浙江省杭州二中2012-2013学年高二上学期期中数学理试题

杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试
数学试卷（理科）
参考公式：
球的表面积公式 柱体的体积公式

球的体积公式 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
台体的体积公式
其中R表示球的半径
锥体的体积公式 其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积
h表示台体的高
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的斜率为
A. B. C. D.
2.直线与圆的位置关系是
　A．相切 B．相离 C． 相交 D． 不能确定 21世纪教育网
3．设，若直线与线段AB没有公共点，则的取值范围是 21世纪教育网
A. B. C. D.
4．两条异面直线在同一平面的射影不可能的是21世纪教育网
A.同一直线 B.两条平行线 C.两条相交直线 D.一点和一条直线
5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①则； ②若则；
③若则；④若，则．
其中正确的命题的序号是
A. ① ③ B. ② ③ C. ①④ D. ②④
6．如图,在四棱锥中， 平面，，
，，
则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7．直线关于直线对称的直线的方程为
A. B. C. D.
8．已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定.
若点在区域内，则的最大值为
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
9. 直线 与圆相交于，两点，若，
则的取值范围是
A. B. C. D. 21世纪教育网
10．已知点共面，且若记到中点的距离的最大值为，
最小值为，则
A. B. C. D.
二、填空题：本大题有7小题, 每小题4分, 共28分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.
11．已知直线经过点，且与直线平行，
则直线的一般式方程是 .
12．在空间直角坐标系中，已知点A关于平面的对称点为,
关于轴的对称点为B，则线段AB的长度等于 ．
13. 如图，已知可行域为及其内部，若目标函数
当且仅当在点B处取得最大值，则k的取值范围是 .
14．球面上有四个点P、A、B、C，若PA，PB，PC两两
互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是 .
15.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，
则此几何体的体积是 cm3．
16.在正方体-中，直线与平面
所成角的余弦值为_______ .
17. 函数的最小值为 .
杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试
数学（理）答题卷
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中的横线上.
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17.

三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
18．（本小题8分）求过直线与圆的交点A、B，
且面积最小的圆的方程. 21世纪教育网
19．（本小题10分）已知实数满足.
（Ⅰ）求的取值范围；
（II）当实数为何值时，不等式恒成立？
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20． （本小题12分）在如图所示的四棱锥中，已知 PA⊥平面ABCD， ，
，，为的中点．
（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角的平面角的正切值．
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21．（本小题12分）设圆的切线与两坐标轴交于点 .
（Ⅰ）证明： 为定值；
（II）求线段AB中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若求△AOB的周长的最小值．
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杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
C
B
A
C
D
B
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11. 12. 6 13. 14. 3π
15.16 16. 17.
三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
18．（本小题8分）
解：联立方程组，
把（1）代入（2），得，21世纪教育网
故，所以，所求圆的直径为.
圆心为AB中点,则所求面积最小的圆的方程是
另解：设过已知直线与圆的交点的圆系方程为 （1）21世纪教育网
其圆心的坐标为 ，把它代入直线 （2）
得 （3）
把（3）代入（1），则所求面积最小的圆的方程是.
19．（本小题10分）
解：（Ⅰ）配方，得圆的标准方程 (1) 21世纪教育网
再令 （2）
则直线（2）与圆（1）有公共点，所以圆心到直线的距离为
，解得.即的取值范围是.
（II）不等式恒成立恒成立，
由（Ⅰ）得，所以.
20． （本小题12分）
解：（Ⅰ ）如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点，
∴EM//AB,且EM= AB. 又∵，且，
∴EM//DC，且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形,
则MC∥DE，又平面PAD, 平面PAD
所以MC∥平面PAD
（Ⅱ）取PC中点N，则MN∥BC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC ，
又,∴BC⊥平面PAC，
则MN⊥平面PAC所以，为直线MC与平面PAC所成角，
（Ⅲ）取AB的中点H，连接CH，则由题意得
又PA⊥平面ABCD，所以，则平面PAB.
所以,过H作于G,连接CG，则平面CGH,所以
则为二面角的平面角.
则，
故二面角的平面角的正切值为21世纪教育网
21．（本小题12分）
解：（Ⅰ）直线的方程为，即.则圆心（2，2）到切线的距离，
即，为定值.
（II）设AB的中点为M（x，y），则，代入，
得线段AB中点M的轨迹方程为.
（Ⅲ）由 又
所以△AOB的周长
（当且仅当时取等号）
所以△AOB的周长的最小值是.