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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题01 数形结合之平面直角坐标系易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知点在第四象限，且到轴的距离为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，列方程求出a的值，然后求解即可．
【详解详析】
解：∵点在第四象限，且到x轴的距离为2，
∴，
解得，
∴，
，
∴点P的坐标为（4，-2）．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．21*cnjy*com
2．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
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A．（4，0） B．（1，0） C．（﹣2，0） D．（2，0）
【标准答案】B
【思路指引】
先根据勾股定理求出OA的长，再根据①AP＝PO；②AO＝AP；③AO＝OP分别算出P点坐标即可．
【详解详析】
解：点A的坐标是（2，2），
根据勾股定理可得：OA＝2，
①若AP＝PO，可得：P（2，0），
②若AO＝AP可得：P（4，0），
③若AO＝OP，可得：P（2，0）或（﹣2，0），
故点P的坐标不可能是：（1，0）．
故选：B．
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【名师指路】
此题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，再分情况讨论．2-1-c-n-j-y
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，则点B的坐标为（ ）21教育名师原创作品
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A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2 D．（﹣1.5，3）
【标准答案】B
【思路指引】
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明△AOC≌△OBD，从而易得点B的坐标．
【详解详析】
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图
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∵A点坐标为(3，2)
∴OC=3，AC=2
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴
∴∠ACO=∠BDO=∠AOB=90°
∴∠BOD+∠AOC=90°，∠BOD+∠OBD=90°
∴∠AOC=∠OBD
∵△AOB为等腰直角三角形，且∠AOB=90°
∴AO=OB
在△AOC与△OBD中
∴△AOC≌△OBD（AAS）
∴OD=AC=2，BD=OC=3
∴点B的坐标为(－2，3)
故选：B
【名师指路】
本题考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．x轴上的点的纵坐标为0
B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1
C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q （x，y）在第四象限
D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限
【标准答案】D
【思路指引】
根据坐标轴上点的坐标特点，点的坐标到坐标轴的距离及各个象限内点的坐标符号特点逐一判断可得．
【详解详析】
解：A．在x轴上的点的纵坐标为0，说法正确，故本选项不合题意；
B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1，说法正确，故本选项不合题意；
C．若xy＜0，x﹣y＞0，则x＞0，y＜0，所以点Q（x，y）在第四象限，说法正确，故本选项不合题意；
D．﹣a2﹣1＜0，|b|≥0，所以点A（﹣a2﹣1，|b|）在x轴或第二象限，故原说法错误，故本选项符合题意．
故选D．
【名师指路】
本题主要考查平面直角坐标系的性质，正确理解平面直角坐标系的性质是本题的解题关键．
5．点P在第三象限,点P到轴的距离是5,到轴的距离是3,则点P的坐标( )
A．(3,－5) B．(－5，－3) C．(－3，－5) D．(－3，5)
【标准答案】C
【详解详析】
分析：根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．www-2-1-cnjy-com
详解：∵点P在第三象限，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标为 3，纵坐标为 5，
∴点P的坐标为( 3, 5).
故选C.
点睛：考查了点的坐标特征，熟记到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值.
6．已知点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据点在第四象限的坐标特点列出不等式组即可．
【详解详析】
解：∵点A（x+3，2x-4）在第四象限，
∴ ，解得-3＜x＜2．
故选A.
【名师指路】
本题考查点在第四象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组的问题．
7．点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据点到轴的距离为得到点P的纵坐标为5或-5，由此得到答案.
【详解详析】
∵点到轴的距离为，
∴点P的纵坐标为5或-5，
∴点P的坐标为或，
故选：B.
【名师指路】
此题考查点与坐标轴的距离与点坐标的关系：点到x轴距离是点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点横坐标的绝对值.
8．如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】D
【思路指引】
先根据点在轴上可得m=0，然后确定B的坐标,最后根据B的坐标确定B所在的象限即可．
【详解详析】
解：∵点在轴上
∴m=0
∴，即点B在第四象限．
故答案为D．
【名师指路】
本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，根据A点的位置确定m的值成为解答本题的关键．
9．如图，三角形ABC是一个（ ），请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．等腰三角形； B．等边三角形；
C．直角三角形； D．等腰直角三角形
【标准答案】A
【思路指引】
过点分别作于点，轴于点，通过证明和全等，得到，进而得到答案．
【详解详析】
解：过点分别作于点，轴于点，
如图，由题意知：，，，
在和中,
∴，
∴，
由图可知，
∴为等腰三角形，
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是构造出全等三角形．
10．如图，底边AB长为2的等腰直角△OA ( http: / / www.21cnjy.com )B的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ）21·世纪*教育网
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A．（1，﹣） B．（1，﹣1） C．（，﹣） D．（，﹣1）
【标准答案】B
【思路指引】
A1B1交x轴于H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB=45°，再利用旋转的性质得A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°，则∠2=45°，于是可判断OH⊥A1B1，则根据等腰直角三角形的性质得到，然后写出点A1的坐标．
【详解详析】
如解图，交x轴于H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵绕原点O逆时针旋转45°得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了坐标与图形变换- ( http: / / www.21cnjy.com )旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是判断A1B1被x轴垂直平分．【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知A ( http: / / www.21cnjy.com )（0，0），B（3，0），C（1，2），若以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ___.
【标准答案】或或
【思路指引】
先根据题意画出符合的三角形，再根据全等三角形的性质和点、点、点的坐标得出点的坐标即可．
【详解详析】
解：如图所示，有3个三角形和全等，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
的坐标是，的坐标是，的坐标是，
故答案为：或或．
【名师指路】
本题考查了坐标与图形性质和全等三角形的判定定理和性质，解题的关键是能熟记全等三角形的判定定理和性质定理，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
12．在平面直角坐标系中，点到轴的的距离与到y轴的距离相等，则_______．
【标准答案】-1或-2
【思路指引】
根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得2a+3=1或2a+3=-1，据此解出a的值．
【详解详析】
解：∵A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴2a+3=1或2a+3=-1，
解得a=-1或a=-2．
故答案为：-1或-2．
【名师指路】
本题考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
13．已知当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，称P（m﹣1，）为“和谐点”．若点A（a，2a﹣1）是“和谐点”，则点A在第____象限．
【标准答案】三
【思路指引】
先设将“和谐点”的定义进行改写，再根据“和谐点”的定义求出的值，由此即可得．
【详解详析】
解：设，
则，
，
当时，，
因此，“和谐点”的定义可改写为：已知当都是实数，且满足时，称为“和谐点”．
点是“和谐点”，
，
解得，
则点的坐标为，位于第三象限，
故答案为：三．
【名师指路】
本题考查了点坐标，正确将“和谐点”的定义进行改写是解题关键．
14．在平面直角坐标系中，若线段轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为____．
【标准答案】（-1，4）或（7，4）
【思路指引】
线段AB∥x轴，A、B两点纵坐标相等，又AB=4，B点可能在A点左边或者右边，根据距离确定B点坐标．
【详解详析】
解：∵AB∥x轴，点A的坐标为，
∴A、B两点纵坐标都为4，
又∵AB=4，
∴当B点在A点左边时，B（3-4=-1，4），
当B点在A点右边时，B（3+4=7，4）．
故答案为：（-1，4）或（7，4）．
【名师指路】
本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等．
15．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图，以O当原点建立坐标系，若黑子A坐标与和白子B的位置如图所示，为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为_______的位置处．
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【标准答案】（3，7）或（7，3）7，3）或（3，7）
【详解详析】
解：根据题意得，白子B的坐标为（5，1）；
因为白方已把（4，6），（5，5），（6，4）三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，
即（3，7）或（7，3），
故答案为：（3，7）或（7，3）．
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【名师指路】
本题考查了点的坐标的确定及生活中的棋类常识，正确理解题意和识图是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(﹣2，0)，C(2，0)，作DOC，使DOC与AOB全等，则点D的坐标可以为________．
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【标准答案】(0，4)或(0，-4)或(2，4)或(2，-4)
【思路指引】
由于OB＝OC，∠AOB＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，OA＝4，若OD＝4，∠DOC＝90°时，可判断△DOC≌△AOB，从而得到此时D点坐标；若CD＝4，∠OCD＝90°时，可判断△DCO≌△AOB，从而得到此时D点坐标．
【详解详析】
解：
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∵B（ 2，0），C（2，0），
∴OB＝OC，
∵∠AOB＝90°，OA＝4，
∴当OD＝4，∠DOC＝90°时，△DOC≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（0，4）或（0， 4）；
当CD＝4，∠OCD＝90°时，△DCO≌△AOB（SAS），此时D点坐标为（2，4）或（2， 4）．
故答案为（0，4）或（0， 4）或（2，4）或（2， 4）．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．解题关键是掌握全等三角形的判定．
17．如图，在平面直角坐标系中，AB＝B ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，-1），以AB为直角边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是______．
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【标准答案】
【思路指引】
过点作轴于点，通过角的计算可找出，结合、，即可证出，根据全等三角形的性质即可得出、，再结合点、的坐标即可得出、的长度，进而可得出点的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：过点作轴于点，如图所示．
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，，
，，
．
在和中，
，
，
，．
，，
，，，
点的坐标为．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用全等三角形的判定定理证出．
18．如图是某学校的示意图，若综合楼在点(，0)，食堂在点(1，3)，则教学楼在点______．
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【标准答案】（-4，2）．
【思路指引】
运用综合楼在点（-2，-1），食堂在点（1，2），可确定坐标原点的位置，从而确定教学楼的位置．
【详解详析】
解：∵综合楼在点（-2，0），食堂在点（ ( http: / / www.21cnjy.com )1，3），
∴可以得出坐标原点的位置，如图所示：
∴教学楼在点 （-4，2）．
故答案为：（-4，2）．
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【名师指路】
本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是根据综合楼和食堂的坐标位置确定坐标原点的位置．
19．如图，在直角坐标系中，已知A（4，0 ( http: / / www.21cnjy.com )），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______．
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【标准答案】2
【思路指引】
以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，先确定点C在直线DE上运动，根据垂线段最短计算即可．
【详解详析】
如图，以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，
∵△ABC，△ADF都是等边三角形，
∴AB=AC，AF=AD，∠FAC+∠BAF=∠FAC+∠CAD=60°，
∴AB=AC，AF=AD，∠BAF=∠CAD，
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∴△BAF≌△CAD，
∴∠BFA=∠CDA=120°，
∴∠ODE=∠ODA=60°，
∴∠OED=30°，
∴OE=OA=4，
∴点C在直线DE上运动，
∴当OC⊥DE时，OC最小，
此时OC=OE=2，
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键．
20．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是________．
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【标准答案】
【思路指引】
首先根据△是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．【出处：21教育名师】
【详解详析】
解：△是边长为2的等边三角形，
的坐标为：，的坐标为：，
△与△关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是：，
△与△关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是：，
△与△关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是：，
，
，，，，，
的横坐标是：，的横坐标是：，
当为奇数时，的纵坐标是：，当为偶数时，的纵坐标是：，
顶点的纵坐标是：，
△是正整数）的顶点的坐标是：，
△的顶点的横坐标是：，纵坐标是：，
故答案为：．
【名师指路】
此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出的横坐标和纵坐标是解题的关键．2·1·c·n·j·y
三、解答题
21．如图，点A、B在x轴上，点C在y轴上，∠CAB＝45°，∠ACB＝90°，点A坐标为（－6，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）点D是x轴上一动点，由点A沿 ( http: / / www.21cnjy.com )线段AB以每秒1个单位的速度向终点B运动，连接CD，设△CDO的面积为S，运动的时间为t，用含t的式子表示S；（不要求写出t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，当点D在线段O ( http: / / www.21cnjy.com )B上时，在第一象限内找一点E，连接CE、DE，使△CDE是以CD为斜边的等腰直角三角形，作EH⊥x轴于点H，交线段BC于点F，连接OE，若△CDO与△ACO的面积比为1：3，求△COE的面积．
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【标准答案】（1）；（2）或；（3）
【思路指引】
（1）根据等腰三角形的性质，三线合一可得，进而即可求得的坐标；
（2）根据题意求得，分在线段上和线段上两种情况讨论，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）过点作轴于点，根据三角形的面积比，求得点的坐标，进而证明，根据平行线间的距离相等可得，设，则，，进而求得的值，即可求得的长，即可求得△COE的面积．
【详解详析】
（1）点A、B在x轴上，点C在y轴上，∠CAB＝45°，∠ACB＝90°，点A坐标为（－6，0）
（2），
，
，，
是等腰直角三角形，
，
①如图，当点在线段上时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴
②如图，当点在线段上时
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴
综上所述或
（3）如图，过点作轴于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
△CDO与△ACO的面积比为1：3，
点D在线段OB上,
△CDE是以CD为斜边的等腰直角三角形，
,
∵,
,
,
∵
∴
在与中
设，
则，
∵
∴（平行线之间的距离相等）
同理
【名师指路】
本题考查了坐标与图形，列代数式，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，平行线间的距离相等，综合运用以上知识是解题的关键．www.21-cn-jy.com
22．已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．
（1）若α＝90．
①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边 ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）①；②见解析；（2）时，线段OP最短
【思路指引】
（1）①过点作轴于点，证明，进而得出答案；
②根据D为BC中点，求出点的坐标，然后分析坐标即可得出答案；
（2）作交于点，连接,过点作交延长线于点，证明，进而得出，然后根据点在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，计算即可．
【详解详析】
解：（1）①∵,
∴为等腰直角三角形，
过点作轴于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵A（3，0），点B（0，1），
∴，
∴点；
②∵点，点，
∴的中点的坐标为，
即，
过点作轴与轴交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则可知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴OD平分∠AOB；
（2）作交于点，
连接,过点作
交延长线于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，
此时．
【名师指路】
本题考查了旋转综合题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质定理以及判定定理是解本题的关键．21cnjy.com
23．如图，在平面直角坐标系中，△A ( http: / / www.21cnjy.com )BO的边BO在x轴上，点A坐标（5，12），B（17，0），点C为BO边上一点，且AC＝AO，点P为AB边上一点，且OP⊥AC．21*cnjy*com
（1）求出∠B的度数；
（2）试说明OA＝OP；
（3）求点P的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）点P（12，5）
【思路指引】
（1）由点A（5，12）， ( http: / / www.21cnjy.com )点B（17，0），可得OH＝5，AH＝12，OB＝17，从而得HB＝AH，根据等腰直角三角形的性质，即可得∠ABO＝∠HAB＝45°；
（2）交OP于点K，根据余角的性质，推导得∠CAH＝∠KOC，由等腰三角形三线合一的性质和外角性质，通过证明∠OAP＝∠APO，即可推导得OA＝OP；
（3）结合（1）和（2）的结论，根据全等三角形性质，通过证明△AOH≌△OPE，可得PE＝OH＝5，OE＝AH＝12，即可完成求解．
【详解详析】
（1）如图，过点A作AH⊥OB，过点P作PE⊥OB，分别交x轴于点H和点E
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点A（5，12），点B（17，0），
∴OH＝5，AH＝12，OB＝17，
∴HB＝OB﹣OH＝12，且AH⊥OB，
∴HB＝AH，
∴∠B＝∠HAB＝45°；
（2）交OP于点K，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OP⊥AC．
∴∠AHC＝∠OKC＝90°，
∴∠KOC+∠OCK＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，
∵∠OCK＝∠ACH
∴∠CAH＝∠KOC，
∵AO＝AC，AH⊥OC，
∴∠OAH＝∠CAH，
∴∠OAH＝∠KOC，
∵∠B＝∠HAB＝45°
∵∠OAP＝∠HAB +∠OAH＝45°+∠OAH，∠OPA＝∠B +∠KOC＝45°+∠KOC，
∴∠OAP＝∠APO，
∴OA＝OP；
（3）在△AOH与△OPE中，
∴△AOH≌△OPE
∴PE＝OH＝5，OE＝AH＝12，
∴点P（12，5）．
【名师指路】
本题考查了直角坐标系、三角形外角、等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等腰三角形三线合一、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
24．如图1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D．
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（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）如图3，点E为第一象限内一点，点F为y ( http: / / www.21cnjy.com )轴正半轴上一点，连接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，点G为AF中点．连接EG，EO，求证：∠OEG＝45°．21世纪教育网版权所有
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【思路指引】
（1）根据即可证明；
（2）过点作轴，交于点，得出，由平行线的性质得，由轴得，由得，故可得，从而得出，推出，根据证明，得出即可得证；
（3）延长到，使，连接，，延长交于点，根据证明，得出，，故，由平行线的性质得出，进而推出，根据证明，故，，即可证明．
【详解详析】
（1）轴于点，轴于点，
，
，，
，，
；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图2，过点作轴，交于点，
，
，
轴，
，
，
，
，，，
，
在与中，
，
，
，即点为中点；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图3，延长到，使，连接，，延长交于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，即．
【名师指路】
本题考查全等三角形的判定与性质，利用做辅助线作全等三角形是解决本题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)、B(0,b)分别为x轴和y轴上一点，且a,b满足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD=AC，连接OC、OD．
（1）A点的坐标为 ；∠OAB的度数为 ．
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由．
（3） 如图2，连接CD，若点C的坐标为(4，3)，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F．
①求D点的坐标；
②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由．
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【标准答案】（1），；（2），；理由见解析；（3）①；②
【思路指引】
（1）直接根据完全平方式的非负性，二次根式有意义的条件得出的值即可得出答案；
（2）根据题意证明，根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理可得结论；
（3）①作轴交轴于点，轴交轴于点，证明，即可得到答案；
②延长交于点，根据题意证明，然后证明，可得结论．
【详解详析】
解：（1）∵，
即，
∴，，
∴A点的坐标为，点
∴,
∵，
∴,
故答案为：，；
（2）设与轴交于点,与交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BE⊥AC，
∴，
在和中，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）①作轴交轴于点，轴交轴于点，
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∵点C的坐标为(4，3)，
∴，
由知，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴,，
∴；
②延长交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，，，
∴，
∴，
∵CE平分∠OCD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【名师指路】
本题考查了完全平方式的非负性 ( http: / / www.21cnjy.com )，二次根式有意义的条件，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．【版权所有：21教育】
26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接AC，CD⊥x轴于点D，CD＝5．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，OF平分∠AOB，OF交AC于点F，求证：点F为AC的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E在第二象限，连接AE、CE，且∠E＝45°，∠ECA+∠BAO＝45°，CE＝18，求点F的坐标．
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【标准答案】（1）(5，0)；（2）见解析；（3）（7，7）
【思路指引】
（1）由题意易证，即可利用“AAS”证明，即得出，即得出B点坐标．
（2）延长OF、DC，且交于点M，由（1）全等可得，．再根据题意可知，即可证明是等腰直角三角形，即得出，从而可证明BD=CM，即证明出AO=CM．最后利用“ASA”即可证明，得出，即证明F点为AC中点．
（3）如图3-1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDC=90°，先证明AD平分∠BDC；将沿AC翻折得到，过点N作于点H，过点C作CG⊥EA交EA延长线于G，连接NE，NG，先证明△EGN≌△CGN得到EN=CN， 则，然后利用“AAS”可证明，即得，从而得出，进而可求出，即得出M点坐标．最后由中点坐标公式即可求出F点坐标．
【详解详析】
解：（1）∵，
∴．
又∵，
∴．
∵轴，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴B点坐标为(5，0)．
（2）如图，延长OF、DC，且交于点M，
∵，
∴，．
∵OF平分，
∴，
∵，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即BD=CM，
∴AO=CM．
∵CD⊥x轴于点D，
∴，
∴，，
∴，
∴，即F点为AC中点．
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（3）如图3-1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDC=90°，现在证明AD平分∠BDC，
将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，∠ACE=∠ABD，
∵∠BAC=∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴D、C、E三点共线，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
∴∠ADB=∠BDC-∠ADE=45°，
∴∠ADB=∠ADC，即AD平分∠BDC；
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如图3-2所示，将沿AC翻折得到，过点N作于点H，过点C作CG⊥EA交EA延长线于G，连接NE，NG，
∵∠GEC=45°，∠EGC=90°，
∴∠GCE=180°-∠GEC-∠EGC=45°，
∴∠GEC=∠GCE，
∴GE=GC，
∵△ABC中∠ABC＝90°，AB＝BC，，
∴△ANC中，AN=CN=AB=BC，∠ANC=90°，
∴由前面所证可得∠EGN=∠CGN，
在△EGN和△CGN中，
，
∴△EGN≌△CGN（SAS），
∴EN=CN，
∵NH⊥EC，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M坐标为(14，14)，
∵点F为OM中点，
∴F点坐标为()，即F()，
∴F(7，7)．
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【名师指路】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的判定和性质，翻折的性质，坐标与图形等腰三角形的性质与判定等等，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．21·cn·jy·com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题01 数形结合之平面直角坐标系易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知点在第四象限，且到轴的距离为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
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A．（4，0） B．（1，0） C．（﹣2，0） D．（2，0）
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，则点B的坐标为（ ）21cnjy.com
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A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2 D．（﹣1.5，3）
4．下列说法不正确的是（ ）
A．x轴上的点的纵坐标为0
B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1
C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q （x，y）在第四象限
D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限
5．点P在第三象限,点P到轴的距离是5,到轴的距离是3,则点P的坐标( )
A．(3,－5) B．(－5，－3) C．(－3，－5) D．(－3，5)
6．已知点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．点的横坐标是，且到轴的距离为，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或 C． D．
8．如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，三角形ABC是一个（ ），请说明理由．
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A．等腰三角形； B．等边三角形；
C．直角三角形； D．等腰直角三角形
10．如图，底边AB长为2的等腰直 ( http: / / www.21cnjy.com )角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．（1，﹣） B．（1，﹣1） C．（，﹣） D．（，﹣1）
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，已知A（0，0）， ( http: / / www.21cnjy.com )B（3，0），C（1，2），若以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ___.21·cn·jy·com
12．在平面直角坐标系中，点到轴的的距离与到y轴的距离相等，则_______．
13．已知当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，称P（m﹣1，）为“和谐点”．若点A（a，2a﹣1）是“和谐点”，则点A在第____象限．www.21-cn-jy.com
14．在平面直角坐标系中，若线段轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为____．
15．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图，以O当原点建立坐标系，若黑子A坐标与和白子B的位置如图所示，为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为_______的位置处．
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16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(﹣2，0)，C(2，0)，作DOC，使DOC与AOB全等，则点D的坐标可以为________．【来源：21·世纪·教育·网】
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17．如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，-1），以AB为直角边在A边的下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标是______．21·世纪*教育网
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18．如图是某学校的示意图，若综合楼在点(，0)，食堂在点(1，3)，则教学楼在点______．
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19．如图，在直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为_______．2-1-c-n-j-y
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20．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是________．21*cnjy*com
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三、解答题
21．如图，点A、B在x轴上，点C在y轴上，∠CAB＝45°，∠ACB＝90°，点A坐标为（－6，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）点D是x轴上一动点，由点A沿线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )以每秒1个单位的速度向终点B运动，连接CD，设△CDO的面积为S，运动的时间为t，用含t的式子表示S；（不要求写出t的取值范围）【来源：21cnj*y.co*m】
（3）在（2）的条件下，当点 ( http: / / www.21cnjy.com )D在线段OB上时，在第一象限内找一点E，连接CE、DE，使△CDE是以CD为斜边的等腰直角三角形，作EH⊥x轴于点H，交线段BC于点F，连接OE，若△CDO与△ACO的面积比为1：3，求△COE的面积．【出处：21教育名师】
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22．已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．【版权所有：21教育】
（1）若α＝90．
①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；
②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；
（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为 ( http: / / www.21cnjy.com )BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短
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23．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边 ( http: / / www.21cnjy.com )BO在x轴上，点A坐标（5，12），B（17，0），点C为BO边上一点，且AC＝AO，点P为AB边上一点，且OP⊥AC．2·1·c·n·j·y
（1）求出∠B的度数；
（2）试说明OA＝OP；
（3）求点P的坐标．
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24．如图1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D．
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（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）如图3，点E为第一象限 ( http: / / www.21cnjy.com )内一点，点F为y轴正半轴上一点，连接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，点G为AF中点．连接EG，EO，求证：∠OEG＝45°．www-2-1-cnjy-com
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)、B(0,b)分别为x轴和y轴上一点，且a,b满足，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD=AC，连接OC、OD．
（1）A点的坐标为 ；∠OAB的度数为 ．
（2）如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由．
（3） 如图2，连接CD，若点C的坐标为(4，3)，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F．
①求D点的坐标；
②试判断DE与CF的数量关系，并说明理由．
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26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接AC，CD⊥x轴于点D，CD＝5．21教育名师原创作品
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，OF平分∠AOB，OF交AC于点F，求证：点F为AC的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E在第二象限，连接AE、CE，且∠E＝45°，∠ECA+∠BAO＝45°，CE＝18，求点F的坐标．21*cnjy*com
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