学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
锐角三角函数 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． 要点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角30°45°160°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
要点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】 类型一、锐角三角函数值的求解策略 1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． 举一反三： 【变式】在中，，若，，则 ， ， ， ， ． 类型二、特殊角的三角函数值的计算 2．求下列各式的值： 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°； sin60°﹣4cos230°+sin45° tan60°； +tan60°﹣． 【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简． 举一反三： 【变式】在中，，若∠A=45°，则 ， ， ， ， ． 类型三、锐角三角函数之间的关系 3．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状． （2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值． 类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用 4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P， 若弦CD＝6，试求cos∠APC的值． 5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°＝________． (2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______． (3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值． 【巩固练习】 一、选择题
1. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝ ( ) A． B． C． D． 2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ） A．2 B． C． D． 3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( ) A．25° B．55° C．65° D．75° 4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ( ) A． B． C． D． 第4题 第5题 5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( ) A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( ) A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变 7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( ) A．cm B．cm C．cm D．cm 第7题 第8题 8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( ) A． B． C． D． 二、填空题 9． (1)锐角∠A满足2sin(∠A-15°)＝，则∠A＝________； (2)已知为锐角，，则________． 10. 用不等号连接下面的式子． (1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21° 11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为 . 12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________． 13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________． 第12题 第15题 14．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________． 15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是________． 16.若α为锐角，且，则m的取值范围是 ． 三、解答题 17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°， 求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值． 18. 计算下列各式的值． (1) ； sin45°+tan45°﹣2cos60°． ﹣cos60°． 19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE． (1)求证：AB＝DF； (2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值． 20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)． (1)求∠BAC的度数； (2)求△ABC面积的最大值． (参考数据：，，．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
锐角三角函数 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． 要点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角30°45°160°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
要点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】 类型一、锐角三角函数值的求解策略 1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． 【答案与解析】 在Rt△ABC中，∠C＝90°． ∵ AB＝13，BC＝5． ∴ ． ∴ ，，； ，，． 【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值． 举一反三： 【变式】在中，，若，，则 ， ， ， ， ． 【答案】 5 ， ， ，， ． 类型二、特殊角的三角函数值的计算 2．求下列各式的值： 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°； (2) sin60°﹣4cos230°+sin45° tan60°； (3) +tan60°﹣． 【答案与解析】 解：（1）原式= =． (2) 原式=×﹣4×（）2+× =﹣3+ =； (3) 原式=+﹣ =2+﹣ =3﹣2+2 =． 【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简． 举一反三： 【变式】在中，，若∠A=45°，则 ， ， ， ， ． 【答案】45°，， ，， ． 类型三、锐角三角函数之间的关系 3．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状． （2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值． 【答案与解析】 解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0， ∴tanA=1，sinB=， ∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC是锐角三角形； （2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴原式=（1+）2﹣2﹣1 =． 【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用 4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P， 若弦CD＝6，试求cos∠APC的值． 【答案与解析】 连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACP＝90°， 又∵ ∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴ △PCD∽△PAB， ∴ ． 又∵ CD＝6，AB＝10， ∴ 在Rt△PAC中， ． 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值． 锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，，PC、PA均为未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB得． 5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°＝________． (2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______． (3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值． 【答案与解析】 (1)1； (2)0＜sadA＜2； (3)如图2所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD． 设AD＝AB＝5a，由得BC＝3a， ∴ ， ∴ CD＝5a-4a＝a，， ∴ ． 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解． 【巩固练习】 一、选择题
1. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝ ( ) A． B． C． D． 2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ） A．2 B． C． D． 3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( ) A．25° B．55° C．65° D．75° 4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ( ) A． B． C． D． 第4题 第5题 5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( ) A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( ) A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变 7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( ) A．cm B．cm C．cm D．cm 第7题 第8题 8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( ) A． B． C． D． 二、填空题 9． (1)锐角∠A满足2sin(∠A-15°)＝，则∠A＝________； (2)已知为锐角，，则________． 10. 用不等号连接下面的式子． (1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21° 11．在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为 . 12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________． 13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________． 第12题 第15题 14．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________． 15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是________． 16.若α为锐角，且，则m的取值范围是 ． 三、解答题 17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°， 求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值． 18. 计算下列各式的值． (1) ； (2) sin45°+tan45°﹣2cos60°． (3) ﹣cos60°． 19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE． (1)求证：AB＝DF； (2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值． 20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)． (1)求∠BAC的度数； (2)求△ABC面积的最大值． (参考数据：，，． 【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】B； 【解析】如图所示．，可设BC＝4k，AB＝5k，用勾股定理可求． ∴ ． 2.【答案】D； 【解析】如图：由勾股定理得， AC=，AB=2，BC=， ∴△ABC为直角三角形， ∴tan∠B==， 故选：D． 3. 【答案】C； 【解析】由互余角的三角函数关系，，∴ sin25°-sin(90°-α)， 即90°-α＝25°，∴ α＝65°． 4.【答案】C； 【解析】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，根据已知可以得到OC＝5，CD＝10， ∴ ，∵ ∠OBC＝∠ODC， ∴ ． 5.【答案】D； 【解析】如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵ ∠BAC＝120°，∴ ∠CAD＝60°， 又∵ AC＝2，∴ AD＝1，CD＝， ∴ BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，， ∴ ． 6.【答案】D； 【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关． 7.【答案】C； 【解析】由，∴ 8. 【答案】A； 【解析】 ∵ ，∴ 二、填空题 9．【答案】 (1)75°；(2)30°； 【解析】(1)将∠A-15°当作一个角来看待，由已知可得， 故锐角，∴ ∠A＝75°． (2)将90°-α口当作一个角来看待，由tan(90°-α)＝，∴ 90°-α＝60°，∴ α＝30°． 10.【答案】(1)＜； (2)＜； 【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°； 当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°． 11．【答案】105°； 【解析】∵ ， ∴ ， 即，． 又∵ ∠A、∠B均为锐角，∴ ∠A＝45°，∠B＝30°， 在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∴ ∠C＝105°． 12．【答案】； 【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C点向AB所在直线作垂线CH．垂足为H， 则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得，∴ ． 13．【答案】2或 【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P是直线CD上一点，所以点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上， 当P在边CD上时，；当P在CD延长线上时，． 14．【答案】或； 【解析】由得，，①当3为直角边时，最小角A的正切值为；②当3为斜边时，另一直角边为，∴ 最小角A的正切值为. 故应填或． 15．【答案】； 【解析】由△ABC的内心在y轴上可知OB是∠ABC的角平分线，则∠OBA＝45°， 易求AB与x轴的交点为(-2，0)，所以直线AB的解析式为：， 联立可求A点的坐标为(-6，-4)， ∴ ，又OC＝OB＝2， ∴ BC＝．在Rt△ABC中，． 16.【答案】 ； 【解析】∵0＜cosα＜1， ∴0＜＜1， 解得. 三、解答题 17.【答案与解析】 过D作DE∥AC，交BC于点E． ∵ AD＝BD，∴ CE＝EB，∴ AC＝2DE． 又∵ DC⊥ AC，DE∥AC， ∴ DC⊥DE，即∠CDE＝90°． 又∵ ∠BCD＝30°，∴ EC＝2DE，DC＝DE． 设DE＝k，则CD＝，AC＝2k． 在Rt△ACD中，． ∴ ，． ． 18.【答案与解析】 解：（1）原式=4×﹣×+× =1+3． (2) 原式=×+1﹣2× =1+1﹣1 =1． (3) 原式=﹣× =﹣ =． 19.【答案与解析】 (1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC，AD＝BC ∴ ∠DAF＝∠AEB 又∵ AE＝BC， ∴ AE＝AD 又∵ ∠B=∠DFA＝90°， ∴ △EAB≌△ADF． ∴ AB＝DF． (2)解：在Rt△ABE中， ∵ △EAB≌△ADF， ∴ DF＝AB＝6，AF＝EB＝8， ∴ EF＝AE-AF＝10-8＝2． ∴ ． 20.【答案与解析】 (1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD． ∵ BD是直径，∴ BD＝4，∠DCB＝90°． 在Rt△DBC中，， ∴ ∠BDC＝60°，∴ ∠BAC＝∠BDC＝60°． (2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处． 过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC， 则AB＝AC，∠BAE∠BAC＝30°． 在Rt△ABE中，∵ BE，∠BAE＝30°， ∴ ， ∴ ． 答：△ABC面积的最大值是．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
