第01课 二次根式(含解析)-2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）
文档属性
| 名称 | 第01课 二次根式(含解析)-2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 758.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-27 08:55:59 | ||
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文档简介
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第01课 二次根式
课程标准
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．
知识点01 二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．
要点诠释：
正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
二次根式的概念是从形式上界定的， “ ”，“”的根指数为 ，即“”，我们一般 ，写作“”。如可以写作 。
二次根式中的被开方数既可以是一个 ，也可以是一个含有字母的 。
式子表示 的 ，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。
在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了 这一隐含条件。
形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是 的关系。要注意当b是分数时 ，例如可写成，但不能写成2 。
2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把 和表示数的 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
列代数式的常用方法：
：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
：根据公式列出代数式。
：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
知识点02 二次根式的性质
二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展
（a≥0） 的性质 即 一个 的算术平方根是 。 （1）二次根式的非负性应用较多，如： +=0，则a+1= ，b-3= ，即a= ，b= ； 又如+，则x的取值范围是 ，解得 ； （2）具有非负性的性质：① ； ② ；③≥0（a≥0）； （3）若a2+｜b｜+=0，则a= ，b= ，c= ，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于 ； （4）的最小值为 ；例如：当a= 时，有最小值是 .
（a≥0） 的性质 = （a≥0） 一个非负数的算术平方根的平方等于 。 正用公式：（）2 = ；（）2= 逆用公式：若a≥0，则a=（）2， 如：2=（）2，=（）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-)
的性质 或 一个数的平方的算术平方根等于这个数的 。 （1）正用公式： = = ； （2）逆用公式：=3=3 （3）化简形如的式子时，先转化为 形式，再根据a的符号去掉绝对值号。
注意：与的区别与联系：
区 别 表示的意义不同 表示 表示
取值范围不同 a a
读法不同 读作“ ”或 “ ” 读作“ ”或 “ ”
被开方数不同 被开方数是 被开方数是
运算顺序不同 先 后 先 后
运算结果，运算依据不同 （）2 =a，依据平方与开平方 得到 依据算术平方根的定义得到
作用不同 （）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式 =｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内
联 系 ①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 ②结果都是 ；③a 时，（）2=
考法01 二次根式的判断
【典例1】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
考法02 二次根式有意义的条件
【典例2】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】式子中x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2
【典例4】代数式中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3
【典例5】如果，那么的值是______．
考法03 二次根式非负性的逆用
【典例6】如果，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】若， 则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
【典例7】把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
考法04 利用二次根式的非负性化简求值
【典例8】计算：______．
【即学即练】化简______．
【典例9】已知+（y﹣3）2＝0，则＝_____．
【即学即练】若x＜2，化简＝_______________．
【即学即练】化简＝_______________．
考法05 利用=｜a｜并结合数轴化简求值
【典例10】如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______________
【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．
【即学即练】如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
【即学即练】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
考法06 利用=｜a｜与三角形三边关系的综合应用
【典例11】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.
【即学即练】设a，b，c为△ABC的三边，化简： .
考法07 逆用= a（a≥0）在实数范围内分解因式
【典例12】在实数范围内分解因式：
（1）；
（2）．
【即学即练】分解因式（在实数范围内）：．
题组A 基础过关练
1．在式子中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
3．计算的结果是
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
6．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
7．已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( )
A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－5
8．在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为( )
A． B．
C． D．2a
9．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
题组B 能力提升练
1．化简得（ ）．A．2 B． C．－2 D．
2．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是（ ）
A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12
3．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
4．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．
5．若＝4－m，则m的取值范围是____________．
6．把的根号外因式移到根号内得____________．
7．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：________．
8．-1的最小值是______．
9．当x=-1时，代数式x2+2x+2的值是__________．
10．在实数范围内因式分解：________．
11．观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
题组C 培优拔尖练
1．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．
2．阅读理解题，下面我们观察：
反之，
所以，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：；
（2）化简：；
（3）化简：．
3．阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；
(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；
(3)若＝6，求a的取值．
4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值。
第01课 二次根式
课程标准
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．
知识点01 二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
要点诠释：
正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。
二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。
在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。
2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
列代数式的常用方法：
直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
公式法：根据公式列出代数式。
探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
知识点02 二次根式的性质
二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展
（a≥0） 的性质 即双重非负性 一个非负数的算术平方根是非负数。 （1）二次根式的非负性应用较多，如： +=0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3； 又如+，则x的取值范围是 ，解得x=a； （2）具有非负性的性质：①a2≥0； ②｜a｜≥0；③≥0（a≥0）； （3）若a2+｜b｜+=0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0； （4）的最小值为0；例如：当a=1时，有最小值是2.
（a≥0） 的性质 = a（a≥0） 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1 逆用公式：若a≥0，则a=（）2， 如：2=（）2，=（）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-)
的性质 或 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 （1）正用公式： =｜3-π｜ =3-π ； （2）逆用公式：=3=3 （3）化简形如的式子时，先转化为 ｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。
注意：与的区别与联系：
区 别 表示的意义不同 表示非负数a的算术平方根的平方 表示a2的算术平方根
取值范围不同 a≥0 a为任意实数
读法不同 读作“根号a的平方”或 “a的算术平方根的平方” 读作“根号a2”或 “a的平方的算术平方根”
被开方数不同 被开方数是a 被开方数是a2
运算顺序不同 先开放后平方 先平方后开方
运算结果，运算依据不同 （）2 =a，依据平方与开平方互为逆运算得到 依据算术平方根的定义得到
作用不同 （）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式 =｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内
联 系 ①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 ②结果都是非负数；③a≥0时，（）2=
考法01 二次根式的判断
【典例1】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
【详解】
解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，
二次根式有：（x＞0），，，共3个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：A、是二次根式，不符合题意；
B、中，故不是二次根式，符合题意；
C、2是二次根式，不符合题意；
D、是二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数．
考法02 二次根式有意义的条件
【典例2】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求解即可．
【详解】
解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
【典例3】式子中x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：
且，
解得：且；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．
【典例4】代数式中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不为0列式计算即可．
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴，解得：x＞﹣3．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数基本知识，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．
【典例5】如果，那么的值是______．
【答案】25
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x、y的值，进而问题可求解．
【详解】
解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
故答案为25．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
考法03 二次根式非负性的逆用
【典例6】如果，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B. .
考点：二次根式的性质.
【即学即练】若， 则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A
【解析】
【分析】
等式左边为算术平方根，结果为非负数，即1-x≥0．
【详解】
解：由于二次根式的结果为非负数可知，
1-x≥0，解得x≤1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．
【典例7】把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题需注意的是的符号，根据被开方数不为负数可得出，因此需先将的负号提出，然后再将移入根号内进行计算．
【详解】
解：
．
故选B．
【点评】
正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，．
考法04 利用二次根式的非负性化简求值
【典例8】计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由题可得，，即可得出，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：由题可得，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
【即学即练】化简______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质解答即可求解．
【详解】
解：∵π>3，
∴π 3>0；
∴．
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【典例9】已知+（y﹣3）2＝0，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝2，y＝3，
则原式＝＝＝2．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，二次根式的化简，求得的值是解题的关键．
【即学即练】若x＜2，化简＝_______________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
直接运用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】
解：∵
∴，
∴
=
=
=
=
故答案为：-1
【点睛】
本题主要考查了化简二次根式，其依据是二次根式的性质．
【即学即练】化简＝_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】
先利用二次根式的性质，再利用求绝对值的法则，即可求解．
【详解】
解：∵4＜5，
∴2＜，
∴＝．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键．
考法05 利用=｜a｜并结合数轴化简求值
【典例10】如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______________
【答案】a
【解析】
【分析】
利用数轴表示数的方法得到a＜b＜0＜c， |b|＞c，再根据二次根式的性质得到原式=|b|-|b+c|-|c-a|，然后去绝对值后合并即可．
【详解】
解：由数轴得a＜b＜0＜c，|b|＞c，
∴b+c＜0，c-a＞0，
原式=|b|-|b+c|-|c-a|
=-b+（b+c）-（c-a）
=-b+b+c-c+a
=a．
故答案为：a．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．
【答案】﹣2b
【解析】
【详解】
由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．
故答案为﹣2b．
点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．
【即学即练】如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
【答案】2．
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】
由数轴可得：0＜a＜2，
则a+=a+=a+（2﹣a）=2．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．
【即学即练】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．
【详解】
由数轴，得，，，.
则原式.
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，数轴，解题关键在于利用数轴进行解答.
考法06 利用=｜a｜与三角形三边关系的综合应用
【典例11】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.
【答案】3a+b﹣c．
【解析】
【详解】
试题分析:根据二次根式的性质可得:,根据三角形三边关系可得:a+b-c＞0,b+c-a＞0,c-b-a<0,然后化简绝对值.
试题解析:∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a+b＞c,b+c＞a,b+a＞c,
∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|,
=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）,
=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c,
=3a+b﹣c.
【即学即练】设a，b，c为△ABC的三边，化简： .
【答案】2a＋4b
【解析】
【详解】
试题分析：根据三角形的三边关系判定出 的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
试题解析：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c>0，a b c<0，b a c<0，c b a<0，
则原式
点睛：三角形任意两边之和大于第三边.
考法07 逆用= a（a≥0）在实数范围内分解因式
【典例12】在实数范围内分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）把2写成，运用平方差公式分解即可；
（2）把5写成，3写成，运用平方差公式分解即可．
【详解】
（1）
=
=；
（2）
=
=．
【点睛】
本题考查了平方差公式分解因式，熟练运用二次根式的性质把一个非负数转化成平方的形式是解题的关键．
【即学即练】分解因式（在实数范围内）：．
【答案】
【解析】
【分析】
首先提取公因式，再根据平方差公式分解．
【详解】
解：a3 3a =a(a2-3)
=．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，熟练掌握提公因式和平方差公式分解因式的方法以及二次根式的性质是解题关键．
题组A 基础过关练
1．在式子中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【详解】
解：当y=﹣2时，y+1=﹣2+1=﹣1，∴（y=－2）无意义；当x＞0时，无意义；所以二次根式有（x＞0）， ，共3个．故选B．
2．使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
详解：∵式子有意义，
∴x-3≥0，
解得x≥3．
故选C．
点睛：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
3．计算的结果是
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
=|﹣3|=3.
故选B.
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题解析：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选A．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴.
故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
6．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的非负性，构造不等式求解即可.
【详解】
∵是二次根式，
∴≥0，
∴≥0，
解得 ，
故选D.
【点睛】
本题考查了二次根式的非负性，熟练将二次根式的非负性转化成对应的不等式是解题的关键.
7．已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( )
A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可.
【详解】
解：∵-2＜m＜3，
∴m-3＜0，m+2＞0，
∴＋|m＋2|=3-m+m+2=5．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键．
8．在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为( )
A． B．
C． D．2a
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形三边的关系得到a+b＞c，a+c＞b，则根据二次根式的性质得原式=|a-b+c|-2|c-a-b|=a-b+c+2（c-a-b），然后去括号后合并即可．
【详解】
∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a-b+c|-2|c-a-b|
=a-b+c+2（c-a-b）
=a-b+c+2c-2a-2b
=-a-3b+3c．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了三角形三边的关系．
9．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先确定出x的取值范围，然后再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】
∵二次根式被开方数为非负数，
∴，则，
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式被开方数为非负数确定出x的取值范围是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．化简得（ ）．A．2 B． C．－2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
原式可化为-，可得2x-3＞0，由于2x-1＞2x-3，所以2x-1＞0，再进行开方运算即可.
【详解】
原式=-
=2x-1-2x+3
=2.
故选A.
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键.
2．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是（ ）
A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12
【答案】A
【解析】
【分析】
二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.
【详解】
解：由题意得 2＜a＜4，
∴9-2a＞0，3-2a＜0
=9-2a-（2a-3）
=9-2a-2a+3
=12-4a，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式化简，熟练掌握化简二次根式是解题的关键．
3．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】
解：由题意得：
，解得：x>2，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
4．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．
【答案】4
【解析】
【详解】
【分析】由已知判断x-1>0,x-5<0,再求绝对值.
【详解】因为1＜x＜5，
+|x-5|=|x-1|+|x-5|=x-1+5-x=4
故答案为4
【点睛】本题考核知识点：二次根式化简. 解题关键点：求绝对值.
5．若＝4－m，则m的取值范围是____________．
【答案】m≤4
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案.
【详解】
解: =4-m，得4-m≥0，
解得m≤4，
故答案为:m≤4.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质（中，）熟记二次根式得性质是解题关键.
6．把的根号外因式移到根号内得____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．
【详解】
解：，
；
故答案为：
【点睛】
本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．
7．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形任两边的和大于第三边，可判定a-b+c及a-b-c的符号，从而可脱去绝对值，最后可求得结果．
【详解】
∵a，b，c是三角形的三边长
∴a+c>b，b+c>a
∴a-b+c>0，a-b-c<0
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大于第三边，绝对值的化简，关键是根据三角形三边不等关系确定a-b+c及a-b-c的符号．
8．-1的最小值是______．
【答案】0
【解析】
【分析】
先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解．
【详解】
解：-1
=-1
∵最小值为：1，
∴-1的最小值是0．
故答案为0．
【点睛】
本题考查了二次根式求最小值，其中运用完全平方公式，化简原式寻找求最小值的思路是解答本题的关键．
9．当x=-1时，代数式x2+2x+2的值是__________．
【答案】6
【解析】
【详解】
解：当时，
故答案为：6．
10．在实数范围内因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式4a后，再把剩下的式子利用平方差公式继续分解因式．
【详解】
解：．
故答案为．
【点睛】
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
11．观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
，
故答案为．
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题
的关键．
题组C 培优拔尖练
1．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．
【答案】－a
【解析】
【分析】
根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【详解】
根据题意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+b＜0，b+c＜0，a+c＜0，
则原式=|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|=﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c=﹣a．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
2．阅读理解题，下面我们观察：
反之，
所以，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：；
（2）化简：；
（3）化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
【详解】
解：（1）
（2）
（3）．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
3．阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；
(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；
(3)若＝6，求a的取值．
【答案】（1）4；（2）；（3）或4
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【详解】
解：（1）∵时，
∴，
∴
=
=
=；
故答案为：4；
（2）由题意可知，，
∴，
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
当时，则，，
∴原式=，
∴符合题意；
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
∴满足＝5的a的取值范围是；
故答案为：；
（3）∵，
∴，
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
当时，则，，
∴原式=，
∴不符合题意；
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
∴a的值为：或4；
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，化简绝对值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简，本题属于中等题型．注意运用分类讨论的思想进行分析．
4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1 ,（答案不唯一）；（3）7或13．
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【详解】
解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，
故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，
故答案为：4,，1 ,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，
当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，
∴a的值为7或13．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及阅读理解问题，正确理解题意并掌握基本运算法则是解题的关键.
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第01课 二次根式
课程标准
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．
知识点01 二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．
要点诠释：
正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
二次根式的概念是从形式上界定的， “ ”，“”的根指数为 ，即“”，我们一般 ，写作“”。如可以写作 。
二次根式中的被开方数既可以是一个 ，也可以是一个含有字母的 。
式子表示 的 ，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。
在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了 这一隐含条件。
形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是 的关系。要注意当b是分数时 ，例如可写成，但不能写成2 。
2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把 和表示数的 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
列代数式的常用方法：
：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
：根据公式列出代数式。
：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
知识点02 二次根式的性质
二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展
（a≥0） 的性质 即 一个 的算术平方根是 。 （1）二次根式的非负性应用较多，如： +=0，则a+1= ，b-3= ，即a= ，b= ； 又如+，则x的取值范围是 ，解得 ； （2）具有非负性的性质：① ； ② ；③≥0（a≥0）； （3）若a2+｜b｜+=0，则a= ，b= ，c= ，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于 ； （4）的最小值为 ；例如：当a= 时，有最小值是 .
（a≥0） 的性质 = （a≥0） 一个非负数的算术平方根的平方等于 。 正用公式：（）2 = ；（）2= 逆用公式：若a≥0，则a=（）2， 如：2=（）2，=（）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-)
的性质 或 一个数的平方的算术平方根等于这个数的 。 （1）正用公式： = = ； （2）逆用公式：=3=3 （3）化简形如的式子时，先转化为 形式，再根据a的符号去掉绝对值号。
注意：与的区别与联系：
区 别 表示的意义不同 表示 表示
取值范围不同 a a
读法不同 读作“ ”或 “ ” 读作“ ”或 “ ”
被开方数不同 被开方数是 被开方数是
运算顺序不同 先 后 先 后
运算结果，运算依据不同 （）2 =a，依据平方与开平方 得到 依据算术平方根的定义得到
作用不同 （）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式 =｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内
联 系 ①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 ②结果都是 ；③a 时，（）2=
考法01 二次根式的判断
【典例1】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
考法02 二次根式有意义的条件
【典例2】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】式子中x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2
【典例4】代数式中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3
【典例5】如果，那么的值是______．
考法03 二次根式非负性的逆用
【典例6】如果，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】若， 则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
【典例7】把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
考法04 利用二次根式的非负性化简求值
【典例8】计算：______．
【即学即练】化简______．
【典例9】已知+（y﹣3）2＝0，则＝_____．
【即学即练】若x＜2，化简＝_______________．
【即学即练】化简＝_______________．
考法05 利用=｜a｜并结合数轴化简求值
【典例10】如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______________
【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．
【即学即练】如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
【即学即练】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
考法06 利用=｜a｜与三角形三边关系的综合应用
【典例11】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.
【即学即练】设a，b，c为△ABC的三边，化简： .
考法07 逆用= a（a≥0）在实数范围内分解因式
【典例12】在实数范围内分解因式：
（1）；
（2）．
【即学即练】分解因式（在实数范围内）：．
题组A 基础过关练
1．在式子中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
3．计算的结果是
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
6．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
7．已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( )
A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－5
8．在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为( )
A． B．
C． D．2a
9．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
题组B 能力提升练
1．化简得（ ）．A．2 B． C．－2 D．
2．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是（ ）
A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12
3．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
4．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．
5．若＝4－m，则m的取值范围是____________．
6．把的根号外因式移到根号内得____________．
7．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：________．
8．-1的最小值是______．
9．当x=-1时，代数式x2+2x+2的值是__________．
10．在实数范围内因式分解：________．
11．观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
题组C 培优拔尖练
1．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．
2．阅读理解题，下面我们观察：
反之，
所以，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：；
（2）化简：；
（3）化简：．
3．阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；
(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；
(3)若＝6，求a的取值．
4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值。
第01课 二次根式
课程标准
1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．
知识点01 二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
要点诠释：
正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。
二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。
在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。
2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
列代数式的常用方法：
直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
公式法：根据公式列出代数式。
探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
知识点02 二次根式的性质
二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展
（a≥0） 的性质 即双重非负性 一个非负数的算术平方根是非负数。 （1）二次根式的非负性应用较多，如： +=0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3； 又如+，则x的取值范围是 ，解得x=a； （2）具有非负性的性质：①a2≥0； ②｜a｜≥0；③≥0（a≥0）； （3）若a2+｜b｜+=0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0； （4）的最小值为0；例如：当a=1时，有最小值是2.
（a≥0） 的性质 = a（a≥0） 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 正用公式：（）2 =5；（）2=m2+1 逆用公式：若a≥0，则a=（）2， 如：2=（）2，=（）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（）2 =(a+)(a-)
的性质 或 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 （1）正用公式： =｜3-π｜ =3-π ； （2）逆用公式：=3=3 （3）化简形如的式子时，先转化为 ｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。
注意：与的区别与联系：
区 别 表示的意义不同 表示非负数a的算术平方根的平方 表示a2的算术平方根
取值范围不同 a≥0 a为任意实数
读法不同 读作“根号a的平方”或 “a的算术平方根的平方” 读作“根号a2”或 “a的平方的算术平方根”
被开方数不同 被开方数是a 被开方数是a2
运算顺序不同 先开放后平方 先平方后开方
运算结果，运算依据不同 （）2 =a，依据平方与开平方互为逆运算得到 依据算术平方根的定义得到
作用不同 （）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式 =｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内
联 系 ①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 ②结果都是非负数；③a≥0时，（）2=
考法01 二次根式的判断
【典例1】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
【详解】
解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，
二次根式有：（x＞0），，，共3个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：A、是二次根式，不符合题意；
B、中，故不是二次根式，符合题意；
C、2是二次根式，不符合题意；
D、是二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数．
考法02 二次根式有意义的条件
【典例2】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求解即可．
【详解】
解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
【典例3】式子中x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：
且，
解得：且；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．
【典例4】代数式中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不为0列式计算即可．
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴，解得：x＞﹣3．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数基本知识，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．
【典例5】如果，那么的值是______．
【答案】25
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得x、y的值，进而问题可求解．
【详解】
解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
故答案为25．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
考法03 二次根式非负性的逆用
【典例6】如果，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B. .
考点：二次根式的性质.
【即学即练】若， 则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A
【解析】
【分析】
等式左边为算术平方根，结果为非负数，即1-x≥0．
【详解】
解：由于二次根式的结果为非负数可知，
1-x≥0，解得x≤1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．
【典例7】把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题需注意的是的符号，根据被开方数不为负数可得出，因此需先将的负号提出，然后再将移入根号内进行计算．
【详解】
解：
．
故选B．
【点评】
正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，．
考法04 利用二次根式的非负性化简求值
【典例8】计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由题可得，，即可得出，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：由题可得，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
【即学即练】化简______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质解答即可求解．
【详解】
解：∵π>3，
∴π 3>0；
∴．
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【典例9】已知+（y﹣3）2＝0，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣3＝0，
解得：x＝2，y＝3，
则原式＝＝＝2．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，二次根式的化简，求得的值是解题的关键．
【即学即练】若x＜2，化简＝_______________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
直接运用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】
解：∵
∴，
∴
=
=
=
=
故答案为：-1
【点睛】
本题主要考查了化简二次根式，其依据是二次根式的性质．
【即学即练】化简＝_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】
先利用二次根式的性质，再利用求绝对值的法则，即可求解．
【详解】
解：∵4＜5，
∴2＜，
∴＝．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键．
考法05 利用=｜a｜并结合数轴化简求值
【典例10】如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______________
【答案】a
【解析】
【分析】
利用数轴表示数的方法得到a＜b＜0＜c， |b|＞c，再根据二次根式的性质得到原式=|b|-|b+c|-|c-a|，然后去绝对值后合并即可．
【详解】
解：由数轴得a＜b＜0＜c，|b|＞c，
∴b+c＜0，c-a＞0，
原式=|b|-|b+c|-|c-a|
=-b+（b+c）-（c-a）
=-b+b+c-c+a
=a．
故答案为：a．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．
【答案】﹣2b
【解析】
【详解】
由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．
故答案为﹣2b．
点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．
【即学即练】如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
【答案】2．
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】
由数轴可得：0＜a＜2，
则a+=a+=a+（2﹣a）=2．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．
【即学即练】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．
【详解】
由数轴，得，，，.
则原式.
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，数轴，解题关键在于利用数轴进行解答.
考法06 利用=｜a｜与三角形三边关系的综合应用
【典例11】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.
【答案】3a+b﹣c．
【解析】
【详解】
试题分析:根据二次根式的性质可得:,根据三角形三边关系可得:a+b-c＞0,b+c-a＞0,c-b-a<0,然后化简绝对值.
试题解析:∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a+b＞c,b+c＞a,b+a＞c,
∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|,
=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）,
=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c,
=3a+b﹣c.
【即学即练】设a，b，c为△ABC的三边，化简： .
【答案】2a＋4b
【解析】
【详解】
试题分析：根据三角形的三边关系判定出 的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
试题解析：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c>0，a b c<0，b a c<0，c b a<0，
则原式
点睛：三角形任意两边之和大于第三边.
考法07 逆用= a（a≥0）在实数范围内分解因式
【典例12】在实数范围内分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）把2写成，运用平方差公式分解即可；
（2）把5写成，3写成，运用平方差公式分解即可．
【详解】
（1）
=
=；
（2）
=
=．
【点睛】
本题考查了平方差公式分解因式，熟练运用二次根式的性质把一个非负数转化成平方的形式是解题的关键．
【即学即练】分解因式（在实数范围内）：．
【答案】
【解析】
【分析】
首先提取公因式，再根据平方差公式分解．
【详解】
解：a3 3a =a(a2-3)
=．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，熟练掌握提公因式和平方差公式分解因式的方法以及二次根式的性质是解题关键．
题组A 基础过关练
1．在式子中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【详解】
解：当y=﹣2时，y+1=﹣2+1=﹣1，∴（y=－2）无意义；当x＞0时，无意义；所以二次根式有（x＞0）， ，共3个．故选B．
2．使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
详解：∵式子有意义，
∴x-3≥0，
解得x≥3．
故选C．
点睛：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
3．计算的结果是
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
=|﹣3|=3.
故选B.
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】
试题解析：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选A．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴.
故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
6．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的非负性，构造不等式求解即可.
【详解】
∵是二次根式，
∴≥0，
∴≥0，
解得 ，
故选D.
【点睛】
本题考查了二次根式的非负性，熟练将二次根式的非负性转化成对应的不等式是解题的关键.
7．已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( )
A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可.
【详解】
解：∵-2＜m＜3，
∴m-3＜0，m+2＞0，
∴＋|m＋2|=3-m+m+2=5．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键．
8．在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为( )
A． B．
C． D．2a
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形三边的关系得到a+b＞c，a+c＞b，则根据二次根式的性质得原式=|a-b+c|-2|c-a-b|=a-b+c+2（c-a-b），然后去括号后合并即可．
【详解】
∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a-b+c|-2|c-a-b|
=a-b+c+2（c-a-b）
=a-b+c+2c-2a-2b
=-a-3b+3c．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了三角形三边的关系．
9．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先确定出x的取值范围，然后再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】
∵二次根式被开方数为非负数，
∴，则，
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式被开方数为非负数确定出x的取值范围是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．化简得（ ）．A．2 B． C．－2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
原式可化为-，可得2x-3＞0，由于2x-1＞2x-3，所以2x-1＞0，再进行开方运算即可.
【详解】
原式=-
=2x-1-2x+3
=2.
故选A.
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键.
2．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是（ ）
A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12
【答案】A
【解析】
【分析】
二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.
【详解】
解：由题意得 2＜a＜4，
∴9-2a＞0，3-2a＜0
=9-2a-（2a-3）
=9-2a-2a+3
=12-4a，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式化简，熟练掌握化简二次根式是解题的关键．
3．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】
解：由题意得：
，解得：x>2，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
4．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．
【答案】4
【解析】
【详解】
【分析】由已知判断x-1>0,x-5<0,再求绝对值.
【详解】因为1＜x＜5，
+|x-5|=|x-1|+|x-5|=x-1+5-x=4
故答案为4
【点睛】本题考核知识点：二次根式化简. 解题关键点：求绝对值.
5．若＝4－m，则m的取值范围是____________．
【答案】m≤4
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，可得答案.
【详解】
解: =4-m，得4-m≥0，
解得m≤4，
故答案为:m≤4.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质（中，）熟记二次根式得性质是解题关键.
6．把的根号外因式移到根号内得____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．
【详解】
解：，
；
故答案为：
【点睛】
本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．
7．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形任两边的和大于第三边，可判定a-b+c及a-b-c的符号，从而可脱去绝对值，最后可求得结果．
【详解】
∵a，b，c是三角形的三边长
∴a+c>b，b+c>a
∴a-b+c>0，a-b-c<0
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大于第三边，绝对值的化简，关键是根据三角形三边不等关系确定a-b+c及a-b-c的符号．
8．-1的最小值是______．
【答案】0
【解析】
【分析】
先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解．
【详解】
解：-1
=-1
∵最小值为：1，
∴-1的最小值是0．
故答案为0．
【点睛】
本题考查了二次根式求最小值，其中运用完全平方公式，化简原式寻找求最小值的思路是解答本题的关键．
9．当x=-1时，代数式x2+2x+2的值是__________．
【答案】6
【解析】
【详解】
解：当时，
故答案为：6．
10．在实数范围内因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】
先提取公因式4a后，再把剩下的式子利用平方差公式继续分解因式．
【详解】
解：．
故答案为．
【点睛】
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
11．观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
，
故答案为．
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题
的关键．
题组C 培优拔尖练
1．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．
【答案】－a
【解析】
【分析】
根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【详解】
根据题意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+b＜0，b+c＜0，a+c＜0，
则原式=|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|=﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c=﹣a．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
2．阅读理解题，下面我们观察：
反之，
所以，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：；
（2）化简：；
（3）化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
【详解】
解：（1）
（2）
（3）．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
3．阅读下列解题过程：
例：若代数式，求a的取值．
解：原式=，
当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a＝2(舍去)；
当2≤a＜4时,原式＝(a-2)+(4-a)=2=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝(a-2)+(a-4)=2a－6＝2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简：＝_________；
(2)请直接写出满足＝5的a的取值范围__________；
(3)若＝6，求a的取值．
【答案】（1）4；（2）；（3）或4
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【详解】
解：（1）∵时，
∴，
∴
=
=
=；
故答案为：4；
（2）由题意可知，，
∴，
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
当时，则，，
∴原式=，
∴符合题意；
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
∴满足＝5的a的取值范围是；
故答案为：；
（3）∵，
∴，
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
当时，则，，
∴原式=，
∴不符合题意；
当时，则，，
∴原式=，
解得：；
∴a的值为：或4；
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，化简绝对值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简，本题属于中等题型．注意运用分类讨论的思想进行分析．
4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝（m＋n）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）
（3）若a＋4＝（m＋n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）m2＋3n2，2mn；（2）4,，1 ,（答案不唯一）；（3）7或13．
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2=m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）取m=2，n=1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=4和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【详解】
解：（1）（m+n）2=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn，
故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）取m=2，n=1，则a=7，b=4，∴7+4=（2+）2，
故答案为：4,，1 ,（答案不唯一）；
（3）a=m2+3n2，2mn=4，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=4+3=7，
当m=1，n=2时，a=1+3×4=13，
∴a的值为7或13．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及阅读理解问题，正确理解题意并掌握基本运算法则是解题的关键.
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