2.3-2.4平行线的特征及用尺规作角 专项练习（含解析）

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北师大版七年级数学下册专项练行线的特征及用尺规作角
一、选择题
1. 如图，直线ABCD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）
A．110° B．100° C．70° D．20°
2. 如图，直线，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3. 如图AB∥CD，∠E=40°，∠A=110°，则∠C的度数为（　　）
A．60° B．80° C．75° D．70°
4. 如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
5. 如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（　　 ）
A．23° B．16° C．20° D．26°
6. 如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的作法，下列结论不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
8. 如图，直线AB∥CD，AE⊥CE，∠1＝125°，则∠C等于（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
9. 如图，，平分，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，于点，，，则（ ）
A．112° B．122° C．132° D．142°
11. 如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为( ) ．
A．60° B．70° C．80° D．120°
12. 如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为4∶3．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为，，在水中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A(如图1)．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图2所示：
(1)用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
(2)将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB，所以，直线AB即为所求．
老师说：“小凡的作法正确．”
请回答：小凡的作图依据是 ．
14. 如图，BC∥DE，AD⊥DF，∠l=30°，∠2=50°，则∠A=　 　．
15. 一个人从点A出发向北偏东60°方向走了4m到点B，再向南偏西80°方向走了3m到点C，那么∠ABC的度数是________．
16. 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______．
17. 如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是________．
18．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是_____°．
三、解答题
19．（1）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图，并注明画图的依据．
请在图1中直线MN上画一点D，使线段AD+BD最短．依据是 ．
（2）如图2，已知∠AOB，用圆规和没有刻度的直尺求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB
20. 请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
如图，，求的度数．
解：，（已知）
_，（等量代换）
_，（ ）
（ ）
又（已知）
（等式的性质）
21. 如图，，直线分别交，于E、F两点，且平分，，求的度数．
22. 如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向修一条公路，在路段出现塌陷区，就改变方向，在点沿北偏东的方向继续修建段，到达点又改变方向，使所修路段，求的度数.
23. 阅读第（1）题，在解答过程后面空格中填写理由（依据），并解答第（2）题．
（1）已知，如图1：,为、之间一点，求的大小．
解：过点作．
∵（已知）．
∴（_________________________）,
∴，
（_________________________）．
∵，
∴．
（2）如图，是我们生活中经常接触的小刀，刀片的外形如图2，刀片上、下是平行的，即，．转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动面改变？说明理由．
24. 问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥，， ，求度数．
经过讨论形成的思路是：如图2，过P作∥，通过平行线性质，可求得度数．
（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出度数；
（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；
（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 的平分线相交于点Q，求的度数．
解析及答案
一、选择题
1. 如图，直线ABCD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）
A．110° B．100° C．70° D．20°
【答案】A
【解析】
解：由图可知：∠2=180°-∠3=180°-70°=110°，
∵直线ABCD，
∴∠1=∠2=110°，
故选：A．
2. 如图，直线，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：如图：
∵
∴
∵
∴
故选：C．
3. 如图AB∥CD，∠E=40°，∠A=110°，则∠C的度数为（　　）
A．60° B．80° C．75° D．70°
【答案】D；
【解析】
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFD=180°，
∵∠A=110°，
∴∠AFD=70°，
∴∠CFE=∠AFD=70°，
∵∠E=40°，
∴∠C=180°﹣∠E﹣∠CFE=180°﹣40°﹣70°=70°，
故选D．
4. 如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
【答案】C；
【解析】
解：如图，
∠3＝30°，∠1＝∠2＝30°，∠C＝180°－30°－30°＝120°.
5. 如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（　　 ）
A．23° B．16° C．20° D．26°
【答案】C
【解析】
解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°．
6. 如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意得：=26°，
∴=+=52°，
故选：B．
7. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的作法，下列结论不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O'A'，以O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
③以C'为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D'；
④过点D'作射线O'B'．
∴∠A'O'B'就是与∠AOB相等的角；
∴A. ，正确；
B.OC不一定等于CD，错误；
C. ，正确；
D. ，正确，
故选B．
8. 如图，直线AB∥CD，AE⊥CE，∠1＝125°，则∠C等于（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
【答案】A
【解析】
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠BAE＝∠AEF．
∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF．
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，即∠AEF+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠C＝90°．
∵∠1＝125°，∠1+∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣125°＝55°，
∴∠C＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
9. 如图，，平分，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴，
∵平分，
∴．
故答案选A．
10. 如图，于点，，，则（ ）
A．112° B．122° C．132° D．142°
【答案】C
【解析】
解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90° 42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故选：C．
11. 如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为( ) ．
A．60° B．70° C．80° D．120°
【答案】B
【解析】
注意到CD∥OE∥AB，由“两直线平行，同位角相等”可知∠AOE＝∠D＝30°，∠EOC＝∠B＝40°．
故∠AOC＝∠EOC+∠AOE＝40°+30°＝70°
故选B.
12. 如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为4∶3．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为，，在水中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：如图2所示，过，，分别作水平线的垂线，则，
，
由题可得，，，
，
即，，
故选：．
二、填空题
13. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：
作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A(如图1)．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：
如图2所示：
(1)用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；
(2)将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB，所以，直线AB即为所求．
老师说：“小凡的作法正确．”
请回答：小凡的作图依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】
由图可知，与是一对内错角，且，
直线（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：内错角相等，两直线平行.
14. 如图，BC∥DE，AD⊥DF，∠l=30°，∠2=50°，则∠A=　 　．
【答案】70°；
【解析】
∵AD⊥DF，∴∠ADF=90°．
∵∠1=30°，∴∠ADE=90°﹣30°=60°．
∵BC∥DE，∴∠ABC=∠ADE=60°，
∵△ABC中，∠ABC=60°，∠2=50°，
∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°．
故答案为：70°
15. 一个人从点A出发向北偏东60°方向走了4m到点B，再向南偏西80°方向走了3m到点C，那么∠ABC的度数是________．
【答案】20°；
【解析】
根据题意画出示意图，可得：∠ABC＝80°－60°＝20°.
16. 如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______．
【答案】55°
【解析】
解：如图，∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∵AB⊥BC，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=35°，
∴∠2=90°﹣35°=55°，
故答案为：55°．
17. 如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，，则的度数是________．
【答案】
【解析】
如图，过点O作OE∥AB，
∴∠EOB=，
∵OE∥AB，CD∥AB，
∴OE∥CD，
∴∠COE=,
∴∠BOC=∠EOB+∠COE=62°+46°=108°，
故答案为：108.
18．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是_____°．
【答案】75.2
【解析】
解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°36′，
∴∠2＝90°﹣37°36′＝52°24′；
∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝75°12′＝75.2°．
故答案为：75.2．
三、解答题
19．（1）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图，并注明画图的依据．
请在图1中直线MN上画一点D，使线段AD+BD最短．依据是 ．
（2）如图2，已知∠AOB，用圆规和没有刻度的直尺求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB
【答案】（1）画图见解析，两点之间线段最短；（2）作图见解析．
【解析】
（1）D点为线段AB与直线MN的交点，如图．依据为两点之间线段最短．
（2）①作任意一射线，如图2；
②以O点为圆心，任意长度为半径作弧交OA、OB于点M、N，如图1；
③以点为圆心，同样的长度为半径作弧交于点，如图2；
④以点为圆心，MN为半径作弧交③的弧于点，如图2；
⑤连接并延长至，如图2，则即为所求的角．
20. 请完善下列题目的解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
如图，，求的度数．
解：，（已知）
_，（等量代换）
_，（ ）
（ ）
又（已知）
（等式的性质）
【答案】；；；同位角相等﹐两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；70°
【解析】
解：，（已知）
，（等量代换）
，（同位角相等﹐两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
又（已知）
70°（等式的性质）
21. 如图，，直线分别交，于E、F两点，且平分，，求的度数．
【答案】54°
【解析】
∵AB//CD，
∴∠1+∠BEF=180°，
∵∠1=72°，
∴∠BEF=180°-72°=108°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠BEF=×108°=54°，
又∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠2，
∴∠2=54°．
22. 如图，某工程队从点出发，沿北偏西方向修一条公路，在路段出现塌陷区，就改变方向，在点沿北偏东的方向继续修建段，到达点又改变方向，使所修路段，求的度数.
【答案】
【解析】
∠ECB=90°．
理由：∵∠1=67°，
∴∠2=67°．
∵∠3=23°，
∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．
∵CE∥AB，
∴∠ECB=∠CBA=90°．
23. 阅读第（1）题，在解答过程后面空格中填写理由（依据），并解答第（2）题．
（1）已知，如图1：,为、之间一点，求的大小．
解：过点作．
∵（已知）．
∴（_________________________）,
∴，
（_________________________）．
∵，
∴．
（2）如图，是我们生活中经常接触的小刀，刀片的外形如图2，刀片上、下是平行的，即，．转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动面改变？说明理由．
【答案】（1）平行的传递性；两直线平行，同旁内角互补；（2）不变
【解析】
（1）解：过点作．
∵（已知）．
∴（平行的传递性）,
∴，
（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
（2）如下图，过点E作EF∥AB
∵EF∥AB，AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1+∠AEF=180°，∠2+∠FEC=180°
∴∠1+∠AEF+∠2+∠FEC=360°
∵∠AEC=90°
∴∠AEF+∠FEC=270°
∴∠1+∠2=90°
∴不变，始终为90°．
24. 问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥，， ，求度数．
经过讨论形成的思路是：如图2，过P作∥，通过平行线性质，可求得度数．
（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出度数；
（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；
（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 的平分线相交于点Q，求的度数．
【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝＋β，见解析；（3）360°
【解析】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD．
∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°．
（2）∠CPD＝＋β，
理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E．
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠DPE＝，∠CPE＝β，
∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝＋β．
（3）由（1）可得，
又QE平分，QF平分
∴
∴
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