浙江省湖州市2021-2022学年高三上学期期末考试数学题（Word版含答案）

湖州市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学
注意事项：
1.本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答.
2.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第I卷 （选择题，共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知实数，，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域内整点个数是
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
5.一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积（单位：cm2）是
A. B. C. D.
6.若空间中四条两两不同的直线，满足，，，则下面结论一定正确的是
A. B.
C. 既不垂直也不平行 D. 的位置关系不确定
7.若函数的大致图象如图所示，则的解析式可以是
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与圆相切，且与双曲线的左支交于点P.若，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
9.定义，已知函数，的定义域都是R，则下列四个命题中为假命题的是（ ）
A.若，都是增函数，则函数为增函数
B.若，都是减函数，则函数为减函数
C.若，都是偶函数，则函数为偶函数
D.若，都是奇函数，则函数为奇函数
10.已知数列满足，若正整数使得成立，则k的值是
A. 68 B. 70 C. 72 D. 74
第II卷（非选择题部分，共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影子长为15.5R，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是 ▲ 尺.
12.二项式的展开式中第5项为常数项，则n= ▲ ，系数最大的项是 ▲ .
13.已知圆C的圆心在y轴上，且与直线切于点，则圆C的圆心坐标为 ▲ ，半径r= ▲ .
14.在中，已知，，，点D在边BC上，且满足.则
▲ ， ▲ .
15.已知甲袋内有大小相同的2个红球和2个白球，乙袋内有大小相同的1个红球和2个白球.现从甲、乙两个袋内各任取2个球，则恰好有2个红球的概率为 ▲ ，记取出的4个球中红球的个数为随机变量X，则X的数学期望为 ▲ .
16.已知圆O的半径是3，P是圆O内一动点，且，AB是圆O上的两个动点.若，则的取值范围是 ▲ .
17.若函数存在最小值，则实数a的取值范围是 ▲ .
三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.（本小题满分14分）
设函数.
（I）求函数图象的对称中心；
（II）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，，求面积的最大值.
19.（本小题满分15分）
如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，点E，F分别在线段AB，CD上，且，现以EF为折痕将四边形AEFD折起至的位置.
（I）求证：平面平面；
（II）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分15分）
已知数列满足，，且.
（I）设，求数列前三项的值及数列的通项公式；
（II）设，求的前n项和。
21.（本小题满分15分）
已知在平面直角坐标系中，点，设动点到直线的距离为d，且，记动点的轨迹为曲线C，在曲线C上.
（I）求曲线C的方程和t的值：
（II）设动直线l与曲线C交于P，Q两点（不与点N重合），若直线PN，QN分别与x轴相交于A，B两点，且.请判断动直线l是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若否，请说明理由.
22.（本小题满分15分）
已知函数.
（I）设函数，当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）若函数存在极值点，求证：.
湖州市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学参考解析（2022.1）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C B D C A D B
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11. 40 12. 6， 13.（0，2）， 14. ，
15. ， 16. 17.
三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.解：（I）
当，即，，解得，，此时，
即函数图象的对称中心为.
（II） ，因为A为锐角，所以，
由余弦定理得
，当且仅当取等号.
此时，
，当且仅当取等号.
19.解：（I）证明：，
平面，平面，
平面，
又，同理可得平面，
平面平面；
（II）如图，以，分别为x，y轴建系，
则，
设，由，，得
解得
即，
所以，
平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则.
20.解：（I），，，
由题意得，
即，即，
，
解得，
（II），，，故，，
当时，
作差得
进一步得.
综上
21.解：（I）由题意得，动点到直线的距离等于到点的距离，
符合抛物线定义，故抛物线方程为，
代入抛物线方程得.
（II）设动直线，，，
则，则直线，
令，得.
同理可得，由，得.
将代入得，
由韦达定理得，得.
直线为，即直线过定点.
22.解：（I）的定义域为，
当时，，
又，，
故曲线在点处的切线方程为，
即.
（II）由题意得的根为，
即.
要证原不等式，即证，其中.
①当时，，，，故，
时，，即成立；
②当时，，，，故，
记，，，
当时，解得，
当时，解得，
故在（1，2）递增，递减，所以.
故当时，，即；
即，所以成立.
由①②得为成立.命题得证.