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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21·世纪·教育·网】
专题11几何思想之等腰三角形性质与判定综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°； ④AM＝AN．其中正确的有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【标准答案】C
【思路指引】
先证明ACP≌MCP，根据全等三角形的性质得到AP＝MP，判断①；再证明ABQ≌NBQ，根据全等三角形的性质得到CM＝AC＝5，BN＝AB＝6，结合图形计算，判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．21教育名师原创作品
【详解详析】
解：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACP＝∠NCP，
∵AM⊥CE，
∴，
在ACP和MCP中，
，
∴ACP≌MCP（ASA），
∴AP＝MP，∠CMA＝∠CAM，①结论正确；
∵ACP≌MCP，
∴CM＝AC＝5，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABQ＝∠NBQ，
∵AN⊥BD，
∴，
在ABQ和NBQ中，
，
∴ABQ≌NBQ（ASA），
∴BN＝AB＝6，∠BNA＝∠BAN，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝5+6﹣2＝9，②结论正确；
∵∠BAC＝110°，
∴∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，
∵∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，
∴∠CMA+∠BNA﹣∠MAN＝110°，
又∵在AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN，
∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，
∴∠MAN＝35°，③结论错误；
④∵AB＝6，AC＝5，
∴AB≠AC，
∴∠ABC≠∠ACB，
∵∠ABC＋2∠ANM＝180°，∠ACC＋2∠AMN＝180°，
∴180°－2∠ANM≠180°－2∠AMN，
∴∠AMN≠∠ANM，
∴AM≠AN，④结论错误，
∴正确的结论有①②，
故选：C．
【名师指路】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了等腰三角形的判定．
2．如图所示的正方形网格中， ( http: / / www.21cnjy.com )网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
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A．6 B．7 C．8 D．9
【标准答案】C
【思路指引】
当AB为腰时，分别以点A、点B为 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心，AB长为半径画圆，观察此时满足条件的格点数；当AB为底边时，作线段AB的垂直平分线，观察此时满足条件的格点数，由此得到答案．
【详解详析】
解：如下图：
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当AB为腰时，分别以点A、点B为圆心，A ( http: / / www.21cnjy.com )B长为半径画圆，观察可知满足条件的格点共4个；当AB为底边时，作线段AB的垂直平分线，观察可知满足条件的格点共4个，所以C是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形的点数共8个．
故选：C
【名师指路】
本题考查格点图中寻找可与已知两点构成等腰三角形的点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
3．如图，ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G，已知EF＝2，EG＝3．则AD的长为（ ）
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A．2.5 B．3.5 C． D．4
【标准答案】B
【思路指引】
根据等腰三角形三线合一的性质推出∠BAD=∠CAD，证明，得到∠G=∠GEA，推出AG=AE，过点A作AH⊥GE于E，求出EH即可得到答案．
【详解详析】
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴，
∴∠G=∠CAD，∠GEA=∠BAD，
∴∠G=∠GEA，
∴AG=AE，
过点A作AH⊥GE于E，则AD=FH，GH=EH=EG＝1.5，
∴AD=EH+EF=1.5+2=3.5，
故选：B．
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【名师指路】
此题考查等腰三角形三线合一的性质，平行线的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
4．有两块相同的直角三角板如图（１）放置（点A、B、D在同一直线上），其中，．现将绕直角顶点A顺时针旋转得到，交于点H（如图2），设旋转角为，当为等腰三角形时，旋转角的度数为（ ）
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A． B．或 C．或 D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据旋转的性质得到，当时，得到，可得，当时，得到；
【详解详析】
∵，，
∴，
∵绕直角顶点A顺时针旋转得到，
∴，
当时，则，
∴，即；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
综上所述：旋转角的度数为或．
故选C．
【名师指路】
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
5．如图，等腰△ABC底边BC的 ( http: / / www.21cnjy.com )长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（ ）
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A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【标准答案】C
【思路指引】
连接AD，由于△ABC是等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
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如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=12，
解得：AD=6（cm），
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．
故选C．
【名师指路】
本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
6．若等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，则这个三角形的周长是( )
A．12cm或15cm B．15cm C．12cm D．9cm
【标准答案】B
【思路指引】
根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系进行求解即可．
【详解详析】
解：由题意可知，等腰三角形的三条边分别为3cm，3cm，6cm或3cm，6cm，6m，
当三边分别为3cm，3cm，6cm时，3+3=6，不满足三边关系，舍去；
当三边分别为3cm，6cm，6cm时，满足三边关系，则周长为3+6+6=15cm．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形周长的计算，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．
7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ）21教育网
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①；②；③；④
A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③
【标准答案】D
【思路指引】
①根据三角形的中线性质、三角形的面积公式即可得；②先根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，再根据对顶角相等可得，由此即可得；③先根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，再根据角平分线的定义即可得；④根据等腰三角形的判定即可得．
【详解详析】
是的AC边上的中线，
，
与等底同高，
，则说法①正确；
CF是的角平分线，
，
，是高，
，
，
由对顶角相等得：，
，则说法②正确；
，是高，
，
，
又，即，
，则结论③正确；
根据已知条件不能推出，
不能推出，则说法④错误；
综上，说法正确的是①②③，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了三角形的中线、直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的性质是解题关键．21*cnjy*com
8．有一种有趣的读数法：如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．
【详解详析】
解：如图所示，过C点分别向OA、OB作垂线，垂足分别为点D、点E，
因为∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，
∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，
∴OE=CE=CD=OD,
设OE=CE=CD=OD=x,
∴BE=6-x，
∵CE∥OA，
∴,
∴，
∴，
∵OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,
∴点C处的标度等于CD的长，即为，
故选：A．
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【名师指路】
本题综合考查了等腰三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定、角平分线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合等思想方法．
二、填空题
9．如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是50°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为______．
【标准答案】100°或40°或140°
【思路指引】
根据已知利用三角形内角和定理及三角形外角的性质进行分析求解，注意分情况进行讨论．
【详解详析】
解：①∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，
∴∠A=40°．
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②∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，
∴∠BAC=50°+90°=140°．
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③∵AB=AC， AD⊥BC，∠BAD=50°，
∴∠BAC=2∠BAD=100°．
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故答案为：100°或40°或140°．
【名师指路】
此题主要考查三角形内角和定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质综合运用．
10．如图，△ABC中，AB平分∠DAC，AB⊥BC，垂足为D，若∠ADC与∠ACB互补，BC＝5，则CD的长为_________．21·cn·jy·com
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【标准答案】10
【思路指引】
构造，再证得，求得EB=BC,再通过等量代换、等角的补角相等求得∠E=∠CDE，则CE=2BC=10．
【详解详析】
解：延长AD.和CB交于点E.
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∵AB平分∠DAC
∴∠EAB=∠CAB
又∵
∴∠ABE=∠ABC
又∵AB=AB
∴
∴BC=EB=5，∠E=∠ACB，
又∵
∴∠ACB=∠CDE
∴∠E=∠CDE
∴.CD=CE
又∵CE=2BC=10
∴CD=10
故答案为：10．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，能根据全等三角形的性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．
11．如图，AB，CD相交于点E，若ABC≌ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是____．
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【标准答案】48°
【思路指引】
根据全等三角形的性质得出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，AE＝AC，根据等腰三角形的性质得出∠AEC＝∠ACE，求出∠AEC的度数，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解详析】
∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵∠BAC＝28°，
∴，
∴∠B＝∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°．
故答案为：48°．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形外角的性质；关键是全等三角形的性质．2-1-c-n-j-y
12．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为 _____cm．
【标准答案】
【思路指引】
三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和，即可求解.
【详解详析】
解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，
当3cm为腰长时，3cm+3cm=6cm，不能构成三角形，故不符合题意；
当腰长为6cm时，能组成等腰三角形，
所以，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，
故答案为：6.
【名师指路】
此题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟记三角形三边关系式解题的关键．
13．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为 ___．2·1·c·n·j·y
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【标准答案】
【思路指引】
连接AI、BI，是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
【详解详析】
连接，如图，
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点为△ABC角平分线交点，
平分，
，
由平移得：
同理可德
的周长为
阴影部分的周长为
故答案为：
【名师指路】
本题考查了角平分线的定义，平移的性质，等角对等边，添加辅助线是解题的关键．
14．如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有______个．
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【标准答案】
【思路指引】
点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形．
【详解详析】
解：①点在上时，
当时，
∵，，
∵，
∴，
∴,
∴；
当时，；
当时，；
②当点在上时，
存在，
综上，使为等腰三角形的点P有个，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键．
15．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠B＝58°，则∠1的度数是 ____．
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【标准答案】
【思路指引】
根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，根据角的和差解答即可．
【详解详析】
解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC，
( http: / / www.21cnjy.com )∴AC=CD，∠CDE=∠BAC，
∵∠B=58°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=32°，
∴∠CDE=32°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
∴∠1=∠ADC-∠CDE=13°，
故答案为：13°．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
16．如图，中，D为AC中点，E为BC上一点，连接DE，且，若，，则BC的长度为______．
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【标准答案】17
【思路指引】
取BC的中点F，连接DF，由三角形中位线定理可得，DF∥AB， 再由可得△DFE是等腰三角形，且EF=DF，则CF可求出来，从而可求得BC的长度．
【详解详析】
如图，取BC的中点F，连接DF
则BC=2CF
∵D点是AC的中点
∴DF是△ABC的中位线
∴，DF∥AB
∴∠CFD=∠ABC
∵
∴∠CFD=2∠DEC
∵∠CFD=∠DEC+∠FDE
∴∠DEC=∠FDE
∴
∴
∴
故答案为：17
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【名师指路】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形中位线定理，取BC的中点F得到等腰△DEF是关键．
17．如图，在中，，，点D在AC边上，点E在BC边上，且DB平分，，，则_____________．21*cnjy*com
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【标准答案】
【思路指引】
过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，根据设，通过导角可得，，进而可得，进而证明，推出，根据直角的面积等于求得，进而求得
【详解详析】
解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
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设
则
DB平分，
又
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形三线合一，能找到全等三角形是解答此题的关键．
三、解答题
18．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数；
（3）探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连接BE21世纪教育网版权所有
①∠AEB的度数为
②判断线段DM、AE、BE之间的数量关系 （直接写出结果，不需要说明理由）
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【标准答案】（1）见解析；（2）60°；（3）①90°；②AE=BE+2DM
【思路指引】
（1）证明△ACD≌△BCE即可得证AD=BE；
（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ADC＝∠BEC，由△DCE为等边三角形，可得∠CDE＝∠CED=60°，进而即可∠ADC＝∠BEC＝120°，根据∠AEB=∠BEC-∠CED即可求得；【出处：21教育名师】
（3）①方法同（1）证明△ACD≌△BCE，再根据（2）的方法即可求得∠AEB的度数；②由△DCE为等腰直角三角形，CM⊥DE可得，根据△ACD≌△BCE可得则
【详解详析】
解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED=60°，
∴∠ADC＝∠BEC＝120°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°
（3）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=90°-∠DCB=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED=45°，
∴∠ADC＝∠BEC＝135°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°
故答案为：90°
②∵△DCE为等腰直角三角形，CM⊥DE
∴
△ACD≌△BCE
即AE=BE+2DM
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明△ACD≌△BCE是解题的关键．www.21-cn-jy.com
19．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4， ( http: / / www.21cnjy.com )点P从点A出发，沿折线A－B－C－A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．点Q从点B出发，沿折线B－C－A以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P、Q两点重合时，求t的值．
（2）当△BPQ是以PQ为底边的等腰三角形时，求t的值．
（3）当△BPQ是直角三角形时，直接写出t的值．
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【标准答案】（1）4；（2）或；（3），5，1，6
【思路指引】
（1）P比Q快1个单位长度，P落后Q4个单位长度，算出追上的时间即可得t的值；
（2）分两种情况：①当点P在边AB上，点Q在边BC上时，BP＝BQ，②当点P、Q都在边AC上时，AP＝CQ，列出等量关系式求出t的值即可；
（3）分情况讨论：当时和时，根据等边三角形的长度，确定P、Q位置即可求出t的值．
【详解详析】
（1）∵P比Q快1个单位长度，P落后Q4个单位长度，
∴追上的时间为；
（2）
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如图，当点P在边AB上，点Q在边BC上时，BP＝BQ，
即，
∴，
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如图，当点P、Q都在边AC上时，AP＝CQ，
即，
∴，
综上，t的值为或；
（3）
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如图，当，点P在边AB上，点Q在边BC上时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
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如图，当，点P、Q都在边AC上时，
∵是等边三角形，
∴点P为AC中点，
，
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如图，当，点P在边AB上，点Q在边BC上时，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
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如图，当，点P、Q都在边AC上时，
∵是等边三角形，
∴点Q是AC中点，
，
综上：t的值为，5，1，6．
【名师指路】
本题考查等边三角形上的动点问题，掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与直角三角形的性质是解题的关键．
20．（探索发现）等腰Rt△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、B分别是y轴、x轴上两个动点， 直角边 AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E
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（1）如图1，已知C点的横坐标为﹣1，请直接写出点A的坐标
（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE
（拓展应用）
（3）如图3，若点A在x轴上，且A（﹣4，0 ( http: / / www.21cnjy.com )），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、 AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请直接写出BP的长度为
【标准答案】（1）A（0，1）；（2）见解析；（3）不变，2
【思路指引】
（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴 ( http: / / www.21cnjy.com )于点F，构建全等三角形：△ACF≌△BAO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；21cnjy.com
（2）过点C作CG⊥AC交 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴于点G，则△ACG≌△BAD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，从而得到结论；
（3）BP的长度不变，理由 ( http: / / www.21cnjy.com )如下：如图（3），过点C作CH⊥y轴于点H，构建全等三角形：△CBH≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CH=BO，BH=AO=4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPH≌△DPB，故BP=HP=2．
【详解详析】
解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，
∴∠ACF=∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
，
∴△ACF≌△BAO（AAS），
∴CF=OA=1，
∴A（0，1）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CG⊥AC，
∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠AGC=∠ADO，
在△ACG和△ABD中，，
∴△ACG≌△BAD（AAS），
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，
∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠AGC，
∴∠ADB=∠CDE；
（3）BP的长度不变，理由如下：
如图，过点C作CH⊥y轴于点H．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ABC=90°，
∴∠CBH+∠ABO=90°．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBH=∠BAO．
∵∠CHB=∠AOB=90°，AB=AC，
∴△CBH≌△BAO（AAS），
∴CH=BO，BH=AO=4．
∵BD=BO，
∴CH=BD．
∵∠CHP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB，
∴△CPH≌△DPB（AAS），
∴BP=HP=2．
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．【版权所有：21教育】
21．如图，等边△ABC的边长为10cm，点 ( http: / / www.21cnjy.com )D在边AB上，且AD=4cm，点P在线段BC上，以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上，由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】当t=2s，点Q运动的速度为2cm/s；当t=2.5s，点Q运动的速度为2.4cm/s时，△BPD与△CQP全等．
【思路指引】
先表示出BD=6cm，BP=2t，CP= ( http: / / www.21cnjy.com )10-2t，利用等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，讨论：当BP=CQ，BD=CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CQP，即CQ=2t，10-2t=6；当BP=CP，BD=CQ时可判断△BPD≌△CPQ，即2t=10-2t，CQ=BD=6，然后分别求出t和CQ的长度，从而得到点Q运动的速度．
【详解详析】
解：由题意得：AD=4cm，BD=6cm，BP=2t，CP=10-2t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
当BP=CQ，BD=CP时，△BPD≌△CQP（SAS），
即CQ=2t，10-2t=6，解得t=2，
∴CQ=4，
∴点Q运动的速度为=2（cm/s）；
当BP=CP，BD=CQ时，△BPD≌△CPQ（SAS），
即2t=10-2t，CQ=BD=6，解得t=2.5，
∴点Q运动的速度为=2.4（cm/s）；
综上所述，当t=2s，点Q运动的速度为2cm/s；当t=2.5s，点Q运动的速度为2.4cm/s时，△BPD与△CQP全等．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键．
22．已知与是两个大小不同的等腰直角三角形．
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（1）如图1所示，连接AE，DB，则线段AE和DB的数量关系和位置关系分别是：______（请直接写出结论）
（2）如图2所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，请写出线段DE和AF的关系，并说明理由．
【标准答案】（1），；（2），，理由见解析．
【思路指引】
（1）由与是两个大小不同的等腰直角三角形，可证与全等，即可知，延长BD交AE于点H，相关角度运算后即可得．
（2）由边角边证明后，进行相关角度运算即可得．
【详解详析】
（1）如图所示，延长BD交AE于点H
∵与是两个大小不同的等腰直角三角形
∴AC=BC，∠ACE=∠DCE=90°，CE=CD
∴
∴，∠EAC=∠DBC
∵在中，∠CDB+∠DBC=90°
∴∠CDB+∠EAC =90°
∴∠AHD =180°-∠CDB-∠EAC= 90°
∴．
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(2) 设DE与AF交于N，由题意得，，，
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴
即．
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【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰直角三角形的性质及定义得到判定三角形全等的条件是解题的关键．21·世纪*教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题11几何思想之等腰三角形性质与判定综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°； ④AM＝AN．其中正确的有（ ）21教育网
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图所示的正方形网格中，网格线 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）21·cn·jy·com
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A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G，已知EF＝2，EG＝3．则AD的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2.5 B．3.5 C． D．4
4．有两块相同的直角三角板如图（１）放置（点A、B、D在同一直线上），其中，．现将绕直角顶点A顺时针旋转得到，交于点H（如图2），设旋转角为，当为等腰三角形时，旋转角的度数为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A． B．或 C．或 D．
5．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm， ( http: / / www.21cnjy.com )面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（ ）2·1·c·n·j·y
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A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．若等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，则这个三角形的周长是( )
A．12cm或15cm B．15cm C．12cm D．9cm
7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
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①；②；③；④
A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③
8．有一种有趣的读数法：如图，在图 ( http: / / www.21cnjy.com )纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
二、填空题
9．如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是50°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为______．
10．如图，△ABC中，AB平分∠DAC，AB⊥BC，垂足为D，若∠ADC与∠ACB互补，BC＝5，则CD的长为_________．【来源：21cnj*y.co*m】
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11．如图，AB，CD相交于点E，若ABC≌ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为 _____cm．21·世纪*教育网
13．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为 ___．【出处：21教育名师】
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14．如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有______个．【版权所有：21教育】
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15．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠B＝58°，则∠1的度数是 ____．
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16．如图，中，D为AC中点，E为BC上一点，连接DE，且，若，，则BC的长度为______．21教育名师原创作品
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17．如图，在中，，，点D在AC边上，点E在BC边上，且DB平分，，，则_____________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
18．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数；
（3）探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连接BE21cnjy.com
①∠AEB的度数为
②判断线段DM、AE、BE之间的数量关系 （直接写出结果，不需要说明理由）
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19．如图，在等边三角形ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝4，点P从点A出发，沿折线A－B－C－A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．点Q从点B出发，沿折线B－C－A以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P、Q两点重合时，求t的值．
（2）当△BPQ是以PQ为底边的等腰三角形时，求t的值．
（3）当△BPQ是直角三角形时，直接写出t的值．
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20．（探索发现）等腰Rt△ABC中，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C＝90°，AB＝AC，点A、B分别是y轴、x轴上两个动点， 直角边 AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点Ewww.21-cn-jy.com
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（1）如图1，已知C点的横坐标为﹣1，请直接写出点A的坐标
（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE
（拓展应用）
（3）如图3，若点A在x轴上，且A（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、 AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请直接写出BP的长度为
21．如图，等边△ABC的边长为10cm ( http: / / www.21cnjy.com )，点D在边AB上，且AD=4cm，点P在线段BC上，以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上，由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
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22．已知与是两个大小不同的等腰直角三角形．
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（1）如图1所示，连接AE，DB，则线段AE和DB的数量关系和位置关系分别是：______（请直接写出结论）21*cnjy*com
（2）如图2所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，请写出线段DE和AF的关系，并说明理由．
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