,4,1
2.(2019·河南南阳·初三期中)下列四条线段中,不能成比例的是( )
A.a=4,b=8,c=5,d=10 B.a=2,b=2,c=,d=5
C.a=1,b=2,c=3,d=4 D.a=1,b=2,c=2,d=4
3.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)下列线段能成比例线段的是( )
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
4.(2019·泉州市第六中学初三期中)下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.4cm,2cm,1cm,3cm
B.1cm,2cm,3cm,5cm
C.3cm,4cm,5cm,6cm
D.1cm,2cm,2cm,4cm
5.(2020·长春市第四十七中学初三月考)下列各组线段中,能成比例的是( )
A.1 cm,3 cm,4 cm,6 cm B.2 cm,1 cm,4 cm,1.5 cm
C.0.1 cm,0.2 cm,0.3 cm,0.4 cm D.3 cm,4 cm,6 cm,8 cm【版权所有:21教育】
考点4:平行线分线段成比例定理的应用
典例:(2020·河北承德·二模)如图,中,,,.点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动,点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动,点,同时出发,当其中一点到达点时停止运动,另一点也随之停止.设点,运动的时间是秒().21教育名师原创作品
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发现:
(1)__________;
(2)当点,相遇时,相遇点在哪条边上?并求出此时的长.
探究:
(1)当时,的面积为_________;
(2)点,分别在,上时,的面积能否是面积的一半?若能,求出的值;若不能,请说明理由.
拓展:当时,直接写出此时的值.
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理,一元一次方程中的动点问题 ( http: / / www.21cnjy.com ),平行线截线段成比例,一元二次方程的判别式,题目较难,综合性较强,熟练掌握不同模块知识点是本题的关键.21*cnjy*com
巩固练习
1.(2020·辽宁沈阳·初三月考)如图,已知,,下列结论正确的是( )
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A. B. C. D.
2.(2019·河南南阳·初三期中)如图.AB∥CD∥EF,AF、BE交于点G,下列比例式错误的是( )
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A. B. C. D.
3.(2020·哈尔滨市实验学校月考)如图,在中,点,点为边的三等分点,与交于点,则下列比例式正确的是( )www-2-1-cnjy-com
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A. B. C. D.
4.(2020·哈尔滨市萧红中学初三月考)如图,在平行四边形中,分别是边上的点,连接相交于点,延长交的延长线于点,下列结论错误的是( )
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A. B. C. D.
5.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)如图,直线,若,,,则线段的长为( )www.21-cn-jy.com
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A.5 B.6 C.7 D.8
6.(2020·哈尔滨市第四十七中学初三月考)如图,在中,点、、分别在,,边上,,,则下列比例式中错误的是( )
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A. B. C. D.
7.(2020·山东省平邑县第一中学初三月考)如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F.若,DE=4,则EF的长是( )
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A. B. C.6 D.10
8.(2019·乐清市英华学校初三月考)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D、E、F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则( )
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A. B.2 C. D.
9.(2020·福建省惠安荷山中学初 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考)如图,AD∥BE∥CF,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=1,BC=2,DE=1.5,则EF的长为( )
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A. B.2 C. D.3
10.(2020·河北初三其他)如图,在中,D在AC边上,,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则( )
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A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3
11.如图,,点,分别在,上,,,则长为( ).
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A.4 B.2 C. D.
12.(2019·全国初三单元测试)已知:如图中,,且,那么等于( )
A. B. C. D.
13.(2019·郑州市第六十三中学初三三模)如图,,直线,与这三条平行线分别交于点,,和点,,,若,,则___________.21*cnjy*com
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14.(2019·全国初三单元测试)如图,,点在上,与交于点,,,则的长为______.
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15.(2019·全国初三单元测试)中,为上的一点,,是上一点,,求,的值.
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16.(2019·全国初三课时练习)如图,在中,AD平分∠BAC.求证.
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17.(2020·河北南宫·初二月考)如图,在中,、分别平分与它的邻补角,于点,于点,直线分别交、于点、.
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(1)求证:四边形为矩形.
(2)试猜想与的关系,并证明你的猜想.
(3)如果四边形是正方形,试判断的形状(直接写出结果,不用说明理由).
考点5:黄金分割及其应用
典例:(2020·四川师范大学附属中学初三月考)已知线段,点是线段的黄金分割点,则的长度为_____.21世纪教育网版权所有
方法或规律点拨
本题考查了主要黄金分割点,掌握黄金比例和分类讨论思想是解答本题的关键.
巩固练习
1.(2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试)已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则AC:AB=( )
A. B. C. D.
2.(2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考)已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点(AP>PB),则PB:PA的值为( )
A. B. C. D.
3.(2019·山东乳山·初二期末)如图①,,点在线段上,且满足.如图②,以图①中的,长为边建构矩形,以长为边建构正方形,则矩形的面积为( )
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A. B. C. D.
4.(2020·银川外国语实验学校初三月考)已知是的黄金分割点,若,则的长为( )
A. B. C. D.
5.(2020·广东南山·蛇口育才二中初三月考)已知点是线段的黄金分割点,且,,则为( )
A. B. C. D.
6.(2019·浙江衢州·初三期中) ( http: / / www.21cnjy.com )一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图,是一个参加空姐选拔的选手的身高情况,那么她应穿________cm的鞋子才能好看?(精确到0.01cm).
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7.(2020·安徽省潜山县第四中学初三月考)已知点P是线段AB上的一个黄金分割点,且AB=2,AP>BP,那么BP=________.21cnjy.com
8.(2020·安徽太和·初三二模)已知点是线段上的黄金分割点,,,那么__________.
9.(2020·甘肃七里河·初三期末)古希腊时期,人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是(0.618,称之为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此,若某位女性身高为165cm,肚脐到头顶高度为65cm,则其应穿鞋跟为_____cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例.(精确到1cm)
10.(2020·江苏初三 ( http: / / www.21cnjy.com )月考)电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图:若舞台AB长为20m,试计算主持人应走到离A点至少_____m处.(结果精确到0.1m)
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11.(1)已知,求的值;
(2)已知点是线段的黄金分割点,且,,求的长度
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专题27.2.2成比例线段、平行线分线段成比例
典例体系(本专题共44题28页)
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一、知识点
1.比例线段
在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.www.21-cn-jy.com
2.比例的基本性质
(1)基本性质: ad=bc;(b、d≠0)
(2)合比性质: =;(b、d≠0)
(3)等比性质:=…==k(b+d+…+n≠0)
=k.(b、d、···、n≠0)
3.平行线分线段成比例定理
(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例.即如图所示,若l3∥l4∥l5,则.
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(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),所得的对应线段成比例.即如图所示,若AB∥CD,则.21教育网
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(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.
如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
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4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果==≈0.618,那么线段AB被点C黄金分割.其中点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
例:把长为10cm的线段进行黄金分割,那么较长线段长为5(-1)cm
二、考点点拨与训练
考点1:比例的性质
典例:(2020·四川师范大学附属中学初三月考)已知一次函数中,比例系数满足,那么直线与轴的交点坐标为______.21教育名师原创作品
【答案】或
【解析】
∵,
①当时,
,
则与轴交点坐标为,
②,
则,
∴与轴交点为.
故答案为:或.
方法或规律点拨
本题考查一次函数与比例的综合应用,根据比例的性质对a、b、c的取值进行讨论是解题关键.
巩固练习
1.(2020·保定市第三中学分校初三期末)若,设,,,则、、的大小顺序为( )21*cnjy*com
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解:∵,设x=2a,y=7a,z=5a,
∴=,
==1,
==2.
∴A<B<C.
故选:B.
2.(2020·上海浦东新·初三月考)已知,且所有字母均表示正实数,则下列各式不成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:四个选项分别十字相乘,
只有A选项是ay=bx不满足题意.
故选:A.
3.(2020·北京大峪中学初三月考)已知,那么x的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知,由内项之积等于外项之积,3x=10,x=.
故选:A.
4.(2020·中国科技大学附属中学初三月考)若,则的值为( )
A. B.-1 C.1 D.
【答案】B
【解析】解:
2x=x-y,
x=﹣y,
∴=﹣1,
故选:B.
5.(2020·上海浦东新·初三月考)已知,则的值为________.
【答案】
【解析】解:设a=2k(k为不等于0的实数),
则b=3k,
.
故答案为:.
6.(2020·辽宁省实验中学分校初三期中)已知=,则=_____.
【答案】
【解析】∵=,
∴7a﹣7b=3a+3b,
∴4a=10b,
∴.
故答案为:.
7.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)若,则_______.
【答案】
【解析】
∴
,,.
故答案为:.
8.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)已知,且,则的值为______.
【答案】4
【解析】解:设,
则,,,
那么,
解得,,
则.
故答案为:4
9.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)若成立,则的值为______.
【答案】1或-2
【解析】当时,,
∴;
当时,
∵,
∴,
∴,
∴或.
故答案为:1或-2.
10.(2020·中国科技大学附属中学初三月考)已知;,且,求的值
【答案】9
【解析】解:设=k,
则a=5k,b=7k,c=8k,
∵a+b+c=20,
∴5k+7k+8k=20,
解得k=1,
∴a=5,b=7,c=8,
∴2a+b-c=2×5+7-8=9.
11.(2020·安徽省潜山县第四中学初三月考)已知a,b,c是△ABC的三边,满足,且.
(1)求a,b,c的值.
(2)若线段x是线段a、b的比例中项,求x.
【答案】(1),,;(2)
【解析】解:(1)∵,且,
∴,
∴,,,
∴,,,
(2)∵线段x是线段a、b的比例中项,
∴,
∴,
12.(2019·全国初三课时练习)若P在线段AB上,点Q在AB的延长线上,,且,求PQ的长.
【答案】24
【解析】设AP=3x,BP=2x,
∵AB=10,∴AB=AP+BP=3x+2x=5x,即5x=10,
∴x=1,∴AP=6,BP=4.
∵=,∴可设BQ=y,则AQ=AB+BQ=10+y,
∴,
解得y=20,
∴PQ=PB+BQ=4+20=24.
考点2:线段的比
典例:(2020·上海炫学培训学校有限公司期中)在比例尺为1:10000的地图上,相距2厘米的两地实际距离是_________米.
【答案】200
【解析】解:设两地的实际距离为x厘米,
∵比例尺为1:10000,
∴2:x=1:10000,
∴x=20000厘米=200米.
故答案为200.
方法或规律点拨
本题考查了两条线段的比,解答关键是注意单一变化.
巩固练习
1.(2020·上海浦东新·初三月考)在一幅比例尺为的地图上,若量得甲、乙两地的距离是,则甲、乙两地实际距离为( )21*cnjy*com
A.125km B.12.5km C.1.25km D.1250km
【答案】A
【解析】设实际距离是xcm,则,
1:500000=25:x,
解得:x=12500000.
12500000cm=125km,
故选A
2.(2019·全国初三期中)在一张比例尺为的地图上,量得、两地的距离是5,那么、两地的实际距离是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解:设A,B两地的实际距离为x cm,
根据题意得:,
解得:x=100000,
∵100000cm=1000m,
∴A,B两地的实际距离是1000m.
故选B.
3.(2020·射阳县第二初级中学月考)在一 ( http: / / www.21cnjy.com )幅比例尺是1∶6000000的图纸上,量得两地的图上距离是2厘米,则两地的实际距离是_____千米.
【答案】120
【解析】比例尺是1∶6000000,
地图上两地的距离是2厘米,则实际是12000000厘米=120千米
故答案为:120.
4.(2020·江阴高新区实验中学月考)在比例尺为1:300的地图上,一条长为6cm的线段实际长为____m.
【答案】18
【解析】设两地的实际距离是xcm,
根据题意得:
6:x=1:300,
解得:x=6×300=1800cm=18m,
故答案为:18.
考点3:成比例线段的概念及判定
典例:(2019·广东惠来·初三期中)下列四条线段能成比例的是( )
A.a=4, b=6, c=5,d=10 B.a= ,b=3,c=2,d=
C.a=2,b= ,c= ,d= D.a=1,b=2,c=3, d=4
【答案】C
【解析】解:A.4:6≠5:10,则a:b≠c:d,即a,b,c,d不成比例;
B. :3≠2:,则a:b≠c:d,即a,b,c,d不成比例;
C.2:=:,则a:b=c:d,即a,b,c,d不成比例;
D.1:2≠3:4,则a:b≠c:d,即a,b,c,d不成比例;
方法或规律点拨
本题主要考查了成比例的定义,关键在于理解线段成比例时,各个线段的顺序.
巩固练习
1.(2020·无锡市钱桥中学月考)下列各组的四条线段成比例的是( )
A.,3,2,, B.4,6,5,10 C.1,2,,2 D.2,3,4,1
【答案】C
【解析】A选项不能成比例;
B选项不能成比例;
C选项可以,;
D选项不能成比例.
故选:C.
2.(2019·河南南阳·初三期中)下列四条线段中,不能成比例的是( )
A.a=4,b=8,c=5,d=10 B.a=2,b=2,c=,d=5
C.a=1,b=2,c=3,d=4 D.a=1,b=2,c=2,d=4
【答案】C
【解析】解:A、4×10=5×8,能成比例;
B、2×5=2×,能成比例;
C、1×4≠2×3,不能成比例;
D、1×4=2×2,能成比例.
故选C.21·cn·jy·com
3.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)下列线段能成比例线段的是( )
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
【答案】B
【解析】在A选项中,,故A不能构成比例线段;
在B选项中,,故B能构成比例线段;
在C选项中,,故C不能构成比例线段;
在D选项中,,故D不能构成比例线段;
故选:B.
4.(2019·泉州市第六中学初三期中)下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.4cm,2cm,1cm,3cm
B.1cm,2cm,3cm,5cm
C.3cm,4cm,5cm,6cm
D.1cm,2cm,2cm,4cm
【答案】D
【解析】A.从小到大排列,由于1,所以不成比例,不符合题意;
B. 从小到大排列,由于1,所以不成比例,不符合题意;
C. 从小到大排列,由于3,所以不成比例,不符合题意;
D. 从小到大排列,由于1,所以成比例,符合题意;
故选D.
5.(2020·长春市第四十七中学初三月考)下列各组线段中,能成比例的是( )
A.1 cm,3 cm,4 cm,6 cm B.2 cm,1 cm,4 cm,1.5 cm
C.0.1 cm,0.2 cm,0.3 cm,0.4 cm D.3 cm,4 cm,6 cm,8 cm2-1-c-n-j-y
【答案】D
【解析】解:A、1×6≠ ( http: / / www.21cnjy.com )3×4,故不符合题意;
B、1×4≠2×1.5,故不符合题意;
C、0.1×0.4≠0.2×0.3,故不符合题意;
D、3×8=4×6,故正确.
故选:D.【版权所有:21教育】
考点4:平行线分线段成比例定理的应用
典例:(2020·河北承德·二模)如图,中,,,.点从点出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点匀速运动,点从点出发沿以每秒2个单位长的速度向点匀速运动,点,同时出发,当其中一点到达点时停止运动,另一点也随之停止.设点,运动的时间是秒().
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发现:
(1)__________;
(2)当点,相遇时,相遇点在哪条边上?并求出此时的长.
探究:
(1)当时,的面积为_________;
(2)点,分别在,上时,的面积能否是面积的一半?若能,求出的值;若不能,请说明理由.
拓展:当时,直接写出此时的值.
【答案】发现(1)5;(2)相遇点在边上,AP=1;探究:(1)1;(2)不能,理由见解析;拓展:
【解析】发现:(1)在中,
∴AB=5;
(2)点P运动到B需要:s
点Q运动到B点需要:s
当点相遇时,有.解得.
∴相遇点在边上,
此时.
探究:(1)当时,PC=1,BQ=2,即CQ=2
∴
故答案为1;
(2)不能
理由:若的面积是面积的一半,
即,化为.
∵,
∴方程没有实数根,
即的面积不能是面积的一半.
拓展:由题可知,点先到达边,当点还在边上时,存在,如图所示.
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这时,.
∵,,
∴.
解得,
即当时,.
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理,一元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程中的动点问题,平行线截线段成比例,一元二次方程的判别式,题目较难,综合性较强,熟练掌握不同模块知识点是本题的关键.
巩固练习
1.(2020·辽宁沈阳·初三月考)如图,已知,,下列结论正确的是( )
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:,,
∴
∴,故A错误;,故D正确;
不能确定和的值,故B、C错误
故选D.
2.(2019·河南南阳·初三期中)如图.AB∥CD∥EF,AF、BE交于点G,下列比例式错误的是( )
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、由AB∥CD∥EF,则,所以A选项的结论正确;
B、由AB∥CD∥EF,则,所以B选项的结论正确;
C、由AB∥CD∥EF,则,所以C选项的结论正确;
D、由AB∥CD∥EF,则,所以D选项的结论错误;
故选D.
3.(2020·哈尔滨市实验学校月考)如图,在中,点,点为边的三等分点,与交于点,则下列比例式正确的是( )【来源:21·世纪·教育·网】
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解:A选项错误,
∵点D、点E是AB的三等分点,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
则;
B选项错误,无法证明;
C选项正确,
∵,
∴,
∵,
∴,
则;
D选项错误,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
故选:C.
4.(2020·哈尔滨市萧红中学初三月考)如图,在平行四边形中,分别是边上的点,连接相交于点,延长交的延长线于点,下列结论错误的是( )
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:四边形是平行四边形,
,,
,错误、正确,符合题意;
,正确,不符合题意;
,正确,不符合题意;
故选:.
5.(2020·四川师范大学附属中学初三月考)如图,直线,若,,,则线段的长为( )21世纪教育网版权所有
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A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】∵,由平行线分线段成比例可得:,
∵,,,
∴.
故选B.
6.(2020·哈尔滨市第四十七中学初三月考)如图,在中,点、、分别在,,边上,,,则下列比例式中错误的是( )【来源:21cnj*y.co*m】
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.∵EF//AB,
∴,
∴,
故本选项正确;
B.∵EF//AB,∴,故本选项正确;
C.∵DE//BC,
∴,
∵EF//AB,
∴DE=BF,
∴,
∴,
故本选项正确;
D.∵EF//AB,
∴,
∵CF≠DE,
∴,
故本选项错误;
故选:D.
7.(2020·山东省平邑县第一中学初三月考)如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F.若,DE=4,则EF的长是( )
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A. B. C.6 D.10
【答案】C
【解析】解:∵l1∥l2∥l3,
∴,
即,
解得:EF=6.
故选:C.
8.(2019·乐清市英华学校初三月考)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;直线DF分别交l1,l2,l3于点D、E、F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则( )
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A. B.2 C. D.
【答案】A
【解析】解: AH=2,HB=1,BC=5,
AB=3,
,
;
故选A.
9.(2020·福建省惠安荷山中学初 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考)如图,AD∥BE∥CF,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=1,BC=2,DE=1.5,则EF的长为( )21·世纪*教育网
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A. B.2 C. D.3
【答案】D
【解析】解:∵AD∥BE∥CF,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F,
∴,即:
∴EF=3
故选:D.
10.(2020·河北初三其他)如图,在中,D在AC边上,,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则( )
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A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3
【答案】B
【解析】如图,过O作,交AC于G,
∵O是BD的中点,
∴G是DC的中点.
又,
设,又,
,
故选B.
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11.如图,,点,分别在,上,,,则长为( ).
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A.4 B.2 C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴
∵,
∴
∴
∴
故选:.
12.(2019·全国初三单元测试)已知:如图中,,且,那么等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过点F作FM∥BC,交AE于M,
∵AF:FC=1:2,
∴AF:AC=1:3,
∴,
∴EC=3FM,
∵BD=DF,
∴=1,
∴BE=FM,
∴BE:EC=1:3,
故选B.
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13.(2019·郑州市第六十三中学初三三模)如图,,直线,与这三条平行线分别交于点,,和点,,,若,,则___________.www-2-1-cnjy-com
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【答案】9
【解析】解:,DE=6,
,即,
.
故答案为:9.
14.(2019·全国初三单元测试)如图,,点在上,与交于点,,,则的长为______.
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【答案】1.2
【解析】∵AB∥GH,
∴,即①,
∵GH∥CD,
∴,即②,
①+②,得,
∴,
解得.
故答案是:1.2.
15.(2019·全国初三单元测试)中,为上的一点,,是上一点,,求,的值.
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【答案】,.
【解析】
作交于,如图,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,,
∴,.
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16.(2019·全国初三课时练习)如图,在中,AD平分∠BAC.求证.
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【答案】见解析
【解析】如图,过点C作,交BA的延长线于点E,∵,∴,.
又∵AD平分,∴,∴,∴,∵,∴,∵,∴.
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17.(2020·河北南宫·初二月考)如图,在中,、分别平分与它的邻补角,于点,于点,直线分别交、于点、.
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(1)求证:四边形为矩形.
(2)试猜想与的关系,并证明你的猜想.
(3)如果四边形是正方形,试判断的形状(直接写出结果,不用说明理由).
【答案】(1)答案见解析;(2)MN∥BC且MN=BC,证明见解析;(3)△ABC是直角三角形
【解析】(1)∵于点,于点,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
∵、分别平分与它的邻补角,
∴∠ACE=∠ACB,∠ACF=∠ACD,
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACD)=90°,
∴∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°,
∴四边形为矩形;
(2)MN∥BC且MN=BC,
证明:∵四边形为矩形,
∴AC=EF,AN=CN=EC=FC,
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE,
∴MN∥BC,
∵AN=CN,
∴N是AC的中点,
∴,
∴点M是AB的中点,
∴MN是△ABC的中位线,
∴MN∥BC且MN=BC;
(3)△ABC是直角三角形(∠ACB=90°)
证明:∵四边形AECF是正方形,
∴AC⊥EF,
∵EF∥BC,
∴AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.
考点5:黄金分割及其应用
典例:(2020·四川师范大学附属中学初三月考)已知线段,点是线段的黄金分割点,则的长度为_____.
【答案】或.
【解析】解:点是线段的黄金分割点,
①当时,如图
∴
∴
②当时,如图
∴,
∴
∴
综上:的长度在或.
方法或规律点拨
本题考查了主要黄金分割点,掌握黄金比例和分类讨论思想是解答本题的关键.
巩固练习
1.(2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试)已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则AC:AB=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵AC>BC,
∴AC是较长的线段,
根据黄金分割的定义可知AC:AB=BC:AC=,
∴AC:BC=.
故选A.
2.(2020·江苏泰兴市实验初级中学初三月考)已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点(AP>PB),则PB:PA的值为( )2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:由题意得:
;
故选A.
3.(2019·山东乳山·初二期末)如图①,,点在线段上,且满足.如图②,以图①中的,长为边建构矩形,以长为边建构正方形,则矩形的面积为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解:由得,
AC=AB=×2=-1,BC=AB=×2=3-,
因为四边形CBDE为正方形,所以EC=BC,
AE=AC-CE=AC-BC=(-1)-(3-)=2-4,
矩形AEDF的面积:AE DE=(2-4)×(3-)=10-22.
故选C.【出处:21教育名师】
4.(2020·银川外国语实验学校初三月考)已知是的黄金分割点,若,则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解:由题意知:,
所以.
故选:.
5.(2020·广东南山·蛇口育才二中初三月考)已知点是线段的黄金分割点,且,,则为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:∵点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,
∴
而AB=2,
∴
故选A.
6.(2019·浙江衢州·初三期中 ( http: / / www.21cnjy.com ))一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图,是一个参加空姐选拔的选手的身高情况,那么她应穿________cm的鞋子才能好看?(精确到0.01cm).
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】10.16
【解析】设她应穿xcm高的鞋子,
根据题意,得=0.618.
解得,x≈10.16,
故答案为10.16
7.(2020·安徽省潜山县第四中学初三月考)已知点P是线段AB上的一个黄金分割点,且AB=2,AP>BP,那么BP=________.
【答案】
【解析】解:由于为线段的黄金分割点,
且,
则.
;
故答案为:
8.(2020·安徽太和·初三二模)已知点是线段上的黄金分割点,,,那么__________.
【答案】
【解析】∵点是线段上的黄金分割点,,
∴AP=,
故答案为:.
9.(2020·甘肃七里河·初三期末)古希腊时期,人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是(0.618,称之为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此,若某位女性身高为165cm,肚脐到头顶高度为65cm,则其应穿鞋跟为_____cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例.(精确到1cm)21cnjy.com
【答案】5
【解析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm,
则 ≈0.618,
解得:x≈5,且符合题意.
故答案为5.
10.(2020·江苏初三月考) ( http: / / www.21cnjy.com )电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图:若舞台AB长为20m,试计算主持人应走到离A点至少_____m处.(结果精确到0.1m)
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】7.6
【解析】根据黄金比得:20×(1-0.618)≈7.6米或20×≈12.4米(舍去),
则主持人应走到离A点至少7.6米处.
故答案为7.6
11.(1)已知,求的值;
(2)已知点是线段的黄金分割点,且,,求的长度
【答案】(1);(2).
【解析】(1)∵
∴
∴
(2)∵点是线段的黄金分割点,且,
∴
∴
∴
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