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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题07 几何模型之垂线模型专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，两座建筑物，相距160km，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（ ）
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A．100 B．80 C．60 D．50
【标准答案】A
【思路指引】
首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=60m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间．
【详解详析】
解：∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，
∴∠A=∠DEC，
在△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=60m，
∵BC=160m，
∴BE=100m，
∴小华走的时间是100÷1=100（s），
故选：A．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．
2．如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（ ）21教育网
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S△BDE+ S△BDC+ S△ADE，可得出m+n=5．21·世纪*教育网
【详解详析】
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解：作EF⊥AC，垂足为F
∴∠EFD=
∴∠BDC+∠DBC=90°
∵三角形是等腰直角三角形，
∴∠EDB=90°，
∴∠EDF+∠BDC=90°，
∴∠EDF=∠DBC
在△DBC和△EDF中
∴△DBC≌△EDF（AAS）
∴CD=EF=m,
∵AC=3,
∴AD=AC-CD=3-m
∵S△BDE+ S△BDC+ S△ADE
∴
=
化简得：
，
∵n是的斜边，m是直角边
∴n-m＞0
∴
故答案选：B
【名师指路】
本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积．
3．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
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A．8 B．4 C．3 D．2
【标准答案】C
【思路指引】
根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解．
【详解详析】
解：，，于，于，
，
，
又，，
．
，，
．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键．【版权所有：21教育】
4．如图中，AE⊥AB且A ( http: / / www.21cnjy.com )E＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )
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A．50 B．44 C．38 D．32
【标准答案】D
【思路指引】
由已知和图形根据“K”字 ( http: / / www.21cnjy.com )形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可．
【详解详析】
∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，
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∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠FEA=∠BAM，
在△FEA和△MAB中www.21-cn-jy.com
，
∴△FEA≌△MAB（AAS），
∴AM=EF=6，AF=BM=3，
同理CM=DH=2，BM=CH=3，
∴FH=3+6+2+3=14，
∴梯形EFHD的面积===56，
∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC
=
=32．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．2-1-c-n-j-y
5．如图，，、分别是、的中点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得，，再由45°角可证△ABQ为等腰直角三角形，从而可得可得，进而证明，利用三角形的全等性质求解即可．
【详解详析】
解：如图所示：连接，延长交于点，延长交于，延长交于．
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，
，
，
，
点为两条高的交点，
为边上的高，即：，
由中位线定理可得，，
，故①正确；
，，
，
，
，
，
根据以上条件得，
，
，故②正确；
，
，
，故③
成立；
无法证明，故④错误．
综上所述：正确的是①②③，故选C．
【名师指路】
本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明．
二、填空题
6．如图，是等边三角形，，点在上，，是延长线上一点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，当时，线段的长为__________.21cnjy.com
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【标准答案】
【思路指引】
过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE=∠EHF=90°，依据△DEG≌△EFH（AAS），即可得到HF=EG，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当AF∥BD时，AF的值为AP+HF=1+.21*cnjy*com
【详解详析】
解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，
则∠DGE=∠EHF=90°，
∵∠DEF=90°，
∴∠EDG+∠DEG=90°=∠HEF+∠DEG，
∴∠EDG=∠FEH，
又∵EF=DE，
∴△DEG≌△EFH（AAS），
∴HF=EG，
∵△ABC是等边三角形，AB=3，AE=AC，
∴AE=2，CE=1，∠AEH=∠CEG=30°，
∴CG=CE=，AP=AE=1，
∴EG=CG=，
∴HF=，
∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，
∴当AF∥BD时，AF=AP+HF=1+，
故答案为：1+.
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【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质，旋转的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
7．如图，一个等腰直角三角形零 ( http: / / www.21cnjy.com )件放置在一凹槽内，顶点A．B．C分别落在凹槽内壁上，测得AD＝5cm，BE＝9cm，则该零件的面积为 _______
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【标准答案】53cm2
【思路指引】
首先证明△ADC≌△CEB，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据全等三角形的性质可得DC=BE=9cm，再利用勾股定理计算出AC长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可．
【详解详析】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE=9cm，
∴AC===（cm），
∴BC=cm，
∴该零件的面积为：××=53（cm2）．
故答案为53cm2．
【名师指路】
本题考查全等三角形的应用, 等腰直角三角形以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法.
8．如图，在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )以A（2，0），B（0，1）为顶点作等腰直角三角形ABC（其中∠ABC＝90°，且点C落在第一象限），则点C关于y轴的对称点C'的坐标为______．
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【标准答案】
【思路指引】
过点C向y轴，引垂线CD，利用△OAB≌△DBC，确定DC，DO的长度，即可确定点C的坐标，对称坐标自然确定.
【详解详析】
如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠OBA=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DBC=∠OAB，
∵AB=BC，∠BDC=∠AOB=90°
∴△OAB≌△DBC，
∴DC=OB，DB=OA，
∵A（2，0），B（0，1）
∴DC=OB=1，DB=OA=2，
∴OD=3，
∴点C（1,3），
∴点C关于y轴的对称点坐标为（-1,3），
故答案为：（-1,3）.
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【名师指路】
本题考查了点的坐标及其对称点坐标的确定，熟练分解点的坐标，利用三角形全等，把坐标转化为线段的长度计算是解题的关键.2·1·c·n·j·y
9．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________．
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【标准答案】3
【思路指引】
过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．
【详解详析】
解：过点作交延长线于点，
则∠DMC=90°=∠ABC，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故填．
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．21教育名师原创作品
10．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________．
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【标准答案】8
【思路指引】
由线段CD的长求的面积，故过B作CD的垂线，则由三角形面积公式可知：，再由题中的和等腰直角三角形ABC，即可求证，最后由即可求解．
【详解详析】
解：过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E
故答案是：8．
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【名师指路】
本题主要考察全等三角形的证明 ( http: / / www.21cnjy.com )、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．
11．如图，在等边△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．
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【标准答案】8
【思路指引】
作FG⊥BC于点G，DE’⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AB于点E’，易证E点和E’点重合，则∠FGD=∠DEP=90°；由∠EDB+∠PDF=90°可知∠EDP+∠GFD=90°，则易得∠EPD=∠GDF，再由PD=DF易证△EPD≌△GDF，则可得FG=DE，故F点的运动轨迹为平行于BC的线段，据此可进行求解.
【详解详析】
解：作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，由BD=4、BE=2与∠B=60°可知DE⊥AB，即∠
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∵DE’⊥AB，∠B=60°，
∴BE’=BD×=2，
∴E点和E’点重合，
∴∠EDB=30°，
∴∠EDB+∠PDF=90°，
∴∠EDP+∠GFD=90°=∠EDP+∠DPE，
∴∠DPE=∠GFD
∵∠DEP=∠FGD=90°，FD=GP，
∴△EPD≌△GDF，
∴FG=DE，DG=PE，
∴F点运动的路径与G点运动的路径平行，即与BC平行，
由图可知，当P点在E点时，G点与D点重合，
∵DG=PE，
∴F点运动的距离与P点运动的距离相同，
∴F点运动的路径长为：AB-BE=10-2=8，
故答案为8.
【名师指路】
通过构造垂直线段构造三角形全等，从而确定F点运动的路径，本题有一些难度.
12．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________.
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【标准答案】2
【思路指引】
过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造 得出BE=AF
利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可.
【详解详析】
过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,
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∴∠BEA=∠AFD=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠BAD=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3
∵AB=AD
∴
∴BE=AF
∵AD=CD，DF⊥AC
∴AF=
∴BE=AF=
∴
∴AC=2
故答案为2
【名师指路】
本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.
三、解答题
13．（问题提出）
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS” ( http: / / www.21cnjy.com )、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
（初步思考）
我们不妨将问题用符号语言 ( http: / / www.21cnjy.com )表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
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（深入探究）
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF， ( http: / / www.21cnjy.com )BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
【标准答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠B≥∠A．
【详解详析】
（1）解：HL；
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
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∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
AC=DF，CG=FH
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
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（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
14．如图所示，，，延长至，使，四边形为正方形，求点的坐标.
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【标准答案】
【思路指引】
作轴于G，过C作于F，易证≌，得，，故C（6,6）
【详解详析】
解：作轴于G，过C作于F，
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四边形ADCB为正方形，
所以，
，
≌，
又，
，
，
．
【名师指路】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用正方形的四边相等构造K字型全等，通过证明三角形全等求得AG、GD、DF、CF的长是解题的关键．
15．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为AC上一点，M为BC上一点．
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（1）若AM⊥BP于点E．
①如图1，BP为△ABC的角平分线，求证：PA＝PM；
②如图2，BP为△ABC的中线，求证：BP＝AM+MP．
（2）如图3，若点N在AB上，AN＝CP，AM⊥PN，求的值．
【标准答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）1.
【思路指引】
（1）①只要证明，利用角平分线的性质定理即可解决问题；
②作交的延长线于．只要证明，，即可解决问题；
（2）如图3中，作交于，连接，交于点．首先证明四边形是矩形，推出，，再证明，可得，推出即可解决问题；
【详解详析】
（1）①证明：如图1中，
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，，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
垂直平分线段，
，，
，
，
，
，平分，
．
②如图2中，作交的延长线于．
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，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
．
（2）解：如图3中，作交于，连接，交于点．
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，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
．
【名师指路】
本题是全等三角形综合题，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
16．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
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(1)如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;
(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
【标准答案】（1）①补全图形，如图1所示.见解析；猜想：∠BAE=∠BCD. 理由见解析；②见解析；（2）补全图形，如图3所示. 见解析；线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.21世纪教育网版权所有
【思路指引】
(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°即可得出∠BAE=∠BCD；
②在AE上截取AF=CE，可证出△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD,可证明△ADF≌△CDE，得出DF=DE, ∠ADF=∠CDE，可推出∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.证出△EDF是等腰直角三角形，得出EF=，即可得出结论;
(2) 在CE上截取CF=AE，连接DF由CD⊥AD，AE⊥BC，可得∠EAD=∠DCF
由∠BAC=45°可得AD=CD，可证△ADE≌△CDF，可得ED=DF∠ADE=∠CDF，可推出∠EDF=90°可得△EDF是等腰直角三角形故 ，即可得线段AE，CE，DE的数量关系.
【详解详析】
（1）①依题意，补全图形，如图1所示.
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猜想：∠BAE=∠BCD.
理由如下：
∵CD⊥AB,AE⊥BC，
∴∠BAE﹢∠B=90°,
∠BCD﹢∠B=90°.
∴∠BAE=∠BCD.
②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.
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连接DF.
∵∠BAC=45°,CD⊥AB,
∴△ACD是等腰直角三角形.
∴AD=CD.
又∠BAE=∠BCD,
∴△ADF≌△CDE（SAS）.
∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.
∵AB⊥CD,
∴∠ADF﹢∠FDC=90°.
∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.
∴△EDF是等腰直角三角形.
∴EF=.
∵AF+EF=AE,
∴CE+DE=AE.
（2）依题意补全图形，如图3所示.
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在CE上截取CF=AE，连接DF
∵CD⊥AD，AE⊥BC
∴∠ADC=∠AEC=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD
∴∠EAD=∠DCF
∵∠BAC=45°
∴∠DCA=45°
∴AD=CD
又∵CF=AE
∴△ADE≌△CDF
∴ED=DF
∠ADE=∠CDF
∵∠CDF+∠ADF=90°
∴∠ADE+∠ADF=90°
∴∠EDF=90°
∴△EDF是等腰直角三角形
∴
∵CE=CF+EF
∴
∴线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.
故答案为：CE-DE=AE
【名师指路】
本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键.www-2-1-cnjy-com
17．已知：在中，，，是过点的一条直线，且于，于．
（1）当直线处于如图①的位置时，有，请说明理由；
（2）当直线处于如图②的位置时，则、、的关系如何？请说明理由．
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【标准答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE，理由见解析
【思路指引】
（1）根据直角三角形的性质得到∠1=∠2，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明；
（2）利用与（1）相同的证明方法证明即可．
【详解详析】
解：证明：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵BD⊥AE，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）BD=DE-CE，
理由如下：∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵BD⊥AE，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=DE-AD，
∴BD=DE-CE．
【名师指路】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接．
（1）如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作，若，，则HF= ；
（3）如图3，当时，连接，若 ，请求的面积．
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【标准答案】（1），见解析；（2）3；（3）
【思路指引】
（1）先证明： 从而可得结论；
（2）在上截取，使，证明 从而可得结论；
（3）过作，交于，证明，设，则，，再求解，从而可得答案.
【详解详析】
解：（1）全等，理由如下：
在中，
∵， 点是的中点，
∴，
∵
∴
∴
在和中
∴（ASA）
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（2）在上截取，使，
在中，，
∴
在和中
∴（SAS）
∴
由（1）
∴
∴
∵
∴
∵
∴
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故答案为：
（3）过作，交于
∴
∵
∴
∴
由（2）得，
在和中
∴（SAS）
∴
即
设，则，
∴
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【名师指路】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键.21·cn·jy·com
19．如图，已知：在中，，，直线经过点，，．
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（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．【出处：21教育名师】
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD
【思路指引】
（1）由已知推出∠ADC=∠BE ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；21*cnjy*com
（2）结论：DE=AD-BE．与（1）证 ( http: / / www.21cnjy.com )法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．
（3）结论：DE=BE-AD．证明方法类似．
【详解详析】
解：（1）证明：如图1，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）DE=BE-AD；
如图3，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD．
【名师指路】
本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【来源：21·世纪·教育·网】
20．如图（1）AB＝9c ( http: / / www.21cnjy.com )m，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的“AC ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
【标准答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解析；（2）PC⊥PQ，证明见解析；（3）存在，当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【思路指引】
（1）利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系；
（3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【详解详析】
（1）△ACP与△BPQ全等，
理由如下：当t＝1时，AP＝BQ＝2，
则BP＝9﹣2＝7，
∴BP＝AC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）PC⊥PQ，
证明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直；
（3）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∴9﹣2t＝7，
解得，t＝1（s），则x＝2（cm/s）；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则2t＝×9，
解得，t＝（s），则x＝7÷＝（cm/s），
故当t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【名师指路】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分
类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
专题07 几何模型之垂线模型专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，两座建筑物，相距160km，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（ ）21·世纪*教育网
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A．100 B．80 C．60 D．50
2．如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（ ）21教育网
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A． B． C． D．
3．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B．4 C．3 D．2
4．如图中，AE⊥AB且AE ( http: / / www.21cnjy.com )＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )21世纪教育网版权所有
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A．50 B．44 C．38 D．32
5．如图，，、分别是、的中点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
6．如图，是等边三角形，，点在上，，是延长线上一点，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，当时，线段的长为__________.21cnjy.com
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7．如图，一个等腰直角三角形零件 ( http: / / www.21cnjy.com )放置在一凹槽内，顶点A．B．C分别落在凹槽内壁上，测得AD＝5cm，BE＝9cm，则该零件的面积为 _______ 2·1·c·n·j·y
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8．如图，在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )以A（2，0），B（0，1）为顶点作等腰直角三角形ABC（其中∠ABC＝90°，且点C落在第一象限），则点C关于y轴的对称点C'的坐标为______．【来源：21·世纪·教育·网】
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9．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________．
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10．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．如图，在等边△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．www-2-1-cnjy-com
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12．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________.21*cnjy*com
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三、解答题
13．（问题提出）
学习了三角形全等的判定方法（ ( http: / / www.21cnjy.com )即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
（初步思考）
我们不妨将问题用符号语言表示 ( http: / / www.21cnjy.com )为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【来源：21cnj*y.co*m】
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（深入探究）
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，B ( http: / / www.21cnjy.com )C=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）【出处：21教育名师】
（4）∠B还要满足什么条 ( http: / / www.21cnjy.com )件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．【版权所有：21教育】
14．如图所示，，，延长至，使，四边形为正方形，求点的坐标.
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15．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为AC上一点，M为BC上一点．
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（1）若AM⊥BP于点E．
①如图1，BP为△ABC的角平分线，求证：PA＝PM；
②如图2，BP为△ABC的中线，求证：BP＝AM+MP．
（2）如图3，若点N在AB上，AN＝CP，AM⊥PN，求的值．
16．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
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(1)如图1，当△ABC为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;
(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．
17．已知：在中，，，是过点的一条直线，且于，于．
（1）当直线处于如图①的位置时，有，请说明理由；
（2）当直线处于如图②的位置时，则、、的关系如何？请说明理由．
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18．在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接．
（1）如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作，若，，则HF= ；
（3）如图3，当时，连接，若 ，请求的面积．
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19．如图，已知：在中，，，直线经过点，，．
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（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．www.21-cn-jy.com
20．如图（1）AB＝9cm，AC ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．
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（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
（3）如图（2），将图（1）中的 ( http: / / www.21cnjy.com )“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
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