浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 888.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-27 18:32:12 | ||
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文档简介
浙南名校联盟2021-2022学年高三上学期期末联考
数学试题
选择题部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.若复数满足，（其中为虚数单位）则的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
4.已知“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A.12 B.6 C.4 D.2
6.已知成等差数列，也成等差数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正，点分别是边上的动点，且满足，将沿着翻折至点处，如图所示，记二面角的平面角为，二面角的平面角为，直线与平面所成角为，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A. B. C. D.
10.如图，函数的图象上任取一点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，则的取值（ ）
A.与有关，且存在最大值 B.与有关，且存在最小值
C.与有关，但无最值 D.与无关，为定值
非选择题部分
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11.我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得____________两银子”.
12.已知展开式中所有项系数和为1，则实数的值为____________，的系数为____________.
13.已知函数，则____________；若函数有3个零点，则实数的取值范围为____________.
14.若实数满足约束条件，则的取值范围为____________.
15.已知椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点（点在第一象限），且（为坐标原点），则椭圆的离心率为____________.
16.若函数与有相同的零点，其中，且在上有且只有一个零点，则的值为____________，实数的最小值为____________.
17.已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（14分）已知函数.
（I）求函数的单调递增区间；
（II）在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从（1）；（2）为的中线，且；（3）为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
19.（15分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，为三角形，，
（I）证明：；
（II）求与平面所成角的正弦值.
20.（15分）已知数列的前项和为，数列满足，
（I）求数列与的通项公式；
（II）若，对恒成立，求实数的取值范围.
21.（15分）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5.
（I）求与的值；
（II）过点作斜率存在的直线与拋物线交于两点（异于原点），为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由.
22.（15分）设实数，且，函数.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数有两个不同的零点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
绝密★考试结束前
浙南名校联盟2021-2022学年高三上学期期末联考
数学学科 试题答案及评分标准
一、选择题
1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D
第10题
解析：先证函数的图象上任取一点，，过点作其切线，交于点，过点作，交于另两个点，，则.
证明：设过点的直线为，
联立得：，
得方程，（*）
则方程（*）必有一根，于是方程（*）可改写为，（**）
当与相切于点时，方程（**）有双重根，于是；
当与相交于，点时，方程（**）有另两个根，，韦达定理知.故
接下来，连结，交于另一点，由对称性，，有上述结论，则，
所以；
连结，交于另一点，由对称性，，有上述结论，则，所以.
于是直线为，直线为，
联立得：，
所以，
故选D，与无关.
二、填空题
11.36，24 12.， 13.16， 14.
15. 16.， 17.
17.解析：法一：取，，，、分别是线段，的中点，要使得最大，点在线段上，则取圆过点、且与线段相切于点，此时取得最大，由切割线定理得，又，
∴，∴
法二：建立直角坐标系，为线段中点，当取得最大时，点应在线段上，设点，
则，，
取，
当时，即，后面同解法一.
三、解答题
解：（Ⅰ）
令，
∴函数的单调递增区间为，
（Ⅱ）
，
若选①：由题意知，，，故
所以
易求得故
若选②：由余弦定理得
解法1.在中，
在中，
，
故
解法2.
若选③：由题意知，，，
19.解：（1）取为中点，连接和，易得，，
所以面，又面，所以.
（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，为中点，易得，
，，，，
设点坐为面的一个法向量，
则有，得
取，设与面所成角为，则有
所以与面所成角的正弦值
解法二：易得，
有，可得点到面的距离，
设与面所成角为，则有，
所以与面所成角的正弦值
20.解：（1）解法一：，∴
又
∴
∴
由
∴
∴
（1）解法二：，
又，
∴
∴
由
∴
∴
（2）
∴
∴
当为偶数时，；当为奇数时
∴
21.解析：（1）根据抛物线的定义得：，
将点代入抛物线方程得：，
（2）设，，，，
直线的方程为.
代入抛物线方程得：.得
由题得，设过点的直线方程为，
代入抛物线方程得：，
∴，
又由己知可得直线的方程为：，
整理得：，
将和代入直线方程得：
代入上式可得：
即，得
所以直线过定点
22.解：（I），
当时，，在为递增函数
当时，令，得，
，，，
所以在为递减函数，在为递增函数.
（II）（i）解一：由（1）知，时，为极小值点，
又函数有两个零点得.
于是
得
此时，，，
故，函数有两个不同的零
（i）解法二：令
记，，令，
则在递增，在递减，且，，
当，，
当，
由已知函数有两个不同的零点，
所以，得
（ii）证明：由则
得
于是
设的极值点为，又由，于是
由对数均值不等式得.
则，所以，
欲证，
只需证，
只需证
又由，所以只需证
由，所以上述只需证
只需证
又有，又在上单调递增，
所以，所以上述不等式成立
数学试题
选择题部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3.若复数满足，（其中为虚数单位）则的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
4.已知“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A.12 B.6 C.4 D.2
6.已知成等差数列，也成等差数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正，点分别是边上的动点，且满足，将沿着翻折至点处，如图所示，记二面角的平面角为，二面角的平面角为，直线与平面所成角为，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数，则（ ）
A. B. C. D.
10.如图，函数的图象上任取一点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，则的取值（ ）
A.与有关，且存在最大值 B.与有关，且存在最小值
C.与有关，但无最值 D.与无关，为定值
非选择题部分
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11.我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得____________两银子”.
12.已知展开式中所有项系数和为1，则实数的值为____________，的系数为____________.
13.已知函数，则____________；若函数有3个零点，则实数的取值范围为____________.
14.若实数满足约束条件，则的取值范围为____________.
15.已知椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点（点在第一象限），且（为坐标原点），则椭圆的离心率为____________.
16.若函数与有相同的零点，其中，且在上有且只有一个零点，则的值为____________，实数的最小值为____________.
17.已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（14分）已知函数.
（I）求函数的单调递增区间；
（II）在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从（1）；（2）为的中线，且；（3）为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
19.（15分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，为三角形，，
（I）证明：；
（II）求与平面所成角的正弦值.
20.（15分）已知数列的前项和为，数列满足，
（I）求数列与的通项公式；
（II）若，对恒成立，求实数的取值范围.
21.（15分）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5.
（I）求与的值；
（II）过点作斜率存在的直线与拋物线交于两点（异于原点），为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由.
22.（15分）设实数，且，函数.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数有两个不同的零点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
绝密★考试结束前
浙南名校联盟2021-2022学年高三上学期期末联考
数学学科 试题答案及评分标准
一、选择题
1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D
第10题
解析：先证函数的图象上任取一点，，过点作其切线，交于点，过点作，交于另两个点，，则.
证明：设过点的直线为，
联立得：，
得方程，（*）
则方程（*）必有一根，于是方程（*）可改写为，（**）
当与相切于点时，方程（**）有双重根，于是；
当与相交于，点时，方程（**）有另两个根，，韦达定理知.故
接下来，连结，交于另一点，由对称性，，有上述结论，则，
所以；
连结，交于另一点，由对称性，，有上述结论，则，所以.
于是直线为，直线为，
联立得：，
所以，
故选D，与无关.
二、填空题
11.36，24 12.， 13.16， 14.
15. 16.， 17.
17.解析：法一：取，，，、分别是线段，的中点，要使得最大，点在线段上，则取圆过点、且与线段相切于点，此时取得最大，由切割线定理得，又，
∴，∴
法二：建立直角坐标系，为线段中点，当取得最大时，点应在线段上，设点，
则，，
取，
当时，即，后面同解法一.
三、解答题
解：（Ⅰ）
令，
∴函数的单调递增区间为，
（Ⅱ）
，
若选①：由题意知，，，故
所以
易求得故
若选②：由余弦定理得
解法1.在中，
在中，
，
故
解法2.
若选③：由题意知，，，
19.解：（1）取为中点，连接和，易得，，
所以面，又面，所以.
（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，为中点，易得，
，，，，
设点坐为面的一个法向量，
则有，得
取，设与面所成角为，则有
所以与面所成角的正弦值
解法二：易得，
有，可得点到面的距离，
设与面所成角为，则有，
所以与面所成角的正弦值
20.解：（1）解法一：，∴
又
∴
∴
由
∴
∴
（1）解法二：，
又，
∴
∴
由
∴
∴
（2）
∴
∴
当为偶数时，；当为奇数时
∴
21.解析：（1）根据抛物线的定义得：，
将点代入抛物线方程得：，
（2）设，，，，
直线的方程为.
代入抛物线方程得：.得
由题得，设过点的直线方程为，
代入抛物线方程得：，
∴，
又由己知可得直线的方程为：，
整理得：，
将和代入直线方程得：
代入上式可得：
即，得
所以直线过定点
22.解：（I），
当时，，在为递增函数
当时，令，得，
，，，
所以在为递减函数，在为递增函数.
（II）（i）解一：由（1）知，时，为极小值点，
又函数有两个零点得.
于是
得
此时，，，
故，函数有两个不同的零
（i）解法二：令
记，，令，
则在递增，在递减，且，，
当，，
当，
由已知函数有两个不同的零点，
所以，得
（ii）证明：由则
得
于是
设的极值点为，又由，于是
由对数均值不等式得.
则，所以，
欲证，
只需证，
只需证
又由，所以只需证
由，所以上述只需证
只需证
又有，又在上单调递增，
所以，所以上述不等式成立
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