广东省普宁市城东中学2013届高三第三次月考数学（文）试题

普宁市城东中学2013届高三第三次月考试题
（文 科 数 学） 命题人：林双葵2012-11-8
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2.已知是第二象限角，，则sin2=（ ）
A． B． C． D．
3.如右图所示，圆和直角的两边相切，直线从处开始，绕点匀速旋转（到处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积是的函数，它的图象大致为( )
4.“”是“”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.函数的零点所在的大致区间是（　 ）
A． B．(1,2) C． D．
6.设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7.曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
8．函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 （ ）[来源:21世纪教育网]
A. 　　 B. 　
C．　 D．
9.已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为(　　)
A．0 B．2 C．4 D．不能确定
10.对于复数,，，，若集合具有性质“对任意,必有”,则当，，时，等于 (? ??) A.1?????? B.?????? C.0????????? D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡划线上。
（一）必做题（11～13题）
11.函数的定义域为
12.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，则a＝________
13.对a,bR,记max{a,b}=函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)21世纪教育网
的最小值是_
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14.(坐标系与参数方程选做题）若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
15. （几何证明选讲选做题）如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B、C两点，AC＝2，∠PAB＝120°，则圆O的面积为_____ ___
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本题12分)某校为了解学生的学科学习兴趣，对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调查，随机抽取了名学生，相关的数据如下表所示：
数学
语文
总计
初中
高中
总计
(1) 用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取名，高中学生应该抽取几名?
(2) 在(Ⅰ)中抽取的名学生中任取名，求恰有名初中学生的概率．
17. (本题12分)设
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间
(2)当
18. (本题14分)在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，
∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
19. (本题14分)已知0＜α＜＜β＜π，tan ＝，cos(β－α)＝.
(1)求sin α的值；(2)求β的值．
20. (本题14分)设函数为实数。
（1）已知函数在处取得极值，求的值；
（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。
21. (本题14分)设函数为实数，且，
（1）若，曲线通过点，且在点处的切线垂直于轴，求的表达式；
（2）在(Ⅰ)在条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；
（3）设，，，且为偶函数，证明
题号
1
2
3
4
5[来源:21世纪教育网]
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
B
B
B
D
C
D
题号
11
12
13
14
15
答案

－6
4π
第三次月考答案
一、选择题
二、填空题
题号
11
12
13
14
15
答案

－6
4π
题号
1121世纪教育网
12
13
14
15
答案

－6
21世纪教育网
4π
三、解答题
16.解：(1) 由表中数据可知, 高中学生应该抽取人. …4分
(2) 记抽取的名学生中,初中名学生为，，高中名学生为，，，
则从名学生中任取2名的所有可能的情况有种，它们是：，，，，，，，，，.……7分
其中恰有1名初中学生的情况有种，它们是：，，，，，. …9分
故所求概率为. …13分
17解：（1）……….2分
……………………………….1分
所以函数的单调递增区间是…………………………6分
（2）21世纪教育网
…………………………………12分
18.(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，
所以△ABD为正三角形．21世纪教育网
因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PAD.
19.(1)由tan ＝，得tan α＝＝，
∴cos α＝sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，21世纪教育网
由①、②联立，得25sin2α＝16，
∵0＜α＜，∴sin α＝
(2)由(1)知，cos α＝sin α＝
又0＜α＜＜β＜π，∴0＜β－α＜π.
由cos(β－α)＝，得0＜β－α＜.
∴sin(β－α)＝＝，
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)·sin α＝×＋×＝＝.
由＜β＜π得β＝π.,
20.解: (1) ，由于函数在时取得极值，所以 ， 即
(2) 方法一
由题设知： 对任意都成立
即对任意都成立
设 , 则对任意，为单调递增函数
所以对任意，恒成立的充分必要条件是
即 ，
于是的取值范围是
方法二[来源:21世纪教育网]
由题设知：对任意都成立
即对任意都成立21世纪教育网
于是对任意都成立，即
于是的取值范围是
21.解：(1) 因为，所以.
又曲线在点处的切线垂直于轴，故
即,因此. ①
因为，所以. ②
又因为曲线通过点,
所以. ③
解由①，②，③组成的方程组，得，，.
从而.……………………………………………4分
（2）由(Ⅰ)知，
所以.
由在上是单调函数知： 或，
得 或.…………………………………………………………9分
（3）因为是偶函数，可知.
因此. …………………………………………………10分
又因为，，
可知，异号.
若，则.
则

.……………………………………12分
若，则.
同理可得.
综上可知…………………………………………………14分