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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育名师原创作品
专题06 几何模型之倍长中线模型专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，己知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
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A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
【标准答案】B
【思路指引】
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围．
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，
AD是△ABC中BC边上的中线，
，
在与中，
，
，
，
在中，由三角形三边关系得：
，
，，
，
．
【名师指路】
本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
延长至点E，使，连接，证明，可得，然后运用三角形三边关系可得结果．
【详解详析】
如图，延长至点E，使，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵为的边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题的关键．
3．在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．2·1·c·n·j·y
小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3”．
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半”．
对以上两位同学的说法，你认为（ ）
A．两人都不正确 B．小慧正确，小峰不正确
C．小峰正确，小慧不正确 D．两人都正确
【标准答案】A
【思路指引】
先分别假设这两个说法正确，先根据三角形高和中线的性质即可判断正误．
【详解详析】
解：假设存在这样的三角形，他的三条 ( http: / / www.21cnjy.com )高的比为1：2：3，根据等积法，得到此三角形三边比为6：3：2，这与三角形三边关系相矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在；www-2-1-cnjy-com
假设存在这样的三角形，其一边上的中线 ( http: / / www.21cnjy.com )不小于其他两边和的一半，延长中线成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍不小于（大于等于）其他两边之和，这与三角形三边关系矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在；2-1-c-n-j-y
故选A．
【名师指路】
本题考查了三角形的高及中线、等 ( http: / / www.21cnjy.com )积法、三角形三边关系．等积法：两个三角形等底等高，则面积相等，由此可以推得：两个三角形高相等，底成倍数，面积也成同样的倍数关系；同理，两个三角形底相等、高成倍数关系、面积也成同样的倍数关系；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握以上知识点是解题的关键．【出处：21教育名师】
4．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（ ）
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A．5 B．7 C．8 D．9
【标准答案】A
【思路指引】
延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论．
【详解详析】
解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
又∠BDE=∠CDA
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=3
由三角形三边关系得，
即：
故选：A
【名师指路】
此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4
【标准答案】B
【思路指引】
先延长到，且，并连接，由于，，利用易证，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，可得，从而易求．
【详解详析】
解：延长到，使，连接，则AE=2AD，
∵，，，
∴，
，
在中，，
即，
∴．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：．
【名师指路】
此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6．在Δ中，是边上的中线，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
如图，延长AD到E，使DE=DA，连接CE，则可得△ABD≌△ECD，得出AB=CE，在△ACE中，由三角形三边关系，即可求解结论．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：延长AD到E，使DE=DA，连接CE，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
在△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，
即AC-AB＜AE＜AC+AB，
∴，即，
∴；
故选择：B.
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系问题，能够熟练运用是解此题的关键．
7．如图AB=7，AC=3，则中线AD的取值范围是： ( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4
【标准答案】C
【思路指引】
延长AD到E，使DE=AD，然后利用 ( http: / / www.21cnjy.com )“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．21*cnjy*com
【详解详析】
解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
∵AB=7，AC=3，
∴7-3＜AE＜7+3，
即4＜AE＜10，
∴2＜AD＜5．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
8．已知：AD是的中线，，，则AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．
【详解详析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是的中线，
∴BD=CD
在△ADB和△EDC中
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE=A ( http: / / www.21cnjy.com )B，
∵AB=5，AC=7，
∴CE=5，
设AD=x，则AE=2x，
∴7-5＜2x＜7+5，
∴1＜x＜6，
∴1＜AD＜6，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定和性质的应用，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
9．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，则AF的长度为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【标准答案】B
【思路指引】
延长AD到G使DG=AD， ( http: / / www.21cnjy.com )连接BG，通过SAS证明△ACD≌△GBD，根据全等三角形的性质可得到∠CAD=∠G，AC=BG，等量代换得到BE=BG，由等腰三角形的性质得到∠G=∠BEG，推出EF=AF即可得解决问题．21cnjy.com
【详解详析】
解：如图，延长AD到G使DG=AD，连接BG，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
在△ACD与△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD=∠G，AC=BG，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )∠G=∠BEG，
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠AEF=∠EAF．
∴EF=AF，
∴AF+CF=BF-EF= BF-AF，
即AF+6=9-AF，
∴AF=1.5．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用中点作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【标准答案】D
【思路指引】
连接DE并延长交AB于H，证明△DCE ( http: / / www.21cnjy.com )≌△HAE，根据全等三角形的性质可得DE＝HE，DC＝AH，则EF是△DHB的中位线，再根据中位线的性质可得答案．21世纪教育网版权所有
【详解详析】
解：连接DE并延长交AB于H，
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∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，
∵E是AC中点，
∴CE＝EA，
在△DCE和△HAE中，
，
∴△DCE≌△HAE（ASA），
∴DE＝HE，DC＝AH，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝BH，
∴EF＝1，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线性质，关键是正确画出辅助线，证明△DCE≌△HAE，得出EF是中位线．
二、填空题
11．AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝6，AC＝4，则中线AD的取值范围是______
【标准答案】1 < AD < 5
【思路指引】
延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证三角形全等，推出BE=AC=4，在三角形ABE中，根据三角形的三边关系定理求出即可．
【详解详析】
解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图所示：
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∵AD为中线，
∴BD=DC，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB=6，BE=4，
∴64＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理的应用等知识，通过作辅助线构建三角形全等是解决问题的关键．
12．在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 ___．
【标准答案】
【思路指引】
延长到点，使，连接，得出，推出，再根据三角形三边关系定理即可得出答案．
【详解详析】
解：如图，延长到点，使，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是中线，
，
在和中，
，
，
，
∵在中，，
∴，
，
，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
13．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
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【标准答案】
【思路指引】
延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．
【详解详析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：
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∵D是BC的中点
∴BD=CD
在和中：
∴
∴
∵AD=5
∴AE=10
在中，由得：
即：
故答案为：
【名师指路】
本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．
14．已知AD是△ABC的中线，AD=6，CA=5，则边AB的取值范围是______．
【标准答案】7【思路指引】
作出图形，延长AD至E，使DE=AD，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解详析】
解：如图，延长AD至E，使DE=AD，
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∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=6，
∴AE=6+6=12，
∵12+5=17，12-5=7，
∴7＜CE＜17，
即7＜AB＜17．
故答案为：7＜AB＜17．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任 ( http: / / www.21cnjy.com )意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
15．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．
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【标准答案】90°
【思路指引】
延长AD到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD，CM＝AB＝5，AM＝2AD＝12
∠AMC＝∠BAD，再根据勾股定理逆定理即可得到答案.
【详解详析】
解：如图所示：延长AD到M，使DM＝AD，
∵BC边上的中线为AD
∴BD=CD
∵∠ADB=∠MDC，DM＝AD
∴△ABD≌△MCD．
∴CM＝AB＝5，AM＝2AD＝12
在△ACM中，，
∴
∴∠AMC＝90°
∴∠BAD＝90°
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
16．已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
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【标准答案】
【思路指引】
根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
【详解详析】
如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
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【名师指路】
本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
17．如图，AD是ABC中BC边上的中线，若AB＝5，AC＝8，则AD的取值范围是_____．
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【标准答案】1.5【思路指引】
延长AD到E，使DE=AD，然后利用“ ( http: / / www.21cnjy.com )边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解详析】
解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中,
∵ ，
∴△ABD≌△ECD(SAS),
CE=AB，
∵AB=5，AC=8，
∴8-53<2AD<13，
∴1.5故答案为：1.5( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
18．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
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【标准答案】2＜AD＜4
【思路指引】
此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解详析】
解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
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∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系定理：6-2＜AE＜6+2，
∴2＜AD＜4，
故AD的取值范围为2＜AD＜4．
【名师指路】
本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此题的关键．
19．在ABC中，AB=3，AC=4，则BC边上的中线AD的取值范围是_________
【标准答案】0.5＜AD＜3.5．
【思路指引】
延长AD到E，使DE=AD，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解详析】
解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
∵AB=3，AC=4，
∴4-3＜AE＜4+3，
即1＜AE＜7，
∴0.5＜AD＜3.5．
故答案为：0.5＜AD＜3.5．www.21-cn-jy.com
【名师指路】
本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
20．已知：如图所示，CE、CB分别是△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC与△ADC的中线，且AC＝AB．则下列结论中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE；正确结论的序号为：____________．
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【标准答案】②③④
【思路指引】
过B作BF∥AC交CE的延 ( http: / / www.21cnjy.com )长线于F，如图，根据平行线的性质和已知条件可利用ASA证明△ACE≌△BFE，可得CE＝EF，AC＝BF，由AC=AB可得∠ACB＝∠ABC，进一步即可根据三角形的外角性质推出∠DBC＝∠FBC，然后利用SAS可证△DBC≌△FBC，于是可得∠ECB＝∠BCD，DC＝CF＝2CE，∠F＝∠D，由此即可判断②④，进而根据等量代换即可判断③，由于∠BCD与∠D不一定相等，所以得不出BC=BD，由此可判断①，从而可得答案．
【详解详析】
解：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CE是中线，BF∥AC，
∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴CE＝EF，AC＝BF，
∴CF＝2CE，
又∵AC=AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵CB是△ADC的中线，
∴AC＝AB＝BD＝BF，
∵∠DBC＝∠A+∠ACB＝∠ABF+∠ABC，
∴∠DBC＝∠FBC，
又∵BC=BC，
∴△DBC≌△FBC（SAS），
∴∠ECB＝∠BCD，DC＝CF＝2CE，∠F＝∠D，故结论②、④正确；
∴∠ACE＝∠D，故结论③正确；
由于∠BCD与∠D不一定相等，所以得不出BC=BD，故结论①错误；
综上，正确的结论是：②③④．
故答案为：②③④．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题
21．已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°
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（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE＝68°，则∠DFC的度数为 ；
（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC＝90°，求证：点M为BD中点；
（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG＝9，HG＝5，直接写出△AEC的面积．21·cn·jy·com
【标准答案】（1）68°；（2）见解析；（3）36．
【思路指引】
（1）根据三角形内角和定理可知：∠DFC=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DAC=68°；
（2）过点B作BG⊥DA，交DA的延长线于G，通过AAS证明△ABG≌△ACE，得AG=AE，则AD=AG，得AM为△BDG的中位线即可证明；
（3）延长AG到点K，使GK=AG=9，连接CK，通过SAS可证明△ABE≌△ACD，有S△ABE=S△ACD，BE=CD，再通过SAS证明△AEG≌△KCG，得AE=CK，∠AEG=∠KCG，再证明△AKC≌△BDA，得BD=AK=18，∠CAK=∠DBA，证出∠AHB=90°，即可解决问题．
【详解详析】
解：（1）∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∵∠BAE=68°，
∴∠DAC=68°，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠C=∠D，
根据三角形的内角和定理可知：∠DFC=∠DAC=68°；
故答案为：68°；
（2）过点B作BG⊥DA，交DA的延长线于G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠EAG=∠BAC=90°，
∴∠BAG=∠EAC，
在△ABG和△ACE中，
，
∴△ABG≌△ACE（AAS），
∴AG=AE，
∵AD=AE，
∴AD=AG，
∵∠MAD=∠G=90°，
∴AM∥BG，
∴AM为△BDG的中位线，
∴点M为BD的中点；
（3）如图，延长AG到点K，使GK=AG=9，连接CK，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴S△ABE=S△ACD，BE=CD，
∵点G是EC的中点，
∴EG=GC，
∵∠AGE=∠KGC，AG=GK，
∴△AEG≌△KCG（SAS），
∴AE=CK，∠AEG=∠KCG，
∴AE=KC=AD，∠ACK=∠ACB+∠KCB=45°+∠ABC+∠BAE=90°+∠BAE=∠BAD，
∵AB=AC，
∴△AKC≌△BDA（SAS），
∴BD=AK=18，∠CAK=∠DBA，
∵∠BAG+∠CAG=90°，
∴∠ABD+∠BAG=90°，
∴∠AHB=90°，
∴S△ABD＝×BD×AH=×18×4=36，
∴S△AEC=S△ACK+S△AEG-S△KCG=S△ABD=36．
【名师指路】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
22．（教材呈现）如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
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（1）（方法应用）如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）（猜想证明）如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）（拓展延伸）如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．
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【标准答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由见解析；（3）DF=3．
【思路指引】
（1）延长AD到E，使AD=DE， ( http: / / www.21cnjy.com )连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；
（2）结论：AD=AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再证明DA=DF即可解决问题；
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB=DF+CF，可得结论．
【详解详析】
解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
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∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴6-4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）结论：AD=AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
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∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴CF=AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠FAD，
∴∠FAD=∠F，
∴AD=DF，
∵DC+CF=DF，
∴DC+AB=AD；
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
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∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB=GC，
∵∠EDF=∠BAE，
∴∠FDG=∠G，
∴FD=FG，
∴AB=DF+CF，
∵AB=5，CF=2，
∴DF=AB-CF=3．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23．已知：等腰和等腰中，，，．
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（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；
（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．
【标准答案】（1）；（2）见解析；（3）
【思路指引】
（1）由已知条件可得，对顶角，则，根据即可的；
（2）过点作的垂线交的延长线于,证明，得,进而可得，再证明即可得证点为中点；
（3）延长至，使得，连接，设交于点，先证明，进而证明，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得，进而证明，再根据,证明，根据已知条件求得最后证明即可．
【详解详析】
（1）设交于，如图1，
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是等腰和是等腰
即
故答案为
（2）如图2，过点作的垂线交的延长线于,
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是等腰和是等腰
又
又
即是的中点
（3）延长至，使得，连接，设交于点，如图
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即
是等腰和是等腰
在与中，
（SAS）
，
点是的中点
，
（SAS）
（SAS）
，
即
，
【名师指路】
本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．21教育网
24．如图，已知在中，， 是边上的中线，延长到点D，使．求证：．
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【标准答案】见解析
【思路指引】
延长到点F，使，连接，则,根据边角边可以判定
，由全等三角形的性质可得，，再根据全等三角形的判定可证，由全等三角形性质即可求证.
【详解详析】
解：如图，延长到点F，使，连接，则．
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因为为中线，
所以．
又因为，
所以，
所以，，
所以．
又因为，
所以，
所以，
所以．
【名师指路】
本题主要考查倍长中线构造全等三角形，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线构造全等三角形的方法.
25．如图，点P是∠MON内部一点， ( http: / / www.21cnjy.com )过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．
（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；
（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条 ( http: / / www.21cnjy.com )件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．
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【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【思路指引】
（1）连接AF，根据HL证Rt△ADF≌△APF即可证明DF=PF；
（2）延长AC、BF交于点G，根据AAS证△AOC≌△GBC，即可证明BE=DE，又因为AD=AO，所以可得AE=AO+BE； 【来源：21cnj*y.co*m】
（3）证△ACE是等腰直角三角形，结合（2）的结论证明： 即可得出△CDH的底和高，进而求出面积．
【详解详析】
解：（1）如图1，连接AF，
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∵四边形AOBP是正方形，△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，
∴AO=AD=AP，
在Rt△ADF和Rt△APF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△APF（HL），
∴DF=PF；
（2）AE=AO+BE，理由如下： 如图2，延长AC、BF交于点G，连接
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∵C为OB中点， ∴OC=BC，
∵AO∥BP，
∴∠OAC=∠G，∠O=∠CBG，
在△△AOC和△GBC中，
，
∴△AOC≌△GBC（AAS），
∴BG=AO，
∵△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，
∴AO=AD，∠OAC=∠CAE，
∴AD=BG，∠CAE=∠G，
∴△AEG为等腰三角形，
∴AE=EG，
∵，
∴AE=AO+BE；
（3） ∵AO∥PB，
∴∠OAC+∠CAE+∠CEA+∠CEB=180°，
∵∠ACH+∠ECH+∠CAE+∠CEA=180°，
∴∠OAC+∠CEB=∠ACH+∠ECH，
∵CH平分∠ACE，∠CAO=∠CEB，
∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH，
又∵∠OAC=∠CAE， 由（2）知∠AEC=∠CEB，
∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH=∠CAE=∠CEA=45°， 即△ACE是等腰直角三角形，
CH平分∠ACE，
如图3，由（2）知：
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∵OA=a，BE=b，
【名师指路】
本题主要考查平形线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练应用辅助线构造全等三角形是解题的关键．21·世纪*教育网
26．（1）基础应用：如图1，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；21*cnjy*com
（2）推广应用：应用旋转全等的方 ( http: / / www.21cnjy.com )式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；【版权所有：21教育】
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．
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【标准答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【思路指引】
（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED到H， ( http: / / www.21cnjy.com )使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【详解详析】
（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．
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∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
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∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空 ( http: / / www.21cnjy.com )、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题06 几何模型之倍长中线模型专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，己知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
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A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
2．如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
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A． B． C． D．
3．在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．www.21-cn-jy.com
小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3”．
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半”．
对以上两位同学的说法，你认为（ ）
A．两人都不正确 B．小慧正确，小峰不正确
C．小峰正确，小慧不正确 D．两人都正确
4．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（ ）
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A．5 B．7 C．8 D．9
5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（ ）
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A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4
6．在Δ中，是边上的中线，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
7．如图AB=7，AC=3，则中线AD的取值范围是： ( )
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A．48．已知：AD是的中线，，，则AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，则AF的长度为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．1 B．1.5 C．2 D．3
10．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长为（ ）
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A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
二、填空题
11．AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝6，AC＝4，则中线AD的取值范围是______
12．在中，AB＝6，AC＝10，那么中线AD边的取值范围是 ___．
13．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
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14．已知AD是△ABC的中线，AD=6，CA=5，则边AB的取值范围是______．
15．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________．
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16．已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
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17．如图，AD是ABC中BC边上的中线，若AB＝5，AC＝8，则AD的取值范围是_____．
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18．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
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19．在ABC中，AB=3，AC=4，则BC边上的中线AD的取值范围是_________
20．已知：如图所示，CE、CB分别是△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC与△ADC的中线，且AC＝AB．则下列结论中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE；正确结论的序号为：____________．
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三、解答题
21．已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°
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（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE＝68°，则∠DFC的度数为 ；
（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC＝90°，求证：点M为BD中点；
（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG＝9，HG＝5，直接写出△AEC的面积．21教育网
22．（教材呈现）如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
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（1）（方法应用）如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）（猜想证明）如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；21世纪教育网版权所有
（3）（拓展延伸）如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．21·cn·jy·com
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23．已知：等腰和等腰中，，，．
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（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；
（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．
24．如图，已知在中，， 是边上的中线，延长到点D，使．求证：．
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25．如图，点P是∠MON内部一点，过点P分 ( http: / / www.21cnjy.com )别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；
（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．21·世纪*教育网
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26．（1）基础应用：如图1，在 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；www-2-1-cnjy-com
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决 ( http: / / www.21cnjy.com )问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；2-1-c-n-j-y
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．21*cnjy*com
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