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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题05 几何思想之线段的垂直平分线综合应用专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC ( http: / / www.21cnjy.com )，ME平分∠BMC交BC于点E，则下列说法正确的个数有（ ）①△ABC △DCB；②ME垂直平分BC；③△ABM △EBM；④△ABM △DCM．21cnjy.com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．如图，在等腰三角形中，，边上的垂直平分线分别交，于点和点，若，，则的长度为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．2 B．3 C． D．4
4．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
5．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（ ）
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A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
6．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）21教育名师原创作品
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A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
7．下面是教师出示的作图题．
已知：线段，，小明用如图所示的方法作，使，上的高．
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作法：①作射线，以点为圆心、 ※ 为半径画弧，交射线于点；②分别以点，为圆心、 △ 为半径画弧，两弧交于点，；③作直线，交于点；④以点为圆心、 为半径在上方画孤，交直线于点，连接，．21*cnjy*com
对于横线上符号代表的内容，下列说法不正确的是（ ）
A．※代表“线段的长” B．△代表“任意长”
C．△代表“大于的长” D．代表“线段的长”
8．如图，在△ABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（ ）
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A．90° B．92° C．95° D．98°
9．如图，在中，，，平分，交的延长线于F，垂足为E．则下列结论不正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
10．如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在中，，是中点，于，，，则___．
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12．如图，在四边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为______．21·cn·jy·com
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13．如图，在中，点C为直角顶点，，O为斜边的中点，将绕着点O沿逆时针方向旋转至，运动过程中，当恰为轴对称图形时，的度数为______．
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14．如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为______．www-2-1-cnjy-com
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15．如图，在长方形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )点E为边AD上的一点，连接BE，CE．点O为△BEC三边垂直平分线的交点，若AE＝4，DE＝2，∠BEC＝60°，则长方形ABCD的面积为_____．
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16．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号）
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17．如图，在中，、的垂直平分线分别交于、两点，并且相交于点，且，则的度数是______．21世纪教育网版权所有
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18．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是________（填序号）
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①；②；③若，则；④．
三、解答题
19．（了解概念）如图1，已知，为直线同侧的两点，点为直线的一点，连接，，若，则称点为点，关于直线的“等角点”．21*cnjy*com
（理解运用）
（1）如图2，在中，为上一点，且与点关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点，关于直线的“等角点”，并说明理由；
（拓展提升）
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是射线上一点，且点，关于直线的“等角点”为点，请利用尺规在图2中确定点的位置，并求出的度数；
（3）如图3，在中，，的平分线交于点，点到的距离为，直线垂直平分边，点为点，关于直线的“等角点”，连接，，当时，的值为______．
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20．如图1，共顶点的两个三角形△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，△AB′C′，若AB＝AB′，AC＝AC′，且∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△ABC与△AB′C′互为“顶补三角形”．21·世纪*教育网
（1）已知△ABC与△ADE互为“顶补三角形”，AF是△ABC的中线．
①如图2，若△ADE为等边三角形时，直接写出DE与AF的数量关系 ；
②如图3，若△ADE为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
③如图3，若△ADE为任意三角形，且S△ADE＝5，则S△ABC＝ ．
（2）如图4，四边形ABCD中，∠B+∠C＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，在平面内是否存在点P，使△PAD与△PBC互为“顶补三角形”，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
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21．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝＋1，BC＝2＋，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE＝1，DE＝．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为（0°＜＜180°）．如图②，连接CE、BD、CD．【出处：21教育名师】
（1）如图②，求证：CE＝BD；
（2）利用备用图进行探究，在 ( http: / / www.21cnjy.com )旋转的过程中CE所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时，＝ °．（直接写出答案即可）
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22．（1）阅读理解：如图1，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连结CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM＋CN＞MN．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D ( http: / / www.21cnjy.com )是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
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23．数学老师布置了一道作业题：
等边三角形ABC，过点C作直线，点D是线段BC上一点，连接AD，作AD的垂直平分线交直线于点P，在点D运动过程中，探究线段AC，DC，PC之间的数量关系．
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数学小组同学们经过思考，交流了自己的想法：
小聪：利用轴对称知识，以直线为对称轴构造的轴对称图形（图2）．可推得．
小明：D在运动过程中，始终不变．
小慧：通过证明三角形全等，可得到线段AC，DC，PC之间的数量关系．
（1）用等式表示线段AC，DC，PC之间的数量关系是__________．
（2）数学小组同学们解决完老师布置的作业题，进一步思考：若点D在点B左侧（如图3），再探究线段AC，DC，PC之间的数量关系，画图并证明．【版权所有：21教育】
（3）同学们继续思考：若点D在直线BC上运动，请直接写出线段AC，DC，PC之间的数量关系
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24．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）．C（0，c）．a≠0且（a＋b）2＋＝0
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（1）直接写出△ABC的形状 ．
（2）如图1，点D为BC上一点，E为y轴负半轴上一点且∠ACB＝120“，∠ADE＝60°，CD＝2BD，求点E的坐标；
（3）如图2，点P在AB的延长线上， ( http: / / www.21cnjy.com )过P作PM⊥AC交AC的延长线于M点，交CB的延长线于N点，且PM＝BC．试确定线段CM、BN、PN之间的数量关系，并加以证明．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当EF＝BE+CF，求证∠EAF＝∠BAC；
（2）如图2所示，∠EAF＝∠BAC，求证：CF＝BF+2BE．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题05 几何思想之线段的垂直平分线综合应用专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，∠ABC＝∠DC ( http: / / www.21cnjy.com )B，AB＝DC，ME平分∠BMC交BC于点E，则下列说法正确的个数有（ ）①△ABC △DCB；②ME垂直平分BC；③△ABM △EBM；④△ABM △DCM．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
①根据，即可证明△ABC△DCB；②根据①的结论可得，可得即可证明，根据等腰三角形的性质即可证明ME垂直平分BC；③无法证明△ABM△EBM；④根据②可得△ABM△DCM．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：①∵，
∴△ABC△DCB；
故①正确；
②∵△ABC△DCB；
∴
∴
∵ME平分∠BMC交BC于点E，
即ME垂直平分BC；
故②正确
③中所给条件中不存在直角，则无法证明△ABM△EBM；
故③不正确；
④
△ABM△DCM．
故④正确
故正确的有①②④
故选C
【名师指路】
本题考查了三角形全等的性质与判定，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质与判定，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．2-1-c-n-j-y
2．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】D
【思路指引】
根据垂直平分线的画法和性质一一判断即可．
【详解详析】
解：A、由作图可知AD是△ABC的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
B、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA=CD，推不出AD＝BD，本选项不符合题意．
D、由作图可知作的是线段AB的垂直平分线，能推出AD＝BD，，本选项符合题意．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了作图-复杂作图，作垂直平分线和垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
3．如图，在等腰三角形中，，边上的垂直平分线分别交，于点和点，若，，则的长度为（ ）
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A．2 B．3 C． D．4
【标准答案】D
【思路指引】
设∠C=x．利用三角形内角和定理构建方程求出x，解直角三角形求出EC即可解决问题．
【详解详析】
设，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选D．
【名师指路】
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图，在△ABC中，AC=BC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（ ）
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A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形全等的判定定理与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质逐个分析即可．
【详解详析】
∵AC=BC，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD，
∴，则BP=AD，故①正确；
由得∠PBC=∠DAC，则，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠PAF，
，
假设，
在和中，，
，
，
，
，
在中，，
又，
，与相矛盾，
则假设不成立，②错误；
在与中，，
∴，
，
即，故③正确；
由得BF=PF，
则，故⑤正确；
，AD平分∠BAC，
AF为BP的垂直平分线，
OB=OP，
为等腰三角形，
，
，
又AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
，
，
∴，
为等腰直角三角形，且，
即，故④正确；
综上，①③④⑤正确，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了三角形全等的判定定理 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，能够根据所学综合分析图中的全等三角形是解题关键．
5．如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（ ）
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A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
【标准答案】D
【思路指引】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点 ( http: / / www.21cnjy.com )D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解详析】
解：连接AD，MA．
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∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．
故选：D．
【名师指路】
本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．
6．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ）
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A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
【标准答案】B
【思路指引】
证明△BDF≌△ADC，可判断①；求 ( http: / / www.21cnjy.com )出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．
【详解详析】
解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，FD=CD，故①正确，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；
延长CF交AB于H，
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∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正确；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周长等于AB，故④正确，
综上：①③④正确，
故选B．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质与判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜
7．下面是教师出示的作图题．
已知：线段，，小明用如图所示的方法作，使，上的高．
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作法：①作射线，以点为圆心、 ※ 为半径画弧，交射线于点；②分别以点，为圆心、 △ 为半径画弧，两弧交于点，；③作直线，交于点；④以点为圆心、 为半径在上方画孤，交直线于点，连接，．
对于横线上符号代表的内容，下列说法不正确的是（ ）
A．※代表“线段的长” B．△代表“任意长”
C．△代表“大于的长” D．代表“线段的长”
【标准答案】B
【思路指引】
根据线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的三线合一的性质进行解答即可．
【详解详析】
解：正确作法如下：
①作射线，以点为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线于点；②分别以点，为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点，；③作直线，交于点；④以点为圆心、线段的长为半径在上方画孤，交直线于点，连接，．
故选B．
【名师指路】
本题主要考查了线段的垂直平分线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质和等腰三角形的三线合一的性质作图，理解题意并灵活运用线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的三线合一的性质成为解答本题的关键．www.21-cn-jy.com
8．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF．将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（ ）
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A．90° B．92° C．95° D．98°
【标准答案】B
【思路指引】
仔细分析题意，可连接BO，CO，根据角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )性质和中垂线性质不难得到∠OAB=∠OBA；然后结合三角形内角和定理以及等边对等角可得∠ABC的度数；接下来根据全等三角形的判定易得△ABO≌△ACO，进而结合全等三角形的性质可得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO=EC，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出∠OEC的度数．
【详解详析】
解：连接BO，CO，
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∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
9．如图，在中，，，平分，交的延长线于F，垂足为E．则下列结论不正确的是（ ）
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A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
A.根据，可知，再由平分可知，在与中，，，可求出，由可求出，故可求出；
B.由选项Ａ中可直接得出结论；
C.由选项Ａ中可知，，故，，在中，，根据可知，，即可求出，即；
D.由选项Ｃ可知，是等腰三角形，由于，故，在中，若，则，与选项Ｂ中相矛盾，故；
【详解详析】
解：A.，，
，
平分，
，
在与中，，，
，
，，，
，
；
故选项A正确；
B.选项A中，
，
故选项B正确；
C.选项A中，
，，
，
在中，，
，
，
，即，
故C正确；
D.由选项C可知，是等腰三角形，
，
，
在中，若，则，与选项B中相矛盾，
故，
故选项D错误；
故选：D．
【名师指路】
本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键．21*cnjy*com
10．如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
由题意易得OB=OC，则有∠OB ( http: / / www.21cnjy.com )D=∠OCD，∠APO=∠OCP，进而根据角的关系可证①，然后可得∠PBO=∠PBA+∠APO，由三角形内角和可得∠OPB=60°，可判断②，在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，由此可得AP=PE=AE，∠APE=60°，进而可证△BPE≌△OPA，然后根据全等三角形的性质可判断③，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断④．
【详解详析】
解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：
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∵∠PAE=60°，
∴△PAE是等边三角形，
∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，
∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，
∴△BPE≌△OPA（SAS），
∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，
∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，
∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，
如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在中，，是中点，于，，，则___．
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【标准答案】3
【思路指引】
延长DE到H，使DH=DE，连接FH；先证，得AH=BE，∠B=∠DAH，进而得到∠FAH=90°，然后运用勾股定理求出FH，最后运用线段垂直平分线上的性质解答即可．21cnjy.com
【详解详析】
解：如图：延长到，使，连接
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
，，
．
故答案为3．
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理、线段垂直平分线的性质等知识点，正确作出辅助线、构造出全等三角形和直角三角形是解答本题的关键．【版权所有：21教育】
12．如图，在四边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为______．21教育名师原创作品
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【标准答案】
【思路指引】
延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、，此时周长最小，推出，进而得出的度数．
【详解详析】
解：延长到使得，延长到使得，连接与、分别交于点、．
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，
、关于对称，、关于对称，
，，
，同理：，
，，、M、N、在同一直线上时△AMN的周长最小，
，，
，
，
，
．
，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
13．如图，在中，点C为直角顶点，，O为斜边的中点，将绕着点O沿逆时针方向旋转至，运动过程中，当恰为轴对称图形时，的度数为______．
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【标准答案】52°或76°或64°
【思路指引】
如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=26°，于是得到θ=2×26°=52°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×38°=76°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=64°．
【详解详析】
解：∵△BCP恰为轴对称图形，
∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，
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∵O为斜边中点，OP=OA，
∴BO=OP=OA，
∴∠APB=90°，
当BC=BP时，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，
∴∠ACP=∠APC，
∴AC=AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP=∠ABC=26°，
∴θ=2×26°=52°，
当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，
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∵BC=CP，BO=PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB=90°，
∵OB=OC，
∴∠BCH=∠ABC=26°，
∴∠CBH=64°，
∴∠OBH=38°，
∴θ=2×38°=76°；
当PB=PC时，如图3，
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连接PO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB=90°，O为斜边中点，
∴OB=OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO=90°，
∵∠ABC=26°，
∴θ=∠BOG=64°，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为52°或76°或64°，
故答案为：52°或76°或64°．
【名师指路】
本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．www-2-1-cnjy-com
14．如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为______．
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【标准答案】
【思路指引】
延长BD到F，使得DF＝BD，从而得B ( http: / / www.21cnjy.com )C＝CF，过点C作CH∥AB，交BF于点H，根据等腰三角形的性质与判定，可得EH＝CE，从而得AC＝BH，再证明CH=HF，结合勾股定理即可求出答案．
【详解详析】
解：延长BD到F，使得DF＝BD，
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∵CD⊥BF，
∴CD垂直平分BF，
∴BC＝CF，∠F=∠CBE，
过点C作CH∥AB，交BF于点H，
∵CH∥AB，
∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，
∵EA＝EB，
∴∠ABE=∠BAE，
∴∠CHE＝∠ECH，
∴EH＝CE，
∴AC＝BH，
∵，
∴∠CHE＝∠ECH=2∠CBE，
∴∠CHE=2∠F，
∴∠F=∠HCF，
∴HC=HF，
∵，，
∴DH＝BH BD＝AC BD＝2.5，
∴HF＝HC＝9 2.5＝6.5，
∴在Rt△CDH，CD＝，
∴在Rt△BCD中，BC＝，
故答案是：．
【名师指路】
本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，添加辅助线构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键，本题属于中等题型．
15．如图，在长方形ABCD中，点 ( http: / / www.21cnjy.com )E为边AD上的一点，连接BE，CE．点O为△BEC三边垂直平分线的交点，若AE＝4，DE＝2，∠BEC＝60°，则长方形ABCD的面积为_____．
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【标准答案】
【思路指引】
过O作OF⊥BC，交BC于F，并反向延长交AD于G，根据等腰三角形的性质求出∠BOC＝120°，再根据矩形性质求出BF＝3，OF＝，求出OB＝OF＝2，GE＝1，在Rt△OEG中，由勾股定理求出OG，从而求出GF，再根据矩形面积公式求出矩形面积．
【详解详析】
解：过O作OF⊥BC，交BC于F，并反向延长交AD于G，
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∵点O为△BEC三边垂直平分线的交点，
∴OB＝OE＝OC，
，，
，
，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴BF＝CF＝BC＝AD＝（AE+ED）＝（4+2）＝3，
设，则，
，
即，
∴，
即OF＝，
则OB＝OE＝2，
∵GE＝GD﹣ED＝3﹣2＝1，
则OG＝＝＝，
∴GF＝GO+OF＝，
则长方形ABCD的面积为：6×（）＝6（）．
故答案为：6（）．
【名师指路】
本题考查了，勾股定理，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是 ___．（只填写序号）
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【标准答案】①②③④⑤
【思路指引】
①根据，，即可得解；
②先证明是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可得结论；
③根据“边角边”即可证明；
④根据可得，再结合进而可以判断；
⑤由结合④即可得结论．
【详解详析】
解：①∵，
，
，
，故①正确；
②是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
又平分，
是的垂直平分线，
，故②正确；
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③，，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
，故③正确；
④，
，
∵；
；故④正确；
⑤，
，故⑤正确．
综上所述①②③④⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
【名师指路】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
17．如图，在中，、的垂直平分线分别交于、两点，并且相交于点，且，则的度数是______．21教育网
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【标准答案】
【思路指引】
根据四边形内角和为求出，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，结合图形计算，得到答案．
【详解详析】
解：、的垂直平分线相交于点，，
，
，
、的垂直平分线分别交于、两点，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．21·世纪*教育网
18．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是________（填序号）
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①；②；③若，则；④．
【标准答案】②③④
【思路指引】
通过延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质依次分析，可得出正确的结论是②③④．21*cnjy*com
【详解详析】
解：如图，延长EB至E＇，使BE=BE＇，连接；
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EE＇，
∴AE=AE＇,
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠1=，
∴∠E＇AE=2∠1=∠CAD，
∴∠E＇AC=∠EAD,
又∵AD=AC，
∴，
∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确），
∴∠3=∠4；
当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，
当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此时，∠AME≠90°，
∴①不正确；
若CD∥AB，
则∠7=∠BAC，
∵AD=AC，
∴∠7=∠ADC，
∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，
∴，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC=90°，
即∠E＇AC=90°，
由，
∴∠EAD=∠CAE＇=90°，E＇C=DE，
∴AE⊥AD（即③正确），DE=E＇B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）；
故答案为：②③④．
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【名师指路】
本题综合考查了线段的垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等内容；要求学生能够根据已知条件通过作辅助线构造出全等三角形以及能正确运用全等三角形的性质得到角或线段之间的关系，能进行不同的边或角之间的转换，考查了学生的综合分析和数形结合的能力．
三、解答题
19．（了解概念）如图1，已知，为直线同侧的两点，点为直线的一点，连接，，若，则称点为点，关于直线的“等角点”．
（理解运用）
（1）如图2，在中，为上一点，且与点关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点，关于直线的“等角点”，并说明理由；
（拓展提升）
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是射线上一点，且点，关于直线的“等角点”为点，请利用尺规在图2中确定点的位置，并求出的度数；
（3）如图3，在中，，的平分线交于点，点到的距离为，直线垂直平分边，点为点，关于直线的“等角点”，连接，，当时，的值为______．
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【标准答案】（1）是，理由见解析；（2）图见解析，；（3）2．
【思路指引】
（1）先根据对称性、线段垂直平分线的性质可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据“等角点”的定义即可得出结论；
（2）先作点关于直线的对称点，再连接，并延长交于点即为所求；先根据等腰三角形的性质可得，再根据“等角点”的定义可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得；
（3）连接，延长交于点，过点作于点，先根据垂直平分线的性质、“等角点”的定义证出点共线，再根据三角形角平分线的性质可得平分，然后利用直角三角形的性质求解即可得．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：（1）是，理由如下：
点与点关于直线对称，
垂直平分，
．
，
，
点为点，关于直线的“等角点”；
（2）先作点关于直线的对称点，再连接，并延长交于点即为所求，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
点，关于直线，的“等角点”分别为点和点，
，
，
；
（3）如图，设直线分别交于点，连接，延长交于点，过点作于点，则，
( http: / / www.21cnjy.com / )
的平分线交于点，
平分，
，
，
在中，，
点为点关于直线的“等角点”，
，
，
，
直线垂直平分，
，
，
又点与点都在上，且都在点的右侧，
点与点重合，
点共线，
，
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、三角形角平分线的性质等知识点，较难的是题（3），利用“等角点”的定义证出点共线是解题关键．
20．如图1，共顶点的两个三角形△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC，△AB′C′，若AB＝AB′，AC＝AC′，且∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△ABC与△AB′C′互为“顶补三角形”．21世纪教育网版权所有
（1）已知△ABC与△ADE互为“顶补三角形”，AF是△ABC的中线．
①如图2，若△ADE为等边三角形时，直接写出DE与AF的数量关系 ；
②如图3，若△ADE为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
③如图3，若△ADE为任意三角形，且S△ADE＝5，则S△ABC＝ ．
（2）如图4，四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠B+∠C＝90°，在平面内是否存在点P，使△PAD与△PBC互为“顶补三角形”，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．
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【标准答案】（1）①DE＝2AF；②结论仍然成立，理由见解析；③5（2）存在，理由见解析
【思路指引】
（1）①由等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )可得AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，由互为“顶补三角形”定义可得AB＝AD＝AE＝AC＝DE，∠BAC＝120°，由等腰三角形和直角三角形的性质可求AB＝DE＝2AF；
②延长AF到G，使AF＝FG，连接BG，由题意可证△AFC≌△GFB，可得BG＝AC，∠C＝∠1，∠ABG＝180°－∠BAC，由互为“顶补三角形”定义可得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＋∠DAE＝180°，可证△ABG≌△DAE，即DE＝AG＝2AF；
③由②证得△AFC≌△GFB， ( http: / / www.21cnjy.com )△ABG≌△DAE，即可得到S△ABC＝S△ABF+S△AFC＝S△ABF +S△GFB＝S△ABG＝S△ADE；
（2）延长CD交BA延长线于点Q，作CD的垂直平分线EP交AB的垂直平分线于点P，连接CP，DP，AP，BP，由线段垂直平分线的性质可得PC＝PD，PA＝PB，PE⊥CD，PF⊥AB，由等腰三角形的性质可得∠DPE＝∠CPE，∠APF＝∠BPF，可证∠APD＋∠BPC＝180°，即可证△PAD与△PBC互为“顶补三角形”．
【详解详析】
证明：（1）①∵△ADE是 ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，
∵△ABC与△ADE互为“顶补三角形”，
∴AB＝AD＝AE＝AC＝DE，∠BAC＝120°，
∵AB＝AC，AF是中线，∠BAC＝120°
∴AF⊥BC，∠B＝30°
∴AB＝2AF
∴DE＝2AF
故答案为：DE＝2AF
②结论仍然成立，理由如下：
如图，延长AF到G，使AF＝FG，连接BG，
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∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝FC，
∴BG＝AC，AC//BG，
又∵∠AFC＋∠BFG
∴△AFC≌△GFB，
∴BG＝AC，∠C＝∠1，
∠ABG＝∠2+∠1＝∠C+∠2＝180°－∠BAC，
∵△ABC与△ADE互为“顶补三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形”，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＋∠DAE＝180°，
∴AE＝AC＝BG，∠DAE＝∠ABG，且AB＝AD
∴△ABG≌△DAE（SAS）
∴DE＝AG＝2AF
③如图，延长AF到G，使AF＝FG，连接BG，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由②证得△AFC≌△GFB，
∴S△AFC＝S△GFB，
∴S△ABC＝S△ABF+S△AFC＝S△ABF +S△GFB＝S△ABG，
又由②证得：△ABG≌△DAE，
∴S△ADE＝S△ABG＝5，
∴S△ABC＝5，
故答案为：5
（2）存在，理由如下：
如图，延长CD交BA延长线于点Q，作CD的垂直平分线EP交AB的垂直平分线于点P，连接CP，DP，AP，BP，
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∵PE垂直平分CD，PF垂直平分AB，
( http: / / www.21cnjy.com )∴PC＝PD，PA＝PB，PE⊥CD，PF⊥AB，
∴∠DPE＝∠CPE，∠APF＝∠BPF，
∵∠B＋∠C＝90°，
∴∠Q＝90°，且PE⊥CD，PF⊥AB，
∴∠EPF＝90°，
∴∠APD＋∠DPE＋∠APF＝90°
∵∠APD＋∠BPC＝∠APD＋∠EPF＋∠CPE＋∠BPF＝∠APD＋∠DPE＋∠APF＋90°
∴∠APD＋∠BPC＝180°，且PC＝PD，PA＝PB，
∴△PAD与△PBC互为“顶补三角形”，
【名师指路】
考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝＋1，BC＝2＋，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE＝1，DE＝．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为（0°＜＜180°）．如图②，连接CE、BD、CD．2·1·c·n·j·y
（1）如图②，求证：CE＝BD；
（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )CE所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由；
（3）在旋转的过程中，当△BCD的面积最大时，＝ °．（直接写出答案即可）
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【标准答案】（1）证明见解析；（2）能，α=90°；（3）．
【思路指引】
（1）利用“”证得即可得到结论；
（2）若CE所在直线垂直平分BD，则CD=BC，即A、C、D在同一条直线上，此时α=90°，再根据（1）中，推出，可得，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解详析】
（1）证明：如图2中，根据题意：，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）能，若CE所在直线垂直平分BD，则CD=BC，
∵AB＝AC＝＋1，BC＝2＋，AD＝AE＝1，DE＝，
∴
∴AC+AD=CD，即A、C、D在同一条直线上，此时α=90°，
如下图，CE的延长线与BD交于F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
与（1）同理可得，
，
，且，
，
，
，
，
是线段的垂直平分线；
（3）解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，
当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图中：
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，，，于，
，，
，，
的面积的最大值为：，
旋转角．
【名师指路】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22．（1）阅读理解：如图1，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连结CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 ．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM＋CN＞MN．
（3）问题拓展：如图3， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
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【标准答案】（1）SAS；1＜BD＜9；（2）见解析；（3）2BD＝MN，BD⊥MN，见解析
【思路指引】
（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出．即可．
【详解详析】
（1）解：是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
，
，
；
故答案为：；；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：
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同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：，，理由如下：
延长至，使，连接，如图3所示：
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由（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于，
，
，
，
，
．
【名师指路】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等．
23．数学老师布置了一道作业题：
等边三角形ABC，过点C作直线，点D是线段BC上一点，连接AD，作AD的垂直平分线交直线于点P，在点D运动过程中，探究线段AC，DC，PC之间的数量关系．
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数学小组同学们经过思考，交流了自己的想法：
小聪：利用轴对称知识，以直线为对称轴构造的轴对称图形（图2）．可推得．
小明：D在运动过程中，始终不变．
小慧：通过证明三角形全等，可得到线段AC，DC，PC之间的数量关系．
（1）用等式表示线段AC，DC，PC之间的数量关系是__________．
（2）数学小组同学们解决完老师布置的作业题，进一步思考：若点D在点B左侧（如图3），再探究线段AC，DC，PC之间的数量关系，画图并证明．
（3）同学们继续思考：若点D在直线BC上运动，请直接写出线段AC，DC，PC之间的数量关系
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【标准答案】（1）；（2）；（3）
【思路指引】
（1）以直线为对称轴构造的轴对称图形，设交于点，证明是等边三角形，进而证明，可得，根据等边三角形的性质可得，进而可得；
（2）以直线为对称轴构造的轴对称图形，同理可得，是等边三角形，进而证明，可得，根据等边三角形的性质可得，；
（3）当在点右侧时，以直线为对称轴构造的轴对称图形，设，进而证明，即可证明，进而可得
【详解详析】
解：（1）如图，以直线为对称轴构造的轴对称图形，设交于点，
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是等边三角形
,
，
三点共线
与关于对称,
，
是的垂直平分线上的一点
又
是等边三角形
在与中，
即
故答案为：
（2）如图，以直线为对称轴构造的轴对称图形，
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由（1）可得在同一直线上，
是等边三角形
在与中
（3）如图，当在点右侧时，以直线为对称轴构造的轴对称图形，
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由（1）可得在同一直线上
，，
设，
又
是等边三角形
，
即
在与中
即
【名师指路】
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．【出处：21教育名师】
24．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）．C（0，c）．a≠0且（a＋b）2＋＝0
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（1）直接写出△ABC的形状 ．
（2）如图1，点D为BC上一点，E为y轴负半轴上一点且∠ACB＝120“，∠ADE＝60°，CD＝2BD，求点E的坐标；
（3）如图2，点P在AB的延长线上 ( http: / / www.21cnjy.com )，过P作PM⊥AC交AC的延长线于M点，交CB的延长线于N点，且PM＝BC．试确定线段CM、BN、PN之间的数量关系，并加以证明．
【标准答案】（1）等腰三角形；（2）；（3），理由见解析
【思路指引】
（1）由非负数的性质可得： 再结合线段的长度证OA=OB，再由线段垂直平分线的性质得AC=BC即可；
（2）在CE上取点F，使CF=CD，连接DF，记的交点为证△CDF是等边三角形，得∠CFD=60°，CD=FD，再证△ACD≌△EFD（AAS），得AC=EF，然后由含30°角的直角三角形的性质得BC=AC=2OC=8，则EF=AC=8，求出CE=EF+CF=，则OE=，即可求解；
（3）过A作AQ⊥AM交 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴于Q，过Q作QT⊥MN交MN的延长线于T，连接BQ、NQ，证△AMP≌△QAC（AAS），得AM=QA，证明 AM=TM=TQ=AQ=BQ，然后证Rt△QBN≌Rt△QTN（HL），得BN=TN，即可解决问题．21·cn·jy·com
【详解详析】
解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵A（a，0），B（b，0），
∴OA=-a，OB=b，
∵a≠0且，
∴a+b=0，c-4=0，
∴b=-a，c=4，
∴OA=OB，
又∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2）在CE上取点F，使CF=CD，连接DF，记的交点为 如图1所示：
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∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CFD=60°，CD=FD，
∴∠EFD=120°，
∵∠ACO=∠ADE=60°，
∴∠CAD=∠CED，
又∵∠ACD=∠EFD=120°，
∴△ACD≌△EFD（AAS），
∴AC=EF， 由（1）得：c=4， ∴OC=4，
∵∠AOC=90°，∠ACO=60°， ∴∠OAC=30°，
∴BC=AC=2OC=8，EF=AC=8，
∵CD=2BD， ∴BD=，CF=CD= ，
∴CE=EF+CF=8+= ，
∴OE=CE-OC= ，
∴E（0，）；
（3）CM=BN+PN，证明如下：
过A作AQ⊥AM交y轴于Q，过Q作QT⊥MN交MN的延长线于T，连接BQ、NQ，
如图2所示：
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则∠QAC=90°，
∴∠ACQ+∠CQA=90°，
∵∠AOC=90°， ∴∠PAM+∠ACQ=90°，
∴∠PAM=∠CQA，
∵PM⊥AC， ∴∠M=90°=∠QAC，
由（1）得：OA=OB，AC=BC，
∵PM=BC， ∴PM=AC，
∴△AMP≌△QAC（AAS），
∴AM=QA，
∵QT⊥MN，
∴∠QTM=90°=∠QAC=∠M，
∴
由平行线间距离处处相等，
∵AC=BC，CQ⊥AB，
∴△ACQ和△BCQ关于y轴对称，
∴∠QBC=∠QAC=90°，
∴∠QBN=90°，
∵QN=QN，
∴Rt△QBN≌Rt△QTN（HL），
∴BN=TN，
∴BN+PN=TN+PN=PT，
∵AC=BC，PM=BC，
∴AC=PM， ∴CM=PT，
∴CM=BN+PN．
【名师指路】
本题是三角形综合题目，考查了全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、偶次方和算术平方根的非负性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质和正方形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当EF＝BE+CF，求证∠EAF＝∠BAC；
（2）如图2所示，∠EAF＝∠BAC，求证：CF＝BF+2BE．
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析
【思路指引】
（1）在EF上截取EH=BE，由“SSS”可证△ACF≌△AHF，可得∠CAF=∠HAF，可得结论；
（2）在BE的延长线上截取EN=BE，连接AN，由“SAS”可证△ACF≌△ANF，可得CF=NF，可得结论．
【详解详析】
解：（1）如图，在EF上截取EH=BE，连接AH，
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∵EB=EH，AE⊥BF，
∴AB=AH，
∵AB=AH，AE⊥BH，
∴∠BAE=∠EAH，
∵AB=AC，
∴AC=AH，
∵EF=EH+HF=BE+CF，
∴CF=HF，
在△ACF和△AHF中，
，
∴△ACF≌△AHF（SSS），
∴∠CAF=∠HAF，
∴∠BAE+∠CAF=∠EAH+∠FAH=∠EAF，
即∠EAF=∠BAC；
（2）如图，在BE的延长线上截取EN=BE，连接AN，
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∵AE⊥BF，BE=EN，AB=AC，
∴AN=AB=AC，
∵AN=AB，AE⊥BN，
∴∠BAE=∠NAE，
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠NAE=（∠BAC+2∠NAE）
∴∠FAN=∠CAN，
∴∠FAN=∠CAF，
在△ACF和△ANF中，
，
∴△ACF≌△ANF（SAS），
∴CF=NF，
∴CF=BF+2BE．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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