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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题09 几何模型之旋转模型专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
2．如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．上述结论中正确的个数是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．36 B．21 C．30 D．22
4．如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（ ）21·世纪*教育网
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A．点O与的距离为4 B．
C．S四边形AOBO′ D．
5．如图，在和中，，，，点，，分别是，，的中点．把绕点在平面自由旋转，则的面积不可能是（ ）
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A．8 B．6 C．4 D．2
6．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ， 将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．2﹣ B． C．2（﹣1） D．1【版权所有：21教育】
二、填空题
7．如图，在和中，，，，边与边相交于点（不与点，重合），点，分别在的两侧．21教育名师原创作品
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（1）若，则的大小为_______；
（2）的最大值为_______；
（3）当是等腰三角形，且为腰时，的大小为_______．
8．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______．
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9．△ABC和△DCE是等边三角形，则在下图中，△ACE绕着____点_____旋转____度可得到△BCD．
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10．如图，在中，，将绕点B按逆时针旋转度（）到，边和边相交于点P，边和边相交与点Q，当为等腰三角形时，则______．
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11．如图，等腰△ABC中，，D是AB上一点，，，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为________________．
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12．如图，在中，．是上的一个动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则点运动过程中，的最小值是___．
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三、解答题
13．在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．
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（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；
（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．
14．如图，△ABC为等边三角形，点D为 ( http: / / www.21cnjy.com )线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠BDF＝30°
（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的长；
（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．21cnjy.com
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15．如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、．21·cn·jy·com
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（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明；www-2-1-cnjy-com
（3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围．【出处：21教育名师】
16．已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ．
（2）将图1中的ADE绕点A顺时针旋转90度，补全旋转后的图形，井判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
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17．如图所示，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE与AD交于点O．
（1）求证：AD＝BE
（2）如图2，若AD与CE交于点N，AC与BE交于点M，连接MN，求证：△CMN为等边三角形．
（3）在（2）的条件下，如图3，BG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，当AG＝OH时，试探究线段BD、MN、AM之间的关系．21世纪教育网版权所有
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18．已知，点在射线，，点在射线上运动，为钝角，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．21教育网
（1）如图，求证：；
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（2）点在射线上，且，点为的中点．
①如图，当时，求证：是等边三角形；
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②如图，当时，用含的代数式直接写出的长．
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19．如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面积．
（2）如图1，点C在线段AB上（不与A ( http: / / www.21cnjy.com )、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．2-1-c-n-j-y
（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正 ( http: / / www.21cnjy.com )半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．21*cnjy*com
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20．如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．21*cnjy*com
（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；
（2）求证：∠BDF＝∠EFC；
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题09 几何模型之旋转模型专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，将绕点顺时针旋转得到，点、、在同一条直线上．若，则的度数是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可；
【详解详析】
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，，
∴，
∵点、、在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，准确计算是解题的关键．
2．如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBE＝S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．上述结论中正确的个数是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
①通过证明△BOD≌△COE可得结论；②根据①的结论可以推出；③S△ODE随OE的变化而变化；④当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长为2+OE最小．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
∴①正确；
∵△BOD≌△COE，
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═S△ABC，
故②正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∴S△ODE＝×OE×OE＝OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；
故③错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝2+1＝3，
故④正确．
综上所述，正确的有①②④共3个．
故选C．
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【名师指路】
本题考查了等边角形性质，图形的旋转，三角形全等，勾股定理，动点问题，熟练等边三角的性质是解题的关键．21·世纪*教育网
3．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
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A．36 B．21 C．30 D．22
【标准答案】B
【思路指引】
将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．
【详解详析】
解：如图，将关于AE对称得到，
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则，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即与的面积之和为21，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
4．如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（ ）
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A．点O与的距离为4 B．
C．S四边形AOBO′ D．
【标准答案】D
【思路指引】
证明，得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，进而可判断．
【详解详析】
解：如图1，连接OO′，
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由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故A正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故B正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4，
故C正确；
如图2
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将绕点顺时针旋转60°到位置，
同理可得，
故D错误；
故选D．
【名师指路】
此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
5．如图，在和中，，，，点，，分别是，，的中点．把绕点在平面自由旋转，则的面积不可能是（ ）
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A．8 B．6 C．4 D．2
【标准答案】A
【思路指引】
由于已知两个三角形是等腰直角三角形并且构成手拉手模型，所以连接，，的延长线交的延长线于，交于．根据中位线定理以及角的关系证明是等腰直角三角形，再利用三角形的三边关系求出PQ的范围即可解决问题．【出处：21教育名师】
【详解详析】
连接，，的延长线交的延长线于，交于．
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∵，，，
∴，
∴≌，
∴，，
∵，
∴，
∵点，，分别是，，的中点，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积不可能是8，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．21·cn·jy·com
6．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ， 将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（ ）
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A．2﹣ B． C．2（﹣1） D．1
【标准答案】C
【思路指引】
如图，作辅助线；根据等边三角形证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠MBB′=∠MBA=30°；求出BM、C′M的长，即可解决问题.
【详解详析】
解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；
由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′=∠MBA=30°，
∴BM⊥AB′，且AM=B′M；
由题意得： ，
∴AB′=AB=4，AM=2，
∴C′M=AB′=2；由勾股定理可求：BM=2 ，
∴C′B=2﹣2，
故选：C.
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【名师指路】
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题
7．如图，在和中，，，，边与边相交于点（不与点，重合），点，分别在的两侧．
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（1）若，则的大小为_______；
（2）的最大值为_______；
（3）当是等腰三角形，且为腰时，的大小为_______．
【标准答案】 6 或
【思路指引】
（1）证，可得，利用等式性质可得.由∠BAD=40°可得∠CAE=40°；
（2）由，可得， 当时，∠B=30°，可求最小即可；
（3）当或时，利用外角和三角形内角和即可求出．
【详解详析】
解：（1）∵在 和中，
，
∴，
∴，
即，
∴.
∵∠BAD=40°，
∴∠CAE=40°，
故答案为:40°；
（2）∵，
∴，
当时，∠B=30°，
最小，
最大=.
故答案为：6；
（3）当时，
则，
∴；
当时，
则.
∵，
∴，
∴.
综上所述，的度数为或.
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查三角形全等变换，点到直 ( http: / / www.21cnjy.com )线的最短距离，等腰三角形，掌握三角形全等变换性质，点到直线的最短距离，等腰三角形性质，利用等腰三角形腰分类讨论是解题关键．21教育名师原创作品
8．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______．
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【标准答案】
【思路指引】
在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解．
【详解详析】
解：在CD上截取CG=CF，连接AG，
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∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，
∴，
∴∠AGC=∠CFD，
设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，
∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB，
又∵AE=AB，
∴，
∴AF=BG=5x，
∴BD=BG-GD=4x，
∴．
【名师指路】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
9．△ABC和△DCE是等边三角形，则在下图中，△ACE绕着____点_____旋转____度可得到△BCD．
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【标准答案】C 逆时针方向 60
【思路指引】
先根据等边三角形的性质，运用SAS证明△ACE≌△BCD，再由旋转的定义即可求解．
【详解详析】
解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴CA=CB，CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠BCD=60°+∠ACD，
在△ACE与△BCD中，
∵CA＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴△ACE绕点C逆时针方向旋转60度可得到△BCD．
故答案为：C；逆时针方向；60．
【名师指路】
本题考查了旋转的定义和旋转的性质，解决本题的关键是要熟练掌握旋转图形的性质．
10．如图，在中，，将绕点B按逆时针旋转度（）到，边和边相交于点P，边和边相交与点Q，当为等腰三角形时，则______．
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【标准答案】或．
【思路指引】
由题意过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转的性质和全等三角形的性质得到BP平分∠A'PC，再根据∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．
【详解详析】
解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
∴∠A′EB=∠ADB，
由旋转可得，A′B=AB，∠A′=∠A，
在△A′BE和△ABD中
△A′BE≌△ABD（AAS），
∴BD＝BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，
∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，
∴∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB＝PQ时，∠PBQ＝∠PQB＝∠C+∠QBC＝40°+θ，
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∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB＝180°，
∴90°﹣θ+2×（40°+θ）＝180°，
解得θ＝；
②如图所示，当BP＝BQ时，∠BPQ＝∠BQP，
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即90°﹣θ＝40°+θ，
解得θ＝；
③当QP＝QB时，∠QPB＝∠QBP＝90°﹣θ，
又∵∠BQP＝40°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP＝2（90°﹣θ）+40°+θ＝220°＞180°（不合题意），
故答案为：或．
【名师指路】
本题主要考查等腰三角形的性质以及旋 ( http: / / www.21cnjy.com )转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．21cnjy.com
11．如图，等腰△ABC中，，D是AB上一点，，，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为________________．
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【标准答案】
【思路指引】
如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M，证明△TDF≌△BED（SAS），推出BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，TM＝FM＝，再利用直角三角形30度角的性质求出AT即可解决问题．
【详解详析】
解：如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．
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∵AB＝AC，∠BAC＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∵∠TDE＝∠B+∠DEB＝∠TDF+∠EDF，∠EDF＝∠B＝15°，
∴∠TDF＝∠BED，
∵DT＝EB，DF＝DE，
∴△TDF≌△BED（SAS），
∴BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，
∵∠TFC＝∠TAF+∠ATF＝45°，TM⊥FM，
∴TM＝FM＝，
在Rt△ATM中，∵∠TAM＝30°，
∴AT＝2TM＝，
∴BE＝DT＝AD+AT＝1+，
故答案为1+．
【名师指路】
本题考查旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
12．如图，在中，．是上的一个动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则点运动过程中，的最小值是___．
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【标准答案】
【思路指引】
延长AC至F使CF=AC，可证△AEF≌△ADB，可得∠AFE=30°，当CE⊥EF时，CE最小，求出CF即可．
【详解详析】
解：延长AC至F使CF=AC，
∵，
∴AB=2AC，∠BAC=60°，
∴AB=AF，
∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠FAE，
∴△AEF≌△ADB，
∴∠F=∠B=30°，
故点E在直线FA绕点F逆时针旋转30°的直线上，当CE⊥EF时，CE最小；
∵，，
∴AC=，即CF=，
当CE⊥EF时，，
故答案为：．
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【名师指路】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点E的运动轨迹．2-1-c-n-j-y
三、解答题
13．在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．
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（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；
（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．
【标准答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF，理由见解析；（3）4
【思路指引】
（1）根据等腰三角形的性质及已知，可得∠DBC=∠F=30゜，从而可得DE=DF；
（2）仍有DE=DF；过点D作DG∥BC交AB于点G，可证明△DGE≌△DCF，从而可得DE=DF；
（3）过点D作DG∥BC交AB于点G，可证明△DGE≌△DCF，从而可得GE=CF；设BC=a，则CF=8－a，，，则可得方程，解方程即可求得a．
【详解详析】
（1）∵△ABC是等边三角形，D点为AC的中点
∴∠DBC=30゜
∵∠EDF=120゜
∴∠F=180゜―∠DBC―∠EDF=30゜
∴∠DBC=∠F
∴DE=DF
故答案为：DE=DF
（2）仍有DE=DF；理由如下：
过点D作DG∥BC交AB于点G，如图2所示
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则∠AGD=∠ABC
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60゜
∴∠AGD=∠A=60゜
∴△AGD是等边三角形
∴∠ADG=∠AGD=60゜，AD=GD
∴∠DGE=∠GDC=120゜
∴∠EDF=∠GDC=120゜
∵∠GDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF
∴∠GDE=∠CDF
∵D点是AC的中点
∴AD=DC=GD
∵∠ACB=60゜
∴∠DCF=120゜
∴∠DGE=∠DCF
在△DGE和△DCF中
∴△DGE≌△DCF(ASA)
∴DE=DF
（3）过点D作DG∥BC交AB于点G，如图3所示
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与（2）同理有：△DGE≌△DCF
∴GE=CF
设BC=a，则CF=8－a，
∴
由GE=CF，得：
解得：a=4
【名师指路】
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是本题后两问的关键．
14．如图，△ABC为等边三角形，点D为 ( http: / / www.21cnjy.com )线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF交于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠BDF＝30°
（2）若∠EFD＝45°，AC＝+1，求BD的长；
（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角△DMN，其中DN＝MN＝，连接FM，点O为FM的中点，当△DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．
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【标准答案】（1）见解析；（2）2；（3）见解析
【思路指引】
（1）由△ABC是等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )，可得∠ABC=60°，由D、F关于直线BE对称，得到BF=BD，则∠BFD=∠BDF，由三角形外角的性质得到∠BFD+∠BDF=∠ABD，则∠BDF=∠BFD=30°；
（2）设，由D、F关于直线BE对称，得到∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，EG=DG，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得，，证明△EAB≌△DAC得到，再由，得到，由此求解即可；
（3）连接OG，先求出，证明OG是三角形DMF的中位线，得到，再根据两点之间线段最短可知，则OE的最大值等于BC．
【详解详析】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵D、F关于直线BE对称，
∴BF=BD，
∴∠BFD=∠BDF，
∵∠BFD+∠BDF=∠ABD，
∴∠BDF=∠BFD=30°；
（2）设，
∵D、F关于直线BE对称，
∴∠BGD=∠BGF=90°，EF=ED，
∴∠EDG=EFG=45°，
∴EG=DG，
∵∠BDG=30°，
∴，
∴，
由旋转的性质可得AE=AD，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠EAB=∠DAC，
又∵AB=AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，连接OG，
∵在等腰直角三角形DMN中，，
∴，
∵D、F关于直线BE对称，
∴G为DF的中点，
又∵O为FM的中点，
∴OG是三角形DMF的中位线，
∴，
由（2）可得，
根据两点之间线段最短可知，
∴OE的最大值等于BC．
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【名师指路】
本题主要考查了等边三角形的性质，轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，三角形中位线定理，两点之间线段最短等等，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质．
15．如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、．
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（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明；
（3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围．
【标准答案】（1）见解析；（2）FG=FC，证明见解析；（3）变化，．
【思路指引】
（1）根据SAS证△ABE≌△ACD，即可得证CD=BE，又AB=BC，即可得证结论；
（2）取AD的中点H，连接HF，HG，BF，根据三角形的中位线定理得HG=AC，FH=ED，根据SAS证△BEF≌△GHF，得出FB=FG，又FB=FC，故FG=FC；
（3）先判断当E点与B点重合时FG有最大值，当E点与C点重合时FG有最小值求出FG的取值范围即可．
【详解详析】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=BC，
由旋转可知，AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD，
∴BC=BE+EC=CD+EC，
∴AB=EC+CD；
（2）FG=FC，
理由：取AD的中点H，连接HF，HG，BF，
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∵等边三角形ABC，AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴∠CAE=∠BAC=30°，∠FEB=90°，FB=FC，
∵∠EAD=60°，AD=AE，
∴∠CAD=30°，△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，∠ADE=60°，
∵点H是AD的中点，点F是AE的中点，点G是CD的中点，
∴HG∥AC，HG=AC，FH∥ED，FH=ED，
∴∠DHG=∠DAC=30°，∠AHF=∠ADE=60°，FH=EF，GH=BE，
∴∠FHG=∠BEF=90°，
在△BEF和△GHF中，
，
∴△BEF≌△GHF（SAS），
∴FB=FG，
∵AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴FB=FC，
∴FG=FC；
（3）FG长度发生变化，3≤FG≤3，
理由：当点E与点B重合时，则点G与点C重合，此时FG最长，如下图，
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∵△ABC是等边三角形，点F是AE的中点，
∴AF=AB=×6=3，
∴，
当点E与点C重合时，此时FG最短，如下图，
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∵点F是AE的中点，点G是CD的中点，
∴FG=AD=AC=×6=3，
∴．
【名师指路】
本题主要考查图形的旋转变换 ( http: / / www.21cnjy.com )，涉及全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键．
16．已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ．
（2）将图1中的ADE绕点A顺时针旋转90度，补全旋转后的图形，井判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
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【标准答案】（1），；（2）成立，见解析；
【思路指引】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用，，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质得出，再证明，进而得出，，，即可得出与的位置关系及数量关系．
【详解详析】
解：（1）由题意可得：
∵为的中点
∴，，
∴
∴，
∵，
∴
∵为等腰直角三角形
∴
∴
∴且
（2）成立，
延长至点，使得，连接，如下图：
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在和中
∴
∴，
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴，
∴
又∵
∴且
【名师指路】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定得出是解题的关键．
17．如图所示，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE与AD交于点O．
（1）求证：AD＝BE
（2）如图2，若AD与CE交于点N，AC与BE交于点M，连接MN，求证：△CMN为等边三角形．
（3）在（2）的条件下，如图3，BG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，当AG＝OH时，试探究线段BD、MN、AM之间的关系．【来源：21cnj*y.co*m】
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【思路指引】
（1）根据已知条件证明即可得证；
（2）证明，再证明可得，进而证明△CMN为等边三角形；
（3）由（2）可知，又对顶角相等，根据三角形内角和定理可得，结合条件，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而根据，可得，证明，即可得到，设等边的边长为，等边的边长为，即可得到．
【详解详析】
（1）和是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，
，，
，
，
（SAS）
，
（2）
，即，
，
，
在和中，
，
，
又，
△CMN为等边三角形；
（3）如图，
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又
在中
，
，，
，
又
即，
，，
，
设等边的边长为，等边的边长为
则
【名师指路】
本题考查了三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
18．已知，点在射线，，点在射线上运动，为钝角，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．21教育网
（1）如图，求证：；
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（2）点在射线上，且，点为的中点．
①如图，当时，求证：是等边三角形；
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②如图，当时，用含的代数式直接写出的长．
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【思路指引】
（1）由题意可得，根据三角形内角和即可求解；
（2）①作，，根据全等三角形的性质找到边之间的关系，得到，再根据直角三角形的性质，得到，即可求解；②由题意可得为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可．
【详解详析】
解：（1）由旋转的性质可得
则
由三角形内角和定理可得：
∴
（2）①如图，作，，则
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由（1）得，∴
又∵
∴
∴，
又∵，
∴
∴
∵点为的中点
∴
∵
∴
∴
在中，，∴
∴
∴
又∵
∴为等边三角形
②由①得
∵
∴为等腰直角三角形
设，则，即
解得
故答案为
【名师指路】
此题为几何变换综合题，主要考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质，正确构造出全等三角形是解题的关键．
19．如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面积．
（2）如图1，点C在线段A ( http: / / www.21cnjy.com )B上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．
（3）如图2，点E是x轴上一动 ( http: / / www.21cnjy.com )点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．
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【标准答案】（1）2；（2）CD＝BD+AC，证明见解析；（3）KE＝BK+EA或EA＝BK+KE，证明见解析
【思路指引】
（1）根据关于y轴对称的性质得到a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到结果；
（2）先判断出，进而判断出，得出OD=OE，BD=AE，进而判断出△DOC≌△EOC（SAS），即可得出结论；
（3）分五种情况，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解详析】
解：（1）由题意可得：a＝2，b＝2，
∴OA＝2，OB＝2，
∴，
（2）CD＝BD+AC，过点O作OE⊥OD交BC的延长线于E，
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∵∠BOD+∠DOA＝90°，∠AOE+∠DOA＝90°，
∴∠BOD＝∠AOE，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠OAE＝∠OBD＝135°，
在△OBD和△OAE中，
，
∴△OBD≌△OAE（ASA），
∴OD＝OE，BD＝AE，
∴BD+AC＝AC+AE＝CE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD＝CE＝BD+AC；
（3）∵∠OAB＝45°，∠EFK＝∠OAB，
∴∠EFK＝45°，
①当E在A右侧时，K不在y轴正半轴上，不合题意；
②当E在A上时，K与O重合，不合题意；
③当E在A，O之间时，过点F作FM⊥FE交y轴于点M，连接FB，FA，
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∵F（2，2），A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB，AF⊥x轴，BF⊥y轴，
∵∠FBO＝∠FAO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形AOBF是矩形，
∵OA＝OB，
∴矩形AOBF是正方形，
∴AF＝BF，∠AFB＝90°，
∴∠EFA＝90°﹣∠BFE，
∵FM⊥FE，
∴∠EFM＝90°，
∴∠MFB＝90°﹣∠BFE，
∴∠MFB＝∠EFA，
在△MFB与△EFA中，
，
∴△MFB≌△EFA（ASA），
∴MB＝EA，MF＝EF，
∵∠KFE＝45°，
∴∠KFM＝90°﹣45°＝45°，
在△KFM和△KFE中，
，
∴△KFM≌△KFE（SAS），
∴KE＝KM＝BK+MB＝BK+EA，
即KE＝BK+EA；
④当E在O上时，BK＝0，KE＝EA＝2，
也满足KE＝BK+EA；
⑤当E在O左侧时，同理可证，△BFM≌△AFE（ASA），
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∴EA＝MB，
同理可证△KFM≌△KFE（SAS），
∴MK＝KE，
∴EA＝BK+KE，
综上所述：KE＝BK+EA或EA＝BK+KE．
【名师指路】
此题考查几何变换的综合题，解题的关键是构造全等三角形，根据全等三角形的判定和性质解答．
20．如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．21*cnjy*com
（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；
（2）求证：∠BDF＝∠EFC；
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）．【版权所有：21教育】
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【标准答案】（1）∠DEF＝∠ACE，证明见解析；（2）见解析；（3）k
【思路指引】
（1）由三角形外角的性质可得出答案；
（2）连接CD，过点E作AC的平行线与 ( http: / / www.21cnjy.com )CD交于点M，证明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性质可得出∠EDF＝∠EMC，证出∠EMD＝∠EFC，则可得出结论；21*cnjy*com
（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点M，证明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性质可得出GF＝DC，证出GD＝DM，则根据平行线分线段成比例即可得出答案．
【详解详析】
解：（1）∠DEF＝∠ACE．
证明：∵∠DEC是△ACE的外角，
∴∠DEC＝∠A+∠ACE，
∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，
∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE，
∵∠CEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠ACE；
（2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，
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∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵EM∥AC，
∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE，
∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM，
∴ED＝EM，
又∵EF＝EC，
∴△DEF≌△MEC（SAS），
∴∠EDF＝∠EMC，
∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°，
∴∠BDF＝∠EMC，
∵EM∥AC，
∴∠DEM＝∠A，
∵∠A＝∠CEF，
∴∠DEM＝∠CEF，
∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝，
∴∠EMD＝∠EFC，
∴∠BDF＝∠EFC；
（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，
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∵EG＝AG，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°，
∴∠DAC＝∠GED，
∵∠CEF＝∠DAC，
∴∠DEG＝∠CEF，
∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF，
即∠GEF＝∠DEC，
∵△DEF≌△MEC，
∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC，
又∵EF＝EC，
∴△EFG≌△ECD（ASA），
∴GF＝DC，
∴DC﹣MC＝GF﹣DF，
即GD＝DM，
∵EM∥AC，
∴，
∴．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．21世纪教育网版权所有
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