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编者学科君小注:
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发,供中等及以上学生使用。
思路设计:重在培优训练,分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题,知识难度层层递进,由中等到压轴,基础差的学生选做每种类型题的前4题;基础中等的学生必做前4题、选做5-8题;尖子生全部题型必做,冲刺压轴题。2·1·c·n·j·y
专题07 几何思想之三角形的证明压轴题专练(解析版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形,∠BAC=∠DAE=90°,连接CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE.下列结论中,正确的结论有( )21cnjy.com
①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④S四边形BCDE=BD CE;⑤BC2+DE2=BE2+CD2.
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【标准答案】C
【思路指引】
根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC,AD=AE,然后求出∠BAD=∠CAE,再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等,根据全等三角形对应边相等可得CE=BD,判断①正确;根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE,从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°,再求出∠BGC=90°,从而得到BD⊥CE,根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和可判断出④正确;根据勾股定理表示出BC2+DE2,BE2+CD2,得到⑤正确;再求出时,∠ADC=90°,判断出②错误;∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误.
【详解详析】
解:∵,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD, ∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD, 2-1-c-n-j-y
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD, ∠ABD=∠ACE,故①正确;
∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°,
在△BCG中,∠BGC=180°-(∠BCG+∠CBG)=180°-90°=90°,
∴BD⊥CE,
∴S四边形BCDE=BD CE,故④正确;
由勾股定理,在Rt△BCG中,BC2=BG2+CG2,
在Rt△DEG中,DE2=DG2+EG2,
∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2,
在Rt△BGE中,BE2=BG2+EG2,
在Rt△CDG中,CD2=CG2+DG2,
∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2,
∴BC2+DE2=BE2+CD2,故⑤正确;
从题干信息没有给出 所以只有时,=90°,
无法说明,更不能说明 故②错误;
∵△ABD≌△ACE, ∴∠ADB=∠AEC,
条件不足以证明
∠AEC与∠AEB相等无法证明,
∴∠ADB=∠AEB不一定成立,故③错误;
综上所述,正确的结论有①④⑤共3个.
故选:C.
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质,等腰直角三角形的性质,勾股定理的应用,对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质,熟记各性质是解题的关键.【来源:21cnj*y.co*m】
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DEAB,DFAC,E、F为垂足,则下列五个结论:①∠DEF=∠DFE;②AE=AF;③AD垂直平分EF;④EF垂直平分AD;⑤△ABD与△ACD的面积相等.其中,正确的个数是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.4 B.3 C.2 D.1
【标准答案】B
【思路指引】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可 ( http: / / www.21cnjy.com )得DE=DF,然后证明△ADE与△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可以证明AD垂直平分EF,根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD与△ACD的面积相等不正确.
【详解详析】
解:平分,,,、为垂足,
,
,故①正确;
在与中,
,
,
,故②正确;
,,
垂直平分,故③正确;
与,与不一定相等,
不一定垂直平分,故④错误,
根据图形,,
平分时,,
与等高不等底,面积不相等,故⑤错误.
综上所述,①②③共3个正确.
故选:.
【名师指路】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离相等的性质以及到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质,全等三角形的判定与性质,以及三角形的面积,是小综合题,但难度不大,仔细分析图形是解题的关键.
3.如图,AO⊥OM,点B为射线OM上的一个动点,分别以OB,AB为直角边,B为直角顶点,在OM两侧作等腰直角△OBF 等腰直角△ABE,连接EF交OM于P点,当点B在射线OM上移动时,PB的长度为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B.3 C. D.不能确定
【标准答案】A
【思路指引】
过点E作EN⊥BM,垂足为点N,首先证明△ABO≌△BEN,得到BO=NE;进而证明△BPF≌△NPE,即可解决问题.
【详解详析】
解:如图,过点E作EN⊥BM,垂足为点N;
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°,
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE,
∴∠BAO=∠NBE;
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形,
∴AB=BE,BF=BO;
在△ABO与△BEN中,
,
∴△ABO≌△BEN(AAS),
∴BO=NE,BN=AO;
∵BO=BF,
∴BF=NE;
在△BPF与△NPE中,
,
∴△BPF≌△NPE(AAS),
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴BP=NP=BN;
而BN=AO,
∴BP=AO=×=,为定值;
故选:A.
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定及其性质,解题的关键是作辅助线,构造全等三角形,灵活运用有关定理来分析、判断或解答.
4.如图,在等腰△ABC与等腰△ADE ( http: / / www.21cnjy.com )中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,连接BD和CE相交于点P,交AC于点M,交AD与点N.下列结论:①BD=CE;②∠BPE=180 2α;③AP平分∠BPE;④若α=60 ,则PE=AP+PD.其中一定正确的结论的个数是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.1 B.2 C.3 D.4
【标准答案】C
【思路指引】
由“SAS”可△BAD≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )CAE,可得BD=CE;由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE,由外角的性质和三角形内角和定义可得∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α;由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE,利用三角形的面积公式可得AH=AF,由角平分线的性质可得AP平分∠BPE;由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA,由“SAS”可证△AOE≌△APD,可得AO=AP,可证△APO是等边三角形,可得AP=PO,即可得出结果.
【详解详析】
解:∵∠BAC=∠DAE=α,
∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,故①符合题意;
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠BAC=α,
∴∠ABC+∠ACB=180°-α,
∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP,
∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α,故②不符合题意;
如图,过点A作AH⊥BD,AF⊥CE,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△BAD≌△CAE,
∴S△BAD=S△CAE,
∴,且BD=CE,
∴AH=AF,且AH⊥BD,AF⊥CE,
∴AP平分∠BPE,故③符合题意;
如图,在线段PE上截取OE=PD,连接AO,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△BAD≌△CAE,
∴∠BDA=∠CEA,且OE=PD,AE=AD,
∴△AOE≌△APD(SAS),
∴AP=AO,
∵∠BPE=180°-α=120°,且AP平分∠BPE,
∴∠APO=60°,且AP=AO,
∴△APO是等边三角形,
∴AP=PO,
∵PE=PO+OE,
∴PE=AP+PD,故④符合题意.
故选:C
【名师指路】
本题主要考查的是三角形的综合题,掌握全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质以及角之间的关系是解题的关键.21教育名师原创作品
5.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论:①∠AOB=90°+∠C;②当∠C=60°时,AF+BE=AB; ③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是( )
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A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
【标准答案】C
【思路指引】
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可 ( http: / / www.21cnjy.com )求解∠AOB与∠C的关系,进而判定①;在AB上取一点H,使BH=BE,证得△HBO≌△EBO,得到∠BOH=∠BOE=60°,再证得△HBO≌△EBO,得到AF=AH,进而判定②正确;作OH⊥AC于H,OM⊥AB于M,根据三角形的面积可证得③正确.
【详解详析】
解:∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,
∴∠OBA=∠CBA,∠OAB=∠CAB,
∴∠AOB=180°﹣∠OBA﹣∠OAB=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=180°﹣(180°﹣∠C)=90°+∠C,①正确;
∵∠C=60°,
∴∠BAC+∠ABC=120°,
∵AE,BF分别是∠BAC与ABC的平分线,
∴∠OAB+∠OBA=(∠BAC+∠ABC)=60°,
∴∠AOB=120°,
∴∠AOF=60°,
∴∠BOE=60°,
如图,在AB上取一点H,使BH=BE,
∵BF是∠ABC的角平分线,
∴∠HBO=∠EBO,
在△HBO和△EBO中,,
∴△HBO≌△EBO(SAS),
∴∠BOH=∠BOE=60°,
∴∠AOH=180°﹣60°﹣60°=60°,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠AOH=∠AOF,
在△HBO和△EBO中,,
∴△HBO≌△EBO(ASA),
∴AF=AH,
∴AB=BH+AH=BE+AF,故②正确;
作OH⊥AC于H,OM⊥AB于M,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,
∴点O在∠C的平分线上,
∴OH=OM=OD=a,
∵AB+AC+BC=2b
∴S△ABC=×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD=(AB+AC+BC) a=ab,④正确.
故选:C.
【名师指路】
本题主要考查了三角形内角和定理,三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形外角的性质,三角形全等的性质和判定,正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO,得到∠BOH=∠BOE=60°,是解决问题的关键.
6.如图,在中, ,动点从点出发,沿射线以的速度移动,设运动的时间为秒,当为等腰三角形时,的值不可能为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. B. C. D.
【标准答案】C
【思路指引】
根据为等腰三角形,分三种情况进行讨论,分别求出BP的长度,从而求出t值即可.
【详解详析】
在中,,
,
①如图,当时,;
( http: / / www.21cnjy.com / )
②如图,当时,
∵,
∴,;
( http: / / www.21cnjy.com / )
③如图,当时,设,则,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵在中,,
∴,
解得:,
∴,
综上所述,当为等腰三角形时,或或.
故选:C.
【名师指路】
本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质,注意分类讨论.
7.乐乐发现等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形底角的度数为( )
A.50° B.65° C.65°或25° D.50°或40°
【标准答案】C
【思路指引】
在等腰△ABC中,AB= A ( http: / / www.21cnjy.com )C,BD为腰AC上的高,∠ABD=40°,讨论:当BD在ABC内部时,如图1,先计算出∠BAD=50°,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB;当BD在△ABC外部时,如图2,先计算出∠BAD=50°,再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB.
【详解详析】
在等腰△ABC中,AB= AC,BD为腰AC上的高,∠ABD=40°,
当BD在△ABC内部时,如图1,
∵BD是高,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90°-40°=50°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-50°)=65°;
当BD在△ABC外部时,如图2,
∵BD是高,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90°-40°=50°,www-2-1-cnjy-com
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BAD=∠ABC+∠ACB,
∴∠ACB=∠BAD=25°,21*cnjy*com
综上,这个等腰三角形底角的度数为65°或25°.
故选:C.
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题考查等腰三角形的性质,三角形内角和定理,解题中注意讨论思想的运用,这是解此题的关键.
8.如图,AD 为等腰△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )高,其中∠ACB=50°,AC=BC,E,F 分别为线段AD,AC 上的动点,且 AE=CF, 当 BF+CE 取最小值时,∠AFB的度数为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.75° B.90° C.95° D.105°
【标准答案】C
【思路指引】
先构造△CFH全等于△AEC,得 ( http: / / www.21cnjy.com )到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE,当FH+BF最小时,即是BF+CE最小时,此时求出∠AFB的度数即可.
【详解详析】
解:如图,作CH⊥BC,且CH=BC,连接HB,交AC于F,此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC=BC,
∴CH=AC,
∵∠HCB=90°,AD⊥BC,
∴AD//CH,
∵∠ACB=50°,
∴∠ACH=∠CAE=40°,
∴△CFH≌△AEC,
∴FH=CE,
∴FH+BF=CE+BF最小,
此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°.
故选:C.
【名师指路】
本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题,关键是作出辅助线,有一定难度.
二、填空题
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ( http: / / www.21cnjy.com )∠A<∠B,点D为AB边上一点且不与A、B重合,将△ACD沿CD翻折得到△ECD,直线CE与直线AB相交于点F.若∠A=40°,当△DEF为等腰三角形时,∠ACD=__________________.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】30°或15°或60°
【思路指引】
若△DEF为等腰三角形,分EF=DF,ED=EF,DE=EF三种情况,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解.
【详解详析】
解:由翻折的性质可知∠E=∠A=α,∠CDE=∠ADC,
如图1,
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当EF=DF时,则∠EDF=∠E=α,
∵∠EDF=∠CDE-∠CDB,∠CDB=∠A+∠ACD,
∴α=∠ADC-(∠A+∠ACD)
=180°-2(∠A+∠ACD)
=180°-2(α+∠ACD),
∴∠ACD=90°-×40°=30°,
∴当∠ACD=30°时,△DEF为等腰三角形,
当ED=EF时,∠EDF=∠EFD==70°,
∴2∠ADC=180°+∠EDF=250°,
∴∠ADC=125°,
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-∠A-125°=15°,
∵∠DFE=∠A+∠ACF,
∴∠DFE≠∠DEF,
如图2,
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当DE=EF时,∠EDF=∠EFD=∠A=20°;
∴∠ACF=180°-∠A-∠EFD=120°,
∴∠ACD=∠ACF=60°;
综上:当∠ACD=30°或15°或60°时,△DEF为等腰三角形,
故答案为:30°或15°或60°.
【名师指路】
本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理.
10.在中,,,,过点的直线把分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则_____________________.
【标准答案】3或3.6或1
【思路指引】
在Rt△ABC中,通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6,找出所有可能的剪法,利用等腰三角形的性质和勾股定理求出AP即可.
【详解详析】
解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC==5,
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:
如图①所示,AB=AP=3;
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如图②所示,AB=BP=3,且P在AC上时,
作△ABC的高BD,则BD==2.4,
∴AD=DP==1.8,
∴AP=2AD=3.6;
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如图③所示,CB=CP=4,
∴AP=AC-CP=5-4=1;
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综上所述:AP的值为3或3.6或1,
故答案为:3或3.6或1.
【名师指路】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质,找出所有可能的分割法是解题的关键.
11.如图,是边长为5的等边三角形,,.E、F分别在AB、AC上,且,则三角形AEF的周长为______.【来源:21·世纪·教育·网】
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【标准答案】10
【思路指引】
延长AB到N,使BN=CF,连接DN,求出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )FCD=∠EBD=∠NBD=90°,根据SAS证△NBD≌△FCD,推出DN=DF,∠NDB=∠FDC,求出∠EDF=∠EDN,根据SAS证△EDF≌△EDN,推出EF=EN,易得△AEF的周长等于AB+AC.
【详解详析】
解:延长AB到N,使BN=CF,连接DN,
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∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵BD=CD,∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD,
∵在△NBD和△FCD中,
,
∴△NBD≌△FCD(SAS),
∴DN=DF,∠NDB=∠FDC,
∵∠BDC=120°,∠EDF=60°,
∴∠EDB+∠FDC=60°,
∴∠EDB+∠BDN=60°,
即∠EDF=∠EDN,
在△EDN和△EDF中,
,
∴△EDN≌△EDF(SAS),
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF,
即BE+CF=EF.
∵△ABC是边长为5的等边三角形,
∴AB=AC=5,
∵BE+CF=EF,
∴△AEF的周长为:AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10,
故答案为:10.
【名师指路】
本题考查了等边三角形性质和 ( http: / / www.21cnjy.com )判定,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,全等三角形的性质和判定的综合运用.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.21*cnjy*com
12.如图,△ABC中,AB=AC=5,在B ( http: / / www.21cnjy.com )A延长线上取一点D,使AD=7,连结CD,点E为AC边上一点,当∠AEB=∠D时,△BCD的面积是△BCE的面积的6倍,则AE=___,△BCD的面积为 ___.
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【标准答案】3
【思路指引】
过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H,过点C作CG⊥AD于点G,在线段DG上截取GF=GA,连接CF,则CG是AF的垂直平分线,证明△CFD≌△BAE,可得FD=AE,根据△BCD的面积是△BCE的面积的6倍,可得CG=S△BCE,AE=CE,进而可得AE的长;再利用勾股定理求出CG,进而可得△BCD的面积.
【详解详析】
解:如图,过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H,过点C作CG⊥AD于点G,在线段DG上截取GF=GA,连接CF,
( http: / / www.21cnjy.com / )
则CG是AF的垂直平分线,
∴CA=CF,
∴∠CAF=∠CFA,
∴180°﹣∠CAF=180°﹣∠CFA,
∴∠CAB=∠CFD,
∵AB=AC=5,
∴CF=AB=AC=5,
在△CFD和△BAE中,
,
∴△CFD≌△BAE(AAS),
∴FD=AE,
∵AB=5,AD=7,
∴BD=AB+AD=12,
∴S△BCD=BD CG=12CG=6CG,
∵S△BCD=6S△BCE,
∴6CG=6S△BCE,
∴CG=S△BCE,
∵S△ABC=BA CG=5CG=CG,
∴S△ABC=S△BCE,
∴S△ABE=S△ABC﹣S△BCE=S△BCE﹣S△BCE=S△BCE,
∵S△ABE=AE BH,S△BCE=CE BH,
∴AE BH=×CE BH,
∴AE=CE,
∴=,
∴AE=AC=×5=3,
∴FD=AE=3,
∴AF=AD﹣FD=7﹣3=4,
∴AG=FG=AF=2,
∵CG⊥AG,
∴∠AGC=90°,
在Rt△ACG中,∠AGC=90°,AC=5,AG=2,
∴CG=,
∵BD=12,
∴S△BCD=BD CG=12×=.
综上所述:AE=3,△BCD的面积为.
故答案为:;.
【名师指路】
本题属于三角形的综合题,是中考填空题 ( http: / / www.21cnjy.com )的压轴题,考查了全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,三角形面积公式,解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质.
13.等腰中,过点B的直线分为两个等腰三角形,则顶角为_____度.
【标准答案】36°或或90°或108°
【思路指引】
根据题意分四种情况画出图形,结合等腰三角形的性质进行求解.
【详解详析】
解:△ABC中,AB=AC,
若AD=BD,BC=BD,
∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C,
则∠C=∠BDC=2∠A,
∴∠A+∠ABC+∠C=∠A+2∠A+2∠A=180°,
∴∠A=36°;
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若AD=BD,BC=CD,
∴∠A=∠ABD,∠CBD=∠CDB,
则∠CDB=2∠A,
∴∠A+∠ABC+∠C=∠A+∠A+2∠A+3∠A=180°,
∴∠A=;
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若AD=BD,AD=CD,
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD,
∴∠BAC+∠ABC+∠C=180°,
∴∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠BAC=90°;
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若AD=BD,AC=CD,
∴∠B=∠BAD,∠CAD=∠CDA,
则∠CDA=2∠BAD,∠C=180°-2∠CAD=180°-4∠BAD,
∵∠B=∠C,
∴∠BAD=180°-4∠BAD,
∴∠BAD=36°,
∴∠BAC=3∠BAD=108°;
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为:36°或或90°或108°.
【名师指路】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和与外角,解答此题的关键是要正确画出图形,分情况进行讨论.
三、解答题
14.如图,在平面直角坐标系中,已知、分别在坐标轴的正半轴上.
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(1)如图1,若a、b满足,以B为直角顶点,为直角边在第一象限内作等腰直角,则点C的坐标是(________);21·cn·jy·com
(2)如图2,若,点D是的延长线上一点,以D为直角顶点,为直角边在第一象限作等腰直角,连接,求证:;【版权所有:21教育】
(3)如图3,设,的平分线过点,直接写出的值.
【标准答案】(1)点C的坐标是;(2)见解析;(3)
【思路指引】
(1)根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出的值,过点作轴于点,然后证明,进而得出结论;
(2)过点E作轴于点M,根据题意证明,在和中,根据三角形内角和定理可得结论;
(3)作DF⊥y轴于H,DH⊥x轴于H,DK⊥BA交BA的延长线于K,先证明可得BK=BF=b+2,然后证明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK=c+a 2,进一步可得结果.
【详解详析】
解:(1)∵,
∴,
∴,
过点作轴于点,
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∵为等腰直角三角形,
∴,
∴,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
∴点C的坐标是;
(2)证明:过点E作轴于点M,依题意有,
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∵为等腰直角三角形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
又,即,
∴,
∴,
即,又,设与相交于点N,
∴在和中,
,,
∴;
(3)作DF⊥y轴于H,DH⊥x轴于H,DK⊥BA交BA的延长线于K,
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则DF=DH=2,
∵BD平分∠ABO,DF⊥y轴,DK⊥BA,
∴DF=DK=2,
∵,,,
∴,
∴DF=DH=DK,BK=BF=b+2,
在Rt△DAH和Rt△DAK中,
,
∴Rt△DAH≌Rt△DAK(HL)
∴AK=AH=a 2,
∴BK=c+a 2,
∴c+a 2=b+2,
∴a b+c=4.
【名师指路】
本题考查了坐标与图形,等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,偶次方与算数平方根的非负性的性质,根据题意构建出全等三角形是解本题的关键.
15.如图,已知在中,,,,是上的一点,,点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点的运动时间为,连接.
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(1)当秒时,求的长度;
(2)当为等腰三角形时,求的值;
(3)过点作于点,连接,在点的运动过程中,当平分时,直接写出的值.
【标准答案】(1);(2)秒或秒或秒;(3)秒或11秒
【思路指引】
(1)根据题意可求出BP、PC,根据勾股定理求解即可;
(2)分别分AB=AP、BA=BP、PA=PB三种情况求解即可;
(3)分点P在线段BC上和点P ( http: / / www.21cnjy.com )在线段BC的延长线上两种情况,利用角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质证得DE=CD=3,PE=PC,再利用勾股定理求解即可.
【详解详析】
解:(1)当秒时,,
∵,
∴,
在中,,,
由勾股定理得: ,
即;
(2)当为等腰三角形时,可分三种情况:
当时,BP=2BC=32,
∴,则;
当时,∵,
∴由勾股定理得: ,
∴,
解得:;
当时,∵,
由勾股定理得:,
则,
解得:,
综上可知:秒或秒或秒;
(3)如图,当点P在线段BC上时,
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∵AC=8,CD=3,
∴AD=5,
∵PD平分∠APC,DE⊥AP,∠ACB=90°,
∴DE=CD=3,又DP=DP,
∴Rt△PED≌Rt△PCD(HL),
∴PE=PC,
在Rt△AED中,由勾股定理得:AE==4,
在Rt△APC中,由勾股定理得:,
即,
解得:PC=6,
∴BP=16-6=10,
由2t=10得:t=5;
如图,当点P在BC的延长线上时,
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同样方法求得DE=DC=3,PC=PE,AE=4,PC=6,
∴BP=16+6=22,
由2t=22得:t=11,
综上,秒或11秒.
【名师指路】
本题考查勾股定理、等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质,熟练掌握角平分线的性质,利用分类讨论思想解决问题是解答的关键.21教育网
16.在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.
原问题:如图1,已知△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;
(2)如图2,若∠ABC=30°,∠ADB ( http: / / www.21cnjy.com )=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明;【出处:21教育名师】
(3)如图3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明.
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【标准答案】(1)DF=EF;(2)DF=EF,证明见解析;(3)DF=EF,证明见解析
【思路指引】
(1)取AB中点G,连接DG,C ( http: / / www.21cnjy.com )G,根据∠ACB=90°,∠ABC=45°,可得AC=BC,可证GC=BG,根据DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,得出∠DBA=∠DAB=45°,∠CBE=∠BCE=45°,点G为AB中点,利用等腰三角形三线合一性质推得DG=GB,先证△CGB≌△CEB(AAS),得出GB=BE=DG,再证△DGF≌△EBF(AAS)即可;
(2)取AB中点G,连接DG,根据30°直角三角形性质AB=2AC,AG=,再证△ABD与△BCE均为等边三角形,可得AD=AB,BE=BC,∠DAB=∠CBE=60°,可证△DAG≌△BAC(SAS),再证△DGF≌△EBF(AAS)即可;
(3)取CB中点H,连接EH延长交AB于G,连接DG,CG,,根据等腰三角形三线合一性质可得,EH⊥BC,∠BEH=∠CEH=,根据垂直平分线性质可得CG=BG,利用等腰三角形性质∠GCB=∠GBC,推出∠BAC=∠GCA,得出AG=CG=BG,再根据等腰三角形三线合一性质DG⊥AB,∠ADG=∠GDB=,可证∠DGF=∠EBF,再∠BAC=90°-∠ABC=90°-∠GDB=∠DBG=∠BGE,可证△DGB≌△EBG(ASA),得出DG=EB,再证△DGF≌△EBF(AAS)即可.
【详解详析】
证明:(1)DF=EF.
取AB中点G,连接DG,CG,
∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,
∴AC=BC,
∴CG⊥AB,∠GCB=,
∴GC=BG,
∵DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,
∴∠DBA=∠DAB=45°,∠CBE=∠BCE=45°,
∵点G为AB中点,
∴DG⊥AB,∠GDB==∠DBG,
∴DG=GB,
在△CGB和△CEB中,
,
∴△CGB≌△CEB(AAS),
∴GB=BE=DG,
在△DGF和△EBF中,
,
∴△DGF≌△EBF(AAS),
∴DF=EF,
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(2)DF=EF仍成立.
取AB中点G,连接DG,
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴AB=2AC,AG=,∠BAC=90°-∠ABC=90°-30°=60°,
∵DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=60°,
∴△ABD与△BCE均为等边三角形,
∴AD=AB,BE=BC,∠DAB=∠CBE=60°,
在△DAG和△BAC中,
,
∴△DAG≌△BAC(SAS),
∴DG=BC=EB,∠DGA=∠BCA=90°,
∵∠FBE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°,
∴∠DGF=∠EBF,
在△DGF和△EBF中,
,
∴△DGF≌△EBF(AAS),
∴DF=EF;
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(3)DF=EF仍成立.
取CB中点H,连接EH延长交AB于G,连接DG,CG,
∵EB=EC,
∴EH⊥BC,∠BEH=∠CEH=,
∴CG=BG,
∴∠GCB=∠GBC,
∵∠ABC+∠BAC=∠GCB+∠GCA=90°,
∴∠BAC=∠GCA,
∴AG=CG=BG,
∵AD=BD,
∴DG⊥AB,∠ADG=∠GDB=,
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴∠ADG=∠BDG==∠ABC,∠BEH=∠CEH==∠ABC,
∵∠BEH+∠HBE=90°,
∴∠FBE=∠ABC+∠HBE=∠BEH+∠HBE=90°,
∴∠DGF=∠EBF,
∵EH⊥BC,∠ACB=90°,
∴EG∥BC,
∴∠BGH=∠BAC,
∵∠GDB=∠ABC,
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-∠GDB=∠DBG=∠BGE,
在△DGB和△EBG中,
,
∴△DGB≌△EBG(ASA),
∴DG=EB,
在△DGF和△EBF中,
,
∴△DGF≌△EBF(AAS),
∴DF=EF.
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【名师指路】
本题考查等腰直角三角形性质,三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形全等判定与性质,线段垂直平分线性质,30°直角三角形性质,等腰三角形性质,掌握等腰直角三角形性质,三角形全等判定与性质,线段垂直平分线性质,30°直角三角形性质,等腰三角形性质是解题关键.21·世纪*教育网
17.探究:(1)如图(1),已知:在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.请直接写出线段BD,DE,CE之间的数量关系是 .
拓展:(2)如图(2),将探究中的条件改为: ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问探究中的结论是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
应用:(3)如图(3),D ( http: / / www.21cnjy.com )、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,请直接写出△DEF的形状是 .
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【标准答案】探究:(1)DE=BD+CE;拓展:(1)成立,见解析;应用:(3)△DEF是等边三角形
【思路指引】
(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线 ( http: / / www.21cnjy.com )m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;
(2)由∠BDA=∠AEC=∠BAC, ( http: / / www.21cnjy.com )就可以求出∠BAD=∠ACE,进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE,就可以得出BD=AE,DA=CE,即可得出结论;
(3)由等边三角形的性质,可以 ( http: / / www.21cnjy.com )求出∠BAC=120°,就可以得出△BAD≌△ACE,就有BD=AE,进而得出△BDF≌△AEF,得出DF=EF,∠BFD=∠AFE,而得出∠DFE=60°,即可推出△DEF为等边三角形.
【详解详析】
(1)解:如图1,
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∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
故答案为:DE=BD+CE
(2)解:如图2,
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∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,
∴∠DBA=∠CAE,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(3)证明:如图3,
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由(2)可知,△ADB≌△CEA,
∴BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,BF=AF,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
∵在△DBF和△EAF中,
,
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
【名师指路】
本题属于三角形综合题,主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
18.在长方形ABCD中,AB=CD=10,BC=AD=8.
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(1)P为BC上一点,将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置(点B落在点E处).
①如图1,当点E落在边CD上时,直接写出此时DE=_______.
②如图2,PE与CD相交于点F,AE与CD相交于点G,且FC=FE,求BP的长.
(2)如图3,已知点Q为射线BA上的一个动点,将△BCQ沿CQ翻折,点B恰好落在直线DQ上的点B′处,求BQ的长.
【标准答案】(1)6;(2);(3)BQ的长为4或16
【思路指引】
(1)①由翻折的性质和勾股定理求出D ( http: / / www.21cnjy.com )E=6即可;②由翻折得:BP=EP,AE=AB=10,设BP=EP=x,则PC=8 x,再证△GEF≌△PCF(ASA),得GF=PF,GE=PC=8 x,则GC=EP=x,DG=CD GC=10 x,AG=AE GE=x+2,然后在Rt△ADG中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
(2)分两种情况:①点Q在线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )上时,证QD=CD=10,再由勾股定理得DB'=6,则BQ=B'Q=QD DB'=4;②点Q在BA延长线上时,由勾股定理得DB'=6,设BQ=B'Q=x,则DQ=x 6,AQ=x 10,然后在Rt△ADQ中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
【详解详析】
(1)①如图1 由作图得:AE=AB=10,
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在Rt△ADE中,由勾股定理得:DE=,
故答案为:6;
②如图2,由翻折的性质得:BP=EP,AE=AB=10,∠E=∠B=90°,
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∴∠E=∠C,
设BP=EP=x,则PC=8﹣x,
∵∠EFG=∠CFP,FE=FC,
∴△GEF≌△PCF(ASA),
∴GF=PF,GE=PC=8﹣x,
∴GC=EP=x,
∴DG=CD﹣GC=10﹣x,AG=AE﹣GE=10﹣(8﹣x)=x+2,
在Rt△ADG中,由勾股定理得:82+(10﹣x)2=(x+2)2,
解得:x=,
即BP=.
(2)分两种情况:
①点Q在线段AB上时,如图3所示:
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由翻折的性质得:∠CQB=∠CQB',B'C=BC=8,BQ=B'Q,∠CB'Q=∠B=90°,
∴∠CB'D=90°,
∵四边形ABCD是长方形,
∴CDAB,
∴∠DCQ=∠CQB,
∴∠DCQ=∠CQD,
∴QD=CD=10,
∴DB'==6,
∴BQ=B'Q=QD﹣DB'=10﹣6=4;
②点Q在BA延长线上时,如图4所示:
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由翻折的性质得:BQ=B'Q,B'C=BC=8,∠B'=∠B=90°,
∴DB'==6,
设BQ=B'Q=x,则DQ=x﹣6,AQ=x﹣10,
∵∠BAD=90°,
∴∠DAQ=90°,
在Rt△ADQ中,由勾股定理得:82+(x﹣10)2=(x﹣6)2,
解得:x=16,
即BQ=16;
综上所述,BQ的长为4或16.
【名师指路】
本题主要考查了翻折变换的性质、全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识,本题综合性强,熟练掌握全等三角形的判定和性质、翻折变换的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键,属于中考常考题型.
19.新定义:若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形,那么称这个凸四边形为“等腰四边形”,这条对角线称为“界线”.
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(1)如图1,四边形ABCD是“等腰四边形”,BD为“界线”,若∠BAD=120°,∠BCD=150°,则∠ABC=________°;
(2)如图2,四边形ABCD中,AB=AD,BC=AB,∠A=60°,∠D=150°,试说明四边形ABCD是“等腰四边形”;
(3)若在“等腰四边形”AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,且BD为“界线”,请你画出满足条件的图形,并直接写出∠ADC的度数.
【标准答案】(1)45;(2)见解析;(3)画图见解析; =90 或45 或135
【思路指引】
(1)由题意得:再利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解从而可得答案;
(2)如图,连接 先证明是等边三角形,可得 则有 再证明 从而根据新定义可得四边形ABCD是“等腰四边形”;
(3)分三种情况讨论:如图,当可得; 如图,当时,证明为等边三角形,从而可得答案;如图,当 时,过点D作DE⊥AB,过点D作DF⊥CB,交BC延长线于点F, 证明DF=CD.延长至 使 连接 则可得为等边三角形,再结合图形的性质可得答案.
【详解详析】
解:(1)由题意得:
∠BAD=120°,∠BCD=150°,
故答案为:45
(2)如图,连接
( http: / / www.21cnjy.com / )
是等边三角形,
即
所以四边形ABCD是“等腰四边形”.
(3)如图,当
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图,时,
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为等边三角形,
如图,
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过点D作DE⊥AB,过点D作DF⊥CB,交BC延长线于点F,
∵AD=BD,DE⊥AB,
∴BE= AB.
∵DE⊥AB,DF⊥CB,∠ABC=90°,
∴
由平行线间距离处处相等可得:
∴DF=BE= AB.
∵AB=CD,
∴DF=CD.
延长至 使 连接
则
为等边三角形,
综上:=90 或45 或135
【名师指路】
本题考查的是新定义的理解,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的应用,熟悉以上图形的性质是解题的关键.21世纪教育网版权所有
20.如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,且∠ADE=∠B,BD=CE,
(1)求证:AD=ED;
(2)如图2,过点D作DF⊥AC于F,作∠BAC平分线AM分别交DF、DC于G、M,求证:AG=DG;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG并延长交AB于H,若AH=BD,求∠BAC的度数.
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【标准答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【思路指引】
(1)通过证明,即可求解;
(2)根据等腰三角形的性质,求证,即可求解;
(3)连接,通过证明,再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解.
【详解详析】
解:(1)∵,
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
(2)由(1)得,∴
∴
由题意可得:
在和中
∴
∴
∴
(3)连接,如下图:
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵,,
∴
∴
∴平分
∴
又∵,
∴
∴
∴,
∴
∵
∴
∴
由三角形内角和可知:,
即,解得
故答案为
【名师指路】
此题考查了全等三角形的判定与性质, ( http: / / www.21cnjy.com )涉及了等腰三角形的性质,三角形外角的性质和三角形内角和的性质,解题的关键是掌握相关性质,灵活运用有关性质进行求解.www.21-cn-jy.com
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编者学科君小注:
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发,供中等及以上学生使用。
思路设计:重在培优训练,分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题,知识难度层层递进,由中等到压轴,基础差的学生选做每种类型题的前4题;基础中等的学生必做前4题、选做5-8题;尖子生全部题型必做,冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题07 几何思想之三角形的证明压轴题专练(解析版)
错误率:___________易错题号:___________
一、单选题
1.如图,△ABC和△ADE都是等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,连接CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE.下列结论中,正确的结论有( )21教育网
①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形;③∠ADB=∠AEB;④S四边形BCDE=BD CE;⑤BC2+DE2=BE2+CD2.
( http: / / www.21cnjy.com / )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DEAB,DFAC,E、F为垂足,则下列五个结论:①∠DEF=∠DFE;②AE=AF;③AD垂直平分EF;④EF垂直平分AD;⑤△ABD与△ACD的面积相等.其中,正确的个数是( )21·cn·jy·com
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A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图,AO⊥OM,点B为射线OM上的一个动点,分别以OB,AB为直角边,B为直角顶点,在OM两侧作等腰直角△OBF 等腰直角△ABE,连接EF交OM于P点,当点B在射线OM上移动时,PB的长度为( )www.21-cn-jy.com
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A. B.3 C. D.不能确定
4.如图,在等腰△ABC与等腰△ADE中 ( http: / / www.21cnjy.com ),AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,连接BD和CE相交于点P,交AC于点M,交AD与点N.下列结论:①BD=CE;②∠BPE=180 2α;③AP平分∠BPE;④若α=60 ,则PE=AP+PD.其中一定正确的结论的个数是( )21*cnjy*com
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A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论:①∠AOB=90°+∠C;②当∠C=60°时,AF+BE=AB; ③若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是( )21cnjy.com
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A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
6.如图,在中, ,动点从点出发,沿射线以的速度移动,设运动的时间为秒,当为等腰三角形时,的值不可能为( )
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A. B. C. D.
7.乐乐发现等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形底角的度数为( )
A.50° B.65° C.65°或25° D.50°或40°
8.如图,AD 为等腰△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的高,其中∠ACB=50°,AC=BC,E,F 分别为线段AD,AC 上的动点,且 AE=CF, 当 BF+CE 取最小值时,∠AFB的度数为( )【来源:21cnj*y.co*m】
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A.75° B.90° C.95° D.105°
二、填空题
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°,∠A<∠B,点D为AB边上一点且不与A、B重合,将△ACD沿CD翻折得到△ECD,直线CE与直线AB相交于点F.若∠A=40°,当△DEF为等腰三角形时,∠ACD=__________________.【来源:21·世纪·教育·网】
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10.在中,,,,过点的直线把分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则_____________________.【出处:21教育名师】
11.如图,是边长为5的等边三角形,,.E、F分别在AB、AC上,且,则三角形AEF的周长为______.【版权所有:21教育】
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12.如图,△ABC中,AB=A ( http: / / www.21cnjy.com )C=5,在BA延长线上取一点D,使AD=7,连结CD,点E为AC边上一点,当∠AEB=∠D时,△BCD的面积是△BCE的面积的6倍,则AE=___,△BCD的面积为 ___.
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13.等腰中,过点B的直线分为两个等腰三角形,则顶角为_____度.
三、解答题
14.如图,在平面直角坐标系中,已知、分别在坐标轴的正半轴上.
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(1)如图1,若a、b满足,以B为直角顶点,为直角边在第一象限内作等腰直角,则点C的坐标是(________);2-1-c-n-j-y
(2)如图2,若,点D是的延长线上一点,以D为直角顶点,为直角边在第一象限作等腰直角,连接,求证:;21教育名师原创作品
(3)如图3,设,的平分线过点,直接写出的值.
15.如图,已知在中,,,,是上的一点,,点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点的运动时间为,连接.
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(1)当秒时,求的长度;
(2)当为等腰三角形时,求的值;
(3)过点作于点,连接,在点的运动过程中,当平分时,直接写出的值.
16.在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.
原问题:如图1,已知△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;
(2)如图2,若∠ABC=30°,∠ADB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明;2·1·c·n·j·y
(3)如图3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明.21·世纪*教育网
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17.探究:(1)如图(1) ( http: / / www.21cnjy.com ),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.请直接写出线段BD,DE,CE之间的数量关系是 .
拓展:(2)如图(2),将探究中的 ( http: / / www.21cnjy.com )条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问探究中的结论是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.www-2-1-cnjy-com
应用:(3)如图(3),D、E是D、A、E三 ( http: / / www.21cnjy.com )点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,请直接写出△DEF的形状是 .
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18.在长方形ABCD中,AB=CD=10,BC=AD=8.
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(1)P为BC上一点,将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置(点B落在点E处).
①如图1,当点E落在边CD上时,直接写出此时DE=_______.
②如图2,PE与CD相交于点F,AE与CD相交于点G,且FC=FE,求BP的长.
(2)如图3,已知点Q为射线BA上的一个动点,将△BCQ沿CQ翻折,点B恰好落在直线DQ上的点B′处,求BQ的长.21*cnjy*com
19.新定义:若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形,那么称这个凸四边形为“等腰四边形”,这条对角线称为“界线”.
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(1)如图1,四边形ABCD是“等腰四边形”,BD为“界线”,若∠BAD=120°,∠BCD=150°,则∠ABC=________°;
(2)如图2,四边形ABCD中,AB=AD,BC=AB,∠A=60°,∠D=150°,试说明四边形ABCD是“等腰四边形”;
(3)若在“等腰四边形”ABCD中, ( http: / / www.21cnjy.com )AB=BC=CD,∠ABC=90°,且BD为“界线”,请你画出满足条件的图形,并直接写出∠ADC的度数.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,且∠ADE=∠B,BD=CE,
(1)求证:AD=ED;
(2)如图2,过点D作DF⊥AC于F,作∠BAC平分线AM分别交DF、DC于G、M,求证:AG=DG;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG并延长交AB于H,若AH=BD,求∠BAC的度数.
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