学科教师辅导教案
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T C T
授课日期及时段
教学内容
《锐角三角函数》全章复习与巩固 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.
(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成等.
2.锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
要点诠释：
1. 函数值的取值范围 对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
2．锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
3.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A30°45°60°sinAcosAtanA1
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
要点二、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即
要点诠释：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
要点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见应用问题
(1)坡度：； 坡角:.
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
要点诠释：
1．解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤Rt△ABC
两
边两直角边(a，b)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角一直角边
和一锐角锐角、邻边
(如∠A，b)∠B=90°－∠A，
，锐角、对边
(如∠A，a)∠B=90°－∠A，
，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，
，
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴ 【典型例题】 类型一、锐角三角函数 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值是( )． A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变 【答案】 D； 【解析】根据知sin∠A的值与∠A的大小有关，与的比值有关． 当各边长度都扩大为原来的2倍时，其的比值不变．故选D. 【总结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系． 举一反三： 【变式1】已知，如图，中，，，，求cosA及tanA． 【答案】易证点B、C、D、E四点共圆，△ADE∽△ABC， cosA= tanA= 【变式2】如图所示，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，请你证明． 【答案】 证明：⊙O是△ABC的外接圆，设圆的半径为R，连结AO并延长交⊙O于点D， 连结CD，则∠B＝∠D． ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°．即△ADC为直角三角形． ∴，∴． 同理可证：，． ∴． 类型二、 特殊角三角函数值的计算 2．已知a＝3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于( )． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A； 【解析】根据题意知 解得 所以a＝3，b＝4，c＝5，即，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°， 所以． 【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错． 举一反三： 【变式】计算：＋60° 【答案】原式= = 类型三、 解直角三角形 3．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若，则AD的长为( )． A．2 B． C． D．1 【思路点拨】 如何用好是解题关解，因此要设法构造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等． 【答案】 A； 【解析】 作DE⊥AB于点E． 因为△ABC为等腰直角三角形，所以∠A＝45°，所以AE＝DE． 又设DE＝x，则AE＝x，由． 知BE＝5x，所以AB＝6x，由勾股定理知AC2+BC2＝AB2， 所以62+62＝(6x)2，，AD＝AE＝． 【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知一边和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解． 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合 4．如图所示，直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝，sin B＝，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP， (1)求AC，BC的长； (2)设PC的长为x，△ADP的面积为y，当x为何值时，y最大，并求出最大值． 【思路点拨】 (1)在Rt△ABC中，由AB＝，sin B＝，易得AC＝2，再由勾股定理求BC． (2)，只要把AD用x表示即可求出△ADP的面积y， 由PD∥AB可得，从而求出，则． 【答案与解析】 (1)在Rt△ABC中，由，∴AC＝2，由勾股定理得BC＝4． (2)∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴． ∵PC＝x，则， ∴当x＝2时，y有最大值，最大值是1． 【总结升华】 近几年，锐角三角函数与圆、函数、相似三角形以及方程相结合的题目在各地中考试题中出现的频率越来越大．如圆中的垂径定理，直径所对的圆周角都出现了直角或直角三角形．在函数中，在直角坐标系中求点的坐标，离不开求直角三角形两直角边的问题，相似三角形中可将有些元素进行转换或替代． 举一反三： 【变式】如图，设P是矩形ABCD的AD边上一动点，于点E，于F，，． 求的值． 【答案】如图，sin∠1= sin∠2= 由矩形ABCD知∠1=∠2， 则 PE=PAsin∠1，PF=PDsin∠2,sin∠1=， 所以PE+PF= PAsin∠1+ PDsin∠2=（PA+PD）sin∠1= 类型五、三角函数与实际问题 5．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米． （1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米） （2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？ （参考数据：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°=） 【答案与解析】 解：（1）在Rt△BCD中，， ∴≈6.7； （2）在Rt△BCD中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2． 过E作AB的垂线，垂足为F， 在Rt△AFE中，AE=1.6，∠EAF=180°﹣120°=60°， AF==0.8. ∴FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7米． 答：钢缆CD的长度为6.7米，灯的顶端E距离地面7米． 【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题. 6．如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去． （1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？ （2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离． 【答案与解析】 解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°， ∴∠BCO=90°． 在Rt△BCO中，∵OB=120， ∴BC=OB=60， ∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）； （2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E． 则OC=OB cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC cos30°=90， ∴DE=90﹣3v． ∵CE=60，CD2+DE2=CE2， ∴（30）2+（90﹣3v）2=602， ∴v=20或40， ∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km， 当v=40km/h时，OE=3×40=120km． 【总结升华】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题， 理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解题的关键. 【巩固练习】 一、选择题
1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )． A．2 B． C． D．1 2．如图所示，△ABC中，AC＝5，，，则△ABC的面积是( ) A． B．12 C．14 D．21 3．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△， 则tan的值为( ) A． B． C． D． 第2题图 第3题图 第4题图 4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测 得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路的距离为( )． A．25米 B．米 C．米 D．米 5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )． A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm 6．如图所示，已知坡面的坡度，则坡角为( )． A．15° B．20° C．30° D．45° 第5题图 第6题图 第7题图 7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )． A．4 m B．6 m C．m D． 8．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（ ） A．S1=S2 B． S1=S2 C． S1=S2 D． S1=S2 二、填空题 9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，，则= ；= ． 10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为 ；CD的长为 .
第9题图 第10题图 第11题图 11．如图所示，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则________． 12．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值 为__ ______． 13.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732） 14. 在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝____ ____． 15. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 . 第15题图 第16题图 16. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为 . (2)∠CDE的正切值为 . 三、解答题 17．如图所示，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D， ∠BOE＝60°，cos C＝，BC＝． (1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线；(3)求MD的长度． 18. 如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？ 19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点． (1)求证：AC·CD＝PC·BC； (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； (3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S． 20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y． (1)求点D到BC的距离DH的长； (2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形 若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】C； 【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 30°＝． 2.【答案】A； 【解析】过A作AD⊥BC于D，因为，所以∠B＝45°，所以AD＝BD，因为， 所以，∴ BD＝AD＝3，所以，所以BC＝BD+DC＝7， . 3.【答案】B； 【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝∠B，然后将∠B放在以BC为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B的对边为1，邻边为3，tan B′＝tanB＝． 4.【答案】B； 【解析】依题意知BC＝AC＝50米，小岛B到公路的距离，就是过B作的垂线，即是BE的长， 在Rt△BCE中，，BE＝BC·sin 60°＝50×(米)，因此选B． 5.【答案】D； 【解析】如图，△ABD是等腰直角三角形，过A点作AC⊥BD于C，则∠ABC＝45°，AC＝BC＝，则所求深度为55－20＝35(cm)． 6.【答案】C； 【解析】，∴ ． 7．【答案】D； 【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为(m)， 则地毯的总长至少为m． 8．【答案】C； 【解析】过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H． 在Rt△ABG中，AG=AB sin40°=5sin40°， ∠DEH=180°﹣140°=40°， 在Rt△DHE中，DH=DE sin40°=8sin40°， S1=8×5sin40°÷2=20sin40°， S2=5×8sin40°÷2=20sin40°． 则S1=S2． 故选：C． 二、填空题 9．【答案】cos∠CEB=；tan∠CEB= 【解析】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴， cos∠CEB= tan∠CEB= 第9题答案图 第10题答案图 10．【答案】5+10；10+5. 【解析】过B点分别作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF.
∵在Rt△AEB中，∠A=30°，AB=10，
∴AE=AB·cos30°=10×=5，
BE=AB·sin30°=10×=5.
又∵在Rt△BFC中，∠C=30°，BC=20，
∴BF=BC=×20=10，
CF=BC·cos30°=20×=10.
∴AD=AE+ED=5+10，
CD=CF+FD=10+5. 11．【答案】； 【解析】设AB边与直线的交点为E，∵ ∥∥∥，且相邻两条平行直线间的距离都是1， 则E为AB的中点，在Rt△AED中，∠ADE＝α，AD＝2AE．设AE＝k，则AD＝2k，． ∴ ． 12．【答案】或； 【解析】由得x1＝1，x2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A＝； ②当3为斜边时，则另一直角边为．∴ ． 13．【答案】137 ； 【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m， 设AD=xm， 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=， ∴CD=AD=x， ∴BD=BC+CD=x+100， 在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=， ∴x=（x+100）， ∴x=50（+1）≈137， 即山高AD为137米． 14．【答案】或； 【解析】因△ABC的形状不是唯一的，当△ABC是锐角三角形时，如图所示，作AH⊥BC于H， 在Rt△ABH中．AH＝AB·sin∠ABC＝8×sin30°＝4，BH＝， 在Rt△AHC中，HC＝．∴ BC＝． 当△ABC是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC＝． 15．【答案】； 【解析】连接CA并延长到圆上一点D，
∵CD为直径，∴∠COD=∠yOx=90°，
∵直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），
∴CD=10，CO=5，
∴DO=，
∵∠B=∠CDO，
∴∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值，
∴cos∠OBC=cos∠CDO=．
16．【答案】（1）BE=5；（2）tan∠CDE= 【解析】（1）由题意得△BFE≌△DFE，∴DE=BE.
又∵在△BDE中，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，即DE⊥BC.
∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，
∴EC=(BC-AD)=3，BE=5.
(2)由(1)得DE=BE=5，
在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，
∴tan∠CDE==.
三、解答题 17.【答案与解析】 (1)∵∠BOE＝60°，∴∠A＝∠BOE＝30°． (2)在△ABC中，∵cos C＝，∴∠C＝60°， 又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC，∴ BC是⊙O的切线． (3)∵点M是的中点，∴OM⊥AE，在Rt△ABC中， ∵BC＝，∴AB＝BC tan 60°＝，∴OA＝， ∴OD＝OA＝，∴MD＝． 18． 【解析】 解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE， 在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为，得： DE=x，则根据勾股定理得： x2+=， 得x=，（﹣不合题意舍去）， 所以，CE=米，则，ED=米， 那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米， 在Rt△AFD中，由三角函数得： =tan∠ADF， ∴AF=FD tan60°=×=米， ∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=4米， 答：小树AB的高是4米． 19.【答案与解析】 (1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°． 又∵ PC⊥CD，∴ ∠PCD＝90°． 而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴． ∴AC·CD＝PC·BC． (2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E． ∵P是中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝． 又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝． ∴． 从而PC＝PE+EC＝．由(1)得CD＝． (3)当点P在上运动时，． 由(1)可知，CD＝． ∴．故PC最大时，取得最大值； 而PC为直径时最大，∴的最大； ∴的最大值． 20.【答案与解析】 (1)∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10． ∵点D为AB中点，∴BD＝AB＝3．∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B． ∴△BHD∽△BAC，∴，∴． (2)∵QR∥AB，∴△RQC∽△ABC， ∴，∴， 即y关于x的函数关系式为：． (3)存在，分三种情况： ①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，如图所示，则QM＝RM． ∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C． ∴，∴，∴， ∴，∴． ②当PQ＝RQ时，如图28—46所示，则有，∴x＝6． ③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，如图所示． 于是点R为EC的中点，∴． ∵，∴，∴． 综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．学科教师辅导教案
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教学内容
《锐角三角函数》全章复习与巩固 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.
(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成等.
2.锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
要点诠释：
1. 函数值的取值范围 对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
2．锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
3.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A30°45°60°sinAcosAtanA1
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
要点二、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即
要点诠释：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
要点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见应用问题
(1)坡度：； 坡角:.
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
要点诠释：
1．解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤Rt△ABC
两
边两直角边(a，b)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角一直角边
和一锐角锐角、邻边
(如∠A，b)∠B=90°－∠A，
，锐角、对边
(如∠A，a)∠B=90°－∠A，
，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，
，
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴ 【典型例题】 类型一、锐角三角函数 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值是( )． A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变 举一反三： 【变式1】已知，如图，中，，，，求cosA及tanA． 【变式2】如图所示，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，请你证明． 类型二、 特殊角三角函数值的计算 2．已知a＝3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于( )． A．6 B．7 C．8 D．9 举一反三： 【变式】计算：＋60° 类型三、 解直角三角形 3．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若，则AD的长为( )． A．2 B． C． D．1 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合 4．如图所示，直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝，sin B＝，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP， (1)求AC，BC的长； (2)设PC的长为x，△ADP的面积为y，当x为何值时，y最大，并求出最大值． 举一反三： 【变式】如图，设P是矩形ABCD的AD边上一动点，于点E，于F，，． 求的值． 类型五、三角函数与实际问题 5．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米． （1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米） （2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？ （参考数据：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°=） 6．如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去． （1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？ （2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离． 【巩固练习】 一、选择题
1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )． A．2 B． C． D．1 2．如图所示，△ABC中，AC＝5，，，则△ABC的面积是( ) A． B．12 C．14 D．21 3．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△， 则tan的值为( ) A． B． C． D． 第2题图 第3题图 第4题图 4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测 得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路的距离为( )． A．25米 B．米 C．米 D．米 5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )． A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm 6．如图所示，已知坡面的坡度，则坡角为( )． A．15° B．20° C．30° D．45° 第5题图 第6题图 第7题图 7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )． A．4 m B．6 m C．m D． 8．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（ ） A．S1=S2 B． S1=S2 C． S1=S2 D． S1=S2 二、填空题 9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，，则= ；= ． 10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为 ；CD的长为 .
第9题图 第10题图 第11题图 11．如图所示，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则________． 12．如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值 为__ ______． 13.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732） 14. 在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝____ ____． 15. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 . 第15题图 第16题图 16. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为 . (2)∠CDE的正切值为 . 三、解答题 17．如图所示，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D， ∠BOE＝60°，cos C＝，BC＝． (1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线；(3)求MD的长度． 18. 如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？ 19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点． (1)求证：AC·CD＝PC·BC； (2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； (3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S． 20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y． (1)求点D到BC的距离DH的长； (2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形 若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
