1.5-1.6平方差及完全平方公式的应用 专项练习（含答案）

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北师大版七年级数学下册专项练方差及完全平方公式的应用
一、选择题
1. 下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+3b）（3a﹣b） B．（3a﹣b）（3a﹣b）
C．（3a﹣b）（﹣3a+b） D．（3a﹣b）（3a+b）
2. 下列乘法公式的运用，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3. 下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1） B．（x+1）（﹣x+1）
C．（﹣x+1）（﹣x﹣1） D．（x+1）（﹣x﹣1）
4. 化简（a+b+c）－（a－b+c）的结果为（ ）
A．4ab+4bc B．4ac C．2ac D．4ab－4bc
5. 计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
6. 如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
7. 若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
8. 已知|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值等于（　　）
A．1 B．13 C．17 D．25
9. 如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（　　）
A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2
C．（m﹣n）2＝m2+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
10. 若a+b=0，ab=11，则a2－ab+b2的值为（ ）
A．33 B．－33 C．11 D．－11
11. 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12. 下面有4道题，小明在横线上面写出了答案： ①，②，③，④若a﹣b=2，则．他写对答案的题是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题
13. 代数式是完全平方式，m＝___________．
14. 已知x+y=8，xy=12，则的值为_______.
15. 已知，则=______．
16. 若，则_____________．
17. 对于任意实数，规定的意义是=ad-bc．则当x2-3x+1=0时， =______．
18．计算的值为______．
三、解答题
19．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算:
(1)
(2)20182-20172019
20. 已知，，求下列各式的值：
（1） （2）
21. 街心花园有一块边长为米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2米东西向减少2米，改造后得到一块长方形的草坪．
(1)求改造后的长方形草坪的面积．
(2)改造后的图形的面积是增大了还是缩小了 请说明理由．
22. 先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]+（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
23. 观察例题，然后回答：例：，则________．
解：由，得，即
所以：
通过你的观察你来计算：当时，求下列各式的值：
（1）；（2）．
24. （阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（拓展升华）
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
　　　　
参考答案
一、选择题
1. 下列各式中能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+3b）（3a﹣b） B．（3a﹣b）（3a﹣b）
C．（3a﹣b）（﹣3a+b） D．（3a﹣b）（3a+b）
【答案】D
【解析】
解：A、不符合两个数的和与这两个数的差相乘，不能用平方差公式，故本选项错误；
B、原式＝（3a﹣b）2，故本选项错误；
C、原式＝﹣（3a﹣b）2，故本选项错误；
D、符合平方差公式，故本选项正确．
故选：D．
2. 下列乘法公式的运用，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解： A选项运用平方差公式；
B选项运用平方差公式；
C选项是运用了完全平方公式计算正确；
D选项运用完全平方公式计算，所以选项错误．
故选D．
3. 下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1） B．（x+1）（﹣x+1）
C．（﹣x+1）（﹣x﹣1） D．（x+1）（﹣x﹣1）
【答案】D
【解析】
解：选项A：(x+1)(x-1)=x2-1，故选项A可用平方差公式计算，不符合题意，
选项B：(x+1)(-x+1)=1-x2，故选项B可用平方差公式计算，不符合题意，
选项C：(-x+1)(-x-1)=x2-1，故选项C可用平方差公式计算，不符合题意，
选项D：(x+1)(-x-1)=-(x+1)2，故选项D不可用平方差公式计算，符合题意，
故选：D．
4. 化简（a+b+c）－（a－b+c）的结果为（ ）
A．4ab+4bc B．4ac C．2ac D．4ab－4bc
【答案】A
【解析】
原式=[（a+b+c）+（a-b+c）][（a+b+c）-（a-b+c）]
=2b（2a+2c）
=4ab+4bc．
故选A.
5. 计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
故选：A．
6. 如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：正方形中，S阴影=a2-b2；
梯形中，S阴影=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选：C．
7. 若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
解得：或；
故选：C．
8. 已知|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值等于（　　）
A．1 B．13 C．17 D．25
【答案】B
【解析】
解：∵|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，
∴x+y+5＝0，xy﹣6＝0，
∴x+y＝﹣5，xy＝6，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣12＝13．
故选：B．
9. 如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（　　）
A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2
C．（m﹣n）2＝m2+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
【答案】D
【解析】
图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，
图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），
因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
故选：D．
10. 若a+b=0，ab=11，则a2－ab+b2的值为（ ）
A．33 B．－33 C．11 D．－11
【答案】B
【解析】
，
∵a+b=0，ab=11，
∴原式=；
故答案是B．
11. 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：由
∴x2++2=9，
∴x2+=7，
则= x2+-2=7-2=5．
故选：B．
12. 下面有4道题，小明在横线上面写出了答案： ①，②，③，④若a﹣b=2，则．他写对答案的题是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解析】
①，正确；
②，正确；
③，错误；
④当时，即，，正确．
综上，正确的有①②④．
故选：C．
二、填空题
13. 代数式是完全平方式，m＝___________．
【答案】±4
【解析】
利用完全平方公式的结构特征判断就确定出m的值．
解：∵4x2+3mx+9是完全平方式，
∴3mx=±2×3 2x，
解得m=±4，
故答案为±4．
14. 已知x+y=8，xy=12，则的值为_______.
【答案】28
【解析】
∵x+y=8，xy=12，
∴=（x+y）2-3xy=64-36=28．
故答案为28.
15. 已知，则=______．
【答案】-2
【解析】
解：
即
根据非负数的非负性可得：
解得:
所以
故答案为：-2．
16. 若，则_____________．
【答案】1
【解析】
此题考查了积的乘方的逆运算和平方差公式，熟练掌握积的乘方公式和平方差公式是解此题的关键．
17. 对于任意实数，规定的意义是=ad-bc．则当x2-3x+1=0时， =______．
【答案】1
【解析】
解：根据题意得：（x+1）（x-1）-3x（x-2）
=x2-1-3x2+6x
=-2x2+6x-1
= -2（x2-3x）-1，
∵x2-3x+1=0，
∴x2-3x=-1，
原式= -2×（-1）-1=1.
故答案为1．
18．计算的值为______．
【答案】
【解析】
把2写成（3-1）的形式，利用平方差公式计算即可得到结果．
故答案为：
三、解答题
19．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算:
(1)
(2)20182-20172019
【答案】（1）998001；（2）1
【解析】
解：（1）9992=（1000-1）2
=10002-2×1000×1+1
=1000000-2000+1
=998001；
（2）20182-2017×2019=20182-（2018-1）（2018+1）
=20182-20182+1
=1．
20. 已知，，求下列各式的值：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）∵
∴
（2）∵
∴．
21. 街心花园有一块边长为米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2米东西向减少2米，改造后得到一块长方形的草坪．
(1)求改造后的长方形草坪的面积．
(2)改造后的图形的面积是增大了还是缩小了 请说明理由．
【答案】(1) ； (2) ，理由见解析．
【解析】
(1)设原来的正方形的边长为，则新的长方形的边长为，
改造后的长方形草坪面积为；
(2)原来正方形草坪面积为：
改造后的长方形草坪面积比原来的正方形草坪面积减少．
22. 先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]+（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
【答案】﹣xy+5y2﹣y，42
【解析】
解：原式＝（x2﹣6xy+9y2+x2﹣4y2﹣2x2+5xy）﹣y
＝﹣xy+5y2﹣y，
当x＝﹣2，y＝﹣3时，
原式＝﹣6+45+3＝42．
23. 观察例题，然后回答：例：，则________．
解：由，得，即
所以：
通过你的观察你来计算：当时，求下列各式的值：
（1）；（2）．
【答案】（1）34；（2）32
【解析】
解：（1）
，
把代入上式得：
原式=36-2
=34；
（2）
，
把代入上式得：
原式
=32．
故答案为：34，32．
24. （阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（拓展升华）
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
　　　　
【答案】（1）；（2）①13；②4044．
【解析】
（1）．
（2）①由题意得：，
把，代入上式得：
．
②由题意得：
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