广东省普宁市城东中学2013届高三第三次月考数学（理）试题

普宁市城东中学2012-2013学年度第一学期第三次月考
高三数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卷上)
1．设集合A＝{x|2x-2<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则A∩B为( 　)
A．{x|x<2} B．{x|12．设p，q是两个命题：p：|x|－3>0，q：x2－x＋>0，则p是q的(　 )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则等于( 　)
A．1 B．2　　　 　C．3　　　 　D．15
4．函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数
g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5 在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m等于(　 )
A．2 B．－2 C．±2 D．0
5．二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(a)≤f(0)≤f(1)，则实数a的取值范围是( 　)
A．a≥0 B．a≤0 C．0≤a≤4 D．a≤0或a≥4
6．函数的零点所在区间为( 　)
A． B． C． D．
7. 已知函数，则F(x)的极小值为(　 )
A．－ B. C．－ D.
8．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意
x1，x2(x1≠x2 )，恒成立”的只有(　)
A．f(x)＝ B． C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2
二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．请将正确答案答在答题卷上)
（一）必做题（9～13题）
9.方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，则实数a的范围是_______．
10. 已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋|a－|＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是_______．
11. =________.
12. 在R上可导的函数f(x)的图象如右图所示，
则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为_______．
13．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，构造函数F(x)定义如下：当|f(x)|≥g(x)时，F(x)＝|f(x)|；当|f(x)|（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，圆C：ρ＝6cos θ和
直线l：3ρcos θ－4ρsin θ－4＝0相交于A，B两点，则线段AB的长
是________．
15.（几何证明选讲选做题）如图所示，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，∠OAP＝30°，则CP＝____.
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三、解答题. 本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）已知函数
一个周期的图象如图所示，
（1）求函数的表达式；
（2）若，
且为的一个内角，求的值.
17．（本题满分12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求分数在内的频率，并补全
这个频率分布直方图；
（II）若从名学生中随机抽取人，
抽到的学生成绩在记分，在
记分，在记分，用表示抽取
结束后的总记分，求的分布列和数学期望.
18．（本题满分14分）直三棱柱中
,，是的中点，
是上一点，且.
（I）求证：平面；
（II）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．（本题满分14分）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，求证：.
.
20．（本题满分14分）
设讨论函数
21．（本题满分14分）
设函数f(x)＝x2＋bln(x＋1)，其中b≠0.
(1)若b＝－12，求f(x)在[1,3]的最小值；
(2)如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
(3)是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln>恒成立．
普宁市城东中学2012-2013学年度第一学期第三次月考高三数学(理科)（答案）
一、选择题：CADBD CAA
二、填空题：
9、2≤a＜ 10、[0，] 11、 12、(－∞，－1)∪(0,1) 13、-1
14、 15、 a
三、解答题：
16．解：（1）从图知，函数的最大值为，则，函数的周期为, 而，则, 又时，，∴，而，则，∴函数的表达式为
（2）由得：，化简得：
，∴ ，由于，则，但，则，即A为锐角，从而，因此 ．
17．解：(Ⅰ)设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有
，
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可得，所以频率分布直方图如右图所示.
（Ⅱ）在的有人.并且的可能取值是.
则；； ；
；.
所以的分布列为
0
1
2
3
4
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18．解法一：∵，是的中点，∴.又平面平面，
平面平面=，则平面.∴，在矩形中
，∴，，因此 ∴平面
解法二：以为坐标原点，、、分别为
、、轴建立空间直角坐标系（是的中点），易知
,,, ,
, ,,
由且，得, ,
即得平面；
解（II）：由（1）知，，设平面的一个法向量为，则且，可取，
由 =-，即所求二面角的余弦值是.
19．解：（1）易得.当时，，单调递减；
当或时，，单调递增.
∴单调的单调递减区间为；单调的单调递增区间为.
（2）由（1）知函数在上的极大值为，极小值为
；又，；在上的最大值
，最小值为.
∴。
20．解：函数的定义域为
当的判别式
①当有两个零点，
且当内为增函数；
当内为减函数；
②当内为增函数；
③当内为增函数；
④当
在定义域内有唯一零点，
且当内为增函数；当时，
内为减函数。 的单调区间如下表：
（其中）
21．解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，b＝－12时，由
f′(x)＝2x－＝＝0，得x＝2(x＝－3舍去)，
当x∈[1,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，
所以当x∈[1,2)时，f(x)单调递减；当x∈(2,3]时，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f(2)＝4－12ln 3.
(2)由题意f′(x)＝2x＋＝＝0在(－1，＋∞)有两个不等实根，即
2x2＋2x＋b＝0在(－1，＋∞)有两个不等实根，
设g(x)＝2x2＋2x＋b，则，解之得0(3)当b＝－1时，函数f＝x2－ln(x＋1)，
令函数h＝x3－f(x)＝x3－x2＋ln(x＋1)
则h′＝3x2－2x＋＝，
∴当x∈[0，＋∞)时，h′>0.所以函数h在[0，＋∞)上单调递增，又h(0)＝0，∴x∈(0，＋∞)时，恒有h>h(0)＝0，
即x2则有恒成立．显然，存在最小的正整数N＝1，
使得当n≥N时，不等式恒成立．