2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性自主提升训练(word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步自主提升训练（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（　　）
A．20° B．60° C．50° D．40°
2．在同圆中，若AB＝2CD，则与2的大小关系是（　　）
A．＞2 B．＜2 C．＝2 D．不能确定
3．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（　　）
A．＝ B．＞ C．＜ D．无法确定
5．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4：4：5：7，则这四个扇形中，圆心角最大的是（　　）
A．54° B．72° C．90° D．126°
6．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为（　　）
A．90° B．145° C．270° D．90°或270°
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（　　）
A．25° B．30° C．50° D．65°
8．圆中有两条等弦AB＝AE，夹角∠A＝88°，延长AE到C，使EC＝BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（　　）
A．90° B．80° C．69° D．65°
9．下列命题中，正确的是（　　）
①顶点在圆心的角是圆心角；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．①、②、③、④
10．如图，已知AB是⊙O的直径，＝，则下列结论中正确的是（　　）
A．AC＝OD B．AC∥OD C．＝ D．＝
11．如图，E是⊙O上一点，AB是⊙O的弦，OE的延长线交AB的延长线于C．如果BC＝OE，∠C＝40°，求∠EOA＝　 　度．
12．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，＝2，则∠ABC＝　 　度．
13．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝　 　．
14．如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上两个点，＝．若∠C＝32°，则∠ADC＝　 　．
15．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．
求证：（1）＝；
（2）AE＝CE．
16．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：＝．
17．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
18．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．
（1）求证：．
（2）若的度数为58°，求∠AOD的度数．
20．如图，，E、F分别是半径OA、OB的中点，求证：CE＝CF．
21．已知：如图，在⊙O中，弦AB∥CD．求证：弧AC与弧BD是等弧．
22．如图，AB为⊙O的弦，半径OE，OF分别交AB于点C，D，且OC＝OD，求证：＝．
23．如图，点O在∠APB的平分线PN上，以点O为圆心的⊙O分别交直线PN于点M、N，那么与相等吗？并说明理由．
参考答案
1．解：∵∠BOC＝100°，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝80°，
∵AD∥OC，OD＝OA，
∴∠D＝∠A＝∠AOC＝80°，
∴∠AOD＝180°﹣2∠A＝20°．
故选：A．
2．解：如图所示，CD＝DE，AB＝2CD，
在△CDE中，
∵CD＝DE，
∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD＝AB，
∴CE＜AB，
∴2＜．
故选：A．
3．解：如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：C．
4．证明：连接AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴＝．
故选：A．
5．解：设四个扇形的圆心角的度数是4x，4x，5x，7x，
得出方程4x+4x+5x+7x＝360，
解得：x＝18，
故7×18＝126°．
故选：D．
6．解：如图，连接OA、OB；
∵在⊙O中，AB＝，OA＝OB＝1，
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°，
即长度等于的弦所对的弧长有两段：一段所对圆心角为90°，另一段所对圆心角为270°，
∴长度等于的弦所对的弧的度数为90°或270°．
故选：D．
7．解：连接CD，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣25°＝65°，
∵BC＝CD，
∴∠CDB＝∠ABC＝65°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴＝50°．
故选：C．
8．解：∵AB＝AE，EC＝BE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠EBC＝∠ACB，
又∵∠A＝88°，
∴∠ABE＝∠AEB＝46°，∠EBC＝∠ACB＝∠AEB＝23°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝69°．
故选：C．
9．解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确．
②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误．
③在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误．
④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，弦也不等；故④正确．
故选：C．
10．解：∵＝，
∴∠1＝∠2，
∵∠BOC＝∠A+∠C，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠C，
∴∠1＝∠A，
∴AC∥OD．
故选：B．
11．解：连接OB，
∵OB＝OE＝BC，∠C＝40°，
∴∠COB＝∠C＝40°，
∴∠ABO＝∠C+∠COB＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO＝80°，
△AOC中，∠EOA＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
故答案为：60．
12．解：∵AB是半圆的直径，O是圆心，
∴∠AOB＝180°；
又∵＝2，
∴2∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°；
∵OB＝OC（⊙O的半径），
∴∠OBC＝∠OCB（等边对等角）；
∴∠BOC+∠OBC+∠OCB＝2∠ABC+∠COB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠ABC＝30°．
故答案是：30°．
13．解：连接OM，ON，OA，OC，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∵∠AMN＝∠CNM，
∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，
∴AB＝CD＝6．
故答案是：6．
14．解：∵＝，∠C＝32°，
∴∠A＝∠C＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣32°﹣32°＝116°．
故答案为：116°．
15．证明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；
（2）由（1）知＝，
∴AD＝BC，
∵＝，＝，
∴∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
16．证明：∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B，
∵BD∥OC，
∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，
∴∠AOC＝∠COD，
∴＝．
17．证明：∵AD＝CB，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AB＝CD．
18．证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD．
19．解：（1）连接OC．∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO．
∵AC∥OD，
∴∠OAC＝∠BOD．
∴∠DOC＝∠ACO．
∴∠BOD＝∠COD，
∴＝．
（2）∵＝，
∴＝＝
∴∠BOD＝∠BOC＝（180°﹣58°）＝61°．
∴∠AOD＝58°+61°＝119°
20．证明：连接OC．
在⊙O中，∵，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，E、F分别是半径OA、OB的中点，
∴OE＝OF，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴CE＝CF（全等三角形的对应边相等）．
21．证明：连接OA、OC、OD、OB，如图，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠C，∠2＝∠D，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠A+∠AOC，∠2＝∠B+∠BOD，
而OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴弧AC与弧BD是等弧
22．证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．
∵OC＝OD，OG⊥CD于点G，
∴∠COG＝∠DOG，
∴＝．
又∵OG⊥AB于点G，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝．
23．解：与相等，理由如下：
连接OA，OB，过点O作OE⊥PA于E，OF⊥PB于F．
∴点O在∠APB的平分线PN上，
∴OE＝OF，
∵∠OEA＝∠OFB＝90°，
在Rt△OEA和Rt△OFB中，
，
∴Rt△OEA≌Rt△OFB（HL），
∴∠A＝∠B，
∵∠AON＝∠APO+∠A，∠BON＝∠BPN+∠B
∴∠AON＝∠BON，
∴∠AOM＝∠BOM，
∴＝．