2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳市九年级（上）期末数学试卷（word解析版）

2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）.
1．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≥﹣2
2．下列四组图形中，不是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．3﹣＝3 C．﹣＝ D．÷＝4
4．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实根，则k的值为（　　）
A．k＝﹣4 B．k＝4 C．k≥﹣4 D．k≥4
5．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．Rt△ABC的各边长都扩大3倍，则锐角A的余弦值和正切值（　　）
A．都扩大3倍 B．都缩小为原来的
C．都不变 D．无法确定
7．用配方法解方程x2﹣8x﹣5＝0，则配方正确的是（　　）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝69
8．某地区居民2018年年人均收入为200美元，预计2020年年人均收入将达到1000美元，设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x，可列方程为（　　）
A．200（1+2x）＝1000 B．200（1+x）2＝1000
C．200（1+x2）＝1000 D．200+2x＝1000
9．下列事件发生的概率为0的是（　　）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上
B．今年冬天黑龙江会下雪
C．随意掷一枚均匀的正方体骰子两次，两次朝上面的点数之和为1
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域
10．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
11．河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（　　）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
12．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论正确的有（　　）
①DE＝6cm；②BE＝2cm；③菱形面积为60cm2；④BD＝cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（6小题，每题3分，共18分）
13．已知＝3，则＝　 　．
14．如图，DE是△ABC的中位线，S△ADE＝2，则S△ABC＝　 　．
15．关于x的方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则m＝　 　．
16．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝　 　．
17．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　；
18．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，…那么第10个数据应是　 　．
三、解答题（共7小题，满分46分）
19．计算：（）﹣1﹣（2﹣）0+4cos30°﹣．
20．先化简，再求值：a （a+2b）﹣（a+b）2，其中a＝1，b＝．
21．一商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元？此时应进多少服装？
22．在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为．
（1）试求箱子里蓝色卡片的张数；
（2）第一次随机抽出一张卡片（不放回），第二次再随机抽出一张，请用画树形图或列表格的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，连接DE，CF交AD于G，点E是BF中点．
（1）求证：△AFG∽△AED
（2）若FG＝2，G为AD中点，求CG的长．
24．如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P．他由A地向正北方向骑行了3km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6km到达C地．
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．
25．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；
（2）如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≥﹣2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
解：二次根式在实数范围内有意义，
则x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故选：C．
2．下列四组图形中，不是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．3﹣＝3 C．﹣＝ D．÷＝4
【分析】根据二次根式加减法和二次根式的乘除法运算法则进行计算，并作出判断．
解：A、与不是同类二次根式，不能合并进行计算，故此选项不符合题意；
B、原式＝2，故此选项不符合题意；
C、原式＝2﹣＝，故此选项符合题意；
D、原式＝＝2，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实根，则k的值为（　　）
A．k＝﹣4 B．k＝4 C．k≥﹣4 D．k≥4
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝42﹣4k＝0，然后解一次方程即可．
解：∵一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝42﹣4k＝0，
解得：k＝4，
故选：B．
5．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：因为A、＝2；
B、＝；
D、＝|a|．
故选：C．
6．Rt△ABC的各边长都扩大3倍，则锐角A的余弦值和正切值（　　）
A．都扩大3倍 B．都缩小为原来的
C．都不变 D．无法确定
【分析】根据Rt△ABC的各边长都扩大3倍后，所得的三角形与原三角形相似，即可解答．
解：∵Rt△ABC的各边长都扩大3倍，
∴所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有改变，
∴锐角A的余弦值和正切值都不变，
故选：C．
7．用配方法解方程x2﹣8x﹣5＝0，则配方正确的是（　　）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝69
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：由原方程移项，得
x2﹣8x＝5，
等式的两边加上一次项系数一半的平方（﹣4）2，得
x2﹣8x+（﹣4）2＝5+（﹣4）2，即（x﹣4）2＝21；
故选：B．
8．某地区居民2018年年人均收入为200美元，预计2020年年人均收入将达到1000美元，设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x，可列方程为（　　）
A．200（1+2x）＝1000 B．200（1+x）2＝1000
C．200（1+x2）＝1000 D．200+2x＝1000
【分析】2020年年收入＝2018年年收入×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解：设2018年到2020年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为：
200（1+x）2＝1000．
故选：B．
9．下列事件发生的概率为0的是（　　）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上
B．今年冬天黑龙江会下雪
C．随意掷一枚均匀的正方体骰子两次，两次朝上面的点数之和为1
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域
【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1；必然事件概率为1；不可能事件概率为0．
解：A、是随机事件，概率大于0并且小于1；
B、是随机事件，概率大于0并且小于1；是必然事件，概率＝1；
C、是不可能事件，概率＝0；
D、是随机事件，概率大于0并且小于1；
故选：C．
10．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当时，因为由所给比例涉及的两个三角形根本不是△ADB与△ABC，而是△ABC与△BDC，
故C错误．
故选：C．
11．河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（　　）
A．4米 B．8米 C．10米 D．8米
【分析】由坡比的定义得1：＝BC：AC，则AC＝BC＝4（米），即可得出答案．
解：∵堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：＝BC：AC，
∴AC＝BC＝4（米），
故选：A．
12．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论正确的有（　　）
①DE＝6cm；②BE＝2cm；③菱形面积为60cm2；④BD＝cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，运用验证法，逐个验证从而确定答案．
解：∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝10．
∵DE⊥AB，垂足为E，
sinA＝＝＝，
∴DE＝6cm，AE＝8cm，BE＝2cm．
∴菱形的面积为：AB×DE＝10×6＝60cm2．
在三角形BED中，
BE＝2cm，DE＝6cm，BD＝2cm，∴①②③正确，④错误；＝2
∴结论正确的有三个．
故选：C．
二.填空题（6小题，每题3分，共18分）
13．已知＝3，则＝　2　．
【分析】直接利用已知得出a，b的关系，进而化简得出答案．
解：∵＝3，
∴a+b＝3b，
故a＝2b，
则＝＝2．
故答案为：2．
14．如图，DE是△ABC的中位线，S△ADE＝2，则S△ABC＝　8　．
【分析】DE是△ABC的中位线，可得DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出S△ABC．
解：∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，DE＝BC
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADE：S△ABC＝1：4
又∵S△ADE＝2，则S△ABC＝8．
15．关于x的方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则m＝　14　．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解：把x＝2代入方程：x2+5x﹣m＝0可得4+10﹣m＝0，
解得m＝14．
故应填：14．
16．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝　5　．
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．
解：∵在Rt△ABC中，cosB＝，
∴sinB＝，tanB＝＝．
∵在Rt△ABD中AD＝4，
∴AB＝．
在Rt△ABC中，
∵tanB＝，
∴AC＝×＝5．
17．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　2018　；
【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，变形后代入，即可求出答案．
解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，
∴a2+a＝2019，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，
故答案为：2018．
18．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，…那么第10个数据应是　3　．
【分析】通过观察可知，规律是根号下的被开方数依次是：0，0+3×1，0+3×2，0+3×3，0+3×4，…，3×9，…，3×（n﹣1），所以第10个数据应是＝3．
解：通过数据找规律可知，第n个数为，那么第10个数据为：＝3．
三、解答题（共7小题，满分46分）
19．计算：（）﹣1﹣（2﹣）0+4cos30°﹣．
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
解：（）﹣1﹣（2﹣）0+4cos30°﹣
＝2﹣1+4×﹣2
＝2﹣1+2﹣2
＝1．
20．先化简，再求值：a （a+2b）﹣（a+b）2，其中a＝1，b＝．
【分析】先根据单项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：a （a+2b）﹣（a+b）2
＝a2+2ab﹣a2﹣2ab﹣b2
＝﹣b2，
当b＝时，原式＝﹣（）2＝﹣2．
21．一商店进了一批服装，进价为每件50元，按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件，若商店计划获利12000元，且尽可能减少进货量，问销售单价应定为多少元？此时应进多少服装？
【分析】设销售单价应定为x元，则每件盈利（x﹣50）元，销售量为800﹣20（x﹣60）＝（2000﹣20x）件，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能减少进货量，即可确定销售单价及应购进服装的数量．
解：设销售单价应定为x元，则每件盈利（x﹣50）元，销售量为800﹣20（x﹣60）＝（2000﹣20x）件，
依题意得：（x﹣50）（2000﹣20x）＝12000，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80．
又∵要尽可能减少进货量，
∴x＝80，此时2000﹣20x＝2000﹣20×80＝400．
答：销售单价应定为80元，此时应进400件服装．
22．在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为．
（1）试求箱子里蓝色卡片的张数；
（2）第一次随机抽出一张卡片（不放回），第二次再随机抽出一张，请用画树形图或列表格的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率．
【分析】（1）设箱子里蓝色卡片有x张，根据概率的定义和任意抽出一张是红色卡片的概率为得到＝，然后解方程得到x＝1；
（2）先画出树状图展示所有12种等可能的结果，其中两次抽到的都是红色卡片占2种，根据概率的概念得到P（两次抽到的都是红色卡片）＝＝．
【解答】解（1）设箱子里蓝色卡片有x张，根据题意得＝，
解得x＝1，
所以箱子里蓝色卡片有1张；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两次抽到的都是红色卡片占2种，
所以P（两次抽到的都是红色卡片）＝＝．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，连接DE，CF交AD于G，点E是BF中点．
（1）求证：△AFG∽△AED
（2）若FG＝2，G为AD中点，求CG的长．
【分析】（1）根据AD是BC边上的中线，点E是BF中点，得到BD＝CD，BE＝EF，根据三角形的中位线的性质得到DE∥CF，即可得到结论；
（2）由G为AD中点，FG∥DE，得到AF＝EF，求得DE＝2FG＝4，根据三角形的中位线的性质得到CF＝2DE＝8，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，点E是BF中点，
∴BD＝CD，BE＝EF，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥CF，
∴DE∥FG，
∴△AFG∽△AED；
（2）解：∵G为AD中点，FG∥DE，
∴AF＝EF，
∴FG是△ADE的中位线，
∴DE＝2FG＝4，
∴CF＝2DE＝8，
∴CG＝FC﹣FG＝8﹣2＝6．
24．如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P．他由A地向正北方向骑行了3km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6km到达C地．
（1）求A地与电视塔P的距离；
（2）求C地与电视塔P的距离．
【分析】（1）过B作BD⊥AP于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得AD、BD的长，然后在直角△PCD中利用三角函数求得BP、PD的长；
（2）首先证得∠CBP＝60°，即可证得△BCP是等边三角形，即可求得PC＝BC＝6．
解：（1）过B作BD⊥AP于D．
依题意∠BAD＝45°，则∠ABD＝45°，
在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝×3＝3，
∵∠PBN＝75°，
∴∠APB＝∠PBN﹣∠PAB＝30°，
∴PD＝＝ BD＝3，PB＝2BD＝6，
∴AP＝AD+PD＝3+3；
∴A地与电视塔P的距离为（3+3）km；
（2）∵∠PBN＝75°，∠CBN＝15°，
∴∠CBP＝60°，
∵BP＝BC＝6km，
∴△BPC为等边三角形，
∴PC＝6km．
∴C地与电视塔P的距离6km．
25．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；
（2）如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB＝80°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝40°，证明△BCD∽△BAC，证明结论；
（2）根据△BCD∽△BAC，得到，设BD＝x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．
解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△BAC的完美分割线；
（2）∵△BCD∽△BAC，
∴，
∵AC＝AD＝2，BC＝，
设BD＝x，则AB＝2+x，
∴，
解得x＝﹣1±，
∵x＞0，∴BD＝x＝﹣1+，
∵△BCD∽△BAC，
∴，
∵AC＝2，BC＝，BD＝﹣1+
∴CD＝＝﹣．