2021-2022学年北师大版九年级数学下册2-3 确定二次函数的表达式 自主提升训练（word版1含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册2-3 确定二次函数的表达式 自主提升训练（word版1含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 114.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-28 20:46:11 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2-3确定二次函数的表达式》
同步自主提升训练（附答案）
1．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
2．关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
3．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
4．若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
5．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
6．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
7．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
8．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 ．
9．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
10．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 ．
11．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣5恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5），C（4，﹣13）三点中的两点．
（1）求该抛物线解析式；
（2）对于这个函数，若自变量x的值增加5时，对应的函数值y增大，求满足条件的x的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣3（a＞0）的顶点为A，它的对称轴与x轴交点为B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）如果该抛物线与y轴的交点为C，点P在抛物线上，且有PA∥CB，AP＝BC，求该抛物线解析式．
14．已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）（a、m为常数，且a≠0），该函数图象顶点A的纵坐标为﹣9．
（1）求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若该函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），求该函数的表达式．
（3）若该函数图象过点（﹣6，y1）与（2，y2），比较y1、y2的大小．
15．已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 0 ﹣6 ﹣8 ﹣6 0 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．
17．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．
18．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．
19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0）和B（2，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
20．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
21．抛物线y＝ax2+bx+c过（0，4），（1，3），（﹣1，4）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围．
22．已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，0）、B（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标．
23．一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图象的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
25．如图，已知A点坐标是（3，0），B点坐标是（0，1），将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，A、B旋转后的对应点分别为C和D，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过C、D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在第一象限抛物线上，△ABM的面积等于4，求点M的坐标．
参考答案
1．解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝7，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
2．解：把（0，0）代入y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，
而a﹣3≠0，
所以a的值为﹣3．
故选：A．
3．解：根据题意，得＝0，
解得c＝16．
故选：D．
4．解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
则说明数轴上x1到2的距离比x2到2的距离大，
当a＞0时，图像开口向上，图像上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
∴y1＞y2，
则C、D正确，A、B不确定；
当a＜0时，图像开口向下，图像上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
故y1＜y2，
则D正确，C错误，A、B不确定，
故选：D．
5．解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
6．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
7．解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．
故选：C．
8．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
9．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
10．解：图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，
又∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．
11．解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
12．解：（1）当抛物线经过点A、B时，
将A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5，
得：，解得，
∴此时抛物线解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，
当抛物线经过点A、C时，
将A（2，﹣9），C（4，﹣13）代入y＝ax2+bx﹣5，
得：，解得，
此时不符合条件，
当抛物线经过点B、C时，
将B（4，﹣5），C（4，﹣13）代入y＝ax2+bx﹣5，
得：，此时方程无解，
综上所述，抛物线解析式为：y＝x2﹣4x﹣5．
（2）由题意得：（x+5）2﹣4（x+5）﹣5＞x2﹣4x﹣5，
解得x＞，
∴满足条件的x的取值范围为：x＞．
13．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣3＝a（x﹣2）2﹣3，
∴顶点A（2，﹣3），B（2，0）；
（2）当C在y轴负半轴时，如图：作PN⊥AB于N．CM⊥AB于M，
∵PA∥CB，
∴∠CBM＝∠PAN，
∵∠BMC＝∠ANP＝90°，
∴△PAN∽△CBM，
∴，
∵AP＝BC，
∴＝，
∴BM＝2AN，
∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣3＝a（x﹣2）2﹣3，顶点A（2，﹣3），B（2，0），
∴CM＝2，C（0，4a﹣3），PN＝1，
∴P（3，a﹣3），
∴AN＝a﹣3﹣（﹣3）＝a，BM＝﹣（4a﹣3），
∵BM＝2AN，
∴﹣（4a﹣3）＝2a，
∴a＝，
∴该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1；
当C在y轴正半轴时，如图：作PN⊥AB于N．CM⊥AB于M，
∵PA∥CB，
∴∠CBM＝∠PAN，
∵∠BMC＝∠ANP＝90°，
∴△PAN∽△CBM，
∴，
∵AP＝BC，
∴＝，
∴BM＝2AN，
∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣3＝a（x﹣2）2﹣3，顶点A（2，﹣3），B（2，0），
∴CM＝2，C（0，4a﹣3），PN＝1，
∴P（1，a﹣3），
∴AN＝a﹣3﹣（﹣3）＝a，BM＝4a﹣3，
∵BM＝2AN，
∴4a﹣3＝2a，
∴a＝，
∴该抛物线解析式为y＝x2﹣6x+3；
∴该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1或y＝x2﹣6x+3．
14．解：（1）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣6）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+6，
∴该函数的图象与x轴有两个交点，分别为（m，0），（m+6，0）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝m+3，顶点A的纵坐标为﹣9，
∴当x＝m+3时，y＝﹣9a＝﹣9，
∴a＝1，
∵该函数图象与y轴交于B（0，﹣5），
∴y＝（0﹣m）（0﹣m﹣6）＝﹣5，即m2+6m+5＝0，
∴（m+1）（m+5）＝0，
解得，m1＝﹣1，m2＝﹣5，
当m＝﹣5时，y＝（x+5）（x﹣1）＝x2+4x﹣5；
当m＝﹣1时，y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5；
∴该函数的表达式为y＝x2+4x﹣5或y＝x2﹣4x﹣5；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m+3，
当m+3＝＝﹣2时，
即当m＝﹣5时，y1＝y2，
当m＞﹣5时，y1＞y2，
当m＜﹣5时，y1＜y2．
15．解：（1）由表格数据结合二次函数图像对称性可得图象顶点为（1，﹣8），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣8（a≠0），
将（﹣1，0）代入得4a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝2（x﹣1）2﹣8或y＝2x2﹣4x﹣6；
（2）∵点（﹣2，10）关于对称轴直线x＝1的对称点为（4，10），
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣8≤y＜10，
故答案为﹣8≤y＜10．
16．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＞﹣3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．
17．解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，
得，
∴a＝1，c＝﹣6，
∴y＝x2﹣4x﹣6；
（2）对称轴：直线x＝2，
顶点坐标：（2，﹣10）；
（3）∵点P（m，m）在函数图象上，
∴m2﹣4m﹣6＝m，
∴m＝6或﹣1．
18．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵经过点B（3，0），
∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，
理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，
即左边＝右边，
所以点C在该函数的图象上．
19．解：（1）把点A（1，0）和B（2，﹣1）代入y＝ax2+bx+3中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的顶点为（2，﹣1），
对称轴为直线x＝2．
20．解：（1）根据题意得，
解得，．
∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标（1，4）．
（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，
解得，x1＝0或x2＝2，
∵y＜3，
∴x＜0或x＞2．
21．解：（1）将（0，4），（1，3），（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+4．
（2）∵y＝﹣（x+）2+，
∴x＞﹣时，y随x增大而减小，
x＝﹣时y取最大值，
x＝4时y取最小值，
把x＝4代入y＝﹣x2﹣x+4得y＝﹣×42﹣×4+4＝﹣6．
∴﹣6＜y≤．
22．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，0）、B（3，0）．
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝2x2﹣2x﹣12；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
23．解：（1）∵点A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵二次函数的最小值为﹣3，
∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3，
解得：a＝1，
∴函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，即y＝x2﹣2x﹣2．
24．解：根据题意设二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣1，
当x＝3时，y＝3，
∴3＝a（3﹣1）2﹣1，
解得a＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1．
列表得：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
如图：
．
25．解：（1）∵A点坐标是（3，0），B点坐标是（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，
∴OC＝OA＝3，OD＝OB＝1，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴C（0，3），D（﹣1，0），
∵C（0，3），D（﹣1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，作ME⊥x轴于E，交AB于N，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
把A（3，0），B（0，1）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
设M（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），则N（t，﹣t+1），
∴MN＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+1）＝﹣t2+t+2，
∵S△ABM＝S△MNB+S△MNA＝×3 MN，
∴3 （﹣t2+t+2）＝4，
整理得3t2﹣7t+2＝0，解得t1＝，t2＝2，
∴点M的坐标为（，）或（2，3）．
同步自主提升训练（附答案）
1．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
2．关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
3．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．4 B．8 C．﹣4 D．16
4．若P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上两点，当|x1﹣2|＞|x2﹣2|时，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．a（y1+y2）＞0 C．y1﹣y2＞0 D．a（y1﹣y2）＞0
5．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
6．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
7．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4
C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4
8．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 ．
9．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
10．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 ．
11．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣5恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5），C（4，﹣13）三点中的两点．
（1）求该抛物线解析式；
（2）对于这个函数，若自变量x的值增加5时，对应的函数值y增大，求满足条件的x的取值范围．
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣3（a＞0）的顶点为A，它的对称轴与x轴交点为B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）如果该抛物线与y轴的交点为C，点P在抛物线上，且有PA∥CB，AP＝BC，求该抛物线解析式．
14．已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣6）（a、m为常数，且a≠0），该函数图象顶点A的纵坐标为﹣9．
（1）求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
（2）若该函数图象与y轴交于点B（0，﹣5），求该函数的表达式．
（3）若该函数图象过点（﹣6，y1）与（2，y2），比较y1、y2的大小．
15．已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 0 ﹣6 ﹣8 ﹣6 0 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当y＞﹣3时，x的取值范围．
17．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．
18．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．
19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0）和B（2，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
20．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
21．抛物线y＝ax2+bx+c过（0，4），（1，3），（﹣1，4）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围．
22．已知二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，0）、B（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标．
23．一个二次函数的图象经过点A（﹣1，1）和B（3，1），最小值为﹣3．
（1）求函数图象的顶点坐标．
（2）求函数的解析式．
24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
25．如图，已知A点坐标是（3，0），B点坐标是（0，1），将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，A、B旋转后的对应点分别为C和D，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过C、D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在第一象限抛物线上，△ABM的面积等于4，求点M的坐标．
参考答案
1．解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝7，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
2．解：把（0，0）代入y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，
而a﹣3≠0，
所以a的值为﹣3．
故选：A．
3．解：根据题意，得＝0，
解得c＝16．
故选：D．
4．解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
则说明数轴上x1到2的距离比x2到2的距离大，
当a＞0时，图像开口向上，图像上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
∴y1＞y2，
则C、D正确，A、B不确定；
当a＜0时，图像开口向下，图像上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
故y1＜y2，
则D正确，C错误，A、B不确定，
故选：D．
5．解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
6．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
7．解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4，
将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4．
故选：C．
8．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
9．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
10．解：图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，
又∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．
11．解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
12．解：（1）当抛物线经过点A、B时，
将A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5，
得：，解得，
∴此时抛物线解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，
当抛物线经过点A、C时，
将A（2，﹣9），C（4，﹣13）代入y＝ax2+bx﹣5，
得：，解得，
此时不符合条件，
当抛物线经过点B、C时，
将B（4，﹣5），C（4，﹣13）代入y＝ax2+bx﹣5，
得：，此时方程无解，
综上所述，抛物线解析式为：y＝x2﹣4x﹣5．
（2）由题意得：（x+5）2﹣4（x+5）﹣5＞x2﹣4x﹣5，
解得x＞，
∴满足条件的x的取值范围为：x＞．
13．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣3＝a（x﹣2）2﹣3，
∴顶点A（2，﹣3），B（2，0）；
（2）当C在y轴负半轴时，如图：作PN⊥AB于N．CM⊥AB于M，
∵PA∥CB，
∴∠CBM＝∠PAN，
∵∠BMC＝∠ANP＝90°，
∴△PAN∽△CBM，
∴，
∵AP＝BC，
∴＝，
∴BM＝2AN，
∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣3＝a（x﹣2）2﹣3，顶点A（2，﹣3），B（2，0），
∴CM＝2，C（0，4a﹣3），PN＝1，
∴P（3，a﹣3），
∴AN＝a﹣3﹣（﹣3）＝a，BM＝﹣（4a﹣3），
∵BM＝2AN，
∴﹣（4a﹣3）＝2a，
∴a＝，
∴该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1；
当C在y轴正半轴时，如图：作PN⊥AB于N．CM⊥AB于M，
∵PA∥CB，
∴∠CBM＝∠PAN，
∵∠BMC＝∠ANP＝90°，
∴△PAN∽△CBM，
∴，
∵AP＝BC，
∴＝，
∴BM＝2AN，
∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣3＝a（x﹣2）2﹣3，顶点A（2，﹣3），B（2，0），
∴CM＝2，C（0，4a﹣3），PN＝1，
∴P（1，a﹣3），
∴AN＝a﹣3﹣（﹣3）＝a，BM＝4a﹣3，
∵BM＝2AN，
∴4a﹣3＝2a，
∴a＝，
∴该抛物线解析式为y＝x2﹣6x+3；
∴该抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1或y＝x2﹣6x+3．
14．解：（1）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣6）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+6，
∴该函数的图象与x轴有两个交点，分别为（m，0），（m+6，0）；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝m+3，顶点A的纵坐标为﹣9，
∴当x＝m+3时，y＝﹣9a＝﹣9，
∴a＝1，
∵该函数图象与y轴交于B（0，﹣5），
∴y＝（0﹣m）（0﹣m﹣6）＝﹣5，即m2+6m+5＝0，
∴（m+1）（m+5）＝0，
解得，m1＝﹣1，m2＝﹣5，
当m＝﹣5时，y＝（x+5）（x﹣1）＝x2+4x﹣5；
当m＝﹣1时，y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5；
∴该函数的表达式为y＝x2+4x﹣5或y＝x2﹣4x﹣5；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m+3，
当m+3＝＝﹣2时，
即当m＝﹣5时，y1＝y2，
当m＞﹣5时，y1＞y2，
当m＜﹣5时，y1＜y2．
15．解：（1）由表格数据结合二次函数图像对称性可得图象顶点为（1，﹣8），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣8（a≠0），
将（﹣1，0）代入得4a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝2（x﹣1）2﹣8或y＝2x2﹣4x﹣6；
（2）∵点（﹣2，10）关于对称轴直线x＝1的对称点为（4，10），
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣8≤y＜10，
故答案为﹣8≤y＜10．
16．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）当y＞﹣3时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞0．
17．解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，
得，
∴a＝1，c＝﹣6，
∴y＝x2﹣4x﹣6；
（2）对称轴：直线x＝2，
顶点坐标：（2，﹣10）；
（3）∵点P（m，m）在函数图象上，
∴m2﹣4m﹣6＝m，
∴m＝6或﹣1．
18．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，
∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），
∴y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵经过点B（3，0），
∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，
理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，
即左边＝右边，
所以点C在该函数的图象上．
19．解：（1）把点A（1，0）和B（2，﹣1）代入y＝ax2+bx+3中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的顶点为（2，﹣1），
对称轴为直线x＝2．
20．解：（1）根据题意得，
解得，．
∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标（1，4）．
（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，
解得，x1＝0或x2＝2，
∵y＜3，
∴x＜0或x＞2．
21．解：（1）将（0，4），（1，3），（﹣1，4）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+4．
（2）∵y＝﹣（x+）2+，
∴x＞﹣时，y随x增大而减小，
x＝﹣时y取最大值，
x＝4时y取最小值，
把x＝4代入y＝﹣x2﹣x+4得y＝﹣×42﹣×4+4＝﹣6．
∴﹣6＜y≤．
22．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，0）、B（3，0）．
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝2x2﹣2x﹣12；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
23．解：（1）∵点A（﹣1，1），B（3，1）的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵二次函数的最小值为﹣3，
∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，
把A（﹣1，1）代入得：1＝a×（﹣1﹣1）2﹣3，
解得：a＝1，
∴函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3，即y＝x2﹣2x﹣2．
24．解：根据题意设二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣1，
当x＝3时，y＝3，
∴3＝a（3﹣1）2﹣1，
解得a＝1，
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1．
列表得：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
如图：
．
25．解：（1）∵A点坐标是（3，0），B点坐标是（0，1），
∴OA＝3，OB＝1，
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，
∴OC＝OA＝3，OD＝OB＝1，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴C（0，3），D（﹣1，0），
∵C（0，3），D（﹣1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，作ME⊥x轴于E，交AB于N，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
把A（3，0），B（0，1）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
设M（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），则N（t，﹣t+1），
∴MN＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+1）＝﹣t2+t+2，
∵S△ABM＝S△MNB+S△MNA＝×3 MN，
∴3 （﹣t2+t+2）＝4，
整理得3t2﹣7t+2＝0，解得t1＝，t2＝2，
∴点M的坐标为（，）或（2，3）．