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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题06 几何思想之角平分线综合应用压轴题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，中，，D为外一点，且，与交于E，为的平分线．当时，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，与交于点．某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论：①；②；③；④．上述结论一定正确的是（ ）
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A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④
3．如图在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个．21教育名师原创作品
①；②；③点到各边的距离相等；
④设,，则；⑤的周长等于的和．
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A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
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A． B．
C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠CBA ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）
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A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
7．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（ ）个
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A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在△ABC中，∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
9．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D， ( http: / / www.21cnjy.com )AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
10．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：21教育网
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为_____．（填写结论的编号）
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11．如图，已知，、分别平分和且度，则______度．
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12．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，CD交AB于点F，若AE＝ ，AD＝2，则△ACF的面积为_____．【来源：21cnj*y.co*m】
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13．如图，在中，，、分别为和的角平分线，的周长为20，，则的长为________________．
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14．如图，和分别是等边三角形，，下列结论中（1），（2），（3），（4）平分，（5）平分．正确的有______（填序号）．
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15．已知：△ABC是三边都不相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
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16．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝___．
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17．如图，中，，的角平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于点，于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的结论的序号是__________．21*cnjy*com
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三、解答题
18．如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于点D，连接OB，OC．
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（1）可以判断AOD的形状为 三角形（直接写答案）；
（2）若OE平分∠AOB且∠B＝2∠BAO，证明：AO＝BE+OB；
（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，AO⊥BO，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标．21cnjy.com
19．如图，在Rt△ABC中，∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．21·cn·jy·com
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．【来源：21·世纪·教育·网】
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．
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20．如图，已知点B（-2，0 ( http: / / www.21cnjy.com )），C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．21·世纪*教育网
（1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）求证：DA平分∠CDM；
（3）若在D点运动的过程中，始终 ( http: / / www.21cnjy.com )有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？2-1-c-n-j-y
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21．已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．
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（1）如图2，若，且，则________，_______．
（2）求证：．
（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．
22．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．www-2-1-cnjy-com
（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；
（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）
（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是 ．
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23．在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若点D为∠BAC的平分线上一点．
（1）当点D在△ABC的外部时，如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE＝CF．21*cnjy*com
①求证：点D在BC的垂直平分线上；
②BE＝ ．
（2）当点D在线段BC上时，如图2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD与点F，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，则【出处：21教育名师】
①∠DFG＝ ；
②若BC＝8，EC＝，则GC＝ ．
（3）如图3，过点A的直线lBC，若∠C＝90°，BC＝8，点D到△ABC三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是 ．【版权所有：21教育】
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21·世纪·教育·网】
专题06 几何思想之角平分线综合应用压轴题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，中，，D为外一点，且，与交于E，为的平分线．当时，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
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A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【标准答案】C
【思路指引】
由题意可证点A，点C，点B，点D ( http: / / www.21cnjy.com )四点共圆，可得∠ADC=∠ABC=45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD=∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE=DG，在BD上截取DH=AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF=∠DAF=30°，AF=HF，由等腰三角形的性质可得BH=AF，可证BD=BH+DH=AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD=∠BED=75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC=CG=2DE+EC．
【详解详析】
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，且∠ACD=15°，
∵∠BCD=30°，
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴点A，点C，点B，点D四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°，故①符合题意，
∠ACD=∠ABD=15°，∠DAB=∠DCB=30°，
∵DF为∠BDA的平分线，
∴∠ADF=∠BDF，
∵∠AFD=∠BDF+∠DBF＞∠ADF，
∴AD≠AF，故②不合题意，
如图，延长CD至G，使DE=DG，在BD上截取DH=AD，连接HF，
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∵DH=AD，∠HDF=∠ADF，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF（SAS），
∴∠DHF=∠DAF=30°，AF=HF，
∵∠DHF=∠HBF+∠HFB=30°，
∴∠HBF=∠BFH=15°，
∴BH=HF，
∴BH=AF，
∴BD=BH+DH=AF+AD，故③符合题意，
∵∠ADC=45°，∠DAB=30°=∠BCD，
∴∠BED=∠ADC+∠DAB=75°，
∵GD=DE，∠BDG=∠BDE=90°，BD=BD，
∴△BDG≌△BDE（SAS），
∴∠BGD=∠BED=75°，
∴∠GBC=180°-∠BCD-∠BGD=75°，
∴∠GBC=∠BGC=75°，
∴BC=CG，
∴BC=CG=2DE+EC，
∴BC-EC=2DE，故④符合题意，
故选：C．
【名师指路】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
2．如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，与交于点．某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论：①；②；③；④．上述结论一定正确的是（ ）
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A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④
【标准答案】C
【思路指引】
根据，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得，判断①正确，然后证明，可以判断①正确，根据全等三角形对应边相等可得，根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC，可以证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而判断④正确，如图，过点G作于K，利用角平分线的性质可证明，根据直角三角形中斜边大于直角边即可证明结论③错误．
【详解详析】
解：
，
∵是边的中点，
故②正确；
，，
在和中，
，
，故①正确；
平分，且，
在和中，
，
，故④正确；
如图，过点G作于K，
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平分，且，
，
∵在中，＞，
＜，故③错误．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．如图在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个．
①；②；③点到各边的距离相等；
④设,，则；⑤的周长等于的和．
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A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形角平分线的性质即可得出结论；④连接AG，由三角形的面积公式即可得出结论；⑤根据BE=EG，GF=CF，进行等量代换可得结论．
【详解详析】
解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故②错误；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G也在∠BAC的平分线上，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；
④连接AG，作GM⊥AB于M，如图所示：
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∵点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，
∴GD=GM=m，
∴S△AEF=AE GM+AF GD=（AE+AF） GD=nm，故④错误．
⑤∵BE=EG，GF=CF，
∴AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，
即△AEF的周长等于AB+AC的和，故⑤正确，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．
4．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③若平分，则，从而得到为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接、，然后证明，从而得到，从而可证明④．
【详解详析】
解：如图所示：连接、．
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①平分，，，
．
①正确．
②，平分，
．
，
．
，，
．
同理：．
．
②正确．
③由题意可知：．
假设平分，则，
又，
．
．
是否等于不知道，
不能判定平分，
故③错误．
④是的垂直平分线，
．
在和中
，
．
．
又，，
．
故④正确．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．21教育网
5．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
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A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解详析】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
故选B．
【名师指路】
本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）
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A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
【标准答案】C
【思路指引】
①设∠GCD＝x，∠DAC＝y，则： ，故．
②根据三线合一，延长GD与AC相交于点P，则CG＝CP，AP＝AF；
③证△ACD与△AED全等即可，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
④在DF上截取DM＝CD，证即可．
【详解详析】
解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴，故①正确；
延长GD与AC相交于点P，
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∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴（SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（ ）个
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A．2 B．3 C．4 D．5
【标准答案】B
【思路指引】
①正确．利用三角形内角和定理以 ( http: / / www.21cnjy.com )及角平分线的定义即可解决问题．②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．
【详解详析】
解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，
BP=BP，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，
∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∴S△APH=S△AED，故⑤正确，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④不正确．
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH∥BE，
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误，
故选B．
【名师指路】
本题考查了角平分线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21·cn·jy·com
8．如图，在△ABC中，∠BAC和∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB=90°+∠C；②当∠C=60°时，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，则S△ABC=ab．其中正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【标准答案】B
【思路指引】
由角平分线的定义结合三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【详解详析】
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180° ∠OBA ∠OAB＝180° ∠CBA ∠CAB
＝180° （180° ∠C）＝90°＋∠C，①错误；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC＋∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180° 60° 60°＝60°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC） a＝ab，③正确．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外 ( http: / / www.21cnjy.com )角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
9．如图，△ABC中，AD⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com )交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．
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A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】D
【思路指引】
如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE=90°-∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC=AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB．
【详解详析】
解：如图，AE交GF于M，
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①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE=∠AMF=90°，
∵∠AED=∠MEF，
∴∠DAE=∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC=∠BAC，
∠DAE=90°-∠AED
=90°-（∠ACE+∠EAC）
=90°-（∠ACE+∠BAC）
=（180°-2∠ACE-∠BAC）
=（∠ABD-∠ACE），
∴2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；故③正确，
④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°，
∴∠AGH=∠MEF，
∵∠MEF=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
10．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为_____．（填写结论的编号）
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【标准答案】①②③
【思路指引】
①过点P做PD⊥AC，因为AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明即可得出结论；
②根据BP和CP都是角平分线，即可得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN）=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠ACN，根据外角定理，可以得到∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，即可得到结论；
③由①可得，，故∠APC=∠MPN，因为∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°-∠ABC，代入得∠APC＝90°﹣∠ABC，即可得出结论；
④由①可得，，故S△APM+S△CPN=S△APC，即可得出结论．
【详解详析】
解：①过点P做PD⊥AC，如图所示：
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∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE
∴PM=PD
∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF
∴PM=PN
∴PD=PN
∵PC=PC
∴
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；
②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180°
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-∠ABC-（180°-∠PCN）
=-∠ABC+∠PCN=-∠ABC+∠CAN
∵外角定理
∴∠BPC=-∠ABC+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC，故②正确；
③由①可得，，且
∴∠APC=∠MPN
∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360°
∴∠MPN=180°-∠ABC
∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
③由①可得，，且
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④错误；
故答案为：①②③．
【名师指路】
本题主要考查了三角形的角平分线以及角度运算，熟练各性质以及严谨的推理是解决本题的关键．
11．如图，已知，、分别平分和且度，则______度．
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【标准答案】60
【思路指引】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根据角平分线的定义可得∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，然后整理得到∠BEC=∠BAC，过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EF=EG=EH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE平分∠CAH，然后列式计算即可得解．
【详解详析】
解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，
∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
∴∠BEC+∠EBC=（∠BAC+∠ABC），
∴∠BEC=∠BAC，
∵∠BEC=30°，
∴∠BAC=60°，
过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，
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∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，
∴EF=EH，EF=EG，
∴EF=EG=EH，
∴AE平分∠CAH，
∴∠EAC=（180°∠BAC）=（180°60°）=60°．
故答案为：60°．
【名师指路】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
12．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，CD交AB于点F，若AE＝ ，AD＝2，则△ACF的面积为_____．
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【标准答案】
【思路指引】
连接BD，作FM⊥ED，FN⊥BD，分别交ED和BD于M、N，可证明△ACE≌△BDC得出∠ADB=90°，BD=，从而求得AB，再根据角平分线的性质和等高的三角形面积之比等于底之比即可求得，从而可求得△ACF的面积．
【详解详析】
解：连接BD，作FM⊥ED，FN⊥BD，分别交ED和BD于M、N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=45°，
∴∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE =∠BCD，
∴△ACE≌△BDC（SAS），
∴∠BDC=∠E=45°，BD=AE= ，
∵AD＝2，
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，
∴，
∵,
∴,，
∵∠BDC=∠ADC=45°，FM⊥ED，FN⊥BD，
∴FM=FN，
∴，
∴，即，
．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定．能正确作出辅助线并理解等高的三角形面积之比等于底之比是解题关键．www.21-cn-jy.com
13．如图，在中，，、分别为和的角平分线，的周长为20，，则的长为________________．
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【标准答案】8
【思路指引】
根据角平分线的定义求出∠CBE=∠ABC，由等角对等边得出BE=CE，得出BE+AE=CE+AE=AC…①；过点D作DF∥BE，由“角角边”证明△ABD≌△AFD，由全等三角形对应边相等可得AB=AF，BD=DF，得出AB+BD=AF+DF=AF+CF=AC…②，由①②可得，BE+AE=AB+BD；即可得出AB的长．
【详解详析】
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠CBE=∠C，
∴BE=CE，
∴BE+AE=CE+AE=AC…①，
过点D作DF//BE交CE于点F,如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠CDF=∠CBE，∠AFD=∠AEB，
∴∠CDF=∠CBE=∠C
∴DF=CF
∵∠AEB=∠C+∠CBE=2∠C，
∴∠AFD=2∠C，
∴∠ABC=∠AFD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD与△AFD中, ，
∴△ABD≌△AFD(AAS)，
∴AB=AF，BD=DF，
∴DF=BD=CF
∴AB+BD=AF+DF=AF+CF=AC…②，
由①②可得，BE+AE=AB+BD；
∵△ABE的周长为20，BD=4，
∴AB+BE+AE=AB+BD+AB=20，
∴AB=8；
故答案为：8.
【名师指路】
本题综合等腰三角形与全等三角形结合，难度比较大，灵活运用角平分线作辅助线是解题的关键.
14．如图，和分别是等边三角形，，下列结论中（1），（2），（3），（4）平分，（5）平分．正确的有______（填序号）．
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【标准答案】（1）（2）（4）
【思路指引】
根据等边三角形的性质推出AD=AB，A ( http: / / www.21cnjy.com )E=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可，根据以上推出的结论即可得出答案．
【详解详析】
解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°-∠ODB-∠DBA-∠ABE
=180°-∠ODB-60°-∠ADC
=120°-（∠ODB+∠ADC）
=120°-60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；
如图，过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S△ABE=S△ADC，
∴，
∴AM=AN，
∴点A在∠DOE的平分线上，
即OA平分∠DOE，故④正确，⑤错误；
故答案为：（1）（2）（4）．
【名师指路】
本题考查了等边三角形性质和判定，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2-1-c-n-j-y
15．已知：△ABC是三边都不相等 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
【详解详析】
解：平分，平分，
，，
，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
，，，
，，
，
，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
16．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据平分，平分，可得，，再根据外角的性质可得，，化简得；过作于点，于点，延长线于点，易得，可得平分，即有，根据，可得，，则有，再根据求解即可．
【详解详析】
解：∵平分，平分，
∴，，
又∵，，
∴
∴
∴
如图示，过作于点，于点，延长线于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵平分，平分，
∴，，
即
∴平分，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案是：．
【名师指路】
本题主要考查了角平分线的判定与性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
17．如图，中，，的角平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于点，于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的结论的序号是__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①②④
【思路指引】
①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD＝∠FAD＝30°，故此可知ED＝AD，DF＝DF，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM＝90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．
【详解详析】
解：如图所示：连接BD、DC．
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①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．
∴①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝AD．
同理：DF＝AD．
∴DE＋DF＝AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠ADF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝90°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠ADF．
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE＝FC．
∴AB＋AC＝AE BE＋AF＋FC
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB＋AC＝2AE．
故④正确．
故答案为：①②④．
【名师指路】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
18．如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于点D，连接OB，OC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）可以判断AOD的形状为 三角形（直接写答案）；
（2）若OE平分∠AOB且∠B＝2∠BAO，证明：AO＝BE+OB；
（3）如图2，若点B，C关于y轴对称，AO⊥BO，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标．21*cnjy*com
【标准答案】（1）等腰；（2）见解析；（3）
【思路指引】
（1）利用已知条件可证明，结合角平分线的定义可得，即可求证；
（2）延长到，使,连接，通过证明，即可求解；
（3）连接交轴于，作轴于，通过证明，得到，，从而得出结论．
【详解详析】
解：（1）∵AO平分∠BAC，
∴，
∵AC∥y轴，
∴，
∴，
∴，
∴AOD为等腰三角形，
故答案为：等腰；
（2）∵轴，
∴,
∵AO平分∠BAC，
∴，
∴，
∵，
延长到，使,连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，,
∵,
∴，
∵，
∴，
∴,
∵OE平分∠AOB，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）连接交轴于，作轴于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点B，C关于y轴对称，
∴轴，轴，，，
∴
又∵
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴，
又∵
∴平分
又∵平分
∴平分
∴
又∵
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴
【名师指路】
此题考查了几何图形与坐标的综合应用，涉及了轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，根据题意构造出合适的全等三角形．21世纪教育网版权所有
19．如图，在Rt△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）当t= 时，AP平分△ABC的面积．
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
（3）若点Q是边AB上一点，且QP⊥BC，垂足为P，请用无刻度的直尺和圆规，作出点P、点Q，使得QA=QP．【出处：21教育名师】
（4）若点E、F为BC、AB上的动点，求AE+EF的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）1；（2）当△ABP为等腰三角形时，或或4；（3）图见详解；（4）AE+EF的最小值．
【思路指引】
（1）由题意易得BP=4t，然后可得4t=4，进而问题可求解；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP；②BP=BA；③AB=AP；然后根据等腰三角形的性质可进行求解；
（3）以点A为圆心，适当长为半径 ( http: / / www.21cnjy.com )画弧，交AB、AC于点M、N，然后以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，交于一点，连接点A与这个点并延长，交BC于点P，最后过点P作PQ⊥BC即可；
（4）作点A关于射线BC的对称点G，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，进而问题可求解．
【详解详析】
解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，
∴，
∵AP平分△ABC的面积，
∴点P是边BC的中点，
∵BP=4t，
∴，解得：，
故答案为1；
（2）当△ABP为等腰三角形时，可分：①BP=AP=4t，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∴在Rt△ACP中，由勾股定理可得：，
解得：；
②BP=BA=4t，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，解得：；
③AB=AP=10，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，解得：；
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，或或4；
（3）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）由题意可得如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
作点A关于射线BC的对称点G， ( http: / / www.21cnjy.com )然后过点G作GF⊥AB交BC于点E，垂足为F，由轴对称的性质及垂线段最短可知此时AE+EF的最小值即为GF的长，如图所示：21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
连接BG，
∴，
∴，
∴AE+EF的最小值．
【名师指路】
本题主要考查勾股定理、角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
20．如图，已知点B（-2 ( http: / / www.21cnjy.com )，0），C（2，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限内的一个动点，M在BD的延长线上，CD交AB于点F，且∠ABD=∠ACD．
（1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）求证：DA平分∠CDM；
（3）若在D点运动的过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）∠BAC的度数不变化；理由见详解．
【思路指引】
（1）由三角形的内角和定理，以及对顶角相等，即可得到结论成立；
（2）过点A作AH⊥CD于点H，作A ( http: / / www.21cnjy.com )G⊥BM于点G．运用“AAS”证明△ACH≌△ABG得AH=AG．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
（3）运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【详解详析】
解：（1）由题意，在△ACF和△BDF中，
，
∵∠ABD=∠ACD，∠AFC=∠BFD，
∴∠BDC=∠BAC；
（2）过点A作AH⊥CD于点H，作AG⊥BM于点G，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠AHC=∠AGB=90°，
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACH≌△ABG （AAS）
∴AH=AG．
∴AD平分∠CDM．
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP=BD，连接AP．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．
【名师指路】
此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
21．已知：如图1，在中，是的平分线．E是线段上一点（点E不与点A，点D重合），满足．
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（1）如图2，若，且，则________，_______．
（2）求证：．
（3）如图3，若，请直接写出和的数量关系．
【标准答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）
【思路指引】
（1），且，再结合三角形的外角定理即可求，，且，是的平分线，再结合三角形内角和定理即可求解；21教育名师原创作品
（2）在上截取，连接，可证，故，，从而可得，所以进而可证得：
（3）由，可得，，，又是的平分线，可得，故是的平分线，所以是的平分线，故，又，所以和的数量关系即可求解．
【详解详析】
（1）∵，且，
∴∠EAC=∠ACE=18°，
∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，
又∵是的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=18°，
∵，
∴∠ABE=36°，
∴；
故答案为：36，126
（2）在上截取，连接，
又∵AE=AE，，
∴，
∴，
∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，
∴，
∴
∴；
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（3）∵，
∴，
∵，，∠CAD=∠BAE，
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠ABE=2∠ACE，
∴∠ACD=2∠ACE，
∴CE平分∠ACB，
∴点E到CA、CB的距离相等，
又∵是的平分线，
∴点E到AC、AB的距离相等，
∴点E到BA、BC的距离相等，
∴是的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴，
又∵，
∴，
即．
【名师指路】
本题考查了三角形外角的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握各知识点，准确作出辅助线，熟练运用数形结合的思想．2·1·c·n·j·y
22．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．
（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；
（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）
（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是 ．
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【标准答案】（1）40°；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）由“”可证，可得，由外角的性质可得结论；
（2）由“”可证，可得，，即可求解；
（3）连接，过点作于，于，由全等三角形的性质可得，，由面积法可求，由角平分线的性质可求，即可求解．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：（1），
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）连接，
由（1）可得：，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
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（3）如图3，连接，过点作于，于，
，
，，
，
，
又，，
，
．
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【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．21·世纪*教育网
23．在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若点D为∠BAC的平分线上一点．
（1）当点D在△ABC的外部时，如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE＝CF．21*cnjy*com
①求证：点D在BC的垂直平分线上；
②BE＝ ．
（2）当点D在线段BC上时，如图2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD与点F，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，则
①∠DFG＝ ；
②若BC＝8，EC＝，则GC＝ ．
（3）如图3，过点A的直线lBC，若∠C＝90°，BC＝8，点D到△ABC三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是 ．
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【标准答案】（1）①见解析；②2；（2）①45°；②；（3）2或4或6或12．
【思路指引】
（1）①由AD是∠BAC的平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线，DE⊥AB，DF⊥AC，得出DE=DF，借助Rt△BDE≌Rt△CDF，得到BD=CD，即可证明点D在BC的垂直平分线上；
②通过Rt△ADE≌Rt△ADF证出AE=AF，从而有AB-BE=AC+CF，即可得出2BE=4，即可求出BE的长；
（2）①先利用角平分线的定义求得∠ABF+∠BAF=45°，再利用三角形的外角性质求得∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，即可求解；
②延长FG交AB于H，证明△AFH≌△AFE(ASA)，得到AH=AE，再由△BFG≌△BFH(ASA)，即可求解；
（3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可．
【详解详析】
（1）①证明：连接BD，CD，
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∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(SAS)，
∴BD=CD，
∴点D在BC的垂直平分线上；
②由①知：DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AB-BE=AC+CF，
∴10-BE=6+BE，
∴BE=2；
故答案为：2；
（2）①∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°=45°，即∠ABF+∠BAF=45°，
∴∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，
∵FG⊥BE，即∠BFG=90°，
∴∠DFG=90°-∠DFB=45°；
故答案为：45°；
②延长FG交AB于H，
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∵∠AFH=∠DFG=45°，∠AFE=∠BFD=45°，
∴∠AFH=∠AFE，
∵∠HAF=∠EAF，AF=AF，
∴△AFH≌△AFE(ASA)，
∴AH=AE，
∴AB=10，AC=6，BC=8，EC=，
∴AE=AC-CE=6-，
∴AH=AE，
∴BH=AB-AH，
∵∠CBE=∠ABE，∠BFH=∠BFG，BF=BF，
∴△BFG≌△BFH(ASA)，
∴BH=BG，
∴GC=BC-BG，
故答案为：；
（3）当点D在△ABC内部时，如图：
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∵，
∴，
∴h=2，
点D到直线l的距离是AC-h=6-2=4；
当点D在BC的下方时，如图：
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设点D到三边的距离为x，
由题意得：BE=8-x，AE=AF，
∴10+8-x=6+x，
∴x=6，
点D到直线l的距离是AF=12；
当点D在AC的右边时，如图：
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设点D到三边的距离为y，
同理可得：8+y=10+6-y，
∴x=4，
点D到直线l的距离是6-y=2；
当点D在AB的上方时，如图：
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设点D到三边的距离为z，
同理可得：z-6+z-8=10，
∴z=12，
点D到直线l的距离是z-6=6；
综上，点D到直线l的距离是2或4或6或12．
故答案为：2或4或6或12．
【名师指路】
本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键．
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