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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·世纪*教育网
专题05 几何思想之添加条件使三角形全等易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，，，要使得，需要补充的条件不能是（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件中的（ ）仍不能证明△ABC≌△DEC．
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A．∠DEC＝∠B B．∠ACD＝∠BCE C．CE＝CB D．DE＝AB
3．如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（ ）
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A． B．
C． D．
4．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，则不能添加的一组条件是（ ）21教育网
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A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE C．∠A＝∠D D．AC＝DC
5．如图，在ABC和DEF中，AB=DE，ABDE，点E，C在线段BF上，则添加下列条件仍不能判定ABC DEF的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．BE=CF B．∠A=∠D C．ACDF D．AC=DF
6．如图，直线EF经过AC的中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列不能使△AOE≌△COF的条件为（ ）2-1-c-n-j-y
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A．∠A＝∠C B．AB∥CD C．AE＝CF D．OE＝OF
7．如图，已知∠BAC=∠ABD ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，AD和BC相交于O．在①AC=BD；②BC=AD；③∠C=∠D；④OA=OB．条件中任选一个，可使△ABC ≌△BAD．可选的条件个数为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．1 B．2 C．3. D．4
8．如图，若MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定的是（ ）
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A．AM＝CN B． C．AB＝CD D．∠M＝∠N
9．如图，点P是AB上任意一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( ) 【出处：21教育名师】
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A．BC=BD； B．AC=AD； C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB
10．如图，AB，CD相交于点E， ( http: / / www.21cnjy.com )且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )【版权所有：21教育】
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．如图，线段AB，CD相交于点O，AO=BO，添加一个条件， 能使，所添加的条件的是___________________________．21*cnjy*com
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12．如图，∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，还需要补充一个条件：___．（一个即可）
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13．如图所示，在中，D是的中点，点A、F、D、E在同一直线上．请添加一个条件，使（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______
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14．如图，已知在和中，请你添加一个条件：_________，使(只添一个即可）．
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15．如图，已知，，点、、、在一条直线上，要证，还需添加的条件是：________．（只需添加一个条件）www.21-cn-jy.com
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16．如图，已知，从下列条件中选择一个，则可以证明全等于．①，②，③，④，那么这个条件可以是______（写出所有符合条件的序号）．
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17．如图，已知点C是∠AOB平分线上 ( http: / / www.21cnjy.com )的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：_________．www-2-1-cnjy-com
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18．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且AB＝AC，要依据“AAS”判定ABE≌ACD，则还需要添加的条件是_____．21*cnjy*com
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19．如图，已知EC＝BC，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的条件是________(只需写出一个条件)．
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20．如图，D在上，E在上，且，要说明．
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（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是________________；
（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为___
三、解答题
21．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，添加一个条件后使成立，则添加的条件是 ．并证明．
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22．如图，点B、E、C、F ( http: / / www.21cnjy.com )四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
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23．在数学课上，林老师在黑板上 ( http: / / www.21cnjy.com )画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．21世纪教育网版权所有
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设： ；结论： ．（均填写序号）
证明：
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24．如图，点在同一直线上，且 ．求证：．
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请从，中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是 ．(只需填一个序号即可)；21·cn·jy·com
根据中的选择给出证明．
25．在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．21教育名师原创作品
问题：如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 ，求证：BE＝CD．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
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26．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且．求证：．小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明结论．
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（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使_________，连接．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，，，分别平分，，，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题；21cnjy.com
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．2·1·c·n·j·y
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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【版权所有：21教育】
专题05 几何思想之添加条件使三角形全等易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，，，要使得，需要补充的条件不能是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据全等三角形的判定定理判断解答即可．
【详解详析】
解：A、∵BC∥EF，
∴∠ACB=∠DFE，又∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（ASA），正确，不符合题意；
B、根据全等三角形的判定定理，不能证明△ABC≌△DEF，错误，符合题意；
C、∵BC∥EF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AD=CF，
∴AD+DC=CF+DC，
∴AC=DF，
∵BC=EF，∠ACB=∠DFE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），正确，不符合题意；
D、∵BC∥EF，AB∥DE，
∴∠ACB=∠DFE，∠BAC=∠EDF，又BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），正确，不符合题意，
故选：B．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．
2．如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件中的（ ）仍不能证明△ABC≌△DEC．
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A．∠DEC＝∠B B．∠ACD＝∠BCE C．CE＝CB D．DE＝AB
【标准答案】C
【思路指引】
结合题意，根据全等三角形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解详析】
增加∠DEC＝∠B，得：
∴△DEC≌△ABC，即选项A可以证明；
∵∠ACD＝∠BCE
∴，即
∴
∴△DEC≌△ABC，即选项B可以证明；
增加∠DEC＝∠B，得：
∴不能证明△DEC≌△ABC，即选项C不可以证明；
增加DE＝AB，得：
∴△DEC≌△ABC，即选项D可以证明；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定性质，从而完成求解．
3．如图，已知，添加下列条件，不能判定的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
本题要判定△ABC≌△DCB，已知A ( http: / / www.21cnjy.com )C＝BD，BC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加AB＝CD、∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△DCB，而添加∠ABC＝∠DCB后则不能．21*cnjy*com
【详解详析】
解：A、可利用SSS定理判 ( http: / / www.21cnjy.com )定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、可利用HL定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
故选：C．
【名师指路】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，则不能添加的一组条件是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE C．∠A＝∠D D．AC＝DC
【标准答案】D
【思路指引】
根据全等三角形的判定定理依次分析可得答案．
【详解详析】
解：∵在△ABC与△DEC中，AB＝DE，∠B＝∠E，
若BC＝EC，则可依据SAS证明△ABC≌△DEC，故A选项不符合题意；
若∠ACD＝∠BCE，可得∠ACB=∠DCE，则可依据AAS证明△ABC≌△DEC，故B选项不符合题意；
若∠A＝∠D，则可依据AAS证明△ABC≌△DEC，故C选项不符合题意；
若AC＝DC，则不能证明△ABC≌△DEC，故D选项符合题意；
故选：D．
【名师指路】
此题考查全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，并熟练应用解决问题是解题的关键．
5．如图，在ABC和DEF中，AB=DE，ABDE，点E，C在线段BF上，则添加下列条件仍不能判定ABC DEF的是（ ）
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A．BE=CF B．∠A=∠D C．ACDF D．AC=DF
【标准答案】D
【思路指引】
此题是一道开放性题，实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况．此处可以运用排除法进行分析．
【详解详析】
∵ABDE
∴∠B=∠DEF
A、添加BE=CF，可以推出BC=EF，可用过SAS判定两个三角形全等；
B、添加∠A=∠D，可用过ASA判定两个三角形全等；
C、添加ACDF，可以推出∠ACB=∠DFE，可用过AAS判定两个三角形全等；
D、添加AC=DF，结合已知条件是SSA，SSA不能判定两个三角形全等；．
故选：D．www.21-cn-jy.com
【名师指路】
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两 ( http: / / www.21cnjy.com )个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
6．如图，直线EF经过AC的中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列不能使△AOE≌△COF的条件为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．∠A＝∠C B．AB∥CD C．AE＝CF D．OE＝OF
【标准答案】C
【思路指引】
根据全等三角形的判定逐项判断即可．
【详解详析】
解：∵直线EF经过AC的中点O，
∴OA=OC，
A、∵OA=OC，∠A＝∠C，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，又∵OA=OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），此选项不符合题意；
C、由OA=OC，AE＝CF，∠AOE＝∠COF，不能证明△AOE≌△COF，符合题意；
D、∵OA=OC，∠AOE＝∠COF，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），此选项不符合题意，
故选：C．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定、对顶角相等，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键．
7．如图，已知∠BAC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABD=90°，AD和BC相交于O．在①AC=BD；②BC=AD；③∠C=∠D；④OA=OB．条件中任选一个，可使△ABC ≌△BAD．可选的条件个数为（ ）21·cn·jy·com
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A．1 B．2 C．3. D．4
【标准答案】D
【思路指引】
先得到∠BAC=∠ABD= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，若添加AC=BD，则可根据“SAS”判断△ABC≌△BAD；若添加BC=AD，则可利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD，若添加∠C=∠D，则可利用“AAS”证明△ABC≌△BAD；若添加OA=OB，可先根据“ASA”证明△AOC≌△BOD得∠C=∠D，则可利用“AAS”证明△ABC≌△BAD．21*cnjy*com
【详解详析】
解：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD
故选AC=BD可使△ABC ≌△BAD．
∵∠BAC=∠ABD=90°，
∴△ABC和△BAD均为直角三角形
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD
故选BC=AD可使△ABC ≌△BAD．
在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD
故选∠C=∠D可使△ABC ≌△BAD．
∵OA=OB
∴
∵∠BAC=∠ABD=90°，
∴
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD
∴
在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD
故选OA=OB可使△ABC ≌△BAD．
∴可选的条件个数有4个
故选：D
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”．
8．如图，若MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AM＝CN B． C．AB＝CD D．∠M＝∠N
【标准答案】A
【思路指引】
根据两个三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．
【详解详析】
解：A、根据条件AM=CN，MB=ND ( http: / / www.21cnjy.com )，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故A选项符合题意；
B、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；
C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：A．21教育网
【名师指路】
本题重点考查了三角形全等 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定定理，两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．2-1-c-n-j-y
9．如图，点P是AB上任意一点，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )
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A．BC=BD； B．AC=AD； C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB
【标准答案】B
【详解详析】
根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出：
A、补充BC=BD，先证出 ( http: / / www.21cnjy.com )△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
B、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故错误；
C、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确．
故选B．
点睛：本题考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．
10．如图，AB，CD相交于点E，且A ( http: / / www.21cnjy.com )B=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】D
【思路指引】
延长DA、BC使它们相较于点 ( http: / / www.21cnjy.com )F ，首先根据AAS证明△FAB≌△FCD，然后根据全等三角形的性质即可得到AF=FC，FD=FB，进而得到AD=BC，即可证明△ADE≌△CBE，可判断①、②的正误；根据SAS证明△ADE≌△CBE，即判断③、④的正误；连接BD，根据SSS证明△ADB≌△CBD，根据全等三角形的性质得到∠A=∠C，结合①即可证明⑤．
【详解详析】
延长DA、BC使它们相较于点F
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠DAB=∠DCB，∠AED=∠BEC
∴∠B=∠D
又∵∠F=∠F，AB=CD
∴△FAB≌△FCD
∴AF=FC，FD=FB
∴AD=BC
∴△ADE≌△CBE，即①正确；
同理即可证明②正确；
∵AE=CE，AB=CD
∴DE=BE
又∵∠AED=∠BEC
∴△ADE≌△CBE，③正确；
同理即可证明④正确；
连接BD，
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∵AD=CB，AB=CD，BD=BD
∴△ADB≌△CBD
∴∠DAB=∠BCD
∴△ADE≌△CBE，⑤正确；
故选D．
【名师指路】
本题考查了三角形全等的判定方法，主要包括：S ( http: / / www.21cnjy.com )SS、SAS、AAS、ASA，难点在于添加辅助线来构造三角形全等，关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．
二、填空题
11．如图，线段AB，CD相交于点O，AO=BO，添加一个条件， 能使，所添加的条件的是___________________________．
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【标准答案】或或或
【思路指引】
先根据对顶角相等可得，再根据三角形全等的判定定理即可得．
【详解详析】
由对顶角相等得：，
，
当时，由定理可证，
当时，由定理可证，
当时，由定理可证，
当时，则，由定理可证，
故答案为：或或或．
【名师指路】
本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
12．如图，∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，还需要补充一个条件：___．（一个即可）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】AB=CD（或∠A=∠D或∠ACB=∠DBC）
【思路指引】
根据已知条件：两个三角形已经具备∠ABC=∠DCB及公共边BC，再添加任意一组角，或是AB=CD即可．
【详解详析】
∵∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴当AB=CD时，利用SAS证明△ABC≌△DCB；
当∠A=∠D时，利用AAS证明△ABC≌△DCB；
当∠ACB=∠DBC时，利用ASA证明△ABC≌△DCB，
故答案为：AB=CD（或∠A=∠D或∠ACB=∠DBC）．
【名师指路】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
13．如图所示，在中，D是的中点，点A、F、D、E在同一直线上．请添加一个条件，使（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______
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【标准答案】ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）
【思路指引】
根据三角形全等的判定方法SAS或AAS或ASA定理添加条件，然后证明即可．
【详解详析】
解：∵D是的中点，
∴BD=DC
①若添加ED=FD
在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（SAS）；
②若添加∠E=∠CFD
在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
③若添加∠DBE=∠DCF
在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
故答案为：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
14．如图，已知在和中，请你添加一个条件：_________，使(只添一个即可）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】或或
【思路指引】
要判定△ABC≌△ADC，已知，AC是公共边，具备了一组边和一组角对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△ADC．
【详解详析】
解：添加CB=CD，结合，AC=AC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC；
添加∠BAC=∠DAC，结合，AC=AC，根据ASA，能判定△ABC≌△ADC；
添加∠B=∠D，结合，AC=AC，根据AAS，能判定△ABC≌△ADC；
故添加的条件是或或．
【名师指路】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2·1·c·n·j·y
15．如图，已知，，点、、、在一条直线上，要证，还需添加的条件是：________．（只需添加一个条件）21·世纪*教育网
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【标准答案】或或∥（答案不唯一）．
【思路指引】
要判定，已知，，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加，利用可证全等．（也可添加其它条件）．
【详解详析】
解：增加一个条件：，
∵，，
∴．
或添加或∥利用证明全等（答案不唯一）．
故答案为：或或∥（答案不唯一）．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法并在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取是解题的关键．
16．如图，已知，从下列条件中选择一个，则可以证明全等于．①，②，③，④，那么这个条件可以是______（写出所有符合条件的序号）．
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【标准答案】①或②或③
【思路指引】
根据全等三角形的判定定理即可求解．
【详解详析】
添加①
在和中
∴
∴
即
在和中
添加②
在和中
添加③
在△ABD和△ACE中，
即
在和中，
添加④
条件中只有角相等，没有边相等,所以不能证明全等.
综上所述①或②或③可以证明
故答案为：①或②或③
【名师指路】
此题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．如图，已知点C是∠A ( http: / / www.21cnjy.com )OB平分线上的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：_________．
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【标准答案】①②④
【思路指引】
要得到OP=OP′就要证明两三角形全等，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，于是答案可得．
【详解详析】
解：①OCP=∠OCP′，符合ASA，可得二三角形全等，从而得到 OP=OP′；
②∠OPC=∠OP′C；符合AAS，可得二三角形全等，从而得到 OP=OP′；
④PP′⊥OC，符合ASA，可得二三角形全等，从而得到 OP=OP′；
③ 中给的条件是边边角，全等三角形判定中没有这个定理．
故答案为：①②④．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质；转化为添加条件使三角形全等是正确解答本题的关键．
18．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且AB＝AC，要依据“AAS”判定ABE≌ACD，则还需要添加的条件是_____．
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【标准答案】∠ADC＝∠AEB（答案不唯一）
【思路指引】
添加条件：∠ADC＝∠AEB，再由已知条件AB=AC和公共角∠A可利用ASA定理证明．
【详解详析】
解：添加条件：∠ADC＝∠AEB，
在和中，
，
∴（ASA），
故答案为：∠ADC＝∠AEB．（答案不唯一）
【名师指路】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19．如图，已知EC＝BC，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的条件是________(只需写出一个条件)．
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【标准答案】DC=AC（答案不唯一）
【思路指引】
由∠1＝∠2可得∠ECD=∠BCA，再由EC＝BC，添加DC=AC，利用“SAS”判定两个三角形全等．
【详解详析】
解：添加的条件是DC=AC，理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
即∠ECD=∠BCA，
在△ECD和△BCA中，
，
∴△ECD≌△BCA（SAS）．
故答案为DC=AC．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定定理．熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
20．如图，D在上，E在上，且，要说明．
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（1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是________________；
（2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为___
【标准答案】或
【思路指引】
（1）根据的条件证明即可；
（2）根据的条件证明即可；
【详解详析】
（1）∵，，
∴当时，；
故答案是；
（2）∵，，
∴当时，；
故答案是；
【名师指路】
本题主要考查了探索三角形全等的条件，准确分析证明是解题的关键．
三、解答题
21．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，添加一个条件后使成立，则添加的条件是 ．并证明．21cnjy.com
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【标准答案】∠A＝∠C或DF＝BE或∠D＝∠F，见解析
【思路指引】
根据全等三角形的判定方法可得出答案．
【详解详析】
解：添加的条件是∠A＝∠C．
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（ASA）．
添加的条件是DF＝BE．
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
添加的条件是∠D＝∠F．
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（AAS）．
故答案为：∠A＝∠C或DF＝BE或∠D＝∠F．
【名师指路】
本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五种判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．www-2-1-cnjy-com
22．如图，点B、E、C、F四 ( http: / / www.21cnjy.com )点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
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【标准答案】（1）甲、丙；（2）见详解
【思路指引】
（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可 ( http: / / www.21cnjy.com )得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A=∠D，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC//DF不能证明△ABC≌△DEF；
（2）添加AB=DE，再由条件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．
【详解详析】
（1）解：∵AB//DE，
∴∠B＝∠DEC，
又∵∠A=∠D，
∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）
∴说法正确的是：甲、丙，
故答案为：甲、丙；
（2）选“甲”，理由如下：
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【名师指路】
本题考查三角形全等的判定方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21世纪教育网版权所有
23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．【出处：21教育名师】
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设： ；结论： ．（均填写序号）
证明：
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【标准答案】①②③；④；证明过程见解析；
【思路指引】
根据三个不同的情况进行讨论分析即可；
【详解详析】
情况一：题设①②③，结论④；
∵BF=EC，
∴，
即，
在△ABC和△DEF中，
，
∴，
∴；
情况二：题设①③④，结论③；
在△ABC和△DEF中，
，
∴，
∴，
∴，即；
情况三：题设②③④，结论①；
∵，
∴，
即，
在△ABC和△DEF中，
，
∴，
∴；
故答案为：①②③；④．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．
24．如图，点在同一直线上，且 ．求证：．
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请从，中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是 ．(只需填一个序号即可)；【来源：21cnj*y.co*m】
根据中的选择给出证明．
【标准答案】（1）③（答案不唯一）；见解析．
【思路指引】
（1）从判定全等三角形的定理中选出合适的条件即可；
（2）灵活运用全等三角形的判定定理即可三角形．
【详解详析】
解：（1）③；
故填③；
选③
证明：∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF
在△ABC和△DEF中
AB=DE、BC=EF、AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴．
【名师指路】
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，灵活运用三角形全等的判定定理是解答本题的关键．
25．在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．21教育名师原创作品
问题：如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 ，求证：BE＝CD．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
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【标准答案】①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC），证明过程见解析
【思路指引】
若选择条件①，利用∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；
选择条件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再证明∠ABE＝∠ACD，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD．
【详解详析】
证明：选择条件①的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
选择条件②的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
选择条件③的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC ∠FBC＝∠ACB ∠FCB，
即∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD．
故答案为：①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形的性质．
26．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且．求证：．小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明结论．
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（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使_________，连接．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，，，分别平分，，，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题；
（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
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【标准答案】（1）BD，证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【思路指引】
（1）延长AB至F，使BF＝BD，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )DF，根据三角形的外角性质得到∠ABC＝2∠F，则可利用SAS证明△ADF≌△ADC，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，则可利用SAS证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，则可利用SSS证明△ADG≌△ADC，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【详解详析】
证明：（1）如图1，延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
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则∠BDF＝∠F，
∴∠ABC＝∠BDF＋∠F＝2∠F，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＋BD＝AC，BF＝BD，
∴AF＝AC，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴∠ACB＝∠F ，
∴∠ABC＝2∠ACB．
故答案为：BD．
（2）如图3，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，
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∵AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴∠DAB＝∠DAE，∠DBA＝∠DBC，∠DCA＝∠DCB，
∵AB＋BD＝AC，AE＝AB，
∴DB＝CE，
在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝2∠ECD，
∴∠ABD＝2∠ECD，
∴∠ABC＝2∠ACB．
（3）如图4，延长AB至G，使BG＝BD，连接DG，
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则∠BDG＝∠AGD，
∴∠ABC＝∠BDG＋∠AGD＝2∠AGD，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AGD＝∠ACB，
∵AB＋BD＝AC，BG＝BD，
∴AG＝AC，
∴∠AGC＝∠ACG，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴DG＝DC，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SSS），
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC．
【名师指路】
本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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