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5.1.2 垂线（1）教案
课题 5.1.2 垂线（1） 单元 第5单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1.能说出垂线、垂线段的意义、会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.2.记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的推理.
重点 正确理解垂线、垂线段的概念.
难点 能利用垂线的性质进行简单的推理.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题我们从“实际问题——定义——性质——应用”这一路径进行研究解决问题的．对于一个数学对象，在研究了它的一般情形后，往往要看看是否存在值得研究的特殊情形．相交线中，你认为什么情况是特殊的？这个特殊情形又该怎样研究呢？这节课我们就来继续探究相关知识． 一、垂线的概念1．情景引入：取两根木条a，b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．（1）如图，两根木条所成的角中，如果∠α=35°，其他三个角各等于多少度？（2）当a与b所成角α为90 时，其余角的分别为多少？在木条转动过程中，我们发现有一个位置是特殊的，也就是当∠α=90°时．同学们可以想一想，为什么我们说此时是一个特殊位置？ 一方面，当∠α=90°时，其他三个角也都等于90°，也就是这时四个角是相等的；所以，我们把这种特殊情况称为a与b互相垂直，也就是当∠α =90°时,a与b互相垂直．记作a⊥b．即垂直是相交的一种特殊情形．追问：（1）对于两条直线互相垂直，你认为应研究哪些内容？按怎样的路径展开研究？（2） 在两条直线相交的基础上，你认为应如何定义垂直？2．垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 如图1,直线a,b互相垂直,点O叫做垂足．直线a叫做直线b的垂线，直线b也叫做直线a的垂线．如图2，直线AB、CD互相垂直, 垂足为O．就是AB⊥CD或CD⊥AB ，垂足为O．读作：AB垂直于CD，垂足为O．如图2，直线AB与CD相交于点O．如果∠AOC=90°，那么AB⊥CD． 这个推理过程可以写成下面的形式：因为∠AOC=90°， 所以AB⊥CD（垂直的定义）． 反过来，若AB⊥CD，垂足为O ，那么∠AOC=90°． 推理过程就是：因为AB⊥CD， 所以∠AOC=90° （垂直的定义）．垂直的书写形式： ∵AB⊥CD（已知） ∵∠1=90°（已知）∴∠1=90°（垂直的定义） ∴ AB⊥CD（垂直的定义）注意：垂直有两层含义： 1.由位置关系得出数量关系 2.由数量关系得出位置关系二、垂线的性质探究探究1：（1）用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画几条？ （2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条 （3）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条 垂线的画法（1）、如图，已知直线 l，作l的垂线。工具：直尺、三角板问题：这样画l的垂线可以画几条？ 无数条画法：1放 2靠 3画（2）、如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.结论：过直线上的一点有且只有一条直线与已知直线互相垂直。 画法：1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. （3）、如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.则所画直线AB是经过点A的直线l的垂线.结论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 思考自议利用相交线的模型作演示，让学生注意观察，转动木条b时，它和木条a互相垂直的位置有几个？从而体会垂直是相交中特殊情形，认识垂线的唯一性． 在小学知识的基础上，通过画图、观察、思考等活动，得到“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一基本事实．通过动手操作,体会垂线的存在性与唯一性,加深对这一基本事实的认识．通过现实生活中实例,进一步体会这一基本事实,从而发展空间想象能力、推理能力和抽象能力．
讲授新课 提炼概念结论：经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．三、典例精讲思考：过一点画线段、射线的垂线，应如何画呢？如图,请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上．所以大家在画图时要注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线． 两条直线相交形成的角中，无论哪一个角是直角，都可以判断两条直线互相垂直，反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角． 结合图形, 进一步明确两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直都是指它们所在的直线垂直．
课堂检测 四、巩固训练 1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（ ）（A）有一个角为90（B）有两个角相等 （C）有三个角相等（D）有两对角相等 （E）有一对对顶角互补 （F）有一对邻补角相等 A C E F2. 如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度数是（ ）A. 26°B. 64°C. 54°D. 以上答案都不对B3.下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A．1个 B．2个C．3个 D．4个C4.如图，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上吗？为什么？解：A、B、C三点在同一直线上.∵AB⊥l，BC⊥l.且交点都为B.∴A、B、C三点在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）.5.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线．6．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.(1)求∠2的度数；(2)AO与BO互相垂直吗？说明理由．
课堂小结
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5.1.2 垂线（1）学案
课题 5.1.2 垂线（1） 单元 第5单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1.能说出垂线、垂线段的意义、会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.2.记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的推理.
重点 正确理解垂线、垂线段的概念.
难点 能利用垂线的性质进行简单的推理.
教学过程
导入新课 【引入思考】 一、垂线的概念1．情景引入：取两根木条a，b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．（1）如图，两根木条所成的角中，如果∠α=35°，其他三个角各等于多少度？（2）当a与b所成角α为90 时，其余角的分别为多少？ 追问：（1）对于两条直线互相垂直，你认为应研究哪些内容？按怎样的路径展开研究？（2） 在两条直线相交的基础上，你认为应如何定义垂直？2．垂直的定义：当两条直线 这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 如图1,直线a,b互相垂直,点O叫做垂足．直线a叫做直线b的垂线，直线b也叫做直线a的垂线．垂直的书写形式：
新知讲解 提炼概念结论：经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．典例精讲 垂线的性质探究探究1：（1）用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画几条？ （2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条 （3）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条 请归纳垂线的画法1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 思考：过一点画线段、射线的垂线，应如何画呢？如图,请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线
课堂练习 巩固训练 1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（ ）（A）有一个角为90（B）有两个角相等 （C）有三个角相等（D）有两对角相等 （E）有一对对顶角互补 （F）有一对邻补角相等 2. 如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度数是（ ）A. 26°B. 64°C. 54°D. 以上答案都不对3.下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A．1个 B．2个C．3个 D．4个4.如图，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，那么A、B、C三点在同一直线上吗？为什么？5.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线．6．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.(1)求∠2的度数；(2)AO与BO互相垂直吗？说明理由．答案引入思考在木条转动过程中，我们发现有一个位置是特殊的，也就是当∠α=90°时．同学们可以想一想，为什么我们说此时是一个特殊位置？ 一方面，当∠α=90°时，其他三个角也都等于90°，也就是这时四个角是相等的；所以，我们把这种特殊情况称为a与b互相垂直，也就是当∠α =90°时,a与b互相垂直．记作a⊥b．即垂直是相交的一种特殊情形． 垂直的书写形式： ∵AB⊥CD（已知） ∵∠1=90°（已知）∴∠1=90°（垂直的定义） ∴ AB⊥CD（垂直的定义）提炼概念典例精讲 垂线的画法（1）、如图，已知直线 l，作l的垂线。工具：直尺、三角板问题：这样画l的垂线可以画几条？ 无数条画法：1放 2靠 3画（2）、如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.结论：过直线上的一点有且只有一条直线与已知直线互相垂直。 画法：1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. （3）、如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.则所画直线AB是经过点A的直线l的垂线.结论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 巩固训练 1.A C E F2.B3.C4.解：A、B、C三点在同一直线上.∵AB⊥l，BC⊥l.且交点都为B.∴A、B、C三点在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）.5.6.
课堂小结 小
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人教版 七年级下
5.1.2 垂线（1）
新知导入
情境引入
问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．
（2）当a与b所成角α为90 时，其余角的分别为多少？
35 , 145 , 145
均为90
（1）当a与b所成锐角α为35 时，其余的角分别为多少？
新知导入
合作学习
问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b．
（3）在木条b的转动过程中,什么量也随之发生改变？
（4）木条b与a成90 的位置有几个？此时，木条b与a
所在的直线有什么位置关系？
a与b所成的角也随之发生改变
a与b垂直
提炼概念
（1）垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
如图，AB ⊥CD，垂足为Ｏ．
记作：AB ⊥CD于点Ｏ．
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
3.垂直的书写形式：
思考1
问题2：
（1）两条直线垂直和相交是什么关系？
垂直是相交的特殊情况
不能，因为垂直是相交的特殊情况
（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系
有3种：相交，平行，垂直？
问题2：
（3）如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
（4）你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？
两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．
典例精讲
1、放
2、靠
3、画线
l
O
如图，已知直线 l，作l 的垂线。
工具：直尺、三角板。
A
无数条
垂线的画法
l
A
如图，已知直线l和l上的一点A，作l 的垂线。
B
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线。
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;3移:移动三角板到已知点;4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
l
A
如图，已知直线l 和l外的一点A，作l的垂线。
B
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线。
请同学们画一下。
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;3移:移动三角板到已知点;4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
归纳概念
结论:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条,而且只能作一条.
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l的垂线,可以作几条
注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
垂线的性质（1）
课堂练习
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（ ）
（A）有一个角为90° （B）有两个角相等
（C）有三个角相等 （D）有两对角相等
（E）有一对对顶角互补 （F）有一对邻补角相等
A C E F
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
2. 如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度数是（ ）
A. 26°
B. 64°
C. 54°
D. 以上答案都不对
B
3.下列说法正确的有( )
①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；
④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
4.如图，AB ⊥ l ，BC ⊥ l ，B 为垂足，那么A、B、C 三点在同一直线上吗？为什么？
解：A、B、C 三点在同一直线上.
∵AB ⊥ l ，BC ⊥ l . 且交点都为 B .
∴A、B、C 三点在同一直线上（在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）.
5.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
6．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.
课堂总结
定义
画法
当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线
利用三角尺或量角器画：一靠、二过、三画
课堂小结
作业布置
教材课后配套作业题。
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