学科教师辅导教案
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相似三角形的性质及应用 【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典型例题】 类型一、相似三角形的性质 1.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD CE=CD DE． 【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=BD， ∵OE=OB， ∴OE=BD， ∴∠BED=90°， ∴DE⊥BE； （2）∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°， ∴∠CEO=∠CDE， ∵OB=OE， ∴∠DBE=∠CDE， ∵∠BED=∠BED， ∴△BDE∽△DCE， ∴， ∴BD CE=CD DE． 【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形 、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键． 举一反三 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A．3：4 B． 9：16 C． 9：1 D． 3：1 【答案】B． 提示：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=1=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选：B． 2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例. 【答案与解析】∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，
∴ △AEH∽△ABC.
∵ AD⊥BC， ∴ AD⊥EH，MD=EF.
∵ 矩形两邻边之比为1：2， 设EF=xcm，则EH=2xcm.
由相似三角形对应高的比等于相似比，得，
∴ ， ∴ ， ∴.
∴ EF=6cm，EH=12cm.
∴ 【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高. 举一反三： 【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.
∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2
且，，
∴，
∴. 类型二、相似三角形的应用 3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？
∵AB⊥BC，CD⊥BC
∴∠ABO=∠DCO=90°
又 ∵ ∠AOB=∠DOC
∴△AOB∽△DOC.
∴
∵BO=50m，CO=10m，CD=17m
∴AB=85m
即河宽为85m． 【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条. 4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似 为什么
(2)求古塔的高度．
【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的. 【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°
∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE
(2)由(1)得△ABC∽△ADE
∴
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
∴
∴DE=16m
即古塔的高度为16m。 【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定. 举一反三
【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？ 【答案】
如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC, 根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD， ∠BAP=∠DCP=90°， ∴ △ABP∽△CDP, ∴, 即, ∴DC=6.3米. 即球能碰到墙上离地6.3米高的地方. 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ） A． B． C． D． 2. 如图, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE : S△ABC为 ( ) A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:2 3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）． A．24米 B．54米 C．24米或54米 D．36米或54米 4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ) A．3 B．7 C．12 D．15
5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A．6米 B．8米 C．18米 D．24米 6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（ ）倍. A.2 B.4 C.2 D.64 二、填空题 7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．
8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.
9． 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m． 10. 梯形ABCD中，AD∥BC,AC，BD交于点,若=4， =9，=________. 11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则________________. 12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 三、解答题 13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？ 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． 15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
(1)找出与相似的三角形.
(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？
【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】D． 【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4； ∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC， ∴=，∴S△DOE：S△AOC==， 故选D． 2．【答案】B． 【解析】提示：面积比等于相似比的平方． 3．【答案】C. 4．【答案】B. 5．【答案】B. 【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP． 6．【答案】C． 【解析】提示：面积比等于相似比的平方． 二．填空题 7．【答案】3. 8．【答案】45cm2. 9．【答案】12． 10．【答案】25. 【解析】∵ AD∥BC，∴ △AOD∽△COB，∴ ，∴ AO:CO＝2:3， 又∵，∴ ，又 ， ∴ ． 11.【答案】4:10:25 【解析】∵ 平行四边形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴∵△DEF与△BEF是同高的三角形，∴ 12．【答案】. 三.综合题 13．【解析】作CE∥DA交AB于E，设树高是xm， ∵ 长为1m的竹竿影长0.9m ∴ 即 x＝4.2m 14．【解析】解：如图， ∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED， ∴∠BEA=∠DEC ∵∠BAE=∠DCE=90° ∴△BAE∽△DCE ∴； ∵CE=2.5米，DC=1.6米， ∴； ∴AB=12.8 答：大楼AB的高为12.8米． 15．【解析】(1)与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况： △PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP． (2)①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E， 则 ∵ △PDE∽△BCP ∴ △PDE与△BCP的周长比是1:2 ∴ △BCP的周长是2a． ②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时， 则， ∵ △PCE∽△BCP ∴ △PCE与△BCP的周长比是1:2 ∴ △BCP的周长是2a． ③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时， ∴ ∵ △BPE∽△BCP ∴ △BPE与△BCP的周长比是:2， ∴ △BCP的周长是．
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相似三角形的性质及应用 【要点梳理】 要点一、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
【典型例题】 类型一、相似三角形的性质 1.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD CE=CD DE． 举一反三 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A．3：4 B． 9：16 C． 9：1 D． 3：1 2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
举一反三： 【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比. 类型二、相似三角形的应用 3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似 为什么
(2)求古塔的高度．
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【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？ 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ） A． B． C． D． 2. 如图, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE : S△ABC为 ( ) A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:2 3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）． A．24米 B．54米 C．24米或54米 D．36米或54米 4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ) A．3 B．7 C．12 D．15
5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A．6米 B．8米 C．18米 D．24米 6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（ ）倍. A.2 B.4 C.2 D.64 二、填空题 7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．
8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.
9． 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m． 10. 梯形ABCD中，AD∥BC,AC，BD交于点,若=4， =9，=________. 11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则________________. 12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 三、解答题 13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？ 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）． 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.
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