高中2021-2022学年度第一学期期末考试
高三数学试卷
参考答案：
1~8 CBCA ADDC
9.BC 10.BC 11.ABD 12.BD
13. 14. 15. 16.①③.
17.（1）由﹣4，可知，﹣＝﹣4，
∴数列{}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，
∴＝13﹣4(n﹣1)＝﹣4n＋17；
（2）由(1)可知，数列{}单调递减，且a4＞0，a5＜0，
∴当n＝4时，{}的前n项和取得最大值＝13＋9＋5＋1＝28.
18.（1）解：由，即，所以.
又，所以，所以.
（2）
解：由题设及（1）知的面积.
由正弦定理得.
由于为锐角三角形，故，，
由（1）知，
所以，所以，所以，，所以，即，从而，
因此，面积的取值范围是.
19.（1）设，，如图，以为坐标原点，所在方向分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，因为点是的中点，所以，
，，于是，即，又已知，而，所以平面.
（2）由平面，所以是平面的一个法向量；
由（1）知，平面，所以是平面的一个法向量.
若面与面所成二面角的大小为，则，解得.所以，故当面与面所成二面角的大小为时，.
20.（1），，，
故曲线在点处的切线方程为.
即．
（2）设，
则
．
由（1）知，又，
所以，所以在上单调递增，故，
所以，，．
21（1）解：
，
令，
解得，
即函数的单调递增区间为；
（2）解：由，即，
，，
又方程在上有解，
所以.
22.（1），，.
①、当，，函数在上单调递增；
②、当，令，得，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当，的单调递增为，无单调递减区间；
当，的单调递增为，的单调递减为.
（2）根据题意可知：方程，即有两个不同的实根.
由可得：.
令，时，，所以在上单调递增，
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根.
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
.
①、若，则，没有零点；
②、若，则，当且仅当时取等号，只有一个零点；
③、若，则，，.
令，则当时，，即在上单调递增，
所以，即.
故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件.
综上可知，实数的取值范围是.
(
2
)
(
1
)育英高考补习学校2021-2022 学年度第一学期期末考试 [ f (x)]2 (a 1) f (x) a 0(a R)恰有 4个不相等的实数根，则这 4个实数根之和为（ ）
高三数学试卷 A． 4 B．4 C．8 D． 4或 8
试题总分：150 考试时间：120 分钟；命题：数学组第 8．已知 x 1, 2 ，则下列说法正确的是（ ）
I 卷（选择题）
A x x． ln 22 2ln 2 x x2 ln 2 B． x2 ln 2 ln 22 2ln 2 x
一、单选题
1．设集合 A x x2 2x 3 0 ，B x 1 x 5 x x，则 A B （ ） C． 2ln 2 x ln 2 2 x2 ln 2 D． 2ln 2 x x2 ln 2 ln 2 2
A． 1,2 B． 1,3 二、多选题C． -1,5 D． 1,3
9．已知 a (1,2)，b ( 4,t)，则（ ）
2．已知复数 z在复平面内对应的点的坐标为 1,2 ，则下列结论正确的是（ ）
A
．若 a∥b，则 t 8 B．若 a b ，则 t 2
A． z i 2 i B． z2 的实部为 3 C．复数 z的共轭复数是1 2i D． z 5 C． | a b |的最小值为 5 D．若向量 a与向量b 的夹角为钝角，则 t 2
3．已知直线 a，l，平面 ， ，且 , l,a ，则“ a l ”是“ a ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．三角形 ABC 中， 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c， 下列条件能判断 ABC 是钝角三角
4．在正三棱锥P ABC中，PA PB，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） 形的有 （ ）
A．36 B．16 A． a 6,b 5,c 4 B． AB BC 2a
16 a b sinC 2 2 2 2
C． D． 4 C． D．b sin C c sin B 2bccosBcosC
3 c b sinA sinB
x31 x
2 10
5．已知 A，B，C，D在同一平面上，其中 BC BD 2，若点 B，C， 11．已知函数 f x bx ，b R，下列说法正确的是（ ）
2 3 2 3
D均在面积为 4π的圆上，则 AC AB BA DA （ ） A．当 b 0时，函数 f x 有两个极值点 B．当 b 0时，函数 f x 在 0, 上有最小值
A．4 B．2 C．－4 D．－2 C．当 b 2时，函数 f x 有三个零点 D．当b 0时，函数 f x 在 ,0 上单调递增
6 cos 2 g x cos 2 ．要得到函数 f x x 6 的图象，只要将函数 2x 的图象上所有的点（ ） 3 12．如图，底面 ABCD为边长是 4的正方形，半圆面 APD 底面 ABCD．点 P为半圆弧 AD (不含 A，
5
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
6 D点)一动点．下列说法不正确的是（ ）4
A．三梭锥 P—ABD的每个侧面三角形都是直角三角形
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
2 4 8
B．三棱锥 P—ABD体积的最大值为
2 x 1 1,07．已知 f (x)
是定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f (x) 1 ，若关于 x的方程 C．三棱锥 P—ABD外接球的表面积为定值 32
f (x 2), x 2 2
D．直线 PB 30与平面 ABCD所成最大角的正弦值为
6
1
第 II 卷（非选择题） 19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示
三、填空题
P ABCD ABCD
z 3(a 3i) ( 1 2i) a 的“阳马” 中，侧棱 PD 底面 ，PD DA，点E是 PA的中点，作 EF PB交 PB于13．已知 a R ，复数 的实部与虚部相等，则 ___________.
1 1 点 F .
14．已知 x，y为正实数，且 x y 2，则 x xy 的最小值为_________. （1）求证： PB 平面 EFD；
15．已知正四面体 ABCD的棱长为 4，点 P为该四面体表面上的动点，若MN是该四面体的内切球 AD
（2）若平面DEF与平面 ABCD所成的二面角为60 ，求 .
的一条动直径，则 PM PN 的取值范围是________. DC
f a f b
16．定义：如果函数 f x 在 a,b 上存在 x1，x2 a x1 x2 b ，满足 f x1 f x
2 ，a b
则称数 x1， x2为 a,b 的上的“对望数”，函数 f x 为 a,b 上的“对望函数”，给出下列四个命题： 20．已知函数 f (x) x sin x， x (0, )．
2
①二次函数 f x x mx n在任意区间 a,b 上都不可能是“对望函数”； y f (x) ( （1）求曲线 在点 , f ( ))处的切线方程；
2 2
② f x 为 a,b 上的“对望函数”，则 f x 在 a,b 上不单调；
（2）证明： 2ex f (x) cos x ex 1．
1 3 2
③函数 f x x x 2是 0,2 上的“对望函数”；
3
④函数 f x x sin x ,11 是 上的“对望函数”； 21．已知函数 f x 4 3 sin x cos x 3 . 6 6 3
其中正确命题的序号为______（填上所有正确命题的序号）． （1）求 f x 的单调递增区间；
（2）若关于 x的方程 f x a在 0, 上有解，求实数 a的取值范围. 2
四、解答题
17．已知数列 an 中 an 1 an 4，且 a1 13 .
22．已知函数 f x a ln x x 1 a R .
（1）求 an ；
（2）求数列{an }的前 n项和 S 的最大值. （1）讨论 f x 的单调性；n
18 x a． ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 cos B 3 sin B 2 . （2）若函数 y f e ax 1与 y e ln x a 的图像有两个不同的公共点，求 a的取值范围.
（1）求 B；
（2）若 ABC为锐角三角形，且 c 1，求 ABC面积的取值范围.
2
