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专题27.2.3 相似三角形的性质及应用
典例体系（本专题共85题67页） ( http: / / www.21cnjy.com )
一、知识点
相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
二、考点点拨与训练
考点1：高度（距离）测量
典例1：影长测高问题
（2020·无锡市东北塘中学初三 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）阅读以下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全 ( http: / / www.21cnjy.com )落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． www-2-1-cnjy-com
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一 ( http: / / www.21cnjy.com )部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．2-1-c-n-j-y
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米， ( http: / / www.21cnjy.com )落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m． 【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米．
（2）求出乙树的高度（画出示意图）．
（3）请选择丙树的高度为 （ ）
A、6.5米 B、5.75米 C、6.05米 D、7.25米21教育名师原创作品
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．
方法或规律点拨
本题考查了同一时刻的阳光下，树高与其影长的比实际上就是相似比，正确画出图形，将实际问题转化为数学问题是解题关键．21·世纪*教育网
巩固练习
1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作， ( http: / / www.21cnjy.com )成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
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A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
2．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，他沿着树影由向走，当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合．此时三点恰好在一条直线上．经测得米，米，则树的高度为（ ）
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A．3米 B．4米 C．4.5米 D．6米
3．某数学课外活动小组想利用树 ( http: / / www.21cnjy.com )影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学的影长为1.35m，由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为3.6m，建筑物上的影长为1.8m，则树的高度为（ ）
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A．5.4 m B．5.8 m C．5.22 m D．6.4 m
4．（2020·湖北巴东·初三 ( http: / / www.21cnjy.com )其他）如图，路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端 A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点 E 处，已知 BC=6 米，正方形边长为 3米，DE=5 米．则电线杆 AB 的高度是（ ）米．
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A． B．13 C． D．
5．（2020·山东莱州·初二期末）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）
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A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
6．（2019·全国初三课时练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）
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A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
7．（2020·广东南海·初三月考）如图，为 ( http: / / www.21cnjy.com )测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
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A．6m B．8.8m C．12m D．15m
8．（2020·河南舞钢·初三期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，有一张直径（BC）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A距地面2米，圆桌的影子是DE，AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是（2，0）．那么点E的坐标是____．
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9．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时 ( http: / / www.21cnjy.com )，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．
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（1）求路灯A的高度；
（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？
10．（2019·河南平舆·初三期中）如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？
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11．（2020·贵州贵阳·初三开学考试）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度．
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12．（2019·全国初 ( http: / / www.21cnjy.com )三课时练习）某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现在测量工具有皮尺、标杆，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.
（1）画出你设计的测量平面图；
（2）简述测量方法，并写出测量的数据.（长度用a，b，c…表示）
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13．（2020·上海市金山初级中学初三月考）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度．
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14．（2020·江苏淮安·初三一模）如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（精确到0.lm)【版权所有：21教育】
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15．（2020·全国初三课时练习）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在点处，人在点F处正好在镜中看到树尖A．已知小军的眼睛距地面1.7m，量得m， m， m.求这棵古松树的高度.
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16．（2020·陕西师大附中初三其他）小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯下的影长为步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，同时测得步米，求路灯的高度(结果保留一位小数)
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17．（2020·无锡市钱桥中学初三月考） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处．
（1）求路灯AB的高度．
（2）请在图中画出小亮EF的位置；并求出此时的影长．
（3）如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？
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典例2：镜面测高问题
为了测量校园水平地面上一棵不 ( http: / / www.21cnjy.com )可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度．
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方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．21教育网
巩固练习
1．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.6m，她离镜子的水平距离CE＝1.2m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为（ ）
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A．2.7m B．3.6m C．4.8m D．6.4m
3．如图，小明为了测量一凉亭 ( http: / / www.21cnjy.com )的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
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A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
4．（2020·北京海淀·人大附中初三其他）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为．若小明的眼睛与地面的距离为，则旗杆的高度为（单位：m）（ ）
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A．12.4 B．12.5 C．12.8 D．16
5．（2020·全国初三 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）
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A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
7．小红用下面的方法来测量学 ( http: / / www.21cnjy.com )校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）
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8．星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩， ( http: / / www.21cnjy.com )他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．
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9．（2019·全国初三课时练习）如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E点时发现前面2米处有一处积水C，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆的高度.
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典例3：其他测量问题
（2018·全国初三单元测 ( http: / / www.21cnjy.com )试）如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．
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方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
巩固练习
1．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( )
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A． B． C． D．
2．（2019·河南南阳·初三期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）( )
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A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈
3．如图，小颖同学用自制的直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，则树高AB=（ ）m．
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A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
4．（2019·陕西初三专题练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF，观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）
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A． B． C． D．
5．（2019·北京市十一学校初三月考）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m. ( http: / / www.21cnjy.com )
6．（2020·陕西交大附中分 ( http: / / www.21cnjy.com )校初三月考）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
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7．（2019·全国初三课时练习）我军侦察员 ( http: / / www.21cnjy.com )在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.
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8．（2020·上海浦东新·初 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是__________mm．
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9．（2020·重庆南开（融侨）中学校初二期末）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米．
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10．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部初三月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为__________尺．
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11．（2019·山东青岛·初三期中）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为_____m．21*cnjy*com
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12．（2020·陕西交大附中分校初 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考）如图有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
13．（2020·上海中考真题）《九章 ( http: / / www.21cnjy.com )算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．2·1·c·n·j·y
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14．（2019·安徽初三月考）如图，一块直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为_____m．21*cnjy*com
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15．（2018·北京房山·初三期中）为 ( http: / / www.21cnjy.com )了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是_____．
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16．（2020·山东莱州·初二期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
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18．如图，在相对的两栋楼中间 ( http: / / www.21cnjy.com )有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）【出处：21教育名师】
19．某学校的学生为了对小雁塔有基本的 ( http: / / www.21cnjy.com )认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．
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20．（2020·陕西初三 ( http: / / www.21cnjy.com )其他）20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．
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考点2：利用相似三角形的性质解决纯数学问题
典例：（2020·广东三水 ( http: / / www.21cnjy.com )·初三一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止，设运动时间为t秒.
（1）t为何值时，△PBQ的面积为12cm2；
（2）若PQ⊥DQ，求t的值.
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方法或规律点拨
此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程．
巩固练习
1．（2020·上海市金山初级中学初三月考）已知，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2020·无锡市东北塘中学初三月考）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
3．（2020·河南卧龙·初三期末）如图，平行四边形中，为边的中点，交于点，则图中阴影部分面积与平行四边形的面积之比为（ ）
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A． B． C． D．
4．（2020·广西初三其他）已知与是位似图形，且相似比为，若的面积为27，则的面积为（ ）
A．7 B．12 C．10 D．18
5．（2020·广东顺德·）如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（ ）
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A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2
6．（2020·江苏姜堰·初三期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为（ ）
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A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．（2020·上海宝山·月考）如图，、都是的垂线，，，，是上一点，联结、，所得两个三角形相似，则的长是_______．
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9．（2020·上海宝山·月考）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则点到的距离是_______．
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10．（2020·上海宝山·月考）两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为_______．
11．（2020·射阳县第二初级中学 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）△ABC中，AB＝10，AC＝6，点D在AC上，且AD＝3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝__________．
12．（2020·上海浦东新·初三月考）有 ( http: / / www.21cnjy.com )一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．
13．（2019·泉州市第六中学初三期中）△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积的比为________．
14．（2020·上海市南汇第四中学初三月考）如果，，，，，则________．
15．（2020·上海宝山·月考）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知的边，高，求：正方形的边长和面积．
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16．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE＝AB，AB＝9，AO＝6，求DE和AE的长．21世纪教育网版权所有
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17．（2020·上海浦东新·初三月考）两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．
18．（2019·陕西初三专题练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．
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19．（2019·江苏海陵·泰州中学附属初中 ( http: / / www.21cnjy.com )初三期末）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明：
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20．（2020·酒泉市第二中学期中）如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：APQ∽ABC
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
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考点3：相似三角形性质的综合应用
典例：（2020·山东安丘·东埠初中初三月考）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？
（2）当点到达时，两点同时停止运动，经过多长时间，长？
（3）是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
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方法或规律点拨
此题考查了相似三角形的判定，正方形的性质和 ( http: / / www.21cnjy.com )一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．
巩固练习
1．（2020·安徽包河·初三二模）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（ ）
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A．2 B． C． D．
2．（2020·深圳市罗湖外语 ( http: / / www.21cnjy.com )学校初中部初三月考）如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝______．
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3．（2020·中国科技大学附属中 ( http: / / www.21cnjy.com )学初三月考）如图，△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4．折叠该纸片，使点A落在线段OB上，折痕与边OA交于点C，与边AB交于点D．
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（1）若折叠后使点A与点O重合，此时OC＝ ；
（2）若折叠后使点A与边OB的中点重合，求OC的长度；
（3）若折叠后点A落在边OB上的点为E，且使DE∥OA，求此时OC的长度．
4．（2020·无锡市钱桥中学初三月考）如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，
（1）求证：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．
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5．（2020·聊城市茌平区振兴街道 ( http: / / www.21cnjy.com )中学月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？
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7．（2021·山西初三月考）在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，O为坐标AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程的两个根（OA
（1）求点B的坐标；
（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将△POQ翻折，使点O落在AB上的点处，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以，Q，M，N为顶点四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2020·无锡市钱桥中学初三月考）如图1，RtABC中，∠C=90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点D是BC上的一个定点．动点P从点C出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S（cm2）与点P的运动时间t（s）的函数图象．
（1）CD= ，S= cm2；
（2）当点P在边AB上时，t为何值时，使得BPQ与ABC为相似？
（3）运动过程中，求出当BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值．
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9．（2019·河南南阳·初三期中）如图，在中，，，点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，如果、同时出发，当点到达点时，点随之停止运动．当中有一个内角等于时，求运动时间的值．
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10．（2020·丹东第十中学 ( http: / / www.21cnjy.com )初三月考）如图，在△ ABC 中，∠C ＝90 °， BC＝ 8 cm ．AC：AB ＝ 3 ： 5 ，点 P 从 B 点出发，沿 BC 向点 C 以 1cm / s 的速度匀速移动；点 Q 从 C 点出发，沿 CA 向点 A 以 2 cm / s 的速度匀速移动．两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）经过多少秒时，S△QPC=S△ABC；
（2）经过多少秒时，以 C ， P ， Q 为顶点的三角形恰好与△ ABC 相似？
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11．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）在中，，，．
（1）如图1，折叠使点落在边上的点D处，折痕交、分别于、，若，则＿＿＿．
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（2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于、．若，求证：四边形是菱形．21cnjy.com
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．www.21-cn-jy.com
12．（2021·张家港市南丰中学初二月考）如图，，点D是BC的中点，直线l于点E，点C在直线上，直线．点P以每秒2个单位长度的速度，从C点沿路径向终点B运动，运动时间设为 t 秒．
（1）如图1，当时，PC=______．作PF⊥直线于点F，此时与全等吗？请说明理由．
（2）如图2，当点P在AB上时，作PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H．
①是否存在全等的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②连结，当时，求的长．
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13．（2020·海南琼山中学初三月考） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x（0＜x＜8）．
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（1）求证：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值；
（3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形（直接写出结果）．
14．（2019·贵州印 ( http: / / www.21cnjy.com )江·初三期末）如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着CD在C点到D点间运动（当达D点后则停止运动），同时点Q从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿着DA在D点到A点间运动（当达到A点后则停止运动）．设运动时间为t秒，则按下列要求解决有关的时间t．
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（1）△PQD的面积为5时，求出相应的时间t；
（2）△PQD与△ABC可否相似，如能相似求出相应的时间t，如不能说明理由；
（3）△PQD的面积可否为10，说明理由．
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专题27.2.3 相似三角形的性质及应用
典例体系（本专题共85题67页）
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一、知识点
相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
二、考点点拨与训练
考点1：高度（距离）测量
典例1：影长测高问题
（2020·无锡市东北塘中学初三月考）阅读以 ( http: / / www.21cnjy.com )下文字并解答问题：在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分 ( http: / / www.21cnjy.com )影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 21教育网
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有 ( http: / / www.21cnjy.com )一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．
小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米， ( http: / / www.21cnjy.com )落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m．
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（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米．
（2）求出乙树的高度（画出示意图）．
（3）请选择丙树的高度为 （ ）
A、6.5米 B、5.75米 C、6.05米 D、7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．
【答案】（1）；（2）图见解析，米；（3）C；（4）米．
【解析】（1）设甲树的高度为米，
则，
解得（米），
故答案为：；
（2）如图，设AB为乙树的高度，, ，
四边形AECD是平行四边形，
，
由题意得：，即，
解得，
则乙树的高度（米）；
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（3）如图，设AB为丙树的高度，，，，
由题意得：，，
解得，，
，
四边形AGCD是平行四边形，
，
则丙树的高度（米），
故选：C；
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（4）如图，设AB为丁树的高度，，，
由题意得：，，
解得，，
四边形AECF是平行四边形，
，
则丁树的高度（米）．
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方法或规律点拨
本题考查了同一时刻的阳光下，树高与其影长的比实际上就是相似比，正确画出图形，将实际问题转化为数学问题是解题关键．
巩固练习
1．《孙子算经》是中国古代重要 ( http: / / www.21cnjy.com )的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
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A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【答案】B
【解析】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
故选B．
2．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，他沿着树影由向走，当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合．此时三点恰好在一条直线上．经测得米，米，则树的高度为（ ）
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A．3米 B．4米 C．4.5米 D．6米
【答案】D
【解析】解：根据题意，可知：∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∴，即，
∴AB＝6．
故选：D．
3．某数学课外活动小组想利用树影测量树高， ( http: / / www.21cnjy.com )他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学的影长为1.35m，由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为3.6m，建筑物上的影长为1.8m，则树的高度为（ ）21cnjy.com
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A．5.4 m B．5.8 m C．5.22 m D．6.4 m
【答案】B
【解析】解：如下图所示，延长BD、AC交于点E，BD＝3.6米，CD＝1.8米，
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∵同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影长为1.35米，
∴，即，
∴DE＝1.62，
∵CDAB，
∴∠ECD=∠EAB，∠CDE=∠ABE，（两直线平行，同位角相等）
∴CDE∽ABE，
∴，即，
∴AB＝5.8（米），
故选：B．
4．（2020·湖北巴东·初三其 ( http: / / www.21cnjy.com )他）如图，路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端 A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点 E 处，已知 BC=6 米，正方形边长为 3米，DE=5 米．则电线杆 AB 的高度是（ ）米． 2·1·c·n·j·y
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A． B．13 C． D．
【答案】C
【解析】解：过点G作GH∥BC，GM⊥BE，
根据题意，四边形BMGH是矩形，
∴BH=GM=3米，
根据题意可得△AHG∽△FDE，
∴，
，
∴AH=4.5，
∴AB=AH+BH=4.5+3=米，
故选：C．
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5．（2020·山东莱州·初二期末）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）
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A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
【答案】C
【解析】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，
∵同一时刻物高与影长成正比例，
∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，
∴AE=11.5米，
∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，
∴树的高度是11.8米，
故选C.
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6．（2019·全国初三课时练习）如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）
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A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
【答案】B
【解析】由题意知，
可得，
∴，
∵（米），米，
∴，
∴米，
故选B.
7．（2020·广东南海·初三月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
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A．6m B．8.8m C．12m D．15m
【答案】C
【解析】如图，AD＝8m，AB＝30m，DE＝3.2m；
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由于DE∥BC，则△ADE∽△ABC，
得：，即，
解得：BC＝12m，
故选C．
8．（2020·河南舞钢·初三期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )有一张直径（BC）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A距地面2米，圆桌的影子是DE，AD和AE是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D的坐标是（2，0）．那么点E的坐标是____．21*cnjy*com
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【答案】（4，0）
【解析】如图，延长CB交y轴于F，
∵桌面与x轴平行即BF∥OD，
∴△AFB∽△AOD，
∵OF=0.8，
∴AF=AO-OF=2-0.8=1.2，
∵OA=OD=2，
则AF=FB=1.2，BC =1.2，FC=FB+BC=1.2+1.2=2.4，
∵FC∥x轴，
∴△AFC∽△AOE，
∴，
∴=4，
E（4，0）．
故答案为：（4，0）．
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9．如图，王华晚上由路灯A下的B处 ( http: / / www.21cnjy.com )走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．
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（1）求路灯A的高度；
（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？
【答案】（1）路灯A有6米高（2）王华的影子长米．
【解析】（1）由题可知AB//MC//NE，
∴，而MC=NE
∴
∵CD=1米，EF=2米，BF=BD+4，∴BD=4米，∴AB==6米
所以路灯A有6米高
（2） 依题意，设影长为x，则解得米
答：王华的影子长米．
10．（2019·河南平舆·初三期中）如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】这棵树高．
【解析】过点作交于点
则，
，即
答：这棵树高．
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11．（2020·贵州贵阳·初三开学考试）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点，且点，，在同一直线上．已知，，求这棵树的高度．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】这棵树的高度为
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
答：这棵树的高度为．
12．（2019·全国初 ( http: / / www.21cnjy.com )三课时练习）某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现在测量工具有皮尺、标杆，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.
（1）画出你设计的测量平面图；
（2）简述测量方法，并写出测量的数据.（长度用a，b，c…表示）
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【答案】（1）如图，见解析，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合；（2）旗杆的高度为cm.
【解析】（1）如图，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合；
（2）用皮尺测量旗杆的影长m，标杆CD的影长m，标杆高cm.
∵，
∴，即，
∴cm，
所以旗杆的高度为cm.
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13．（2020·上海市金山初级中学初三月考）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度．
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【答案】BO=134m．
【解析】解：
又
即（m）
14．（2020·江苏淮安·初三一模）如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（精确到0.lm)
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【答案】路灯的高度约为6.0m
【解析】由题意，得，，，
∴.∴.
∴.①
同理，，
∴.②
又∵，
∴由①，②可得，
即，
解得.
将代入①，得.
故路灯的高度约为6.0m.
15．（2020·全国初三课时练习）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在点处，人在点F处正好在镜中看到树尖A．已知小军的眼睛距地面1.7m，量得m， m， m.求这棵古松树的高度.
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【答案】这棵古松树的高度为10m.
【解析】设这棵古松树的高度m， m.
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得，
即m.
又∵，
∴.
解得，即m.
答：这棵古松树的高度为10m.
16．（2020·陕西师大附中初三其他）小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯下的影长为步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，同时测得步米，求路灯的高度(结果保留一位小数)
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【答案】路灯的高度约为米
【解析】解：
设
答：路灯的高度约为米．
17．（2020·无锡市钱桥中学 ( http: / / www.21cnjy.com )初三月考）如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处．
（1）求路灯AB的高度．
（2）请在图中画出小亮EF的位置；并求出此时的影长．
（3）如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？
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【答案】（1）6.4米；（2）5米；（3）米
【解析】解：（1）∵米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵AB、CD都与地面BO垂直，
∴，
∴，即，
∴米；
（2）小亮的位置如图所示：
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∵，
∴，即，
∴米；
（3）如图，过点M作BO的平行线，交AB于点H，交PO于点K，连接AM并延长交PO于点L，
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∵小亮距离墙2米，
∴米，
∴米，
∵米，米，
∴米，
∵，
∴，即，
∴米，
∴墙上的影子长为米．
典例2：镜面测高问题
为了测量校园水平地面上一棵不 ( http: / / www.21cnjy.com )可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度．
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【答案】树AB的高度为4.2米
【解析】过点E作EF⊥BD于点E，则∠1=∠2， ∵∠DEF=∠BEF=90°，
∴∠DEC=∠AEB，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠CDE=∠ABE=90°，
∴△CDE∽△ABE，
∴ = ，
∵DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，
∴ = ，
解得AB=4.2（米）．
答：树AB的高度为4.2米．
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方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
巩固练习
1．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.6m，她离镜子的水平距离CE＝1.2m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为（ ）
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A．2.7m B．3.6m C．4.8m D．6.4m
【答案】C
【解析】解：由题意可得：AE＝3.6m，CE＝1.2m，DC＝1.6m，
∵△ABE∽△CDE，
∴，
即，
解得：AB＝4.8m，
故选：C．
3．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（ ( http: / / www.21cnjy.com )顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
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A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
【答案】D
【解析】解：如图：
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由题意∠AGC＝∠FGE，
∵∠ACG＝∠FEG＝90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴AC：EF＝CG：GE，
∴，
∴AC＝9.6米，
∴AB＝AC+BC＝9.6+0.6＝10.2米．
故选：D．
4．（2020·北京海淀·人大附中初三其他）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为．若小明的眼睛与地面的距离为，则旗杆的高度为（单位：m）（ ）
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A．12.4 B．12.5 C．12.8 D．16
【答案】C
【解析】解：如图，BC＝2m，CE＝16m，AB＝1.6m，
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由题意得∠ACB＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴，即，
∴DE＝12.8
即旗杆的高度为12.8m．
故答案为：C．
5．（2020·全国初三课时练习 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）
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A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
【答案】D
【解析】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，
∵△ABC∽△EDC，
∴，
即，
解得：AB＝6，
故选D．
7．小红用下面的方法来测量学校教学 ( http: / / www.21cnjy.com )大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】12.8米
【解析】∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，
∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE=∠DCE=90°
∴△BAE∽△DCE
∴；
∵CE=2.5米，DC=1.6米，
∴；
∴AB=12.8
∴大楼AB的高为12.8米．
8．星期天，小丽和同学们在 ( http: / / www.21cnjy.com )碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．
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【答案】答案见解析．
【解析】解：设计方案例子：如图，在距 ( http: / / www.21cnjy.com )离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．
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理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.根据＝，即可算出AB的高．
9．（2019·全国初三课时练习）如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E点时发现前面2米处有一处积水C，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆的高度.
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【答案】旗杆的高度为30米
【解析】∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴米，
∴旗杆的高度为30米.
典例3：其他测量问题
（2018·全国初三单元测试）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王在公路PQ南侧直线行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧PQ的距离．
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【答案】电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米．
【解析】
如图所示，作CE⊥PQ于E，交AB于D点，
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设CD为x，则CE=60+x，
∵AB∥PQ，
∴△ABC∽△PQC，
∴=，即=，
解得x=300，
∴x+60=360米，
答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米．
方法或规律点拨
本题考查了相似三角形的性质与应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
巩固练习
1．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( )
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵，，
∴∠ABO=∠CDO,
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴.
故选C.
2．（2019·河南南阳·初三期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）( )
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A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈
【答案】D
【解析】由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，
过E作EG⊥AB于G，交CD于H，
则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，
∵CD∥AB，
∴△ECH∽△EAG，
∴，
∴，
∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈，
故答案选D.
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3．如图，小颖同学用自制的直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，则树高AB=（ ）m．21·世纪*教育网
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A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】D
【解析】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴BC：EF=DC：DE，
∵DE=30cm=0.3m，EF=15cm=1.5m，AC=1.5m，CD=7m，
∴，
∴BC=3.5米，
∴AB=AC+BC=1.5+3.5=5m，
故选D．
4．（2019·陕西初三专 ( http: / / www.21cnjy.com )题练习）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF，观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解: ∵EF∥AB, ∴△CEF∽△CAB, ∴,故选B.
5．（2019·北京市十一学校初三月考）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m. ( http: / / www.21cnjy.com )www-2-1-cnjy-com
【答案】7
【解析】
设树的高度为m，由相似可得，解得，所以树的高度为7m
6．（2020·陕西交大附中分 ( http: / / www.21cnjy.com )校初三月考）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
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【答案】2.4
【解析】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m，
∴OC=0.5m，
∴，
∴DG=1.8m，
∵OE=0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)．
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7．（2019·全国初三课时练习） ( http: / / www.21cnjy.com )我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.
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【答案】20
【解析】解：∵40cm=0.4m，8cm=0.08m
∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．
∴△ABC∽△ADE，
∴BC：DE=AG：AF，
∴0.08：DE=0.4：100，
∴DE=20m．
故答案为：20．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．（2020·上海浦东 ( http: / / www.21cnjy.com )新·初三月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是__________mm．
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【答案】5
【解析】解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴CD：CA＝DE：AB
∴30：60＝DE：10
∴DE＝5毫米
∴小管口径DE的长是5毫米，
故填：5．
9．（2020·重庆南开（融侨）中学校初二期末）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米．
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【答案】
【解析】解：63cm=0.63m，AB=7cm=0.07m，
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴
即
d=252（m），
故答案为：252．
10．（2020·福州·福建师范大学附属中学初中部初三月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为__________尺．
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【答案】57.5
【解析】解：依题意可得△ABD∽△AFC，
∴AB：AC=BD：FC，
即5：AC=0.4：5，
解得AC=62.5，
=BC=AC-AB=62.5-5=57.5尺．
故答案为：57.5．
11．（2019·山东青岛·初三期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为_____m．【版权所有：21教育】
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【答案】4.6
【解析】解：作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，
则EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，
所以AG＝AB﹣GB＝2.5﹣1.6＝0.9（m），
∵AG∥CH，
∴△EAG∽△ECH，
∴，即，
解得：CH＝3，
∴CD＝CH+DH＝4.6（m）．
故答案为：4.6．
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12．（2020·陕西交大附中分校 ( http: / / www.21cnjy.com )初三月考）如图有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
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∵S△ABC＝ AB BC＝ AC BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
故选：D．
13．（2020·上海中考真题） ( http: / / www.21cnjy.com )《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．
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【答案】7米．
【解析】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BDAC，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∴，
∴AC=7(米)，
故答案为：7(米) ．
14．（2019·安徽初三 ( http: / / www.21cnjy.com )月考）如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为_____m．
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【答案】
【解析】解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，
∴另一直角边长为： =2（m），
则斜边长为： =2.5，
设点C到AB的距离为h，
则S△ABC=×2.5h=1.5，
解得：h=1.2，
∵正方形GFDE的边DE∥GF，
∴△ACB∽△DCE，
= ，
即= ，
解得：x=，
故答案为．
15．（2018·北京房山·初三期中）为了估 ( http: / / www.21cnjy.com )算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是_____．
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【答案】100米
【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°．
又∵∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC，∴，即．
解得：AB=100米．
故答案为100米．
16．（2020·山东莱州·初二 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？【出处：21教育名师】
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【答案】120
【解析】解：过点O作OM⊥EF于点M，
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∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=（180°-∠BOD），
同理可证：∠OBD=∠ODB=（180°-∠BOD），
∴∠OAC=∠OBD，
∴AC∥BD，
在Rt△OEM中，OM==30（cm），
过点A作AH⊥BD于点H，
同理可证：EF∥BD，
∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，
∴，AH===120（cm），
所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．
故答案为120．
18．如图，在相对的两栋楼中间有 ( http: / / www.21cnjy.com )一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）21·cn·jy·com
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【答案】甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米.
【解析】解：由题意得∠ABG=∠CDG=90°，
又∵∠AGD为公共角，
∴△ABG∽△CDG,
∴=,
∵AB=5.5米，BG=10.5米，
∴=,
∴CD≈31.69（米）
又∵∠ABD=∠EFD=90°，∠EDF为公共角，
∴△ADB∽△EDF,
∴==,
∴EF=2AB=11（米）
∴CD-EF≈20.7（米）
答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米.
19．某学校的学生为了对 ( http: / / www.21cnjy.com )小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图，间接测得小雁塔地部点D到地面上一点E的距离为115.2米，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72米，在DE的延长线上找一点A，使A、C、B三点在同一直线上，测得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．21*cnjy*com
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【答案】43 m.
【解析】解 由题意可得△AEC∽△ADB，
则＝，
故＝，
解得DB＝43，
答：小雁塔的高度为43 m.
20．（2020·陕西初三其他）20世纪 ( http: / / www.21cnjy.com )90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．
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【答案】30m
【解析】解：设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，
21.6km/h＝21.6×＝6m/s，
∵AB∥PQ，
∴△CAB∽△CPQ，
∴，
∴＝，
∴x＝30，
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．
考点2：利用相似三角形的性质解决纯数学问题
典例：（2020·广东三水·初 ( http: / / www.21cnjy.com )三一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止，设运动时间为t秒.
（1）t为何值时，△PBQ的面积为12cm2；
（2）若PQ⊥DQ，求t的值.
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【答案】（1）t=2或6；（2）t=2或8
【解析】解：（1）设t秒后△PBQ的面积等于12cm2．
则AP=t，QB=2t，
∴PB=8﹣t，
∴×（8﹣t） 2t=12，
解得x1=2，x2=6．
答：2秒或6秒后△PBQ的面积等于12cm2；
（2）设t秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，
∴△BPQ∽△CQD，
∴ ，
设AP=t，QB=2t，
∴，
∴，
解得：x=2或8．
当x=8时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．
答：2秒或8秒后PQ⊥DQ．
方法或规律点拨
此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程．
巩固练习
1．（2020·上海市金山初级中学初三月考）已知，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴
∵，
∴；
故选：B
2．（2020·无锡市东北塘中学初三月考）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A．
3．（2020·河南卧龙·初三期末）如图，平行四边形中，为边的中点，交于点，则图中阴影部分面积与平行四边形的面积之比为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设平行四边形的边AD=2a，AD边上的高为3b；过点E作EF⊥AD交AD于F，延长FE交BC于G
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∴平行四边形的面积是6ab
∴FG=3b
∵AD∥BC
∴△AED∽△CEM
∵M是BC边的中点，
∴,
∴EF=2b，EG=b
∴
∵
∴
∴阴影部分面积=
∴阴影部分面积：平行四边形的面积=
故选：C．
4．（2020·广西初三其他）已知与是位似图形，且相似比为，若的面积为27，则的面积为（ ）
A．7 B．12 C．10 D．18
【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△ADE是位似图形，且相似比为3：2，
∴△ABC与△ADE的面积比为9：4，
∵△ABC的面积为27，
∴△ADE的面积为：27×=12
故选：B
5．（2020·广东顺德·）如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（ ）
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A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2
【答案】A
【解析】∵△ABC∽△DEF，
∴=，即=
∴DE=1.2
故选A.
6．（2020·江苏姜堰·初三期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为（ ）
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A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【解析】解：∵在⊙O中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CPAB，QDAB，
∴OCP和ODQ为直角三角形，
根据勾股定理：，，且OQ=6，
∴PQ=OP+OQ=14，
又∵CPAB，QDAB，垂直于用一直线的两直线相互平行，
∴CPDQ，且C、D连线交AB于点E，
∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，
∴CPE∽DQE，故，
设PE=x，则EQ=14-x，
∴，解得x=6，
∴OE=OP-PE=8-6=2，
故选：C．
7．（2020·上海宝山·月考）如图，、都是的垂线，，，，是上一点，联结、，所得两个三角形相似，则的长是_______．
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【答案】或或
【解析】解：相似三角形对应边比值相等，分两种情况：
（1），则，
解得BP=,
（2），则，
解得BP=2或12，
故BP=2或12或时，△ABP和△CDP均相似．
故答案为：2或12或．
9．（2020·上海宝山·月考）如图，电灯在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则点到的距离是_______．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
【解析】解：
到的距离：点到的距离．
到的距离：3
到的距离为，
故答案为．
10．（2020·上海宝山·月考）两个相似三角形对应高的比为，且已知这两个三角形的周长差为，则较小的三角形的周长为_______．
【答案】
【解析】解：∵两个相似三角形对应 ( http: / / www.21cnjy.com )高的比为2：3，即相似比为2：3，
∴它们周长的比是2：3，
设较小的三角形的周长为2x，则较大的三角形的周长为3x，
由题意得，3x-2x=4，
解得，x=4，
则2x=8，
∴较小的三角形的周长为8．
故答案为：8．
11．（2020·射阳县第二初级 ( http: / / www.21cnjy.com )中学月考）△ABC中，AB＝10，AC＝6，点D在AC上，且AD＝3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE＝__________．
【答案】5或
【解析】∵∠A是公共角，
当△ADE∽△ACB时，
∴，即，
解得：AE=5；
当△ADE∽△ABC时，
∴，即，
解得：AE=；
故答案为：5或．
12．（2020·上海浦东新·初 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考）有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．
【答案】22
【解析】设另一个三角形的另两边为x、y，
∵一个三角形的三边长为2，4，5，另一个和它相似的三角形的最短边为4，
∴两个三角形的相似比为=，
∴，
解得：x=8，y=10，
∴第二个三角形的周长为4+8+10=22，
故答案为：22
13．（2019·泉州市第六中学初三期中）△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积的比为________．
【答案】9：16.
【解析】∵△ABC与△DEF相似比为3：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为32：42，
即9：16
故答案是：9：16
14．（2020·上海市南汇第四中学初三月考）如果，，，，，则________．
【答案】12
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：12．
15．（2020·上海宝山·月考）如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知的边，高，求：正方形的边长和面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】，
【解析】设正方形的边长为x，
正方形DEFH，AHBC，
DG=GF=MH=x，DGBC，
，AM=10－x，
在与中，
，
∽，
，
，
解得：x=6，
S=6×6=36．
答：正方形的边长为6，面积为36．
16．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE＝AB，AB＝9，AO＝6，求DE和AE的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】DE＝6，AE＝ 10
【解析】解：∵△AOB∽△EOD，
∴AB：DE＝OA：OE，
∵DE＝AB，AB＝9，AO＝6，
∴DE＝×9＝6，OE＝OA＝4，
∴AE＝OA＋OE＝6＋4＝10．
17．（2020·上海浦东新·初三月考）两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．
【答案】20平方厘米
【解析】解：设两个三角形的面积分别为，，则有
，
解得；
答：较小三角形面积为20平方厘米．
18．（2019·陕西初三 ( http: / / www.21cnjy.com )专题练习）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．
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【答案】BF的长度是91cm．
【解析】解：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，
∴△BEF∽△CDF；
∴＝，
又∵AD＝BC＝260cm ,AB＝CD＝130cm ，AE＝60cm
∴BE＝70cm， CD＝130cm，BC＝260cm ，CF＝(260－BF)cm
∴＝，
解得：BF＝91．
即：BF的长度是91cm．
19．（2019·江苏海陵·泰 ( http: / / www.21cnjy.com )州中学附属初中初三期末）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明：
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【答案】已知，分别是∠BAC、∠上的角平分线，
【解析】已知，分别是∠BAC、∠上的角的平分线，求证：
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴，∠B=∠，∠BAC∠，
∵分别是∠BAC、∠上的角的平分线，
∴∠BAD∠，
∴，
∴，
20．（2020·酒泉市第二中学期中）如图，如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）求证：APQ∽ABC
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
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【答案】（1）见解析；（2）mm、mm或30mm、60mm
【解析】解：（1）∵四边形PNMQ为矩形，
∴BC∥PQ，
∴△APQ∽△ABC；
（2）∵四边形PNMQ为矩形，
∵△APQ∽△ABC，AD是高；
∴
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设边宽为xmm，则长为2xmm，
①PQ为长，PN为宽：
由题意知PQ=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，PN=xmm，
∴
解得
即长为，宽为
②PQ为宽，PN为长：
由题意知PQ=xmm，AD=80mm，BC=120mm，PN=2xmm，
∴
解得x=30，2x=60．
即长为60mm，宽为30mm．
答：矩形的长为60mm，宽是30mm或者长为，宽为
考点3：相似三角形性质的综合应用
典例：（2020·山东安丘·东埠初中初三月考）如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？
（2）当点到达时，两点同时停止运动，经过多长时间，长？
（3）是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）经过1秒或2秒，的面积等于矩形面积的；（2）经过2秒或秒后，长；（3）当秒或秒时，以，，为顶点的三角形与相似．
【解析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，
由题意得，，，
矩形中，，
∴，．
矩形的面积为：，
的面积，
可得方程，
解得，．
答：经过1秒或2秒，的面积等于矩形面积的；
（2）设经过秒后，的长为，
则有，
解得：，，
经检验可知，，，符合题意，
故经过2秒或秒后，长．
（3）由题意得，，，
若，
则有，即，
解得；
若，
则有，即，
解得．
答：当秒或秒时，以，，为顶点的三角形与相似．
方法或规律点拨
此题考查了相似三角形的判定，正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．
巩固练习
1．（2020·安徽包河·初三二模）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，延长AD，BE相交于点M，
∵DF∥CH，
∴△DFG∽△HCG，
∴ ，
∵DM∥BH，
∴△DMG∽△HBG，
∴ ，
∵CH=BH， ∴DF=DM，
又∵矩形
△MDE∽△CDF，
∴
∴
∴
∴DF＝．
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2020·深圳市罗湖外 ( http: / / www.21cnjy.com )语学校初中部初三月考）如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝______．
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【答案】
【解析】解：设AD=2k，则DB=3k，AB=5k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=5k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，
∴∠EDA+∠FDB=120°，
又∵∠EDA+∠AED=180°-∠A=180°-60°=120°，
∴∠FDB=∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由折叠得CE=DE，CF=DF
∴△AED的周长为AD+AE+ED=AD+AC=2k+5k=7k，
△BDF的周长为DB+DF+BF=DB+BC=3k+5k=8k，
由相似三角形的周长比等于相似比可知，△AED与△BDF的相似比为7：8
∴CE：CF=DE：DF=7：8，
故答案为：7：8．
3．（2020·中国科技大学附属中 ( http: / / www.21cnjy.com )学初三月考）如图，△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4．折叠该纸片，使点A落在线段OB上，折痕与边OA交于点C，与边AB交于点D．21世纪教育网版权所有
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（1）若折叠后使点A与点O重合，此时OC＝ ；
（2）若折叠后使点A与边OB的中点重合，求OC的长度；
（3）若折叠后点A落在边OB上的点为E，且使DE∥OA，求此时OC的长度．
【答案】（1）2;（2）1.5；（3）.
【解析】解：（1）∵折叠后使点A与点O重合，
∴AC=CO=AO=2，
故答案为2．
（2）如图1中，
( http: / / www.21cnjy.com )
由折叠可知，AC=EC，设AC=EC=x，则OC=4-x，
∵OE=EB=OB=2，
在Rt△OCE中，∵∠O=90°，
∴OC2+OE2=EC2，
∴（4-x）2+22=x2，
解得x=2.5，
∴OC=4-2.5=1.5．
（3）如图2中，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵DE∥AC，
∴∠OCE=∠CED，
由折叠可知，∠A=∠CED，
∴∠A=∠OCE，
∴EC∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∵OA=OB，
∴OC=OE，
设OC=OE=m，则EC=AC=4-m，
在Rt△OCE中，∵EC2=OC2+OE2，
∴（m-4）2=m2+m2，
解得m=www.21-cn-jy.com
或（不合题意舍弃），
∴OC=．
4．（2020·无锡市钱桥中学初三月考）如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，
（1）求证：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．
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【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
5．（2020·聊城市茌平 ( http: / / www.21cnjy.com )区振兴街道中学月考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？
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【答案】5秒或2秒
【解析】解：①设经x秒后，△PBQ∽△CDA，
由于∠PBQ＝∠ADC＝90°，
当时，即，解得x＝5；
②设经x秒后，△QBP∽△CDA，
由于∠PBQ＝∠ADC＝90°，
当时，即，解得x＝2．
故经过5秒或2秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似．
7．（2021·山西初三月考）在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，O为坐标AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程的两个根（OA（1）求点B的坐标；
（2）P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将△POQ翻折，使点O落在AB上的点处，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以，Q，M，N为顶点四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（5，4）；（2）；（3）存在，点N的坐标为：N（5，4）或（，4）或（3，）或（3，）．
【解析】解：（1）解方程，
(x-4)(x-5)=0，
得：.
因为OA所以OA=4,AB=5,
所以B(5，4)；
（2）因为AB//OC,OQ=AB=5,
所以四边形AOQB为平行四边形。
°
所以四边形AOQB为矩形，
所以BQ=OA=4,由△POQ翻折，可得
；
(3)存在，点N的坐标为（5,4)或
分四种情况：
①如图3，M在x轴的正半轴上，四边形NO'MQ是矩形，此时N与B重合，则N（5，4）；
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②如图4，M在x轴的负半轴上，四边形NMO'Q是矩形，过O'作O'D⊥x轴于D，过N作NH⊥x轴于H，
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∵四边形NMO'Q是矩形，
∴MN=O'Q=5，MN∥O'Q，
∴∠NMO=∠DQO'，
∵∠NHM=∠QDO'=90°，
∴△NHM≌△O'DQ（AAS），
∴NH=O'D=4，DQ=MH=3，
由（2）知：AO'=2，
设PO=x，则O'P=x，AP=4-x，
在Rt△APO'中，由勾股定理得：AP2+AO'2=O'P2，
即x2=22+（4-x）2，
解得：x=，
∴P（0，），
设PO'的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴PO'的解析式为：y=，
当y=0时，，
∴x=，
∴OM=，
∴OH=OMMH=-3=，
∴N（，-4）；
③如图5，M在y轴的正半轴上，四边形MNQO'是矩形，
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由②知：M（0，），O'（2，4），Q（5，0），
∴N（3，）；
④如图6，M在y轴的负半轴上，四边形MNO'Q是矩形，过O'作O'D⊥x轴于D，
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∵∠MOQ=∠QDO'，∠OMQ=∠DQO'，
∴△MOQ∽△QDO'，
∴，即，
∴OM=，
∴M（0，），
∵O'（2，4），Q（5，0），
∴N（-3，），
综上，点N的坐标为：N（5，4）或（，-4）或（3，）或（-3，）．
8．（2020·无锡市钱桥中学初三月考）如图1，RtABC中，∠C=90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点D是BC上的一个定点．动点P从点C出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S（cm2）与点P的运动时间t（s）的函数图象．
（1）CD= ，S= cm2；
（2）当点P在边AB上时，t为何值时，使得BPQ与ABC为相似？
（3）运动过程中，求出当BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值．
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【答案】（1）；（2）当或t=6时，BPQ与ABC为相似，理由见解析；
（3）当BPQ是以BP为腰的等腰三角形时，t的值为5或．
【解析】（1）当点P运动到点A时，BPQ的面积为18，
当t=5时，AP=，点Q在D点，点P在AB上，如图1，作PH于H
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在中，AC=6，BC=8
故答案为：；
（2）点P在边AB上，
当时，点Q在D点，BP=16-2t，
若
即
；
当时，点DQ=t-5，则
当时，，如图2，
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即
解得t=3，不合题意舍去；
当时，如图3
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即
解得t=6
综上所述，当或t=6时，BPQ与ABC为相似；
（3）PB=16-2t，BQ=11-t，
当BP=BQ,则16-2t=11-t,解得t=5;
当PB=PQ,作PM于M，如图4，
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则
即
解得
综上所述，当BPQ是以BP为腰的等腰三角形时，t的值为5或．
9．（2019·河南南阳·初三期中）如图，在中，，，点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿边以的速度向点匀速运动，如果、同时出发，当点到达点时，点随之停止运动．当中有一个内角等于时，求运动时间的值．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】s或s
【解析】作ADBC交BC于点D，
AB=AC，
AD=CD=3cm，BAD=CAD= BAC，
AD===4，
要使中有一个角等于即要使中有一个角等于BAD，
分类讨论：
（1）当BPQ=BAD时，
在与中，
，
∽，
，
AP=t，BQ=2t，
BP=5－t，
，
解得：t=s．
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）当BQP=BAD时，
在与中，
，
∽，
，
AP=t，BQ=2t，
BP=5－t，
，
解得：t=s．
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综上：t=s或s．
10．（2020·丹东第十中学初三月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，在△ ABC 中，∠C ＝90 °， BC＝ 8 cm ．AC：AB ＝ 3 ： 5 ，点 P 从 B 点出发，沿 BC 向点 C 以 1cm / s 的速度匀速移动；点 Q 从 C 点出发，沿 CA 向点 A 以 2 cm / s 的速度匀速移动．两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动：
（1）经过多少秒时，S△QPC=S△ABC；
（2）经过多少秒时，以 C ， P ， Q 为顶点的三角形恰好与△ ABC 相似？
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【答案】（1） 2秒；（2）秒或秒.
【解析】解：（1）设AC=3x，AB=5x，则
∴x=2，
∴AC=6cm ，
设经过t秒，S△QPC=S△ABC，
则PC=8-t，CQ=2t，由题意列方程得：
解得：t1=2，t2=6
∵0≤t≤3
∴t2=6，不合题意，舍去．
答：经过2秒时，S△QPC=S△ABC；
（2）分两种情况分析，
当时，有△CBA∽△CPQ，
即
∴t=
当时，有△CAB∽△CPQ，
即
∴t=.
答：经过秒或秒时，以 C ， P ， Q 为顶点的三角形恰好与△ ABC 相似.
11．（2020·四川师范大学附属中学初三月考）在中，，，．
（1）如图1，折叠使点落在边上的点D处，折痕交、分别于、，若，则＿＿＿．
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（2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于、．若，求证：四边形是菱形．
（3）如图3，在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，满足条件的值为或8或．
【解析】（1）如图，
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在中，
∵，，，
∴
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴
整理得：，
解得：，（舍去），
∴．
（2）如图
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由翻折的性质可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴AE=AF，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）如图，连接MP、HP，
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设．
则，，
∴，解得
∴
∴，
∴
∵，
∴
设，
①当时，
∴，
解得：
∴，
②当时，，
解得：或．
∴或．
综上所述，满足条件的值为或8或．
12．（2021·张家港市南丰中学初二月考）如图，，点D是BC的中点，直线l于点E，点C在直线上，直线．点P以每秒2个单位长度的速度，从C点沿路径向终点B运动，运动时间设为 t 秒． 21教育名师原创作品
（1）如图1，当时，PC=______．作PF⊥直线于点F，此时与全等吗？请说明理由．
（2）如图2，当点P在AB上时，作PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H．
①是否存在全等的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②连结，当时，求的长．
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【答案】（1）PC=4，全等，证明见详解；（2）①t=5或6；（2）PG= ．
【解析】解：（1）当如图1，当时，PC=4．作PF⊥直线于点F，此时与全等．
证明：∵D为CB中点，
∴CD=CB=4，
∴CP=CD，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCF+∠DCE=90°，
∵l，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠PCF=∠CDE，
在与中，
∴≌；
（2）①当△PAG≌△CDE时，AP=CD=4，
∴AC+AP=6+4=10，
t=10÷2=5；
当△BPH≌△CDE时，BP=CD=4，
∴AC+AP=6+（10-4）=12，
t=12÷2=6；
∴当t=5或6时，全等；
②如图，
∵PG⊥AC，
∴∠PGA=∠BCA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AGP∽ACB，
∴,
∵，
∴PG=CG，
设CG=GP=4x，则AG=3x，
∴3x+4x=6，
∴PG=4x= ．
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13．（2020·海南琼山中学 ( http: / / www.21cnjy.com )初三月考）如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x（0＜x＜8）．
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（1）求证：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值；
（3）当x为何值时，△ADE为等腰三角形（直接写出结果）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【解析】（1）证明：，
∵，
∴，
，
∴△DCE∽△ABD；
（2）由（1）得△DCE∽△ABD，
当CE=2时，即
解得；
（3）①当DA=DE时，△DCE≌△ABD，
∴DC=AB=6，即8-x=6．解得 x=2．
②当EA=ED时，∠DAE=∠1=∠B=∠C．
∴△DAC∽△ABC．
∴，即．
解得：．
③当AD=AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x=0．
（或当AD=AE时，∠1=∠AED＞∠C，
∵∠1=∠B=∠C，
∴AD=AE情况不成立．
综上所述，当或时，△ADE为等腰三角形．
14．（2019·贵州印江·初三期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着CD在C点到D点间运动（当达D点后则停止运动），同时点Q从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿着DA在D点到A点间运动（当达到A点后则停止运动）．设运动时间为t秒，则按下列要求解决有关的时间t．
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（1）△PQD的面积为5时，求出相应的时间t；
（2）△PQD与△ABC可否相似，如能相似求出相应的时间t，如不能说明理由；
（3）△PQD的面积可否为10，说明理由．
【答案】（1）t=1; （2）t=2.4或; （3）△PQD的面积不能为10，理由见解析．
【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD=6，BC=AD=8，
（1）S△PQD =
解得：t1=1 t2=5(舍去）
（2）①当时△PDQ~△ABC
即得t=2.4
②当时△PQD ~△CBA
即得;
（3）△PQD的面积为10时，,
此方程无实数根，
即△PQD的面积不能为10．
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