学科教师辅导教案
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反比例函数 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 要点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 要点四：反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典型例题】 类型一、反比例函数定义 1、当为何值时是反比例函数？ 类型二、确定反比例函数解析式 2、正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A（2，m）． （1）求出点A的坐标； （2）求反比例函数关系式． 举一反三： 【变式】已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8． (1) 与之间的函数关系式； (2)自变量的取值范围； (3)当＝4时，的值． 类型三、反比例函数的图象和性质 3、若A(，)、B(，)在函数的图象上，当、满足________时，. 举一反三： 【变式】已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有（ ）个． A.4 B. 3 C. 2 D. 1 类型四、反比例函数综合 4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点. (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围． 举一反三： 【变式】如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式． （2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB ∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由． 【巩固练习】 一.选择题 1. 在反比例函数的图象上有两点A，B，当时，有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 如图所示的图象上的函数关系式只能是( ) ． A. B. C. D. 3. 已知，点P()在反比例函数的图像上，则直线不经过的象限是( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）. A．<< B．<< C．<< D．<< 5. 如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 6. 如图，已知双曲线（）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（ ） A.12 B.9 C.6 D.4 二.填空题 7. 如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是____________________（用“＜”连接）. 8. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数（＞0）的图象上，则点C的坐标为 _________ ． 9. 已知y1与x成正比例（比例系数为k1），y2与x成反比例（比例系数为k2），若函数y=y1+y2的图象经过点（1，2），（2，），则8k1+5k2的值为 ． 10.已知A（），B（）都在 图象上．若，则的值为 _________ ． 11. 如图，正比例函数的图象与反比例函数（＞0）的图象交于点A，若取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为，则 ＝ ________. 12. 如图所示，点，，在x轴上，且，分别过点，， 作轴的平行线，与反比例函数＝（＞0）的图象分别交于点，，,分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，,连接，，,那么图中阴影部分的面积之和为____________. 三.解答题 13. 如图所示，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C，CD垂直于轴，垂足为D，且OA＝OB＝OD＝1． (1)求点A，B，D的坐标； (2)求一次函数和反比例函数的表达式． 14. 如图所示，已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M(，)(在A点左侧)是双曲线上的动点．过点B作BD∥轴交于x轴于点D．过N(0，－)作NC∥轴交双曲线于点E，交BD于点C． (1)若点D坐标是(－8，0)，求A、B两点坐标及的值． (2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式． 15. 如图，已知点A（﹣8，n），B（3，﹣8）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积， （3）求方程kx+b﹣=0的解（请直接写出答案）； （4）求不等式kx+b﹣＞0的解集（请直接写出答案）．
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反比例函数 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 要点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 要点四：反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典型例题】 类型一、反比例函数定义 1、当为何值时是反比例函数？ 【思路点拨】根据反比例函数解析式，也可以写成的形式，后一种表达方法中的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为且，二者必须同时满足，缺一不可． 【答案与解析】 解：令由①得，＝±1，由②得，≠1． 综上，＝－1，即＝－1时，是反比例函数． 【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：①；②；③． 类型二、确定反比例函数解析式 2、正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A（2，m）． （1）求出点A的坐标； （2）求反比例函数关系式． 【答案与解析】 解：（1）将A点坐标是（2，m）代入正比例y=2x中，得：m=4， 则A（2，4）； （2）将A（2，4）代入反比例解析式中，得：4=，即k=8， 则反比例函数解析式y=． 【总结升华】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 举一反三： 【变式】已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8． (1) 与之间的函数关系式； (2)自变量的取值范围； (3)当＝4时，的值． 【答案】 解：(1)∵ 与成正比例， ∴ 设． ∵ 与成反比例， ∴ 设． ∴ ． 把与分别代入上式，得 ∴ 所以与的函数解析式为． (2)自变量的取值范围是≠0． (3)当＝4时，． 类型三、反比例函数的图象和性质 3、若A(，)、B(，)在函数的图象上，当、满足________时，. 【答案】或或； 【解析】的图象在一、三象限，在每个象限内，随着的增大，函数值减小，所以或时，.当B点在三象限，A点在一象限，即，也满足. 【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B两点要分成同在一象限、同在三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整. 举一反三： 【变式】已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有（ ）个． A.4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D； 提示：解：y=﹣x+1中k=﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，正确； y=2x﹣1中k=2＞0，所以y随x的增大而增大，故本选项，错误； y=﹣是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误； y=是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误． 故选D． 类型四、反比例函数综合 4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点. (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围． 【思路点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的的取值范围． 【答案与解析】 解：(1)设反比例函数的关系式为． 由N(－1，－4)，得， ∴ ＝4． ∴ 反比例函数的关系式为． ∵ 点M(2，)在双曲线上， ∴ ． ∴ 点M(2，2)． 设一次函数的关系式为，由M(2，2)、N(－1，－4)，得 解得 ∴ 一次函数的关系式为． (2)由图象可知，当＜－1或0＜＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力． 举一反三： 【变式】如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式． （2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB ∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由． 【答案】 解：（1）将A(3，2)分别代入，中，得，3＝2． ∴ ＝6，． ∴ 反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为． （2）观察图象，在第一象限内，当0＜＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值． （3）BM＝DM． 理由：∵ ， ∴ ， 即OC·OB＝12． ∵ OC＝3，∴ OB＝4，即＝4． ∴ ．∴ ，． ∴ MB＝MD． 【巩固练习】 一.选择题 1. 在反比例函数的图象上有两点A，B，当时，有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 如图所示的图象上的函数关系式只能是( ) ． A. B. C. D. 3. 已知，点P()在反比例函数的图像上，则直线不经过的象限是( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在函数（为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）. A．<< B．<< C．<< D．<< 5. 如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数y=（x＞0）、y=（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 6. 如图，已知双曲线（）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（ ） A.12 B.9 C.6 D.4 二.填空题 7. 如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是____________________（用“＜”连接）. 8. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数（＞0）的图象上，则点C的坐标为 _________ ． 9. 已知y1与x成正比例（比例系数为k1），y2与x成反比例（比例系数为k2），若函数y=y1+y2的图象经过点（1，2），（2，），则8k1+5k2的值为 ． 10.已知A（），B（）都在 图象上．若，则的值为 _________ ． 11. 如图，正比例函数的图象与反比例函数（＞0）的图象交于点A，若取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为，则 ＝ ________. 12. 如图所示，点，，在x轴上，且，分别过点，， 作轴的平行线，与反比例函数＝（＞0）的图象分别交于点，，,分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，,连接，，,那么图中阴影部分的面积之和为____________. 三.解答题 13. 如图所示，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C，CD垂直于轴，垂足为D，且OA＝OB＝OD＝1． (1)求点A，B，D的坐标； (2)求一次函数和反比例函数的表达式． 14. 如图所示，已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M(，)(在A点左侧)是双曲线上的动点．过点B作BD∥轴交于x轴于点D．过N(0，－)作NC∥轴交双曲线于点E，交BD于点C． (1)若点D坐标是(－8，0)，求A、B两点坐标及的值． (2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式． 15. 如图，已知点A（﹣8，n），B（3，﹣8）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积， （3）求方程kx+b﹣=0的解（请直接写出答案）； （4）求不等式kx+b﹣＞0的解集（请直接写出答案）． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C； 【解析】由题意画出图象，只能在一、三象限，故. 2.【答案】D； 【解析】画出的图象，再把轴下方的图象翻折上去. 3.【答案】C； 【解析】由题意，故＞0，直线经过一、二、四象限. 4.【答案】D； 【解析】，故图象在二、四象限，画出图象，比较大小得D答案. 5.【答案】D； 【解析】解：由题意得，点C的坐标（t，﹣），点B的坐标（t，）， BC=+，则（+）×t=3，解得k=5， 故选：D． 6.【答案】B； 【解析】由题意，D点坐标为（－3,2），故，求得C点坐标为（－6,1），△AOC的面积为. 二.填空题 7. 【答案】； 8. 【答案】（3，6）； 【解析】由题意B点的坐标为（1，6），D点的坐标为（3，2），因为ABCD是矩形，故C点的坐标为（3，6）. 9.【答案】9； 【解析】设y1=k1x，y2=，则y=y1+y2=k1x+， 将（1，2）、（2，）代入得：， 解得： ∴8k1+5k2==9． 故答案为9． 10.【答案】－12； 【解析】由题意所以，因为，所以＝－12. 11.【答案】105； 【解析】△AOB的面积始终为，故＝. 12.【答案】； 【解析】（）第一个阴影部分面积等于4；（），用待定系数法求出直线的解析式，再求出与的交点坐标为（），第二个阴影面积为＝1；（），求出直线的解析式，再求出与的交点坐标为（），第三个阴影部分面积为，所以阴影部分面积之和为. 三.解答题 13.【解析】 解：(1)∵ OA＝OB＝OD＝1， ∴ 点A、B、D的坐标分别为A(－1，0)，B(0，1)，D(1，0)． (2)∵ 点A、B在一次函数的图象上， ∴ 解得 所以一次函数的表达式是． 又∵ 点C在一次函数的图象上，且CD⊥轴， ∴ C点坐标为(1，2)， 又∵ 点C在反比例函数的图象上， ∴ ＝2． ∴ 反比例函数的表达式为． 14.【解析】 解：(1)∵ D(－8，0)，∴ B点的横坐标为－8，代入中，得＝－2． ∴ B点坐标为(－8，－2)．而A、B两点关于原点对称，∴ A(8，2) ． 从而＝8×2＝16． (2)∵ N(0，－)，B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上， ∴ ，，C(－2，－)，E(－，－)． ，，， ∴ ．∴ ＝4． 由直线及双曲线， 得A(4，1)，B(－4，－1)，∴ C(－4，－2)，M(2，2)． 设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得 解得． ∴ 直线CM的解析式是． 15.【解析】 解：（1）∵B（3，﹣8）在反比例函数图象上， ∴﹣8=，m=﹣24，反比例函数的解析式为y=﹣， 把A（﹣8，n）代入y=﹣，n=3， 设一次函数解析式为y=kx+b， ， 解得，， 一次函数解析式为y=﹣x﹣5． （2）﹣x﹣5=0，x=﹣5， 点C的坐标为（﹣5，0）， △AOB的面积=△AOC的面积+△BOC的面积=×5×3+×5×8=． （3）点A（﹣8，3），B（3，﹣8）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数图象的两个交点， 方程kx+b﹣=0的解是：x1=﹣8，x2=3， （4）由图象可知，当x＜﹣8或0＜x＜3时，kx+b＞， ∴不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣8或0＜x＜3．
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