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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题12几何思想之等边三角形综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，等边△ABC中，BD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．35 B．40 C．50 D．60
【标准答案】C
【思路指引】
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．
【详解详析】
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )
如上图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，
∴AB=AC=2AD=70，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，
∴QD=DQ′=15（cm），
∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)
∵BP=20（cm），
∴AP=AB-BP=70-20=50（cm）
∴AP=AQ′=50（cm），
∵∠A=60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′=PA=50（cm），
∴PE+QE的最小值为50cm．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
2．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．1.5 C．2 D．4
【标准答案】C
【思路指引】
取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．21cnjy.com
【详解详析】
解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC=BC=8，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG，
在△FCD和△ECG中，21*cnjy*com
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=2．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质以 ( http: / / www.21cnjy.com )及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
3．在边长为8的等边中，为边上的中点，是线段上的一点，是射线上的一点，且，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【标准答案】A
【思路指引】
在AC的延长线上取点E，使得CE＝CD，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解详析】
解：如图，在AC的延长线上取点E，使得CE＝CD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠CDE＝∠CED＝30 ( http: / / www.21cnjy.com )°，
∴∠ADE＝120°，∠MDN＝120°，
∴∠MDA＝∠NDE，
∵∠MAD＝∠NED＝30°，
∵AD＝DE，
在△MDA与△NDE中，
∴△MDA≌△NDE（AAS），
∴NE＝MA＝1，
∴CN＝4 1＝3，
故选：A．
【名师指路】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
4．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．40° B．45° C．105° D．55°
【标准答案】C
【思路指引】
连接DE，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，，再由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，从而可得出结论．
【详解详析】
解：连接DE，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵是等边三角形，
∴AB=AC，
∴
由旋转可得，
∴
∴，即
∴是等边三角形，
∴DE=AD=3，
∵DE＝3，CE＝3，CD＝，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
故选：C
【名师指路】
此题是旋转的性质，主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，解本题的关键是判断出△ADE是等边三角形．21*cnjy*com
5．已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【标准答案】B
【思路指引】
首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据三角形的三边关系得到，从而得到答案．
【详解详析】
解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0
∴
∴；
∴
∴为等边三角形．
故选B．
【名师指路】
本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．21·cn·jy·com
6．下列命题正确的是（ ）
①任何数的0次幂都等于1；
②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；
③等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；
④等腰三角形的角分线，高线，中线相互重合．
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【标准答案】B
【思路指引】
根据0指数幂的定义，等边三角形的判定，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，等腰三角形三线合一性质逐个进行判断即可．
【详解详析】
解：∵0的0次幂不存在，∴① ( http: / / www.21cnjy.com )错误；有两个角为60°三角形一定是等边三角形，所以②正确；等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，所以③正确；等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合；所以④错误；
故选：B．
【名师指路】
本题考查了，0指数幂的定义，等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定的应用，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，注意：任何不等于0的0次幂等于1，能理解性质和法则是解题的关键．2-1-c-n-j-y
7．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰 ( http: / / www.21cnjy.com )好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝1，AC＝3，△OCD周长的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．5 C．6 D．7
【标准答案】B
【思路指引】
连接，，由折叠的性质得出是的对称轴，故得，由，求出，当三点共线时周长最小，计算即可．
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，连接，，
将等边折叠，使得点恰好落在边上的点处，
是的对称轴，
，
，，
，，
，
当三点共线时周长最小，
最小值为．
故选：B．
【名师指路】
本题考查等边三角形的性质和折叠的性质，掌握“将军饮马”问题的解法是解题的关键．
8．如图，在等边ABC中，D为边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60°，得到BAE，连接ED，若BC＝20，BD＝18，则AED的周长是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．38 B．36 C．32 D．不确定
【标准答案】A
【思路指引】
由旋转的性质可得△BCD≌△BAE ( http: / / www.21cnjy.com )，可得BD＝BE，CD＝AE，根据旋转角∠DBE＝60°，可证△DBE是等边三角形，可得BD＝DE＝18，即可求解．
【详解详析】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=20，
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴△BCD≌△BAE，
∴BD＝BE，CD＝AE，
∵∠DBE＝60°
∴△DBE是等边三角形，
∴BD＝DE＝18，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+BD＝20+18=38，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了旋转的性质，三角形全等性质，等边三角形的判定和性质，线段和差，掌握旋转的性质是本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
9．如图，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边作等边△ABD，等边△ACE，等边△CBF．设△AEH的面积为S1，△ABC的面积为S2，△BFG的面积为S3，四边形DHCG的面积为S4，则下列结论正确的是（ ）
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A．S2＝S1＋S3＋S4 B．S1＋S2＝S3＋S4
C．S1＋S4＝S2＋S3 D．S1＋S3＝S2＋S4
【标准答案】D
【思路指引】
根据勾股定理得到，利用等边三角形的性质及勾股定理求出，同理：等边△ACE的高为，等边△CBF的高为，由此推出等边△ACE的面积+等边△CBF的面积=等边三角形ABD的面积，即可得到结论．
【详解详析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴，
过D作DM⊥AB于M，∠AMD=90°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADM=30°，AB=AD，
∴，
∴，
同理：等边△ACE的高为，等边△CBF的高为，
∵等边△ACE的面积+等边△CBF的面积=
=
=
=
∴等边△ACE的面积+等边△CBF的面积=等边三角形ABD的面积，
∴S1＋S3＝S2＋S4，
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【名师指路】
此题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，熟记勾股定理的应用方法是解题的关键．
10．如图，边长为a的等边△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
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A． B． C．a+b D．a
【标准答案】B
【思路指引】
由题意等边三角形性质和全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形判定得出△BAD≌△CAE，进而作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，最后依据△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM求值即可得出答案.
【详解详析】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故选：B．
【名师指路】
本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出AE′+FE′的值最小．21教育网
二、填空题
11．如图，等边三角形ABC，BC的高AD=4cm，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BP+EP的最小值_________．www.21-cn-jy.com
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【标准答案】4cm
【思路指引】
先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值．
【详解详析】
解：连接，
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等边中，是边上的高，
是边上的中线，即垂直平分
，
当、、三点共线时，，
等边中，是边的中点，
，
的最小值为4，
故答案为：4cm．
【名师指路】
本题主要考查了等边三角形的轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com )性质和勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质，解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
12．如图，将边长为的等边向右平移，得到，此时阴影部分的周长为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】12
【思路指引】
先确定平移距离，从而确定阴影等边三角形的边长，计算周长即可．
【详解详析】
为等边三角形，
，，
等边向右平移得到，
，，
，，
阴影部分为等边三角形，
阴影部分的周长为．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质和判定，平移的性质，熟练掌握平移的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
13．如图，点A、B、C在一条直线上， A ( http: / / www.21cnjy.com )BD、 BCE均为等边三角形．连结AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P，CD交BE点Q．连结PQ、BM．①ABE ≌DBC；②∠DMA﹦60°；③BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中正确结论的序号是________________________ ．
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【标准答案】①②③④
【思路指引】
由等边三角形的性质得出，得出，由定理证出，即可判断①；由全等三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可判断②；由定理可证，得出对应边相等，由此可得出为等边三角形，即可判断③；由得到和面积相等，且，利用三角形的面积公式可得点到、的距离相等，最后根据角平分线的判定定理即可判断④．
【详解详析】
解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，结论①正确；
∴，
∵，
∴，结论②正确；
在和中，，
∴，
∴，
又，
∴为等边三角形，结论③正确；
∵，
∴，
∴点到、的距离相等，
∴点在的平分线上，
即平分，结论④正确；
综上，正确结论的序号是①②③④，
故答案为：①②③④．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质与判定、全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．www-2-1-cnjy-com
14．如图，三角形和三角形是等边三角形，三角形绕点顺时针旋转后得三角形，为45度，则__度．
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【标准答案】75
【思路指引】
根据等边三角形的性质以及旋转的性质进行解答即可．
【详解详析】
解：如图，是等边三角形，
，
绕点顺时针旋转后得，
，
，
，
，
故答案为：75．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握旋转后的对应角相等是解本题的关键．
15．如图，O为△ABC的外 ( http: / / www.21cnjy.com )心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________．
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【标准答案】85°度
【思路指引】
根据题意利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=35°，进而结合三角形外角的性质得出答案．
【详解详析】
解：∵O为△ABC的外心，∠BAC=7 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AB=AC，
∴∠OAC=35°，AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA=35°，
∴∠AOC=110°，
∵△OCP为正三角形，
∴∠COP =60°，
∴∠AOP=∠AOC -∠COP =50°，
∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°．
故选：85°．
【名师指路】
本题主要考查三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出∠OAC=∠OCA=35°是解题的关键．
16．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE ( http: / / www.21cnjy.com )=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C， ②AQ=BQ， ③BP=2PQ， ④AE+BD=AB，其中正确的是___________________________（填序号）.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】①③④
【思路指引】
根据等边三角形的性质可得AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等．然后得到∠1=∠2，结合角的关系，得到∠APE＝∠C；再结合30°直角三角形的性质，得到BP＝2PQ；再结合边的关系，得到AC=AB；即可得到答案．
【详解详析】
证明：如图所示：
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∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，故①正确
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°∠BPQ=90°60°=30°，
∴BP=2PQ．故③正确，
∵AC=BC．AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④正确，
无法判断BQ=AQ，故②错误，
∴正确的有①③④
故答案为：①③④．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17．如图，△ABC、△ ( http: / / www.21cnjy.com )ADE、△DFG均为等边三角形，C、E、F三点共线，且E是CF的中点．下列结论：①△ADG≌EDF；②△AEC为等腰三角形；③∠GEB＝60°；④∠BAG＝∠BCE；⑤DF＝AD＋GE，其中正确的是_______（只填序号）
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【标准答案】①③④
【思路指引】
先根据△ADE、△DFG，△ABC为等边三角形，得到DA=DE，DF=DG，∠ADE=∠FDG=∠AED=∠ACB=∠DAE=∠BAC=60°，即可利用SAS证明△ADG≌△EDF即可判断①；如下图，当D、G、E共线时，显然AG≠AE，AG≠AB，可得EC≠AE，EC≠AC，即可判断②；由三角形三边的关系AD+EG=DE+GE＞DG，DG=DF，则AD+EG＞DF即可判断⑤；由△ADG≌△EDF，得到∠DEF=∠DAG，再由∠DEF+∠AED=∠EAC+∠ACE=∠EAC+∠ACB-∠BCE，可以推出∠EAC-∠DEF=∠BCE，然后根据∠BAG=∠DAB-∠DAG=∠EAC-∠DEF，得到∠BAG=∠BCE，即可判断④；证明△ABG≌△BCE，得到∠ABG=∠EBC，BG=BE，即可证明为等边三角形，即可判断③．
【详解详析】
解：∵△ADE、△DFG，△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C为等边三角形，
∴DA=DE，DF=DG，∠ADE=∠FDG=∠AED=∠ACB=∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠FDG+∠EDG=∠AD ( http: / / www.21cnjy.com )E+∠EDG，∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
∴∠ADG=∠EDF，∠DAB=∠CAE，
∴△ADG≌△EDF（SAS），故①正确，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AG=EF，
∵E是CF的中点，
∴EF=CE，
∴AG= EC，
如下图，当D、G、E共线时，显然AG≠AE，AG≠AB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴EC≠AE，EC≠AC，
∴不是等腰三角形, 故②错误，
∵AD+EG=DE+GE＞DG，DG=DF
∴AD+EG＞DF，故⑤错误．
∵△ADG≌△EDF，
∴∠DEF=∠DAG ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵∠DEF+∠AED=∠EAC+∠ACE=∠EAC+∠ACB-∠BCE，
∴∠EAC-∠DEF=∠BCE，
∵∠BAG=∠DAB-∠DAG=∠EAC-∠DEF，
∴∠BAG=∠BCE，故④正确，
∵△ADG≌△EDF，
∴AG=EF=EC，
∵∠BAG=∠BCE，AB=BC，
∴△ABG≌△BCE（SAS），
∴∠ABG=∠EBC，BG=BE，
∴∠EBG=∠ABC=60°，
∴为等边三角形，
∴∠BEG =60°，故③正确，
故答案为：①③④．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【出处：21教育名师】
18．小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是_____．
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【标准答案】7
【思路指引】
根据对称的性质得到，结合点E是AB中点，可证明是等边三角形，从而有，即可求出CD的最大值．
【详解详析】
解： ∵，点E为AB的中点，
∴，
∵，
∴，
∵将和分别沿CE、DE翻折得到和，
∴，，，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴当点C，点，点，点D四点共线时，CD有最大值，即，
故答案为：7．
【名师指路】
本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )C=BC，∠ACB=90°，点D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．21·世纪*教育网
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（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大小；（用含α的式子表示）
（3）若△BCE是等边三角形，猜想EF和AB的数量关系，并证明你的结论．
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3），证明见解析
【思路指引】
（1）根据轴对称即可得出结论；
（2）先判断出，再表示出∠BAF，即可得出结论；
（3）先判断出是直角三角形，结合是等边三角形，即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）如图所示；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意可知，，
∴
∵，
∴
∴
∴，即
（3），
证明：∵是等边三角形，
∴，
由（2）可知
∴
点C关于直线的对称点为点E
∴，
∴．
∵
∴是直角三角形，且．
∴．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题是几何变换综合题，主要考查了轴对称的性质，直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出△BCF是直角三角形是解本题的关键．【版权所有：21教育】
20．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAC＝∠PAB，AD＝AP，连结DP，DC．
（1）求证：△ADC≌△APB．
（2）若PA＝4，PB＝3，PC＝5，求∠APB的度数．
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【标准答案】（1）见解析；（2）150°
【思路指引】
（1）由等边得，再根据SAS证明即可；
（2）由全等的性质得，，由等边可推出，故得出是等边三角形，由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，故可得出的度数．
【详解详析】
（1）∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【名师指路】
本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握相关的判别方法是解题的关键．
21．已知A，B，C为△ABC的三边，且a2+b2+b2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由
【标准答案】是等边三角形，证明见解析
【思路指引】
根据题意化简得到，进而利用平方的非负性得到即可判断的形状．
【详解详析】
是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形．
【名师指路】
本题考查整式的化简，熟练掌握整式的化简运算和完全平方公式以及平方的非负性是解题的关键．
22．如图，△ABC是等边三角形，△ABD顺时针方向旋转后能与△CBD′重合．连接DD′，证明：△BDD′为等边三角形．2·1·c·n·j·y
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【标准答案】见解析．
【思路指引】
根据旋转的性质得到BD＝，∠ABC＝∠，再由等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，据此解题．
【详解详析】
证明：∵△ABD顺时针方向旋转后能与△C重合，
∴BD＝，∠ABC＝∠，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠＝60°，
∴△是等边三角形．
【名师指路】
本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23．已知，等边△ABC中，D为AC延长 ( http: / / www.21cnjy.com )线上一点，以BD为斜边做Rt△BED使∠BED＝90°，∠BDE＝30°，连接CE并延长与射线AB交于点F，连接DF．21教育名师原创作品
（1）如图1，求证：∠FBE＝∠ADB；
（2）如图1，求证：AD＝BF；
（3）如图2，若∠AFC＝15°，EF＝4，求△DEC的面积．
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【思路指引】
（1）由等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )可得∠A=∠ABC=60°，则∠CBD+∠ADB=180°-∠A-∠ABC=60°，求∠EBD=60°，得到∠FBE+∠CBD=180°-∠ABC-∠EBD=60°，则∠FBE+∠CBD=∠ADB+∠CBD，即可推出∠FBE=∠ADB；
（2）取BD中点G，连接AG，先推出 ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABG=∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到∠BAG=∠BCE，然后推出∠BFC=∠DAG，即可证明△BEF≌△DGA得到BF=AD；
（3）取BD中点G，连接AG，过点F作FH∥BC交AD延长线于H，过点F作FQ⊥AD于Q，过点E作EM⊥AD于M，同（2）可证△BEF≌△DGA，△ABG≌△CBE，得到AG=CE=EF=4，则CF=EC+EF=8， 证明△AFH是等边三角形，得到AF=AH，即可推出AB=DH=AC，再由QF⊥AH，得到AQ=HQ，则CQ=QD，即可推出DF=CF=8，则∠FCD=∠FDC，由此即可证明∠CFD=180°-∠FCD-∠FDC=30°，则，由EF=EC=4，可得．
【详解详析】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠CBD+∠ADB=180°-∠A-∠ABC=60°，
∵∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴∠EBD=60°，
∴∠FBE+∠CBD=180°-∠ABC-∠EBD=60°，
∴∠FBE+∠CBD=∠ADB+∠CBD，
∴∠FBE=∠ADB；
（2）如图所示，取BD中点G，连接AG，
∴，
∵∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴，
∴，
∵∠EBD+∠CBD=∠ABC+∠CBD，
∴∠ABG=∠CBE，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG=∠BCE，
∵∠BFC+∠BCE=∠ABC=60°，∠BAG+∠DAG=60°，
∴∠BFC=∠DAG，
在△BEF和△DGA中，
，
∴△BEF≌△DGA（AAS），
∴BF=AD；
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（3）如图所示，取BD中点G，连接AG，过点F作FH∥BC交AD延长线于H，过点F作FQ⊥AD于Q，过点E作EM⊥AD于M，
同（2）可证△BEF≌△DGA，△ABG≌△CBE，
∴AG=CE=EF=4，
∴CF=EC+EF=8，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵FH∥BC，
∴∠AFH=∠ABC=60°，∠ACB=∠AHF=60°，
∴△AFH是等边三角形，
∴AF=AH，
∵BF=AD，
∴AB=DH=AC，
又∵QF⊥AH，
∴AQ=HQ，
∴CQ=QD，
∴QF是线段CD的垂直平分线，
∴DF=CF=8，
∴∠FCD=∠FDC，
∵∠FCD=∠AFC+∠FAC=75°，
∴∠FCD=∠FDC=75°，
∴∠CFD=180°-∠FCD-∠FDC=30°，
∵EM⊥FD，
∴，
∵EF=EC=4，
∴．
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质与判定，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．【来源：21·世纪·教育·网】
24．如图，在平面直角坐标系中，AO＝CO＝6，AC交y轴于点B，∠BAO＝30°，CO的垂直平分线过点B交x轴于点E．
（1）求AE的长；
（2）动点N从E出发，以1个单位 ( http: / / www.21cnjy.com )/秒的速度沿射线EC方向运动，过N作x轴的平行线交直线OC于G，交直线BE于P，设GP的长为d，运动时间为t秒，请用含量t的式子表示d，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点M从A以1个单位/秒的速度沿射线AE运动，且点M与点N同时出发，MN与射线OC相交于点K，是否存在某一运动时间t，使得＝2，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
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【标准答案】（1）12；（2）；（3）当或时，使得．
【思路指引】
（1）由OA=OC=6，∠BAO=3 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，得到∠OAC=∠OCA=30°，则∠COE=∠OAC+∠OCA=60°，再由BE是线段OC的垂直平分线平分线，得到OE=CE，则△COE是等边三角形，由此即可得到答案；
（2）分三种情况：当直线PN在H点下 ( http: / / www.21cnjy.com )方时（包括H点），当直线PN在H点上方，且在C点下方时（包括C点），当直线PN在C点上方时，三种情况讨论求解即可；
（3）分N在EC上和EC的延长线上两种情况，构造全等三角形求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵OA=OC=6，∠BAO=30°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠COE=∠OAC+∠OCA=60°，
∵BE是线段OC的垂直平分线平分线，
∴OE=CE，
∴△COE是等边三角形，
∴OE=OC=AO=6，
∴AE=AO+OE=12；
（2）如图1所示，过点C作CK⊥x轴于K，设OC与BE的交点为H，当直线PN在H点下方时（包括H点），
∵BE是线段OC的垂直平分线，
∴∠CEP=∠OEP，
∵PN∥OE，
∴∠NPE=∠OEP，∠CGN=∠COE=60°，∠CNG=∠CEO=60°，
∴∠NPE=∠NEP，△CGN是等边三角形，
∴NP=NE=t，NG=CN=CE-NE=6-t，
∴PG=d=NG-NP=6-t-t=6-2t，
∵当直线PN刚好经过H点时，此时CH=CN=3，
即当t=3时，直线PN经过H点，
∴当直线PN在H点下方或经过H点时，d=6-2t（0≤t≤3）；
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如图2所示，当直线PN在H点上方，且在C点下方时（包括C点），
同理可证NP=NE=t，NG=CN=CE-CN=6-t，
∴PG=d=NP-NG=t-（6-t）=2t-6（3＜t≤6）；
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如图3所示，当直线PN在C点上方时
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同理可证NP=NE=t，NG=CN=EN-CE=t-6，
∴PG=d=NP+NG=t+t-6=2t-6（t＞6），
∴综上所述， ；
（3）如图3-1所示，当N在CE上时，过点N作NR∥x轴交OC于R，
同（2）可证△CRN是等边三角形，
∴RN=CN=CR，
∵M、N运动的速度相同，
∴AM=NE，
又∵AO=EC，
∴MO=NR，
∵NR∥MO，
∴∠RNK=∠OMK，∠NRK=∠MOK，
∴△MOK≌△NRK（ASA），
∴OK=RK，OM=RN，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得；
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如图3-2所示，当C在EC的延长线上时，
同理可证，，
∵，
解得，
∴综上所述，当或时，使得．
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【名师指路】
本题主要考查了等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，坐标与图形，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．
25．已知，在等边 ABC中，点D是线段AB上一点，点E是射线CD上一点，且∠ACE＝2∠ABE．
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（1）如图（1）所示，求证：BC＝CE；
（2）如图（2）所示，延长CE到点P，连接线段AP，BP，若AP＝AB，求∠BPC的度数；
【标准答案】（1）见解析；（2）30°
【思路指引】
（1）由题意先根据等边三角形的性质得到∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C＝∠BAC＝60°，则∠ABE＝∠CBE－60°，再由∠ACE＝2∠ABE，可得∠ACE＝2∠CBE－120°，由∠EDB＝∠ADC，∠EDB＋∠E＋∠EBD＝∠ADC＋∠A＋∠ACD＝180°，可得∠E＋∠EBD＝∠A＋∠ACD，即可证明∠E＝∠CBE，从而得到答案；
（2）根据题意先证明∠APB＝∠ABP，∠APC＝∠ACP，设，可得，，从而得到，由此即可得到答案.
【详解详析】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBE－∠ABC＝∠CBE－60°，
∵∠ACE＝2∠ABE，
∴∠ACE＝2∠CBE－120°，
∵∠EDB＝∠ADC，∠EDB＋∠E＋∠EBD＝∠ADC＋∠A＋∠ACD＝180°，
∴∠E＋∠EBD＝∠A＋∠ACD，
∴∠E＋∠CBE－60°＝60°＋2∠CBE－120°，
∴∠E＝∠CBE，
∴CB＝CE；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB，
∵AP＝AB，
∴AP＝AC，∠APB＝∠ABP，
∴∠APC＝∠ACP，
设，
∴，
∴，
∴，
∴.
【名师指路】
本题主要考查全等三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．
26．△ABC和△GEF都是等边三角形．
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问题背景：如图1，点E与点C重合且B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C、G三点共线．此时△BFC可以看作是△AGC经过平移、轴对称或旋转得到．请直接写出得到△BFC的过程．
迁移应用：如图2，点E为AC边上一点（不与点A，C重合），点F为△ABC中线CD上一点，延长GF交BC于点H，求证：．
联系拓展：如图3，AB＝12，点D，E分别为AB、AC的中点，M为线段BD上靠近点B的三等分点，点F在射线DC上运动（E、F、G三点按顺时针排列）．当最小时，则△MDG的面积为_______．
【标准答案】（1）以点C为旋转中心将逆时针旋转就得到；（2）见解析；（3）．
【思路指引】
（1）只需要利用SAS证明△BCF≌△ACG即可得到答案；
（2）法一：以为边作，与的延长线交于点K，如图，先证明，然后证明， 得到，则，过点F作FM⊥BC于M，求出，即可推出，则，即：；
法二：过F作，．先证明△FCN≌△FCM得到CM=CN，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，再证明 得到，则；
（3）如图3-1所示，连接，GM，AG，先证明△ADE是等边三角形，得到DE=AE，即可证明得到，即点G在的角平分线所在直线上运动．过G作，则，最小即是最小，故当M、G、P三点共线时，最小；如图3-2所示，过点G作GQ⊥AB于Q，连接DG，求出DM和QG的长即可求解．
【详解详析】
（1）∵△ABC和△GEF都是等边三角形，
∴BC=AC，CF=CG，∠ACB=∠FCG=60°，
∴∠ACB+∠ACF=∠FCG+∠ACF，
∴∠FCB=∠GCA，
∴△BCF≌△ACG（SAS），
∴△BFC可以看作是△AGC绕点C逆时针旋转60度所得；
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（2）法一：
证明：以为边作，与的延长线交于点K，如图，
∵和均为等边三角形，
∴，∠GFE=60°，
∴，
∴∠EFH+∠ACB=180°，
∴，
∵，
∴．
∵是等边的中线，
∴，
∴，
∴
∴．
在与中，
∴，
∴，
∴，
过点F作FM⊥BC于M，
∴KM=CM，
∵∠K=30°，
∴
∴，
∴，
∴，即：；
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法二
证明：过F作，．
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∴是等边的中线，
∴，，
∴△FCN≌△FCM（AAS），FC=2FN，
∴CM=CN，，
同法一，．
在与中，
∴
∴，
∴；
（3）如图3-1所示，连接，GM，AG，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，CD⊥AB，
∴DE∥BC，∠CDA=90°，
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴△ADE是等边三角形，∠FDE=30°，
∴DE=AE，
∵△GEF是等边三角形，
∴EF=EG，∠GEF=60°，
∴∠AEG=∠AED+∠DEG=∠FEG+∠DEG=∠FED，
∴
∴，即点G在的角平分线所在直线上运动．
过G作，则，
∴最小即是最小，
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∴当M、G、P三点共线时，最小
如图3-2所示，过点G作GQ⊥AB于Q，连接DG，
∴QG=PG，
∵∠MAP=60°，∠MPA=90°，
∴∠AMP=30°，
∴AM=2AP，
∵D是AB的中点，AB=12，
∴AD=BD=6，
∵M是BD靠近B点的三等分点，
∴MD=4，
∴AM=10，
∴AP=5，
又∵∠PAG=30°，
∴AG=2GP，
∵，
∴
∴
∴．
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【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性，勾股定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题12几何思想之等边三角形综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，等边△ABC中，BD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（ ）21·世纪*教育网
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A．35 B．40 C．50 D．60
2．如图，在△ABC中，AC=BC=8 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）
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A．1 B．1.5 C．2 D．4
3．在边长为8的等边中，为边上的中点，是线段上的一点，是射线上的一点，且，，则的长为（ ）2-1-c-n-j-y
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）【版权所有：21教育】
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A．40° B．45° C．105° D．55°
5．已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
6．下列命题正确的是（ ）
①任何数的0次幂都等于1；
②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；
③等腰三角形顶角的外角是底角的二倍；
④等腰三角形的角分线，高线，中线相互重合．
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7．如图，将等边△ABC折叠，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝1，AC＝3，△OCD周长的最小值是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，在等边ABC中，D为边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60°，得到BAE，连接ED，若BC＝20，BD＝18，则AED的周长是（ ）
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A．38 B．36 C．32 D．不确定
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，以AB，AC，BC为边作等边△ABD，等边△ACE，等边△CBF．设△AEH的面积为S1，△ABC的面积为S2，△BFG的面积为S3，四边形DHCG的面积为S4，则下列结论正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．S2＝S1＋S3＋S4 B．S1＋S2＝S3＋S4
C．S1＋S4＝S2＋S3 D．S1＋S3＝S2＋S4
10．如图，边长为a的等边△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
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A． B． C．a+b D．a
二、填空题
11．如图，等边三角形ABC，BC的高AD=4cm，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BP+EP的最小值_________．2·1·c·n·j·y
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12．如图，将边长为的等边向右平移，得到，此时阴影部分的周长为______．
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13．如图，点A、B、C在一条直线上 ( http: / / www.21cnjy.com )， ABD、 BCE均为等边三角形．连结AE和CD，AE分别交CD、BD于点M、P，CD交BE点Q．连结PQ、BM．①ABE ≌DBC；②∠DMA﹦60°；③BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中正确结论的序号是________________________ ．【来源：21cnj*y.co*m】
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14．如图，三角形和三角形是等边三角形，三角形绕点顺时针旋转后得三角形，为45度，则__度．www.21-cn-jy.com
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15．如图，O为△ABC的外心，△ ( http: / / www.21cnjy.com )OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________．【来源：21·世纪·教育·网】
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16．已知，如图，△ABC是等边三角形，A ( http: / / www.21cnjy.com )E=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C， ②AQ=BQ， ③BP=2PQ， ④AE+BD=AB，其中正确的是___________________________（填序号）.
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17．如图，△ABC、△ADE、△DFG ( http: / / www.21cnjy.com )均为等边三角形，C、E、F三点共线，且E是CF的中点．下列结论：①△ADG≌EDF；②△AEC为等腰三角形；③∠GEB＝60°；④∠BAG＝∠BCE；⑤DF＝AD＋GE，其中正确的是_______（只填序号）21·cn·jy·com
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18．小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是_____．21*cnjy*com
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三、解答题
19．如图，在△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )C=BC，∠ACB=90°，点D是边AB上的动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
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（1）在图中，依题意补全图形；
（2）记∠DCB=α（α＜45°），求∠BAF的大小；（用含α的式子表示）
（3）若△BCE是等边三角形，猜想EF和AB的数量关系，并证明你的结论．
20．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAC＝∠PAB，AD＝AP，连结DP，DC．
（1）求证：△ADC≌△APB．
（2）若PA＝4，PB＝3，PC＝5，求∠APB的度数．
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21．已知A，B，C为△ABC的三边，且a2+b2+b2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由
22．如图，△ABC是等边三角形，△ABD顺时针方向旋转后能与△CBD′重合．连接DD′，证明：△BDD′为等边三角形．
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23．已知，等边△ABC中，D为AC延长线上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，以BD为斜边做Rt△BED使∠BED＝90°，∠BDE＝30°，连接CE并延长与射线AB交于点F，连接DF．21教育网
（1）如图1，求证：∠FBE＝∠ADB；
（2）如图1，求证：AD＝BF；
（3）如图2，若∠AFC＝15°，EF＝4，求△DEC的面积．
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24．如图，在平面直角坐标系中，AO＝CO＝6，AC交y轴于点B，∠BAO＝30°，CO的垂直平分线过点B交x轴于点E．21cnjy.com
（1）求AE的长；
（2）动点N从E出发，以1个单位/ ( http: / / www.21cnjy.com )秒的速度沿射线EC方向运动，过N作x轴的平行线交直线OC于G，交直线BE于P，设GP的长为d，运动时间为t秒，请用含量t的式子表示d，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点M从A以1个单位/秒的速度沿射线AE运动，且点M与点N同时出发，MN与射线OC相交于点K，是否存在某一运动时间t，使得＝2，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．21教育名师原创作品
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25．已知，在等边 ABC中，点D是线段AB上一点，点E是射线CD上一点，且∠ACE＝2∠ABE．
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（1）如图（1）所示，求证：BC＝CE；
（2）如图（2）所示，延长CE到点P，连接线段AP，BP，若AP＝AB，求∠BPC的度数；
26．△ABC和△GEF都是等边三角形．
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问题背景：如图1，点E与点C重合且B、C、 ( http: / / www.21cnjy.com )G三点共线．此时△BFC可以看作是△AGC经过平移、轴对称或旋转得到．请直接写出得到△BFC的过程．21*cnjy*com
迁移应用：如图2，点E为AC边上一点（不与点A，C重合），点F为△ABC中线CD上一点，延长GF交BC于点H，求证：．
联系拓展：如图3，AB＝12，点D，E分别为AB、AC的中点，M为线段BD上靠近点B的三等分点，点F在射线DC上运动（E、F、G三点按顺时针排列）．当最小时，则△MDG的面积为_______．
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