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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题10几何模型之全等三角形综合问题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，△ABC和△ECD ( http: / / www.21cnjy.com )都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝CD；④△ABD是直角三角形．其中正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，已知锐角∠AOB ( http: / / www.21cnjy.com )．在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交射线OB于点D，连结CD；分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，连结CP，DP；作射线OP，交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论①CP//OB；②∠AOP = ∠BOP；③OP⊥CD．其中正确的结论（ ）21·cn·jy·com
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A．①②③ B．②③ C．①③ D．③
3．如图，AB＝AC，点D、E分 ( http: / / www.21cnjy.com )别在AC、AB上，且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，则下列结论错误的是（ ）
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A．△EBM≌△DCM
B．若S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点
C．MA平分∠EMD
D．若E是AB的中点，则BM+AC＜EM+BD
4．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC四个结论：①AD=BE；②PQ∥ AE；③PQ=OC；④．其中结论正确的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
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A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
6．如图，D为∠BAC的外角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有（ ）21世纪教育网版权所有
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在△ABC的右侧以A ( http: / / www.21cnjy.com )C为边构造等腰Rt△ACD，其中∠CAD为90°，在BC的延长线上取一点E，使∠ADE＝∠ACB．若DE＝BC，且四边形ACED的面积为8，则AB的长为（ ）
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A．2 B．4 C． D．8
8．如图，正三角形△ABC和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ． ①AD=BE；②PQAE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有（ ）个．2·1·c·n·j·y
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A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
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A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
10．如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）．
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A．①③④ B．①② C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．如图，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FGBE；④∠BOC＝∠EOC．其中正确结论有_______．21·世纪*教育网
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12．如图，已知△ABC和△A ( http: / / www.21cnjy.com )DE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE＝CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB＝45°．其中结论正确的是_____．
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13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C＝90°，AB＝AC．∠ABC的角平分线交AC于点E，AD⊥BE交BE于点F，交BC于点D．O为BC的中点，连接OF，若DF＝a，EF＝b，则BF＝__________．（用含a，b的式子表示）www-2-1-cnjy-com
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14．如图，点D为△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )边AB上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若四边形BDEC的面积为8，则DE的长为 ___．21*cnjy*com
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15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于______．【来源：21cnj*y.co*m】
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16．如图，AE与BD相交于点C ( http: / / www.21cnjy.com )，AC＝EC，BC＝DC，AB＝5cm，点P从点A出发，沿A→B方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．【出处：21教育名师】
（1）AP的长为 ___cm．（用含t的代数式表示）
（2）连接PQ，当线段PQ经过点C时，t＝___s．
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三、解答题
17．如图，是等腰直角三角形，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动．点出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接，设点的运动时间为秒．【版权所有：21教育】
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（1）的边上高为______；
（2）求的长（用含的式子表示）；
（3）就图中情形求证：≌；
（4）当：：时，直接写出的值．
18．（探究发现）
（1）如图1，△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 ．2-1-c-n-j-y
（类比应用）
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．21教育名师原创作品
（拓展延伸）
（3）在△ABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．21*cnjy*com
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19．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
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（感知）
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为 ．
（探究）
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．
20．已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在线段AB上，∠PDQ＝120°．
（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：DB＝DP；
（2）如图2，若点P在线段BC上，AC＝6，求AQ+PC的值．
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21．如图1，AM为△ABC的BC边的中线，点P为AM上一点，连接PB．
（1）若P为线段AM的中点．
①设△ABP的面积为S1，△ABC的面积为S，求的值；
②已知AB＝5，AC＝3，设AP＝x，求x的取值范围．
（2）如图2，若AC＝BP，求证：∠BPM＝∠CAM．
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22．已知∠MAN，AC平分∠MAN，D为AM上一点，B为AN上一点．
（1）如图①所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；
（2）如图②所示，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
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23．如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．求证：．
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24．（教材呈现）如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容
已知：如图，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得．
（问题解决）请根据教材分析，结合图①写出证明的过程．
（类比探究）
（1）如图②，是的平分线，是上任意一点，点，分别在和上，连接和，若，求证：；21教育网
（2）如图③，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
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专题10几何模型之全等三角形综合问题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，△ABC和△ECD都是等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝CD；④△ABD是直角三角形．其中正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
根据等腰直角三角形的性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；利用CE＝CD和三角形三边之间的关系可对③进行判断；根据△ACE≌△BCD得到∠BDC＝∠E＝45°，则可对④进行判断．
【详解详析】
∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），所以①正确；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
而∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确；
∵AE+AC＞CE，CE＝CD，
∴AE+AC＞CD，所以③错误；
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠E＝45°，
∵∠CDE＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，
∴△ADB为直角三角形，所以④正确．
故选：C．
【名师指路】
本题是考查了全等三角形的判定和 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的判定与性质等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
2．如图，已知锐角∠AOB．在射线OA上取一 ( http: / / www.21cnjy.com )点C，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交射线OB于点D，连结CD；分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，连结CP，DP；作射线OP，交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论①CP//OB；②∠AOP = ∠BOP；③OP⊥CD．其中正确的结论（ ）
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A．①②③ B．②③ C．①③ D．③
【标准答案】B
【思路指引】
证明△OCP≌△ODP，得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )AOP = ∠BOP，故②正确；根据OC=OD，∠AOP = ∠BOP，得到OQ⊥CD，故③正确；根据∠CPO 不一定等于∠BOP，得到CP不一定平行OB，故①不正确，问题得解．
【详解详析】
解：由题意得，OC=OD，PC=PD，
又∵OP=OP，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠AOP = ∠BOP，故②正确；
∵OC=OD，∠AOP = ∠BOP，
∴OQ⊥CD，即OP⊥CD，故③正确；
由△OCP≌△ODP，
∴∠AOP = ∠BOP，∠CPO = ∠DPO，
但∠CPO 不一定等于∠BOP，
∴CP不一定平行OB，故①不正确．
故选：B
【名师指路】
本题考查了尺规作图，全等三角形性质，等腰三角形性质等知识，理解尺规作图，得到OC=OD，PC=PD，进而得到△OCP≌△ODP是解题关键．21教育名师原创作品
3．如图，AB＝AC，点D、E分 ( http: / / www.21cnjy.com )别在AC、AB上，且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，则下列结论错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．△EBM≌△DCM
B．若S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点
C．MA平分∠EMD
D．若E是AB的中点，则BM+AC＜EM+BD
【标准答案】D
【思路指引】
根据全等三角形的判定与性质分别证明△AB ( http: / / www.21cnjy.com )D≌△ACE，△EBM≌△DCM，△AEM≌△ADM即可判断选项A、B、C，延长ME至N，使得EN =EM，连接AN，证明△ANE≌△BME，得到AN=BM，由CE=BD和三角形三边关系可判断选项D．
【详解详析】
解：∵AB=AC，∠BAD＝∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C，BD=CE，
∵AB=AC，AE＝AD，
∴AB－AE=AC－AD，
∴BE=CD，又∠B＝∠C，∠EMB＝∠DMC，
∴△EBM≌△DCM（AAS），故选项A正确，不符合题意；
∴ME=MD，又AE=AD，AM=AM，
∴△AEM≌△ADM（SSS），
∴∠AME＝∠AMD，S△AEM=S△ADM，
∴MA平分∠EMD，故选项C正确，不符合题意；
若S△BEM＝S△ADM，则S△BEM＝S△AEM，
∴ME为△AMB的中线，
∴点E为AB的中点，故选项B正确，不符合题意；
延长ME至N，使得EN =EM，连接AN，
若E是AB的中点，则AE=BE，
又EN =EM，∠AEN＝∠BEM，
∴△ANE≌△BME(SAS)，
∴AN=BM，又BD=CE，
∴BM+AC=AN+AC＞CN=EN+CE=EM+BD，
即BM+AC＞EM+BD，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
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【名师指路】
本题考查全等三角形的判定与性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的三边关系、三角形的中线性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能灵活的运用是解答的关键．
4．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC四个结论：①AD=BE；②PQ∥ AE；③PQ=OC；④．其中结论正确的个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，可知①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
③根据ASA证明△ACP≌△BCQ，得出CP=CQ，推出△PCQ为正三角形,得出PQ=CQ≠OC，可知③错误；
④根据SAS证明△ACD≌△B ( http: / / www.21cnjy.com )CE（SAS），得出∠CAD=∠CBE，由∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，可得∠AOB=60°，可知④正确．
【详解详析】
①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBQ=∠CAP，
∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CQ=CP，
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴，故本选项正确；
③∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ为正三角形,
∴PQ=CQ≠OC，故本选项错误；
④∵△ABC、△DCE为正三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，
∴∠AOB=60°，故本选项正确．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．21·cn·jy·com
5．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
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A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【标准答案】A
【思路指引】
利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．
【详解详析】
在图1中，利用基本作图可判断AD ( http: / / www.21cnjy.com )平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，根据作法可知：
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AE=AF，AM=AN，
在△AMF和△ANE中，
，
∴△AMF≌△ANE（SAS），
∴∠AMD=∠AND，
∵AE=AF，AM=AN，
∴ME=NF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（AAS），
所以D点到AM和AN的距离相等，
∴AD平分∠BAC．
综上，不能判断射线AD平分∠BAC的是图2．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
6．如图，D为∠BAC的 ( http: / / www.21cnjy.com )外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】D
【思路指引】
利用AAS证明△CDE≌△ ( http: / / www.21cnjy.com )BDF，可判断①④正确；再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，可判断②正确；由∠BAC＝∠EDF，∠FDE＝∠BDC，可判断③正确．
【详解详析】
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠FDB＝∠EDC，
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
故①正确；
∴CE＝BF，
在Rt△ADE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，
故②正确；
∵∠DFA＝∠DEA＝90°，
∴∠EDF+∠FAE＝180°，
∵∠BAC+∠FAE＝180°，
∴∠FDE＝∠BAC，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC，
故③正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF＝∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠DBC+∠ACB，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠ABD＝∠DCE，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴2∠DAF＝∠DCE+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB＝2∠DBC，
∴∠DAF＝∠CBD，
故④正确
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，外角的性质等，熟悉掌握全等三角形的判定方法，灵活寻找条件是解题的关键．www.21-cn-jy.com
7．如图，在△ABC的右侧以 ( http: / / www.21cnjy.com )AC为边构造等腰Rt△ACD，其中∠CAD为90°，在BC的延长线上取一点E，使∠ADE＝∠ACB．若DE＝BC，且四边形ACED的面积为8，则AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B．4 C． D．8
【标准答案】B
【思路指引】
连接AE，根据SAS证明，得出，求出为等腰直角三角形，即可求出AB的长．
【详解详析】
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如图，连接AE，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
解得：．
故选：B．
【名师指路】
本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线，找全等三角形进行代换是解题的关键．
8．如图，正三角形△ABC和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ． ①AD=BE；②PQAE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有（ ）个．
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A．2 B．3 C．4 D．5
【标准答案】C
【思路指引】
先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质即可判断①；先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的判定即可判断②；根据即可判断③；先根据可得，再在中可得，由此可判断④；根据可得，即可判断⑤．
【详解详析】
解：和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，结论①成立；
由得：，即，
，
，
在和中，，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，结论②成立；
由上已证：，
，结论③成立；
由上已证：，
，即，
在中，，
，
，结论④不成立；
，
，
即，结论⑤成立；
综上，成立的结论为①②③⑤，共有4个，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．21·世纪*教育网
9．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
【标准答案】C
【思路指引】
根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解详析】
解：根据题意可知：AB＝AC，，
若，则根据可以证明△ABE≌△ACD，故A不符合题意；
若AD＝AE，则根据可以证明△ABE≌△ACD，故B不符合题意；
若BE＝CD，则根据不可以证明△ABE≌△ACD，故C符合题意；
若∠AEB＝∠ADC，则根据可以证明△ABE≌△ACD，故D不符合题意；
故选：C．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．
10．如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①③④ B．①② C．②③④ D．①②③④
【标准答案】D
【思路指引】
证明△APB≌△CEB得到AP＝CE ( http: / / www.21cnjy.com )，即可判断①；由△APB≌△CEB，得到∠APB＝∠CEB，再由∠MCP＝∠BCE，推出∠PME＝∠PBE＝60°，即可判断②；过点B作BN⊥AM 于N， BF⊥ME 于F，证明△BNP≌△BFE得到BN＝BF，得到BM 平分∠AME，即可判定③；在BM上截取 BK＝CM，连接 AK，先证明∠ACM＝∠ABK，即可证明△ACM≌△ABK得到AK＝AM，推出△AMK 为等边三角形，则 AM＝MK， AM+MC＝BM，即可判断④．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
证明：①∵等边△ABC 和等边△BPE，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBE＝60°，BP＝BE，
在△APB 和△CEB 中，
∴△APB≌△CEB（SAS），
∴AP＝CE，故此选项正确；
②∵△APB≌△CEB，
∴∠APB＝∠CEB，
∵∠MCP＝∠BCE，
则∠PME＝∠PBE＝60°，故此选项正确；
③过点B作BN⊥AM 于N， BF⊥ME 于F，
∵△APB≌△CEB，
∴∠BPN＝∠FEB，
在△BNP 和△BFE 中，
，
∴△BNP≌△BFE（AAS），
∴BN＝BF，
∴BM 平分∠AME，故此选项正确；
④在BM上截取 BK＝CM，连接 AK，
由②知∠PME＝60°，
∴∠AMC＝120°，
由③知：BM 平分∠AME，
∴∠BMC＝∠AMK＝60°，
∴∠AMK=∠ACB=60°，
又∵∠AHM=∠BHC，
∴∠∠CAM=∠CBH，
∵∠CAM+∠ACM=∠EMP=60°，
∴∠CBH+∠ACM=60°，
∴∠ABK+∠PBM＝60°＝∠PBM+∠ACM，
∴∠ACM＝∠ABK，
在△ABK 和△ACM 中
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△ACM≌△ABK（SAS），
∴AK＝AM，
∴△AMK 为等边三角形，则 AM＝MK， 故 AM+MC＝BM，故此选项正确；
故选D．
【名师指路】
此题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定，角平分线的判定等知识，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．21世纪教育网版权所有
二、填空题
11．如图，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FGBE；④∠BOC＝∠EOC．其中正确结论有_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①②③④
【思路指引】
首先根据等边三角形的性质，得到BC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，想办法证明CN＝CM即可判断④正确；
【详解详析】
解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，（①正确）
∠CBD＝∠CAE，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG＝BF，（②正确）
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF＝CG，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠CFG＝∠FCB＝60°，
∴FG∥BE，（③正确）
过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM，
∴CM＝CN，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）
∴∠BOC＝∠EOC，
∴④正确；
故答案为：①②③④．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题考查了等边三角形的判定与性质与全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，已知△ABC和△ADE都是 ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE＝CD；②BE⊥CD；③OA平分∠CAE；④∠AOB＝45°．其中结论正确的是_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①②④
【思路指引】
根据全等三角形的判定可得，再利用全等三角形的性质即可判断①；②由全等三角形的性质可得，再由，证得即可判断② ；过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，根据全等三角形面积相等和，证得，即AO平分即可判断④；根据现有条件无法证明OA平分即可判断③．
【详解详析】
解：∵和都是等腰三角形，，
∴，，，
在与中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴BE⊥CD，故②正确；
如图，过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
∴，
∴OA平分，
∵BE⊥CD，
∴，
∴，故④正确；
根据现有条件无法证明OA平分，故③错误，
正确选项为①②④，
故答案为：①②④．
【名师指路】
题目主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与定义，以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解答本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AB＝AC．∠ABC的角平分线交AC于点E，AD⊥BE交BE于点F，交BC于点D．O为BC的中点，连接OF，若DF＝a，EF＝b，则BF＝__________．（用含a，b的式子表示）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】2a＋b
【思路指引】
根据题意连接OA交BE于G．首先证明△ABF≌△CAD（ASA），推出AD=BG，再证明FG=EF，AF=DF即可得出答案.
【详解详析】
解：连接OA交BE于G．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB=AC，∠BAC=90°，OB=OC，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠ABO=∠OAC=∠C=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABG=22.5°，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=67.5°，
∴∠CAD=∠ABF=22.5°，
∵∠BAG=∠ACD，AB=AC，
∴△ABF≌△CAD（ASA），
∴AD=BG，
∵∠FGA=∠FAE=22.5°，∠AFG=∠AFE=90°，
∴∠AGF=∠AEF=67.5°，
∴AG=AE，∵AF⊥EG，
∴FG=FE，
∵∠BAF=∠BDF=67.5°，
∴BD=BA，∵BF⊥AD，
∴AF=DF，
∴AD=2OF=2a，
∴BF=BG+FG=AD+EF=2a+b，
故答案为：2a+b．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
14．如图，点D为△ABC的边AB ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，且AD＝AC，∠B＝45°，过D作DE⊥AC于E，若四边形BDEC的面积为8，则DE的长为 ___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】4
【思路指引】
过点C作CF⊥AB于点F，DE与CF交于 ( http: / / www.21cnjy.com )O点，先证明△ADE≌△ACF，再证明△DOF≌△COE，得到S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8，根据△BFC为等腰直角三角形求出CF，故可求解．
【详解详析】
解：过点C作CF⊥AB于点F，DE与CF交于O点
∵DE⊥AC，
∴∠AFC＝∠BFC＝∠AED＝90°，
∵∠A＝∠A，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACF（AAS），
∴AF=AE
∴DF=AD-AF=AC-AE=CE
即DF=CE
∵∠DOF=∠COE，∠DFO=∠CEO=90°
∴△DOF≌△COE
∴S△DOF=S△COE
∵四边形BDEC的面积为8，
∴S△BFC＝四边形BDEC的面积＝8，
∵∠B＝45°，
∴△BFC为等腰直角三角形
∴
∴FC=BF＝4，
∴DE=CF=4
故答案为：4．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
15．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】28
【思路指引】
延长交于，由证明，得出，得出，进而得出，即可得出结果．
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图所示，延长交于，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：28．
【名师指路】
此题考查全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，证明三角形全等得出是解题关键．
16．如图，AE与BD相交于点C， ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝EC，BC＝DC，AB＝5cm，点P从点A出发，沿A→B方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）AP的长为 ___cm．（用含t的代数式表示）
（2）连接PQ，当线段PQ经过点C时，t＝___s．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】2
【思路指引】
（1）根据路程=速度×时间求解即可；
（2）根据全等三角形在判定证明△A ( http: / / www.21cnjy.com )CB≌△ECD可得AB=DE，∠A=∠E，当PQ经过点C时，可证得△ACP≌△ECQ，则有AP=EQ，进而可得出t的方程，解方程即可．
【详解详析】
解：（1）由题意知：AP=2t，0＜t≤，
故答案为：2t；
（2）∵AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，BC＝DC，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴DE=AB=5cm，∠A＝∠E，
当PQ经过点C时，∵∠A＝∠E，AC＝EC，∠ACP＝∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP=EQ，
又∵AP=2t，DQ=t，
∴2t=5－t，
解得：t=，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
三、解答题
17．如图，是等腰直角三角形，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动．点出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接，设点的运动时间为秒．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）的边上高为______；
（2）求的长（用含的式子表示）；
（3）就图中情形求证：≌；
（4）当：：时，直接写出的值．
【标准答案】（1）3；（2）当时，，当时，；（3）见解析；（4）的值为或．
【思路指引】
（1）由题意利用等腰三角形三线合一结合直角三角形斜边中线是斜边的一半进行分析计算即可；
（2）根据题意先得出点在线段上运动的时间，进而即可用含的式子表示的长；
（3）根据题意直接利用全等三角形的SAS进行分析求证即可；
（4）由题意分当：：时，当时，以及当：：时，当时，两种情况进行分析求解即可.
【详解详析】
解：（1） 是等腰直角三角形，，，
的边上高，
故答案为：；
（2），动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在射线上运动，
点在线段上运动的时间为秒，
当时，，
当时，；
（3）证明：是等腰直角三角形，，
，
，，
，，
，
在与中，
，
≌；
（4）≌，
，
当：：时，当时，，
解得：，
当：：时，当时，，
解得：，
综上所述，的值为或．
【名师指路】
本题考查三角形上的动点问题和等腰三角形性质以 ( http: / / www.21cnjy.com )及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和对动点问题要进行分类讨论是解题的关键.21cnjy.com
18．（探究发现）
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 ．21*cnjy*com
（类比应用）
（2）如图2，△ABC中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
（拓展延伸）
（3）在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝AB，理由见解析；（3）或
【思路指引】
（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；
（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF；
（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点 ( http: / / www.21cnjy.com )E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．
【详解详析】
（1）
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，
∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，
∴∠BDF＝∠ADE，
∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，
∴△BDF≌△ADE（ASA），
∴BF＝AE，
∴AB＝AF+BF＝AF+AE；
故答案为：AB＝AF+AE；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com / )
AE+AF＝AB．理由是：
如图2，取AB中点G，连接DG，
∵点G是斜边中点，
∴DG＝AG＝BG＝AB，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，
又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，
∴∠GDF＝∠ADE，
∵DG＝AG，∠BAD＝60°，
∴△ADG为等边三角形，
∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，
∴△GDF≌△ADE（ASA），
∴GF＝AE，
∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF，
∴AE+AF＝AB；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com / )
当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，
当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，
AE＝4，此时F在BA的延长线上，
同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），
∴AF＝HE，
∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1，
∴，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当点E在AC延长线上时，如图4，
同理可得：；
综上：AF的长为或．
【名师指路】
本题考查三角形综合问题，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
19．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（感知）
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，易证△ADC≌△CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为 ．
（探究）
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE＝AD－BE．
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．
【标准答案】（1）DE＝AD＋BE；（2）见解析；（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）
【思路指引】
（1）由已知推出∠ADC=∠BE ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证 ( http: / / www.21cnjy.com )出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；
（3）与（1）（2）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案；
【详解详析】
解：（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
( http: / / www.21cnjy.com )∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴DE=AD+BE．
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE＝AD， CD＝BE，
∴DE＝CE－ CD＝AD－BE；
（3）DE=BE-AD，
理由：∵BE ( http: / / www.21cnjy.com )⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD-CE=BE-AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等）．
【名师指路】
本题考查了邻补角的意义，同角的 ( http: / / www.21cnjy.com )余角相等，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
20．已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在线段AB上，∠PDQ＝120°．
（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：DB＝DP；
（2）如图2，若点P在线段BC上，AC＝6，求AQ+PC的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）3
【思路指引】
（1）由等边三角形的性质证明，再利用三角形的内角和定理求解，从而可得结论；
（2）过点D作交于点E，先证明为等边三角形，再证明，可得，从而可得答案．
【详解详析】
（1）∵为等边三角形，
∴
∵D为的中点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，过点D作交于点E．
∵为等边三角形，，点D是的中点，
∴．
∵，
∴．，
∴为等边三角形，，
∴，
∴,
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【名师指路】
本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．如图1，AM为△ABC的BC边的中线，点P为AM上一点，连接PB．
（1）若P为线段AM的中点．
①设△ABP的面积为S1，△ABC的面积为S，求的值；
②已知AB＝5，AC＝3，设AP＝x，求x的取值范围．
（2）如图2，若AC＝BP，求证：∠BPM＝∠CAM．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）①，②；（2）证明见解析
【思路指引】
（1）①由中线定义即可得，故
②过C点作AB平行线，过B点作AC平行线，相交于点N，连接ME，可得，AB=CE，则在中，有两边之和大于第三边，两边之和小于第三边，即可求出AE的取值范围，即，又因为P为线段AM，故．
（2）延长PM到点D使PM=DM，连接DC，由边角边可证明，则对应边BP=CD相等，由等角对等边即可求得 ∠BPM=∠CDM，同理可得∠CAM=∠CDM，所以∠BPM＝∠CAM．
【详解详析】
（1）①由AM为△ABC的BC边的中线可知
由P为线段AM的中点可知
则，故
②过C点作AB平行线，过B点作AC平行线，相交于点N，连接ME
∵AB//CE
∴∠ABC=∠BCE，∠BAE=∠AEC，BM=MC
∴（AAS）
∴AB=CE
在中有
即
得
即
∵P为线段AM的中点
∴AM=2AP，
∴
即．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）延长PM到点D使PM=DM，连接DC，
∵PM=DM，∠BMP=∠CMD，BM=CM
∴（SAS）
∴BP=CD， ∠BPM=∠CDM
又∵AC＝BP
∴AC＝CD
∴∠CAM=∠CDM
∴∠BPM＝∠CAM
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【名师指路】
本题考查了三角形的综合问题，其中三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题；三角形三边的关系：任意两边的和都大于第三边；任意两边之和都要小于第三边等性质是解题的关键．【版权所有：21教育】
22．已知∠MAN，AC平分∠MAN，D为AM上一点，B为AN上一点．
（1）如图①所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB+AD＝AC；
（2）如图②所示，若∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
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【标准答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【思路指引】
（1）根据AC平分∠MAN，可得CB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )CD，∠CAB＝60°，即可证明RT△ACD≌RT△ACB，可得AD＝AB，再根据AC＝2AB，即可解题；
（2）根据AC平分∠MAN，可得CB＝C ( http: / / www.21cnjy.com )D，∠CAB＝60°，易证∠FCD＝∠BCE，即可证明△CDF≌△CBE，可得BE＝DF，再根据（1）中证明AC＝AE+AF，即可解题．
【详解详析】
解：（1）证明：∵AC平分∠MAN，
∴CB＝CD，∠CAB＝60°，
在Rt△ACD和Rt△ACB中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），
∴AD＝AB，
∵∠ACB＝90°﹣∠CAB＝30°，
∴AC＝2AB，
∴AD+AB＝AC；
（2）成立，过C作CE⊥AN于E，CF⊥AM于F，
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∵AC平分∠MAN，
∴CB＝CD，∠CAB＝60°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠DCB＝60°，
∵∠FCE＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴∠FCE＝∠BCD，
∵∠FCD+∠DCE＝∠FCE，∠BCE+∠DCE＝∠BCD，
∴∠FCD＝∠BCE，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE，（ASA）
∴BE＝DF，
∴AD+AB＝AD+AE+BE＝AD+DF+AE＝AE+AF，
∵AC＝AE+AF，
∴AD+AB＝AC．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDF≌△CBE是解题的关键．2·1·c·n·j·y
23．如图，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．求证：．
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【标准答案】见解析
【思路指引】
根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等可得结论．
【详解详析】
证明：∵平分，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
∴DF//BC．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24．（教材呈现）如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容
已知：如图，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得．
（问题解决）请根据教材分析，结合图①写出证明的过程．
（类比探究）
（1）如图②，是的平分线，是上任意一点，点，分别在和上，连接和，若，求证：；
（2）如图③，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为 ．
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【标准答案】【问题解决】见详解；【类比探究】（1）见详解；（2）18.
【问题解决】
根据题意利用AAS定理证明△OPE≌△OPD，根据全等三角形的性质证明结论；
【类比探究】（1）由题意过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，根据角平分线的性质得到PE=PF，证明△PME≌△PNF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据题意过点O作OQ⊥AB于Q，OH⊥AC于H，连接AO，进而利用的面积进行分析计算即可得出答案.
【详解详析】
解：证明：在△OPE和△OPD中，
，
∴△OPE≌△OPD（AAS），
∴PD=PE；
【类比探究】2-1-c-n-j-y
解：（1）证明：如图②，过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
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∵OC是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PE=PF，
∵∠PMO+∠PME=180°，∠PMO+∠PNO=180°，
∴∠PME=∠PNO，
在△PME和△PNF中，
，
∴△PME≌△PNF（AAS），
∴PM=PN；
（2）如图③，过点O作OQ⊥AB于Q，OH⊥AC于H，连接AO，
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∵BO、CO分别平分和，OQ⊥AB，OD⊥BC，OH⊥AC，，
∴OD=OQ=OH=3，
∴的面积，
∵的周长是12，
∴的面积.
故答案为：18.
【名师指路】
本题考查的是角平分线的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的面积计算，熟练掌握掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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