学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
实际问题与反比例函数 【要点梳理】 要点一、利用反比例函数解决实际问题 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的 系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 要点二、反比例函数在其他学科中的应用 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【典型例题】 类型一、反比例函数实际问题与图象 1、 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为，若，则与的函数图象是（ ） 【答案】A； 【解析】根据题意求出函数的解析式，应该是反比例函数的一部分. 【总结升华】对于函数图象的判断题，应首先求出函数解析式，分清函数的类型，然后再选择对应的图象，同时在实际问题中应注意自变量的取值范围. 举一反三： 【变式】设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t（小时），汽车的平均速度为v（千米/时），则下面大致能反映v与t的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D. 【答案】D； 提示：设从泉港到福州的路程为k千米，依题意，得vt=k， 所以v=（v＞0，t＞0）， 则函数图象为双曲线在第一象限的部分． 故选D． 类型二、利用反比例函数解决实际问题 2、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【思路点拨】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【答案与解析】 解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴ 当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当， ∴y1＜y2 ∴第30分钟注意力更集中． （2）令y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8 令y2=36， ∴， ∴ ∵27.8﹣8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【总结升华】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 举一反三： 【变式】为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(分钟)成正比例，药物燃烧完后，与成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题： ①药物燃烧时关于的函数关系式为__________ ___，自变量 的取值范围是____________ ___；药物燃烧后关于的函数关系式为_________________. ②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室； ③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】①药物燃烧时， 是的正比例函数，药物燃烧后，与成反比例， 利用待定系数法即可求出函数的解析式:，0≤≤8，，； ②当空气中每立方米的含药量等于1.6毫克时，求出所对应的时间:把＝1.6代人到中，得＝30，则至少经过30分钟后，学生才能回到教室； ③把＝3分别代人到和中，得＝4和＝16， 16－4＝12，12＞10，所以此次消毒有效. 3、南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤． （1）列出原计划种植亩数（亩）与平均每亩产量（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 【思路点拨】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可；（2）根据题意列出－＝20后求解即可． 【答案与解析】 解：（1）由题意知：＝36，故（≤≤） （2）根据题意得：－＝20 解得：＝0.3 经检验，x=0.3是原方程的解. 1.5＝0.45（万斤） 答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤． 【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函数模型，并利用其解决实际问题． 4、心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指数随时间(分)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分). (1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时比较，何时学生的注意力更集中 (3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 并说明理由． 【答案与解析】 解：(1)由图可知，A、B、C的坐标分别为(0，20)、(10，40)、(25，40)．设线段AB的关系式为， 所以，解得． 所以线段AB的关系式为＝2＋20且0≤≤10， 设双曲线CD的关系式为，所以， 所以双曲线CD的关系式为且25≤≤40． (2)依题意，当＝5时，＝2×5＋20＝30； 当＝30时，， 所以第30分钟时的学生的注意力更集中． (3)当0≤≤10时，≥36，即2＋20≥36，此时≥8； 当10≤≤25时，＝40≥36； 当25≤≤40时，≥36， 即．∴ ． 综上所述：当8≤≤时，≥36． 又∵ ，∴ 老师能讲完这道题目． 【总结升华】(1)根据图中信息．用待定系数法求解；(2)把＝5和＝30代入对应的函数关系式，比较值的大小；(3)找出当≥36时，对应的的范围，求出对应的时间与19分钟比较． 【巩固练习】 一.选择题 1．下列各选项中，两个变量之间是反比例函数关系的有( ) (1)小张用10元钱去买铅笔，购买的铅笔数量(支)与铅笔单价(元/支)之间的关系 (2)一个长方体的体积为50，宽为2，它的长()与高()之间的关系 (3)某村有耕地1000亩，该村人均占有耕地面积(亩/人)与该村人口数量(人)之间的关系 (4)一个圆柱体，体积为100，它的高h()与底面半径R()之间的关系 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 现有一水塔，水塔内装有水，如果每小时从排水管中放水,则要经过小时求可以把水放完.该函数的图象应是如图所示中的（ ） 3．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表： 体积10080604020压强6075100150300
则可以反映与之间的关系的式子是( )． A.＝3000 B. ＝6000 C. D. 4．某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200的矩形学具进行展示．设矩形的宽为，长为，那么这些同学所制作的矩形的长与宽之间的函数关系的图象大致是( ) 5．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( ) A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v()之间的关系 B.长方形的面积为24，它的长与宽之间的关系 C.压力为600N时，压强P(Pa)与受力面积S()之间的关系 D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量与所盛水的体积V(L)之间的关系 6. 某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ） A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D. 7分钟 二.填空题 7．甲、乙两地间的公路长为300，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为v()，到达时所用的时间为t(h)，那么t是v的______函数，v关于t的函数关系式为______． 8．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布与半径R()的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)__________________． 9. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与可变电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A时，用电器的可变电阻为________Ω． 10．如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V（）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数图象． (1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为______； (2)此函数的解析式为____________； (3)若要在6h内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______； (4)如果每小时的排水量是5，那么水池中的水需要______h排完． 11.随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥10时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是 ． 12.一定质量的二氧化碳，当体积为5时，密度为1.98，要使体积增加4，则它的密度为______. 三.解答题 13. 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如下图所示． （1）求出P与S之间的函数表达式； （2）如果要求压强不超过4000Pa，木板的面积至少要多大？ 14. 你吃过拉面吗？实际上做拉面的过程中，渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条粗细(横截面积))的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出与S的函数关系式； (2)求当面条粗1.6 时面条的总长度． 15.小王骑自行车以15千米/时的平均速度从甲地到乙地用了4小时． （1）他坐在出租车从原路返回，出租车的平均速度v与时间t有怎样的函数关系？ （2）如果小王必须在40分钟之内赶回，则返程时的速度至少为多少？ 【答案与解析】 一.选择题 1．【答案】C； 【解析】（1），（2）（3）为反比例函数关系式. 2.【答案】C； 【解析】由题意知，. 3.【答案】D； 4.【答案】A； 5.【答案】D； 6.【答案】C； 【解析】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟， 设一次函数关系式为：y=k1x+b， 将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30 ∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2； 设反比例函数关系式为：y=， 将（7，100）代入y=得k=700，∴y=， 将y=35代入y=，解得x=20； ∴水温从100℃降到35℃所用的时间是20﹣7=13分钟，故选C． 二.填空题 7.【答案】反比例；； 8．【答案】． 9.【答案】3.6； 【解析】设电流I与电阻R的关系式为，把(9，4)代入关系式得：＝36． 所以关系式为，当I＝10时，R＝3.6(Ω)． 10.【答案】(1)48； (2)； (3)8； (4)9.6． 11.【答案】0＜x＜40； 提示：设反比例函数的解析式为：y=， 则将（10，80），代入得：y=， 故当车速度为20千米/时，则20=， 解得：x=40， 故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是：0＜x＜40． 12.【答案】1.1； 【解析】二氧化碳的质量为1.98×5＝9.9，. 三.解答题 13.【解析】 解：（1）设P=，将点（1.5，400）代入，可得400=， 解得：k=600． 故反比例函数解析式为：P=（s＞0）； （2）当p=4000时，s=0.15m2． 答：当压强不超过4000Pa时，木板面积至少0.15m2． 14.【解析】 解：(1)因为拉面总长度与面条的粗细(横截面积) 成反比例函数，故设其关系式为，又由于图象过P(4，32)， 则，∴ ， 所以与S的函数关系式为． (2)当S＝1.6时，， 故当面条粗1.6 时，面条的总长度是80 . 15.【解析】 解：（1）设甲、乙两地的距离为s千米，由题意，得 s＝15×4＝60（千米）．所以v与t的函数解析式为． （2）40＝小时， 把代入，得（千米/时）． 从结果可以看出，如果40分钟正好赶回，则速度为90千米/时，若少于40分钟赶回，则速度要超过90千米/时，即小王在40分钟之内赶回，速度至少为90千米/时．
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实际问题与反比例函数 【要点梳理】 要点一、利用反比例函数解决实际问题 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的 系数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 要点二、反比例函数在其他学科中的应用 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【典型例题】 类型一、反比例函数实际问题与图象 1、 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为，若，则与的函数图象是（ ） 举一反三： 【变式】设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t（小时），汽车的平均速度为v（千米/时），则下面大致能反映v与t的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D. 类型二、利用反比例函数解决实际问题 2、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 举一反三： 【变式】为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(分钟)成正比例，药物燃烧完后，与成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题： ①药物燃烧时关于的函数关系式为__________ ___，自变量 的取值范围是____________ ___；药物燃烧后关于的函数关系式为_________________. ②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室； ③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 3、南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤． （1）列出原计划种植亩数（亩）与平均每亩产量（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？ 4、心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指数随时间(分)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分). (1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时比较，何时学生的注意力更集中 (3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 并说明理由． 【巩固练习】 一.选择题 1．下列各选项中，两个变量之间是反比例函数关系的有( ) (1)小张用10元钱去买铅笔，购买的铅笔数量(支)与铅笔单价(元/支)之间的关系 (2)一个长方体的体积为50，宽为2，它的长()与高()之间的关系 (3)某村有耕地1000亩，该村人均占有耕地面积(亩/人)与该村人口数量(人)之间的关系 (4)一个圆柱体，体积为100，它的高h()与底面半径R()之间的关系 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 现有一水塔，水塔内装有水，如果每小时从排水管中放水,则要经过小时求可以把水放完.该函数的图象应是如图所示中的（ ） 3．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表： 体积10080604020压强6075100150300
则可以反映与之间的关系的式子是( )． A.＝3000 B. ＝6000 C. D. 4．某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200的矩形学具进行展示．设矩形的宽为，长为，那么这些同学所制作的矩形的长与宽之间的函数关系的图象大致是( ) 5．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( ) A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v()之间的关系 B.长方形的面积为24，它的长与宽之间的关系 C.压力为600N时，压强P(Pa)与受力面积S()之间的关系 D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量与所盛水的体积V(L)之间的关系 6. 某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ） A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D. 7分钟 二.填空题 7．甲、乙两地间的公路长为300，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为v()，到达时所用的时间为t(h)，那么t是v的______函数，v关于t的函数关系式为______． 8．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布与半径R()的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)__________________． 9. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与可变电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A时，用电器的可变电阻为________Ω． 10．如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V（）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数图象． (1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为______； (2)此函数的解析式为____________； (3)若要在6h内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______； (4)如果每小时的排水量是5，那么水池中的水需要______h排完． 11.随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当x≥10时，y与x成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是 ． 12.一定质量的二氧化碳，当体积为5时，密度为1.98，要使体积增加4，则它的密度为______. 三.解答题 13. 某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如下图所示． （1）求出P与S之间的函数表达式； （2）如果要求压强不超过4000Pa，木板的面积至少要多大？ 14. 你吃过拉面吗？实际上做拉面的过程中，渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条粗细(横截面积))的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出与S的函数关系式； (2)求当面条粗1.6 时面条的总长度． 15.小王骑自行车以15千米/时的平均速度从甲地到乙地用了4小时． （1）他坐在出租车从原路返回，出租车的平均速度v与时间t有怎样的函数关系？ （2）如果小王必须在40分钟之内赶回，则返程时的速度至少为多少？
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