学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
相似三角形的性质及应用 【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典型例题】 类型一、相似三角形的性质
1.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）
A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21
【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似. 【答案】B. 【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,
在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,
由△ADE∽△ACB得，
S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B. 【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形. 举一反三 【变式】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高. 【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F， ∵AD,CE分别为BC,AB边上的高， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴Rt△ADB∽Rt△CEB, ∴, 且∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA, ∴, ∴, 又∵DE=2， ∴AC=6， ∴ 2.已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点， 且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
【答案与解析】∵DA∥BC，
∴△ADE∽△BCE．
∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．
∵AE︰BE=1:2，
∴S△ADE:S△BCE=1:4．
∵S△ADE=1，
∴S△BCE=4．
∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，
∴S△ABC=6．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∵AE:AB=1:3，
∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．
∴S△AEF==．
【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方． 举一反三：
【变式】如图，已知中，，，，，点在上， (与点不重合)，点在上. (1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.
(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.
【答案】 (1)∵，
∽
.
(2)∵的周长与四边形的周长相等.
=6，
∽
.
类型二、相似三角形的应用 3.如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD． 【答案与解析】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示： 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH为矩形， ∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米， ∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH， ∴=， ∴=， 解得：CH=3.78米， ∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米． 答：故树高DC为5.2米． 【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形． 举一反三：
【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.
【答案】作EF⊥DC交AD于F. ∵AD∥BE，∴ 又∵，
∴， ∴.
∵AB∥EF， AD∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴EF=AB=1.8m.
∴m. 4.如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015= ． 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，根据已知条件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，从而找出规律答案即可求出．菁优 【答案与解析】2（）2014 解：∵四边形ABCB1是正方形， ∴AB=AB1，AB∥CB1， ∴AB∥A1C， ∴∠CA1A=30°， ∴A1B1=，AA1=2， ∴A1B2=A1B1=， ∴A1A2=2， 同理：A2A3=2（）2， A3A4=2（）3， ∴AnAn+1=2（）n， ∴A2014A2015=2（）2014， 故答案为：2（）2014． 【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律. 【巩固练习】 一、选择题 1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ） A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个 2. 若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为（ ）． A．1.8 B．5 C．6或4 D．8或2 3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且 那么等于（ ） A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积=( )
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ） A．= B． = C． = D．= 6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( ) A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25
二、填空题 7.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 ． 8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________. 9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是 _______________. 10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且=3，则：=______________. 11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________ 12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2， 则AC边上的高为______________. 三、解答题 13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
14.某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m． （1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）； （2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由． 15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 【答案与解析】 一．选择题 1.【答案】B. 【解析】x可能是斜边，也可能是直角边. 2.【答案】A. 3.【答案】B. 4.【答案】D. 5.【答案】C. 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC， ∴，，， 故选C． 6.【答案】 A. 【解析】 □ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，
(△DEF与△EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A. 二、填空题 7.【答案】1：3. 【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90° ∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO， ∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD= 1： ∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3． 8.【答案】3. 【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB= ∴BD=AB-AD=4-1=3. 9. 【答案】120°. 【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A， ∵ △PMN是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°， ∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°． 10.【答案】1:9 【解析】∵=3，∴FC:DF=3:1，又∵DE∥BC,∴△BFC∽△EFD,即BC：DE=FC:FD=3:1， 由△ADE∽△ABC，即：=1:9. 11.【答案】30m. 12.【答案】 6. 【解析】∵AD,CE分别为BC,AB边上的高, ∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC ∴Rt△ABD∽Rt△CBE ∴， ∴△ABC∽△DBE ∵相似三角形面积比为相似比的平方， ∴= 9, ∴=3 , ∴AC=3DE=3×2=6 ∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6 即AC边上的高是6 . 三、解答题
13.【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴，
又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米，
∴ AB=1.92米．即图1的树高为1.92米．
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，
∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，
∴ 解得x=1.5（m），
∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），
∴ 解得h=3.44（m）．
14.【解析】解：（1）如图，作AM⊥EH于点M，交CD于点N， 则四边形ABHM和MHCN都是矩形， ∵∠EAB=150°，∴∠EAM=60°， 又∵AB=AE=1.2米， ∴EM=0.6≈0.6×1.73=1.038≈1.04（米）， ∴EH≈2.24（米）； （2）如图，在AE上取一点P，过点P分别作BC，CD的垂线，垂足分别是Q，R，PR交EH于点K，不妨设PQ=2米， 下面计算PR是否小于2米； 由上述条件可得EK=EH﹣PQ=0.24米，AM=0.6米， ∵PK∥AM，∴△EPK∽△EAM， ∴=，即=， ∴PK=0.08（米）， ∴PR=PK+MN=PK+BC﹣AM=0.08+2.4﹣0.6 =1.8+0.08 ≈1.94（米）， ∵PR＜2米，∴这辆车不能驶入该车库． 15.【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t=，
故当t=时，DE=2DF； （2）∵矩形ABCD的面积为：12×6=72，S△ABE=×12×t=6t， S△BCF=×6×（12-2t）=36-6t， ∴四边形DEBF的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t=36， 故四边形DEBF的面积为定值. （3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似， 则或，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6， 代入解得：t=3或t=1.2，
故当t=3或1.2时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．
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相似三角形的性质及应用 【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典型例题】 类型一、相似三角形的性质 1.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）
A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21
举一反三 【变式】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高. 2.已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点， 且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
举一反三：
【变式】如图，已知中，，，，，点在上(与点不重合)，点在上. (1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.
(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.
类型二、相似三角形的应用 3.如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD． 举一反三：
【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.
4.如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015= ． 【巩固练习】 一、选择题 1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ） A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个 2. 若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为（ ）． A．1.8 B．5 C．6或4 D．8或2 3. 如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且 那么等于（ ） A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积=( )
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ） A．= B． = C． = D．= 6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( ) A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25
二、填空题 7.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 ． 8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________. 9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是 _______________. 10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且=3，则：=______________. 11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________ 12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2， 则AC边上的高为______________. 三、解答题 13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
14.某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m． （1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）； （2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由． 15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．
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