2021-2022学年北师大版九年级数学下册2-2二次函数的图象与性质 自主提升训练 （word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册2-2二次函数的图象与性质 自主提升训练 （word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 195.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-28 20:47:32 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2-2二次函数的图象与性质》
同步自主提升训练（附答案）
1．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1图象上的三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0
3．对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，﹣5） B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5） D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：（1）a+b+c＜0；（2）a﹣b+c＞0；（3）abc＞0；（4）b＝﹣2a，其中正确的结论个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
5．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+5 D．y＝﹣2（x﹣4）2+5
6．点（1，﹣2）在抛物线y＝x2﹣4x+n上，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．已知抛物线y＝﹣ax2﹣ax﹣1（a＞0）经过A（﹣1，y1）和B（3，y2）两点，那么下列关系式一定正确的是（ ）
A．0＜y2＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜0＜y2
8．二次函数y＝﹣3（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向上、直线x＝4，（4，5） B．向上、直线x＝﹣4，（﹣4，5）
C．向下、直线x＝4，（4，﹣5） D．向下、直线x＝﹣4，（﹣4，5）
9．函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象可以由函数y＝﹣x2的图象通过（ ）得到．
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位
10．如图，已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．对于二次函数y＝x2﹣6x+11的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝3
C．顶点坐标为（﹣3，2） D．当x≥3时，y随x增大而减小
12．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
13．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜3 B．0＜y≤4 C．3＜y≤4 D．﹣5≤y≤4
14．若函数y＝（3﹣2m）﹣x+1的图象是开口向上的抛物线，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝
C．当x＞，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＜0
16．二次函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1，有最小值﹣2 B．有最大值2，有最小值﹣2
C．有最大值1，有最小值﹣1 D．有最大值2，有最小值1
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 17 7 1 ﹣1 1 …
则当x＝4时，y＝ ．
18．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是 ．
19．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的解析式是 ．
20．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值为 ．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是 ．
22．如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
23．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ……
y …… ﹣6 0 4 6 6 ……
给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为（0，6）；
②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；
③抛物线一定经过点（3，0）；
④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，说法正确是 ．（填序号）
24．二次函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m＝ ．
25．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求b，c的值；
（2）填空：①当0≤x≤3时，则y的取值范围是 ；
②若点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2时，则实数m的取值范围是 ．
26．已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）在坐标系中作出函数图象．
（2）当自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？
（3）若P（a，y1），Q（2，y2）是此抛物线上的两点，且y1＜y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围．
27．如图，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）当x满足 时，y的值随x值的增大而减小；
（2）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是 ；
（3）点P为抛物线上一点，且S△APC＝，求点P的坐标．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t秒（0＜t≤4）．
（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）的函数关系式，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与直线y＝x+b交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0）．点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过P作y轴的平行线交直线于点C，连接PA、PB．
（1）求直线的解析式及B点的坐标；
（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．
30．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 个．
31．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），OB＝OA，且∠AOB＝120°．
（1）求直线AB的解析式；
（2）经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝1，
∵4﹣1＞1﹣（﹣1）＞2﹣1，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
2．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；故A错误；
∵﹣＜0，
∴b＜0，故B正确；
∵与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0；故C错误；
由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，
∴a+b+c＜0，故D错误；
故选：B．
3．解：二次函数的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，
∴将x＝0代入y＝﹣4（x+6）2﹣5中得y＝﹣149，
∴图象与y轴得交点为（0，﹣149），
故A项不符合题意；
对称轴为x＝﹣6，顶点坐标为（﹣6，﹣5），
故B，C两项不符合题意；
a＝﹣4＜0，图象开口向下，
∴当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，
故D项符合题意．
故选：D．
4．解：由图象可得，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故（1）正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故（2）正确；
a＞0，b＜0，c＜0，则abc＞0，故（3）正确；
﹣＝1，则b＝﹣2a，故（4）正确；
故选：C．
5．解：将将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是y＝﹣2（x﹣1+3）2+3+2，即y＝﹣2（x+2）2+5．
故选：C．
6．解：∵点（1，﹣2）在抛物线y＝x2﹣4x+n上，
∴﹣2＝1﹣4+n，
解得n＝1．
故选：C．
7．解：x＝﹣1时，y1＝﹣a+a﹣1＝﹣1，
x＝3时，y2＝﹣9a﹣3a﹣1＝﹣12a﹣1，
∵a＞0，
∴y2＜y1＜0，
故选：C．
8．解：∵二次函数y＝﹣3（x+4）2+5，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），
故选：D．
9．解：函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，
即函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象可以由函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的，
故选：C．
10．解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，
连接MA、NB，
则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，
∵AB∥MN，AB＝MN＝2，
∴四边形AMNB是平行四边形，
∵二次函数y1＝（x+1）2﹣3，
∴该函数的顶点M的坐标为（﹣1，﹣3），
∴点M到x轴的距离为3，
∴四边形AMNB的面积是2×3＝6，
∴阴影部分的面积是6，
故选：D．
11．解：∵y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2），当x≥3时y随x增大而增大，
故选：B．
12．解：当a＞0时，则一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）的图象经过一、三、四象限；
当a＜0时，则一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）的图象经过一、二、四象限；
故选项A、B、D不可能，
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项C正确；
故选：C．
13．解：∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时有最大值是4；
当x＝1时，y＝0，
当x＝4时，y＝3，
∴当1＜x＜4时，函数值y的取值范围为0＜y≤4；
故选：B．
14．解：∵函数y＝（3﹣2m）﹣x+1的图象是开口向上的抛物线，
∴
解得m＝﹣3．
故选：B．
15．解：由函数图象可得，
函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小值，故选项A正确；
对称轴是直线x＝＝，故选项B正确；
当x＞，y随x的增大而增大，故选项C错误；
当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项D正确；
故选：C．
16．解：二次函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
a＜0开口向下，顶点坐标为：（1，2），
∴当﹣1≤x≤2时，有最大值2，
当x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+1＝﹣2，
故选：B．
17．解：将（0，1）、（1，﹣1）、（2，1）代入y＝ax2+bx+c中
可得方程组，
解得a＝2，b＝﹣4，c＝1，
∴二次函数解析式为y＝2x2﹣4x+1，
将x＝4代入函数解析式中，
得y＝17，
故答案为：17．
18．解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，
又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，
故当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣5，
故﹣1+2+c＝﹣5，
故c＝﹣6．
故答案为：﹣6．
19．解：因为y＝y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，所以抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），点（﹣1，﹣2）向上平移m个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2+m），所以平移的抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣2+m，把A（0，3）代入得
1﹣2+m＝3，
解得m＝4，
所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+1）2+2，即y＝x2+2x+3．
故答案是：y＝x2+2x+3．
20．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最小值5，
可得：（4﹣h）2+1＝5，
解得：h＝6或h＝2（舍）．
③当1＜h＜4时，y的最小值为1，不合题意，
综上，h的值为﹣1或6，
故答案为：﹣1或6．
21．解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，
∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
22．解：如图，设PQ与x轴交于N，过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x＝﹣3，得出二次函数解析式为：y＝（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：
0＝（﹣6+3）2+h，
解得：h＝﹣，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S＝|﹣3|×|﹣|＝．
故答案为：．
23．解：根据图表，抛物线与y轴交于（0，6），①正确；
∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），
∴对称轴为x＝＝，
∴②正确；
设抛物线经过点（x，0），
∴＝，
解得：x＝3，
∴抛物线一定经过（3，0），
故③正确；
根据表中数据可得a＜0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，④错误
故答案为：①②③．
24．解：由y＝（m+2）xm2 3是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得：
，
解得：，
故答案为：m＝﹣．
25．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），
∴该二次函数的顶点式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）①∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3中a＝1＞0，且顶点为（1，﹣4），
∴有最小值﹣4，
当x＝3时y＝（3﹣1）2﹣4＝0，
∴当0≤x≤3时，y的取值范围﹣4≤y≤0，
故答案为﹣4≤y≤0；
②∵二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），
∴对称轴为直线x＝1，
∴Q（2，y2）的对称点为（0，y2），
∵点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2，
∴m＜0或m＞2．
故答案为：m＜0或m＞2．
26．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣（x﹣3）（x+1），
∴该函数的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点坐标为（3，0）、（﹣1，0），点（0，3）、（2，3）在函数图象上，
函数图象如右图所示；
（2）由图象可得，
当x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）∵点P（a，y1），Q（2，y2）是此抛物线上的两点，且y1＜y2，
∴a＞2或a＜0．
27．解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，m＝3，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
故答案为x＞1；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4；
故答案为﹣5≤y≤4；
（3）将直线AC向右平移使S△APC＝，
∵平行，设沿x轴平移的距离为m，
∴此时AC与x轴的交点形成的三角形面积也是，
∴S＝×m×3＝，解得m＝，
y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
代入点A、C，
，解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
平移后的解析式为y＝3（x﹣）+3，
联立得：﹣x2+2x+3＝3（x﹣）+3，
解得x＝或﹣，
∴P（，）或P（﹣，﹣）．
28．解：（1）矩形ABCD中，BD＝＝＝5，
过点P作PM⊥BC，垂足为M，
∴△BPM∽△BDC
∴，
∴PM＝（5﹣t），
∴S＝t×（5﹣t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S有最大值；
（3）①当BP＝BQ时，5﹣t＝t，
∴t＝，
②当BQ＝PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，
此时，BE＝BP＝，
∴△BQE∽△BDC
∴即，
∴t＝．
③当BP＝PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，
此时，BF＝＝t，
∴△BPF∽△BDC
∴即，
∴t＝．
∴t＝或或均使△PBQ为等腰三角形．
29．解：（1）∵点A（1，0），将其代入y＝得，
0＝，
解得：b＝，
∴直线的解析式为：y＝，
由解得：，，
∴点B坐标为（﹣5，﹣3）；
（2）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，），
∴PC＝（﹣x2﹣x+）﹣（）＝﹣x2﹣4x+5，
∴S△APB＝|xA﹣xB|＝＝﹣3（x+2）2+27，
∵﹣3＜0，
∴当x＝﹣2时，S取得最大值27，
将x＝﹣2代入解析式中的得：y＝，
∴点P（﹣2，），
综上，当x＝﹣2时，当△APB面积最大时，最大面积为27，此时点P的坐标（﹣2，）．
30．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．
31．（1）过点B作BH⊥x轴于点H，由已知可得：
OB＝OA＝2，∠BOH＝60°，
在Rt△OBH中，∠OHB＝90°，
∴OH＝1，HB＝，
∴点B的坐标是（1，），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）∵抛物线经过A，O，B三点，且点A、O在x轴上，由抛物线的对称性可得对称轴为x＝﹣1，
∵点C在对称轴x＝﹣1上，△BOC的周长＝OB+BC+CO，
∵OB＝2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线x＝﹣1对称，有CO＝CA，△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，
BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．
∴当x＝﹣1时，代入直线AB的解析式，得y＝，
∴点C的坐标是（﹣1，）．
同步自主提升训练（附答案）
1．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1图象上的三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0
3．对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，﹣5） B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5） D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：（1）a+b+c＜0；（2）a﹣b+c＞0；（3）abc＞0；（4）b＝﹣2a，其中正确的结论个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
5．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+5 D．y＝﹣2（x﹣4）2+5
6．点（1，﹣2）在抛物线y＝x2﹣4x+n上，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．已知抛物线y＝﹣ax2﹣ax﹣1（a＞0）经过A（﹣1，y1）和B（3，y2）两点，那么下列关系式一定正确的是（ ）
A．0＜y2＜y1 B．y1＜y2＜0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜0＜y2
8．二次函数y＝﹣3（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向上、直线x＝4，（4，5） B．向上、直线x＝﹣4，（﹣4，5）
C．向下、直线x＝4，（4，﹣5） D．向下、直线x＝﹣4，（﹣4，5）
9．函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象可以由函数y＝﹣x2的图象通过（ ）得到．
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移1个单位
10．如图，已知二次函数y1＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．对于二次函数y＝x2﹣6x+11的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线x＝3
C．顶点坐标为（﹣3，2） D．当x≥3时，y随x增大而减小
12．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
13．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是（ ）
A．0＜y＜3 B．0＜y≤4 C．3＜y≤4 D．﹣5≤y≤4
14．若函数y＝（3﹣2m）﹣x+1的图象是开口向上的抛物线，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值 B．对称轴是直线x＝
C．当x＞，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＜0
16．二次函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1，有最小值﹣2 B．有最大值2，有最小值﹣2
C．有最大值1，有最小值﹣1 D．有最大值2，有最小值1
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 17 7 1 ﹣1 1 …
则当x＝4时，y＝ ．
18．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是 ．
19．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的解析式是 ．
20．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值为 ．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是 ．
22．如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
23．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 ……
y …… ﹣6 0 4 6 6 ……
给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为（0，6）；
②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；
③抛物线一定经过点（3，0）；
④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，说法正确是 ．（填序号）
24．二次函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m＝ ．
25．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求b，c的值；
（2）填空：①当0≤x≤3时，则y的取值范围是 ；
②若点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2时，则实数m的取值范围是 ．
26．已知：二次函数y＝﹣x2+2x+3．
（1）在坐标系中作出函数图象．
（2）当自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？
（3）若P（a，y1），Q（2，y2）是此抛物线上的两点，且y1＜y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围．
27．如图，抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）当x满足 时，y的值随x值的增大而减小；
（2）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是 ；
（3）点P为抛物线上一点，且S△APC＝，求点P的坐标．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t秒（0＜t≤4）．
（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）的函数关系式，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与直线y＝x+b交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0）．点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过P作y轴的平行线交直线于点C，连接PA、PB．
（1）求直线的解析式及B点的坐标；
（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．
30．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 个．
31．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），OB＝OA，且∠AOB＝120°．
（1）求直线AB的解析式；
（2）经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝1，
∵4﹣1＞1﹣（﹣1）＞2﹣1，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
2．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；故A错误；
∵﹣＜0，
∴b＜0，故B正确；
∵与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0；故C错误；
由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，
∴a+b+c＜0，故D错误；
故选：B．
3．解：二次函数的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，
∴将x＝0代入y＝﹣4（x+6）2﹣5中得y＝﹣149，
∴图象与y轴得交点为（0，﹣149），
故A项不符合题意；
对称轴为x＝﹣6，顶点坐标为（﹣6，﹣5），
故B，C两项不符合题意；
a＝﹣4＜0，图象开口向下，
∴当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，
故D项符合题意．
故选：D．
4．解：由图象可得，
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故（1）正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故（2）正确；
a＞0，b＜0，c＜0，则abc＞0，故（3）正确；
﹣＝1，则b＝﹣2a，故（4）正确；
故选：C．
5．解：将将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是y＝﹣2（x﹣1+3）2+3+2，即y＝﹣2（x+2）2+5．
故选：C．
6．解：∵点（1，﹣2）在抛物线y＝x2﹣4x+n上，
∴﹣2＝1﹣4+n，
解得n＝1．
故选：C．
7．解：x＝﹣1时，y1＝﹣a+a﹣1＝﹣1，
x＝3时，y2＝﹣9a﹣3a﹣1＝﹣12a﹣1，
∵a＞0，
∴y2＜y1＜0，
故选：C．
8．解：∵二次函数y＝﹣3（x+4）2+5，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），
故选：D．
9．解：函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，
即函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象可以由函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的，
故选：C．
10．解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，
连接MA、NB，
则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，
∵AB∥MN，AB＝MN＝2，
∴四边形AMNB是平行四边形，
∵二次函数y1＝（x+1）2﹣3，
∴该函数的顶点M的坐标为（﹣1，﹣3），
∴点M到x轴的距离为3，
∴四边形AMNB的面积是2×3＝6，
∴阴影部分的面积是6，
故选：D．
11．解：∵y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2），当x≥3时y随x增大而增大，
故选：B．
12．解：当a＞0时，则一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）的图象经过一、三、四象限；
当a＜0时，则一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）的图象经过一、二、四象限；
故选项A、B、D不可能，
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项C正确；
故选：C．
13．解：∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时有最大值是4；
当x＝1时，y＝0，
当x＝4时，y＝3，
∴当1＜x＜4时，函数值y的取值范围为0＜y≤4；
故选：B．
14．解：∵函数y＝（3﹣2m）﹣x+1的图象是开口向上的抛物线，
∴
解得m＝﹣3．
故选：B．
15．解：由函数图象可得，
函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小值，故选项A正确；
对称轴是直线x＝＝，故选项B正确；
当x＞，y随x的增大而增大，故选项C错误；
当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项D正确；
故选：C．
16．解：二次函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
a＜0开口向下，顶点坐标为：（1，2），
∴当﹣1≤x≤2时，有最大值2，
当x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+1＝﹣2，
故选：B．
17．解：将（0，1）、（1，﹣1）、（2，1）代入y＝ax2+bx+c中
可得方程组，
解得a＝2，b＝﹣4，c＝1，
∴二次函数解析式为y＝2x2﹣4x+1，
将x＝4代入函数解析式中，
得y＝17，
故答案为：17．
18．解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，
又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，
故当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣5，
故﹣1+2+c＝﹣5，
故c＝﹣6．
故答案为：﹣6．
19．解：因为y＝y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，所以抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），点（﹣1，﹣2）向上平移m个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2+m），所以平移的抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣2+m，把A（0，3）代入得
1﹣2+m＝3，
解得m＝4，
所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+1）2+2，即y＝x2+2x+3．
故答案是：y＝x2+2x+3．
20．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最小值5，
可得：（4﹣h）2+1＝5，
解得：h＝6或h＝2（舍）．
③当1＜h＜4时，y的最小值为1，不合题意，
综上，h的值为﹣1或6，
故答案为：﹣1或6．
21．解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，
∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），
当﹣3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
22．解：如图，设PQ与x轴交于N，过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x＝﹣3，得出二次函数解析式为：y＝（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：
0＝（﹣6+3）2+h，
解得：h＝﹣，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S＝|﹣3|×|﹣|＝．
故答案为：．
23．解：根据图表，抛物线与y轴交于（0，6），①正确；
∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），
∴对称轴为x＝＝，
∴②正确；
设抛物线经过点（x，0），
∴＝，
解得：x＝3，
∴抛物线一定经过（3，0），
故③正确；
根据表中数据可得a＜0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，④错误
故答案为：①②③．
24．解：由y＝（m+2）xm2 3是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得：
，
解得：，
故答案为：m＝﹣．
25．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），
∴该二次函数的顶点式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）①∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3中a＝1＞0，且顶点为（1，﹣4），
∴有最小值﹣4，
当x＝3时y＝（3﹣1）2﹣4＝0，
∴当0≤x≤3时，y的取值范围﹣4≤y≤0，
故答案为﹣4≤y≤0；
②∵二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），
∴对称轴为直线x＝1，
∴Q（2，y2）的对称点为（0，y2），
∵点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2，
∴m＜0或m＞2．
故答案为：m＜0或m＞2．
26．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣（x﹣3）（x+1），
∴该函数的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点坐标为（3，0）、（﹣1，0），点（0，3）、（2，3）在函数图象上，
函数图象如右图所示；
（2）由图象可得，
当x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）∵点P（a，y1），Q（2，y2）是此抛物线上的两点，且y1＜y2，
∴a＞2或a＜0．
27．解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，m＝3，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
故答案为x＞1；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4；
故答案为﹣5≤y≤4；
（3）将直线AC向右平移使S△APC＝，
∵平行，设沿x轴平移的距离为m，
∴此时AC与x轴的交点形成的三角形面积也是，
∴S＝×m×3＝，解得m＝，
y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
代入点A、C，
，解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，
平移后的解析式为y＝3（x﹣）+3，
联立得：﹣x2+2x+3＝3（x﹣）+3，
解得x＝或﹣，
∴P（，）或P（﹣，﹣）．
28．解：（1）矩形ABCD中，BD＝＝＝5，
过点P作PM⊥BC，垂足为M，
∴△BPM∽△BDC
∴，
∴PM＝（5﹣t），
∴S＝t×（5﹣t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S有最大值；
（3）①当BP＝BQ时，5﹣t＝t，
∴t＝，
②当BQ＝PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，
此时，BE＝BP＝，
∴△BQE∽△BDC
∴即，
∴t＝．
③当BP＝PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，
此时，BF＝＝t，
∴△BPF∽△BDC
∴即，
∴t＝．
∴t＝或或均使△PBQ为等腰三角形．
29．解：（1）∵点A（1，0），将其代入y＝得，
0＝，
解得：b＝，
∴直线的解析式为：y＝，
由解得：，，
∴点B坐标为（﹣5，﹣3）；
（2）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，），
∴PC＝（﹣x2﹣x+）﹣（）＝﹣x2﹣4x+5，
∴S△APB＝|xA﹣xB|＝＝﹣3（x+2）2+27，
∵﹣3＜0，
∴当x＝﹣2时，S取得最大值27，
将x＝﹣2代入解析式中的得：y＝，
∴点P（﹣2，），
综上，当x＝﹣2时，当△APB面积最大时，最大面积为27，此时点P的坐标（﹣2，）．
30．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．
31．（1）过点B作BH⊥x轴于点H，由已知可得：
OB＝OA＝2，∠BOH＝60°，
在Rt△OBH中，∠OHB＝90°，
∴OH＝1，HB＝，
∴点B的坐标是（1，），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）∵抛物线经过A，O，B三点，且点A、O在x轴上，由抛物线的对称性可得对称轴为x＝﹣1，
∵点C在对称轴x＝﹣1上，△BOC的周长＝OB+BC+CO，
∵OB＝2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线x＝﹣1对称，有CO＝CA，△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，
BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．
∴当x＝﹣1时，代入直线AB的解析式，得y＝，
∴点C的坐标是（﹣1，）．