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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题08 几何模型之证一条线段等于两条线段和（差）专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在中，平分，，，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．11 C．15 D．9
2．如图，M是的边BC的中点，AN平分，于点N，且，，，则的周长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．38 B．39 C．40 D．41
3．如图，在四边形 ABCD ( http: / / www.21cnjy.com ) 中， AD / / BC ，若DAB 的角平分线 AE 交CD 于 E ，连接 BE ，且 BE 边平分ABC ，则以下命题不正确的个数是( )21·cn·jy·com
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①BC+AD AB ；② E 为CD 中点 ③ AEB 90 ；④；⑤ BC=CE( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
4．如图，等腰△ABC，AB=AC，，ADBC于点D．点P是BA延长线上一点，O点是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①AC平分∠PAD；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC=AO+AP.其中正确结论的个数为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．4 B．3 C．2 D．1
5．在正方形中，直线经过对角线，的交点，过，两点分别作直线的垂线，交直线于点，．若，，则长为（ ）21教育网
A．2 B．3 C．2或6 D．3或7
二、解答题
6．在△DEF中，DE＝DF，点B在 ( http: / / www.21cnjy.com )EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．2·1·c·n·j·y
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．【来源：21·世纪·教育·网】
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7．如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图．www-2-1-cnjy-com
（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程．
（2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在 ( http: / / www.21cnjy.com )图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之．2-1-c-n-j-y
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8．如图，，、分别平分、，与交于点O．
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（1）求的度数；
（2）说明的理由．
9．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．21*cnjy*com
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（1）求∠BOC的度数．
（2）求证：CF＝BE+EF．
10．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD
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11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
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12．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP．【出处：21教育名师】
（1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP；
（2）如图2当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明．
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13．阅读下面材料：
（原题呈现）如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
（思考引导）因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．【版权所有：21教育】
（问题解答）（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．21教育名师原创作品
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14．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．21*cnjy*com
证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
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15．(1)如图1：在四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明． (提示：延长CD到G，使得DG＝BE)
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
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(3)如图3，在某次军事演习中 ( http: / / www.21cnjy.com )，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．(可利用(2)的结论)
16．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；21世纪教育网版权所有
探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．21·世纪*教育网
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
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17．在中，，，是过的一条直线，于，于．
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（1）填空，当直线绕点旋转到如图1位置时，与，具有怎样的等量关系？______．
（2）若直线绕点旋转到如图2位置时，试说明：．
18．如图1，已知△ABC为正三角形，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AC=AD．
（1）若∠CAD=30°，则∠BDC的度数为 ；
（2）若∠CAD的大小在0°~90°范围内之间任意改变，∠BDC的度数是否随之改变？请说明理由；
（3）E是DC延长线上一点，且EB=ED，连接AE，如图2，试探究EA，EB，EC之间的关系．
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19．如图1，在四边形ABDC中，，，，，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且．
（1）求证：．
（2）在图1中，若G在AB上且，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．
（3）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的长．（用含a，b的代数式表示，可能用到直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半）．
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20．已知点C是∠MAN平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的 ( http: / / www.21cnjy.com )条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题08 几何模型之证一条线段等于两条线段和（差）专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在中，平分，，，则的长为（ ）
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A．3 B．11 C．15 D．9
【标准答案】B
【思路指引】
在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，先根据SAS证明△ABD≌△AED，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得∠BDE＝∠AED，进而可得CD＝EC，再代入数值计算即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，
∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．
故选：B．
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【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．【版权所有：21教育】
2．如图，M是的边BC的中点，AN平分，于点N，且，，，则的周长是（ ）
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A．38 B．39 C．40 D．41
【标准答案】D
【思路指引】
可以延长BN交AC于点D，易证得R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ANB≌Rt△AND，可得N为DB的中点，由已知M是BC的中点可得MN是△BCD的中位线，可得CD的长，根据AC=AD+CD可得AC的长，即可得△ABC的周长．
【详解详析】
如图，延长BN交AC于点D，
∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，
在Rt△ANB和Rt△AND中，
∴Rt△ANB≌Rt△AND，
∴AD=AB=10，BN=DN，
即N为BD的中点，
又∵M是BC的中点
∴CD=2MN=6，AC=AD+CD=10+6，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+10+6+15=41，
故选：D．
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【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定，涉及到三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
3．如图，在四边形 ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D 中， AD / / BC ，若DAB 的角平分线 AE 交CD 于 E ，连接 BE ，且 BE 边平分ABC ，则以下命题不正确的个数是( )21*cnjy*com
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①BC+AD AB ；② E 为CD 中点 ③ AEB 90 ；④；⑤ BC=CE( )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【标准答案】B
【思路指引】
在AB上截取AF=AD，连接EF，通过证明，由全等的性质可判断结论.
【详解详析】
解：如图，在AB上截取AF=AD，连接EF，
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平分
又
又平分
① ①正确；②，所以点E为CD中点，②正确；③，， ③正确；④，④正确；⑤不一定等于，⑤错误.21教育名师原创作品
综上，命题不正确的只有1个.
故选B
【名师指路】
本题考查了全等三角形的证明及性质，在证明 ( http: / / www.21cnjy.com )线段的和差倍分题目时，可采用截长法或补短法添加辅助线，即在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以证明，熟练掌握截长补短法构造全等三角形是解题的关键.
4．如图，等腰△ABC，AB=AC，，ADBC于点D．点P是BA延长线上一点，O点是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①AC平分∠PAD；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC=AO+AP.其中正确结论的个数为（ ）
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A．4 B．3 C．2 D．1
【标准答案】B
【思路指引】
①根据等腰三角形的性质，邻补角的定义即可得到结论；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AC＝AE＋CE＝AO＋AP；
【详解详析】
解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；
∴∠CAD＝∠BAC＝60°，∠PAC＝180° ∠CAB＝60°，
∴∠PAC＝∠DAC，
∴AC平分∠PAD故①正确；
②由①知：OB=OC，OP=OC，则OB=OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，
∴∠APC＋∠DCP＝150°，
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∵∠APO＋∠DCO＝30°，
∴∠OPC＋∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180° （∠OPC＋∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PE，
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由①知∠PAE＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO＋∠OPE＝60°，
∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
在△OPA和△CPE中，
PA＝PE，∠APO＝∠CPE，OP＝CP，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AO＋AP；
故④正确；
故答案为：B．
【名师指路】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
5．在正方形中，直线经过对角线，的交点，过，两点分别作直线的垂线，交直线于点，．若，，则长为（ ）21·世纪*教育网
A．2 B．3 C．2或6 D．3或7
【标准答案】D
【思路指引】
依据已知条件求出，，根据证，推出，，即可得到的长．
【详解详析】
解：如图，当直线与线段不相交时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
，，
，
又正方形中，，
，
，，
；
如图，当直线与线段相交时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
，，
，
又正方形中，，
，
，，
；
故选D．
【名师指路】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．本题要注意思考全面，直线与线段有两种情况（相交、不相交），不能遗漏．
二、解答题
6．在△DEF中，DE＝DF，点B ( http: / / www.21cnjy.com )在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
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【标准答案】（1）①AE＝BF；②见解析；（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF
【思路指引】
（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是 ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；
（2）如图3，连接DG，由 ( http: / / www.21cnjy.com )（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
【详解详析】
解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF＋CD；
（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF，
故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．
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【名师指路】
本题考查等腰三角形的性质、等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用截长补短的方法做辅助线构造全等三角形和等边三角形，运用类比的方法解决问题．【出处：21教育名师】
7．如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图．
（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程．
（2）悟空同学进一步对类似图 ( http: / / www.21cnjy.com )形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之．
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【标准答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【思路指引】
（1）先证∠ABD=∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可；
（2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可．
【详解详析】
证明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°,
∴∠ABD=∠EAC,
在△ABD和 △CAE中，
，
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE，
∴ DE ＝ AE ＋ DA ；
（2）成立，
理由如下：∵ ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，
∠ADB＋ ∠BAD ＋ ∠ABD ＝ 180°，
∠BAC ＝ ∠BDA，
∴∠ABD ＝ ∠EAC ，
在△ABD和 △CAE中，
，
∴ △ABD ≌ △CAE（AAS），
∴ BD ＝ AE，AD ＝ CE，
∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE．
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【名师指路】
本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
8．如图，，、分别平分、，与交于点O．
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（1）求的度数；
（2）说明的理由．
【标准答案】（1）120°；（2）见解析
【思路指引】
（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB；
（2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC ( http: / / www.21cnjy.com )≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD= AB．
【详解详析】
解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°；
（2）在AB上截取AE=AC，
∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，
∴△AOC≌△AOE（SAS），
∴∠C=∠AEO，
∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，
∴∠AEO+∠D=180°，
∵∠AEO+∠BEO=180°，
∴∠BEO=∠D，
又∠EBO=∠DBO，BO=BO，
∴△OBE≌△OBD（AAS），
∴BD=BE，又AC=AE，
∴AC+BD=AE+BE=AB．
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【名师指路】
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论．21世纪教育网版权所有
9．如图，在等边△ABC中，∠ABC ( http: / / www.21cnjy.com )与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．
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（1）求∠BOC的度数．
（2）求证：CF＝BE+EF．
【标准答案】（1）∠BOC＝120°；（2）见解析．
【思路指引】
（1）利用等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝，由角平分线的性质可得到∠OBC＝∠OCB＝，再利用三角形的内角和为列式计算即可；
（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，通过证明△BOE≌△COG得到OG＝OE，BE＝CG，从而得到，即可通过线段的等量代换证明结论．
【详解详析】
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OCB＝，
∴∠BOC＝∠OBC∠OCB＝；
（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BOC＝，
∴∠BOF+∠COG＝，
∵∠EOF＝，
∴∠EOB+∠BOF＝，
∴∠COG＝∠EOB，
∵∠ABO＝∠ABC＝，
∴∠EBO＝∠OCG，
在BOE与COG中，
，
∴，
∴OG＝OE，BE＝CG，
在OEF与OGF中，
，
∴，
∴EF＝FG，
∵CF＝FG+CG，
∴CF＝EF+BE．
【名师指路】
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线以及灵活寻找全等三角形判定的条件是解题的关键．
10．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD
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【标准答案】见解析
【思路指引】
遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都 ( http: / / www.21cnjy.com )是截长补短；
方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可；
方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可；
方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可；
方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可；
【详解详析】
方法1：补短，构造全等
证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE
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∵AD⊥CD
∴∠D＝90°
∵∠B＝45°，∠ACB＝30°
∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75°
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝15°
∴∠DAC＝90°－15°＝75°
∴∠EAC＝∠DAC
在△ADC和△AEC中
∵AD＝AE
∠EAC＝∠DAC
AC＝AC
∴△ADC≌△AEC(SAS)
∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15°
∴∠ECB＝∠B＝45°
∴EC＝BE
∴EC＝BE＝CD
∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD
方法2：补短，构造全等
证明：延长DA至点F，使得AF＝AB
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∵∠B＝45°，∠ACB＝30°
∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°
∵CD是∠ACB的角平分线
∴∠ACD＝15°
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105°
∴∠EAC＝∠BAC
在△ABC和△AEC中
AB＝AE
∠EAC＝∠BAC
AC＝AC
∴△ABC≌△AEC（SAS）
∴∠E＝∠B＝45°,
∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45°
∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB
方法3：截长，构造全等
证明：
在CD上截取DE使得DE＝AD
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∵AD⊥CD
∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°
过点A作AF⊥AB交BC于点F
∵∠B=45°，
∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135°
∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝15°
∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°
∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°
∴∠EAC＝∠ACF
在△AEC和△CFA中
∠EAC＝∠ACF
AC＝AC
∠AEC＝∠AFC
∴△AEC ≌ △CFA(ASA)
∴CE＝AF＝AB
∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB
方法4：截长，构造全等
证明：
在CD上截取DE使得DE＝AD
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD⊥CD
∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°
在CB延长上取点H，使得AH＝AC
∵∠ABC＝45°
∴∠ABH＝135°
∴∠ABH＝∠AEC
∵AH＝AC
∴∠H＝∠ACB＝30°
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝15°
∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°
∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°
∴∠H＝∠EAC
在△ABH和△CEA中
∠H＝∠EAC
AH＝AC
∠ABH＝∠AEC
∴△ABH ≌ △CEA(ASA)
∴AB＝CE
∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB
11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析
【思路指引】
（1）首先根据题意确定出 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；
（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点 ( http: / / www.21cnjy.com )F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．
【详解详析】
证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AC＝AD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，
在△ABF与△ACE中，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
又∠CAE＝∠DAE，
∴，
∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF＝FE，
∴BE＝BF+FE＝CE+AE．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．
12．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP．
（1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP；
（2）如图2当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明．
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【标准答案】（1）见解析；（2）AM+AN=AP，理由见解析
【思路指引】
（1）在AB上取点C，使得AC=AM，则△ACM为等边三角形，结合“手拉手”模型证明△CMN≌△AMP，得到CN=AP，即可得证；21*cnjy*com
（2）在射线AO上取点D，使得AN=AD，仿照（1）的过程证明△DNM≌△ANP，即可得到AP=DM，从而得出结论．
【详解详析】
证：（1）由题意可知，∠BAO=60°，
如图所示，在AB上取点C，使得AC=AM，
则△ACM为等边三角形，MC=MA，∠CMA=60°，
∵△NMP为等边三角形，
∴MN=MP，∠NMP=60°，
∴∠CMA=∠NMP，
∴∠CMA-∠NMA=∠NMP-∠NMA，
∴∠CMN=∠AMP，
在△CMN和△AMP中，
∴△CMN≌△AMP(SAS)，
∴CN=AP，
∴CN+AN=AP+AN=AC，
∵AC=AM，
∴AP+AN=AM，
∴AM-AN=AP；
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（2）AM+AN=AP，理由如下：
如图所示，在射线AO上取点D，使得AN=AD，
∵∠BAO=60°，
∴△AND为等边三角形，ND=NA，∠DNA=60°，
∵△NMP为等边三角形，
∴NM=NP，∠MNP=60°，
∴∠DNA=∠MNP，
∴∠DNA+∠ANM=∠MNP+∠ANM，
∴∠DNM=∠ANP，
在△DNM和△ANP中，
∴△DNM≌△ANP(SAS)，
∴AP=DM，
∵AN=AD，DA+AM=DM，
∴AN+AM=AP．
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【名师指路】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，掌握双等边三角形中“手拉手”模型是解题关键．
13．阅读下面材料：
（原题呈现）如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
（思考引导）因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
（问题解答）（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
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【标准答案】（1）5.8；（2）4.3
【思路指引】
（1）由已知条件和辅助线的 ( http: / / www.21cnjy.com )作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；
（2）在BA边上取点E，使 ( http: / / www.21cnjy.com )BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【详解详析】
解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．
在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，
∴BC的长为5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在△DEB和△DBC中，
，
∴△DEB≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
同理可得△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．
14．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【思路指引】
（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利 ( http: / / www.21cnjy.com )用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解详析】
（1）DE=BD+CE．理由如下：
如图1，∵BD⊥，CE⊥，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2），理由如下：
如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质综 ( http: / / www.21cnjy.com )合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
15．(1)如图1：在四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明． (提示：延长CD到G，使得DG＝BE)
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)如图3，在某次军事演习中 ( http: / / www.21cnjy.com )，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．(可利用(2)的结论)
【标准答案】(1)EF＝BE+DF；(2)EF＝BE+DF仍然成立；(3)此时两舰艇之间的距离是140海里．
【思路指引】
（1）根据全等三角形对应边相等解答；
（2）延长FD到G，使DG＝BE， ( http: / / www.21cnjy.com )连接AG，根据同角的补角相等求出∠B＝∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再求出∠EAF＝∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝GF，然后求解即可；2·1·c·n·j·y
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF＝∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．
【详解详析】
解：(1)EF＝BE+DF；
证明：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
(2)EF＝BE+DF仍然成立．
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
(3)如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
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∵∠AOB＝20°+90°+(90°﹣60°)＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
又∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝(90°﹣20°)+(60°+50°)＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1×(60+80)＝140(海里)．
答：此时两舰艇之间的距离是140海里．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．21教育网
16．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
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【标准答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．
【思路指引】
延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．
【详解详析】
解：EF=AE+CF
理由：延长到G，使，连接，
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在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
即∠GBF=60°，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．
理由：延长到G，使，连接，
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在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，
即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．
理由：延长到G，使，连接，
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∵，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，
即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，
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∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．在中，，，是过的一条直线，于，于．
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（1）填空，当直线绕点旋转到如图1位置时，与，具有怎样的等量关系？______．
（2）若直线绕点旋转到如图2位置时，试说明：．
【标准答案】（1）DE＝BD+CE（2）说明见解析
【思路指引】
（1）利用条件证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；
（2）同（1）可证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；
【详解详析】
解：（1）如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE．
∵DE＝AD+AE，
∴DE＝CE+BD；
（2）如图2，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE
∵DE＝AE﹣AD，
∴DE＝BD﹣CE．
【名师指路】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，判定三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL．www.21-cn-jy.com
18．如图1，已知△ABC为正三角形，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AC=AD．
（1）若∠CAD=30°，则∠BDC的度数为 ；
（2）若∠CAD的大小在0°~90°范围内之间任意改变，∠BDC的度数是否随之改变？请说明理由；
（3）E是DC延长线上一点，且EB=ED，连接AE，如图2，试探究EA，EB，EC之间的关系．
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【标准答案】（1）30°；（2）不会改变，理由见解析；（3）AE= BE+CE
【思路指引】
（1）由△ABC为正三角形，可得∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC，由∠CAD=30°，可求∠BAD =90°，由AC=AD，可求∠ACD=∠ADC=，∠ABD=∠ADB=，由∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°即可；
（2）不会改变．理由如下：设∠CAD=2α ( http: / / www.21cnjy.com )°．由AC=AD，可得∠ADC=∠ACD=90°-α°．由△ABC为正三角形，可得∠CAB=60°，AC=AB=BC， AB=AD，可求∠ADB=∠ABD=90°-（30°+α°），∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°；
（3）在AE上取点F，使EF=EB，可证△BEF为正三角形，可求∠ABF=∠CBE，可证△ABF≌△CBE（SAS），可得AF=CE即可．21·cn·jy·com
【详解详析】
解：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC，
∵∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD =90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=，
∴∠ABD=∠ADB=，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=75°-45°=30°，
故答案为：30°；
（2）不会改变．理由如下：
设∠CAD=2α°．
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=90°-α°，
∵△ABC为正三角形，
∴∠CAD=60°，AC=AB=BC，∴AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=90°-（30°+α°），
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°；
（3）在AE上取点F，使EF=EB，
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴∠BED=120°．
∵AB=AD，EB=ED，
∴AE垂直平分BD，
∴∠BED=60°，
∴△BEF为正三角形，
∴BE=BF，
∴∠EBF=∠CBA=60°，
∴∠ABC-∠CBF=∠FBE-∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE，
∴AE=AF+EF=BE+CE．
( http: / / www.21cnjy.com / )【名师指路】
本题考查等边三角形性质与判定，等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，掌握等边三角形性质与判定，等腰三角形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，关键是引辅助线构造三角形全等．
19．如图1，在四边形ABDC中，，，，，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且．
（1）求证：．
（2）在图1中，若G在AB上且，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．
（3）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的长．（用含a，b的代数式表示，可能用到直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）．
【思路指引】
（1）根据已知推出，根据证明，即可得出结论；
（2）连接，根据证，可得，根据可证，推出即可得出结论；
（3）过C作交的延长线于M，根据全等三角形的性质得出，由（1）（2）可知，分别用含a，b的代数式表示，，最后代入即可得出结论．
【详解详析】
（1）∵，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）如图，过作交的延长线于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在和中，
∴，
∴，，
由（1）（2）可知：，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
【名师指路】
本题考查了三角形全等的性质与判定综合．（1） ( http: / / www.21cnjy.com )解题的关键是证明全等三角所需对应角相等；（2）证明两线段和等于一条线段时，通常将两条线段转移到同一条已知线段中，再证明已知线段与求和后的线段相等即可；（3）解题关键在于构造辅助线证明三角形全等．【来源：21·世纪·教育·网】
20．已知点C是∠MAN ( http: / / www.21cnjy.com )平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．www-2-1-cnjy-com
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下， ( http: / / www.21cnjy.com )若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．
【思路指引】
（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可；
（3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明 ( http: / / www.21cnjy.com )△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可．
【详解详析】
（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS）
∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，
理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，
∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，
，
∴△OBH≌△OBG（SAS）
∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
∴点O到AD，AB，BD的距离相等，
∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，
∴∠BOG＝∠BOH＝60°，
∴∠DOF＝∠BOG＝60°，
∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，
，
∴△ODH≌△ODF（ASA），
∴DH＝DF，
∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【名师指路】
本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．
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