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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题02 数形结合之直角坐标平面内点的运动难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果点在第三象限，点关于原点的对称点在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知点，将点作如下平移：第次将向右平移个单位，向上平移个单位得到；第次将向右平移个单位，向上平移个单位得到，，第次将点向右平移个单位，向上平移个单位得到，则的坐标为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣3），点B绕点A逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是（ ）2·1·c·n·j·y
A．（4，0） B．（4，﹣1） C．（3，0） D．（3，﹣1）
4．已知点A（1，﹣3），点B（2，﹣1），将线段AB平移至A1B1．若点A1（a，1），点B1（3，﹣b），则a﹣b的值为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（－2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（ ）
A．（－2，4） B．（－2，－4） C．（2，－4） D．（2，4）
6．若点P（a＋1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．x＞－3
8．已知点A（x﹣2，3）与点B（2x+5，y﹣4）关于y轴对称，则yx的值是（ ）
A．-1 B．1 C．7 D．
9．已知点，将点A绕原点O顺时针方向旋转得点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．平面直角坐标系中，将点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，则下列结论：①B点的坐标为（，）；②线段AB的长为3个单位长度；③线段AB所在的直线与x轴平行；④点M（，）可能在线段AB上；⑤点N（，）一定在线段AB上．其中正确的结论有（ ）2-1-c-n-j-y
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．如图三角形ABC的顶点坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标如下：点A（2，2），B（1，1），C（5，1），若三角形DBC与三角形ABC全等，写出符合条件的点D的坐标：___．21*cnjy*com
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12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标是________．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．如图，等边三角形的顶点A（1，1） ( http: / / www.21cnjy.com )、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段向右平移，则在平移过程中，的最小值是__．
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．如图，已知线段AB=4，O为A ( http: / / www.21cnjy.com )B的中点，P是平面内的 个动点，在运动过程中保持OP=1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的最大值是_______．
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16．如图，平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中O是原点，等边△OAB的顶点A的坐标是（2，0），点P以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A…的路线作循环运动，第2021秒时点P的坐标是__________________．
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17．定义：动点先向右平移，再向上平移相同单位长度为完成一次移动，平移的相同单位长度称为移动的距离．如图，在平面直角坐标系中，若点从原点出发，第一次移动的距离为4个单位长度到达点，以后每一次移动的距离都是前一次移动距离的一半，则经过无数次移动后，点最终接近的那个点的坐标为______．21教育网
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18．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则(n是正整数)的顶点的坐标是_______．21世纪教育网版权所有
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三、解答题
19．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )原点，边长为2的正方形ABCD（点D与点O重合）和边长为4的正方形EFGH的边CO和GH都在x轴上，且点H坐标为（7，0）．正方形ABCD以3个单位长度/秒的速度沿着x轴向右运动，记正方形ABCD和正方形EFGH重叠部分的面积为S，假设运动时间为t秒，且t＜4．21*cnjy*com
（1）点F的坐标为 ；
（2）如图2，正方形ABCD向右运动的同时，动点P在线段FE上，以1个单位长度/秒的速度从F到E运动．连接AP，AE．
①求t为何值时，AP所在直线垂直于x轴；
②求t为何值时，S＝S△APE．
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20．如图，平面直角坐标系中有 ( http: / / www.21cnjy.com )点A（0，6），B（6，0），点D为线段OB上一个动点（点D不与点O、B重合），点C在AB的延长线且CD＝AD，点C关于x轴的对称点为M，连接DM，AM．
（1）求证：∠OAD＝∠CDB；
（2）点D为OB的中点时，求点M的坐标；
（3）点D在运动的过程中，∠DAM的值是否发生变化？如果变化，请求出∠DAM的度数的取值范围；如果不变，请求出∠DAM的度数．
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21．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，．21·世纪*教育网
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（1）请直接写出，两点的坐标；
（2）如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论；
（3）在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．
22．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点(1，0)，第二分钟，它从点(1，0)运动到点(1，1)，而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是___________．
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23．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A满足，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．
（1）则a＝ ，b＝ ，点C坐标为 ；
（2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m，n满足的关系式；
（3）如图2，E是线段OB上一动点，以OB为边作∠BOG＝∠AOB，交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，的值是否会发生变化？若变化请说明理由，若不变，请求出其值．www.21-cn-jy.com
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24．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．【版权所有：21教育】
（1）如图1，求点，的坐标及四边形的面积；
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图1
（2）如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
图2
（4）在坐标平面内是否存在点，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标的规律；若不存在，请说明理由．
25．在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（a，b），且，点E（6，0），将线段AB向下平移m个单位（m＞0）得到线段CD，其中A、B的对应点分别为C、D．
（1）求点的坐标及三角形ABE的面积；
（2）当线段CD与轴有公共点时，求的取值范围；
（3）设三角形CDE的面积为，当时，求的取值范围．
26．已知整点（横纵坐标都是整数）P ( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋字型跳跃）．例如在图1中，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B，也可以到达点C．设P0做一次跳马运动到点P1，做第二次跳马运动到点P2，做第三次跳马运动到点P3，…，如此依次进行．21教育名师原创作品
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（1）若P0（1，0），则P1可能是下列的点 ．
D（﹣1，2）；E（﹣2，0）；F（0，2）
（2）已知点P0（4，2），P2（1，3），则点P1的所有可能坐标为 ；
（3）若P0（0，0），则、可能与P0重合的是 ．
（4）如图2，点P0（1，0） ( http: / / www.21cnjy.com )沿x轴正方向向右上方做跳马运动，若P跳到Q1位置，称为做一次“正横跳马”；若P跳到Q2位置，称为做一次“正竖跳马”．当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点Pn（14，11），求a+b的值．【来源：21cnj*y.co*m】
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21*cnjy*com
专题02 数形结合之直角坐标平面内点的运动难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果点在第三象限，点关于原点的对称点在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【标准答案】B
【思路指引】
由点在第三象限，可得，点关于原点的对称点为，结合的范围即可判断出其对称点的象限；
【详解详析】
解：∵点在第三象限，
∴，
∵点关于原点的对称点为，
∴，，
∴点在第二象限；
故选择：B
【名师指路】
本题考查的是象限内点的坐标特点，关于原点对称的点的坐标特点，不等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．已知点，将点作如下平移：第次将向右平移个单位，向上平移个单位得到；第次将向右平移个单位，向上平移个单位得到，，第次将点向右平移个单位，向上平移个单位得到，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
解：从到的过程中，找到共向右、向上平移的规律、，令，则共向右、向上平移了：、，即可得出的坐标．
【详解详析】
解：可将点看成是两个方向的移动，
从到的过程中，
共向右平移了
，
共向上平移了
，
令，则共向右平移了：，
共向上平移了，
，
又，
故，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了点的坐标规律问题，解题的关键是找到向右及向上平移的规律，再利用规律进行解答．
3．在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣3），点B绕点A逆时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．（4，0） B．（4，﹣1） C．（3，0） D．（3，﹣1）
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意画出图形，易证，求出CD、OD的长即可求出C的坐标．
【详解详析】
解：如图所示，点B绕点A逆时针旋转90到点C，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵A坐标为（1，0），B坐标为（0，-3），
∴OA=1，OB=3，
根据旋转的性质，AB=AC，
∵∠BAC=90
∴∠BAO+∠CAD=90，
∵∠BAO+∠ABO=90，
∴∠ABO=∠CAD．
在AOB和ADC中，，
∴（AAS），
∴AD=OB=3，CD=OA=1，
∴OD=4，
∴C（4，-1）．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了旋转变换和三角形全等的判定与性质，证明△AOB≌△ADC是解决问题的关键．
4．已知点A（1，﹣3），点B（2，﹣1），将线段AB平移至A1B1．若点A1（a，1），点B1（3，﹣b），则a﹣b的值为（ ）21cnjy.com
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【标准答案】C
【思路指引】
利用平移的规律求出a，b即可解决问题．
【详解详析】
解：由题意得：a﹣1＝3﹣2，﹣b﹣（﹣1）＝1﹣（﹣3），
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝5，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了坐标与图形的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（－2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（ ）
A．（－2，4） B．（－2，－4） C．（2，－4） D．（2，4）
【标准答案】B
【思路指引】
根据横不变，纵相反，确定坐标计算即可．
【详解详析】
∵点A（－2，4），
∴关于x轴对称的点B的坐标是（－2，－4），
故选B．
【名师指路】
本题考查了坐标系中点的对称，熟练掌握对称点的坐标特点是解题的关键．
6．若点P（a＋1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解详析】
解：∵点P（a+1，2-2a）关于x轴的对称点在第四象限，
∴点P在第一象限，
∴，
解得：-1＜a＜1，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
7．在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x＞－3
【标准答案】B
【思路指引】
先求出点P关于原点成中心对称的点的坐标，再根据第四象限点的特点列不等式即可解题．
【详解详析】
点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3）
∵对称点在第四象限
∴
解得．
故选：B．
【名师指路】
本题考查关于原点对称点的坐标特征，关于原点对称的两个点得横纵坐标都互为相反数．
8．已知点A（x﹣2，3）与点B（2x+5，y﹣4）关于y轴对称，则yx的值是（ ）
A．-1 B．1 C．7 D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据关于y轴对称点的特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数求出x，y，代入计算即可；
【详解详析】
∵点A（x﹣2，3）与点B（2x+5，y﹣4）关于y轴对称，
∴，，
∴，，
∴原式；
故选D．
【名师指路】
本题主要考查了与y轴对称点的坐标特征，代数式求值，一元一次方程求解，准确分析计算是解题的关键．
9．已知点，将点A绕原点O顺时针方向旋转得点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意作出图形，过点A作轴，过点B作轴，证明即可得解；
【详解详析】
根据题意作出图形，过点A作轴，过点B作轴，
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由题可知：，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点，
∴，，
∵点B在第四象限，
∴点B的坐标为；
故选B．
【名师指路】
本题主要考查了绕原点旋转90度的点的坐标，三角形全等判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
10．平面直角坐标系中，将点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，则下列结论：①B点的坐标为（，）；②线段AB的长为3个单位长度；③线段AB所在的直线与x轴平行；④点M（，）可能在线段AB上；⑤点N（，）一定在线段AB上．其中正确的结论有（ ）21教育名师原创作品
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【标准答案】B
【思路指引】
根据平移的方式确定平移的坐标即可求得B点的坐标，进而判断①，根据平移的性质即可求得的长，进而判断②，根据平移的性质可得线段AB所在的直线与x轴平行，即可判断③，根据纵坐标的特点即可判断④⑤2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：∵点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，
∴B点的坐标为（，）；
故①正确；
则线段AB的长为；
故②不正确；
∵A（，），B（，）；纵坐标相等，即点A，B到x轴的距离相等
∴线段AB所在的直线与x轴平行；
故③正确
若点M（，）在线段AB上；
则，即，不存在实数
故点M（，）不在线段AB上；
故④不正确
同理点N（，）在线段AB上；
故⑤正确
综上所述，正确的有①③⑤，共3个
故选B
【名师指路】
本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握平移的性质是解题的关键．
二、填空题
11．如图三角形ABC的顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点坐标如下：点A（2，2），B（1，1），C（5，1），若三角形DBC与三角形ABC全等，写出符合条件的点D的坐标：___．【版权所有：21教育】
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【标准答案】（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．
【思路指引】
依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．
【详解详析】
解：如图所示，
当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（2，0），
当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 4，0），
△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为（4，1），
当D与A重合时，点D坐标为（2，2），
故答案为：（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．
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【名师指路】
本题主要考查了利用轴对称变换构建全等三角形，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．
．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标是________．
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【标准答案】
【思路指引】
分别过点 作轴， 轴于点 ，可证得 ，从而得到 ，即可求解．
【详解详析】
解：如图，分别过点 作轴， 轴于点 ，
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∴ ，
∴ ，
根据题意得： ， ，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵点，
∴ ，
∴ ，
∴点的坐标是．
故答案为：
【名师指路】
本题主要考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，准确得到是解题的关键．
13．如图，等边三角形的顶点A ( http: / / www.21cnjy.com )（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为___________．
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【标准答案】(-2018,)
【思路指引】
先求出C点坐标，然后求出点C翻转、平移一次后得到的结果，再求出点翻转、平移一次后得到的结果，…找出规律，最后算出翻转2020次得到的结果.
【详解详析】
由题意，可利用勾股定理求出等边三角形的高为，得到C点坐标为，翻转，平移一次为
翻转，平移两次为，
翻转，平移三次为
…
故C点翻转，平移n次的坐标为
当n=2020时，，故答案为(-2018,)
【名师指路】
本题考查了坐标与图形变化-平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2020次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段向右平移，则在平移过程中，的最小值是__．
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【标准答案】
【思路指引】
过点C作直线， 作B关于的对称点E，连接AE，将直线AE向右平移至过C点得到直线DF，连接，过点 做 轴交轴于，则的最小值为DF的长度．
【详解详析】
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如图：过点C作直线，作B点关于的对称点E，连接AE，将直线AE向右平移至过C点得到直线DF，连接，过点 做 轴交轴于
∵平移后A点对应点为D点，B点对应点为G点，根据对称性：
∴
∴的最小值为DF的长度
∵点，，，根据对称性知
∴
∴
∴的最小值为．
【名师指路】
掌握根据对称性转化线段长度解决问题．两点之间，线段最短使我们解决最值问题常用的思路．
15．如图，已知线段AB=4，O为AB ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，P是平面内的 个动点，在运动过程中保持OP=1不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的最大值是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
以O为坐标原点建立坐标系，过点C作CD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2+y2=1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC=PF=y，FB=EP=2-x，从而得到点C（x+y，y+2-x），最后依据两点间的距离公式可求得AC的最大值．
【详解详析】
如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB=4，O为AB的中点，
∴A（-2，0），B（2，0）．
设点P的坐标为（x，y），则x2+y2=1．
∵∠EPC+∠BPF=90°，∠EPC+∠ECP=90°，
∴∠ECP=∠FPB．
由旋转的性质可知：PC=PB．
在△ECP和△FPB中
，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC=PF=y，FB=EP=2-x．
∴C（x+y，y+2-x）．
∵AB=4，O为AB的中点，
∴．
∵x2+y2=1，
∴．
∵y≤1，
∴AC≤．
∴AC的最大值为：．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，两点间的距离公式的应用，列出AC的长度与点P的坐标之间的关系式是解题的关键．
16．如图，平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中O是原点，等边△OAB的顶点A的坐标是（2，0），点P以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B→O→A…的路线作循环运动，第2021秒时点P的坐标是__________________．
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【标准答案】
【思路指引】
计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可．
【详解详析】
解：由题意得，第1秒结束时P点 ( http: / / www.21cnjy.com )运动到了线段OA的中点C的位置，所以P1的坐标为P1（1，0）；
第2秒结束时P点运动到了点A的位置，所以P2的坐标为P2（2，0）；
第3秒结束时P点运动到了线段AB的中点D的位置，如下图所示，
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过D点作x轴的垂线交于x2处，
∵△OAB是等边三角形，且OA=2，
∴在Rt△AD x2中，∠DA x2=60°，AD=1，
∴，，
故D点的坐标为，即P3;
第4秒结束时P点运动到了点B的位置，
同理过B点向x轴作垂线恰好交于点C，
在Rt△OBC中，∠BOC =60°，，,
，
故B点的坐标为（1，），即P4（1，）；
第5秒结束时P点运动到了线段OB的中点E的位置，根据点D即可得出E点的坐标为，即 P5；
第6秒结束时运动到了点O的位置，所以P6的坐标为P6（0，0）；
第7秒结束时P点的坐标为P7（1，0），与P1相同；
……
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由上可知，P点的坐标按每6秒进行循环，
∵2021÷8＝336……5，
∴第2021秒结束后，点P的坐标与P5相同为，
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．
17．定义：动点先向右平移，再向上平移相同单位长度为完成一次移动，平移的相同单位长度称为移动的距离．如图，在平面直角坐标系中，若点从原点出发，第一次移动的距离为4个单位长度到达点，以后每一次移动的距离都是前一次移动距离的一半，则经过无数次移动后，点最终接近的那个点的坐标为______．
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【标准答案】（8，8）
【思路指引】
求出过无数次移动后的为移动的距离总和即可求出结果．
【详解详析】
解：设完成次移动，
第一次移动的距离为4个单位长度到达点，以后每一次移动的距离都是前一次移动距离的一半，
可以看作第一次移动的距离为8个单位长度的一半，即：移动的距离为4个单位长度，到达点，则余下一半，
第二次移动的距离为第一次的移动距离一半，则余下还前一次的一半，
……
第次移动的距离为第次的移动距离一半，则余下还前一次的一半，即余下
即：次移动的距离总和=，
∴点最终接近的那个点的坐标为（8，8），
故答案为：（8，8）．
【名师指路】
本题主要考查了点的平移规律，求出次移动的距离总和的近似值是解题关键．
18．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则(n是正整数)的顶点的坐标是_______．
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【标准答案】（4n+1，）
【思路指引】
首先根据△△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
【详解详析】
解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2-1=3，2×0-=-，
∴点A2的坐标是（3，-），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×3-1=5，2×0-（-）=，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×4-1=7，2×0-=-，
∴点A4的坐标是（7，-），
…
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×4-1，…，
∴An的横坐标是2n-1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是-，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，），
故答案为：（4n+1，）．
【名师指路】
此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出An的横坐标、纵坐标各是多少．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
19．如图1，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，点O是坐标原点，边长为2的正方形ABCD（点D与点O重合）和边长为4的正方形EFGH的边CO和GH都在x轴上，且点H坐标为（7，0）．正方形ABCD以3个单位长度/秒的速度沿着x轴向右运动，记正方形ABCD和正方形EFGH重叠部分的面积为S，假设运动时间为t秒，且t＜4．
（1）点F的坐标为 ；
（2）如图2，正方形ABCD向右运动的同时，动点P在线段FE上，以1个单位长度/秒的速度从F到E运动．连接AP，AE．
①求t为何值时，AP所在直线垂直于x轴；
②求t为何值时，S＝S△APE．
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【标准答案】（1）（3，4）；（2）①t=时，AP所在直线垂直于x轴；②当t为或时，S＝S△APE．
【思路指引】
（1）根据直角坐标系得出点F的坐标即可；
（2）①根据AP所在直线垂直于x轴，得出关于t的方程，解答即可；
②分和两种情况，利用面积公式列出方程即可求解．
【详解详析】
（1）由直角坐标系可得：F坐标为：（3，4）；
故答案为：（3，4）；
（2）①要使AP所在直线垂直于x轴．如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
只需要Px＝Ax，
则 t+3＝3t，
解得：，
所以即时，AP所在直线垂直于x轴；
②由题意知，
OH＝7，所以当时，点D与点H重合，所以要分以下两种情况讨论：
情况一：当时，
GD＝3t﹣3，PF＝t，PE＝4﹣t，
∵S＝S△APE，
∴BC×GD＝，
即：2×（3t﹣3）＝，
解得：；
情况二：当时，如图2，
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HD＝3t﹣7，PF＝t，PE＝4﹣t，
∵S＝S△APE，
∴BC×CH＝，
即：2×[2﹣（3t﹣7）]＝，
解得：，
综上所述，当t为或时，S＝S△APE．
【名师指路】
本题考查了平面直角坐标系中点的移动，一元一次方程的应用等问题，理解题意，分类讨论是解题关键．
20．如图，平面直角坐标系中有点 ( http: / / www.21cnjy.com )A（0，6），B（6，0），点D为线段OB上一个动点（点D不与点O、B重合），点C在AB的延长线且CD＝AD，点C关于x轴的对称点为M，连接DM，AM．
（1）求证：∠OAD＝∠CDB；
（2）点D为OB的中点时，求点M的坐标；
（3）点D在运动的过程中，∠DAM的值是否发生变化？如果变化，请求出∠DAM的度数的取值范围；如果不变，请求出∠DAM的度数．21世纪教育网版权所有
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【标准答案】（1）见解析；（2）M（9，3）；（3）∠ADM＝90°，不变，理由见解析．
【思路指引】
（1）证明∠OAB=∠OBA=45°，由D ( http: / / www.21cnjy.com )A=DC，推出∠DAB=∠DCA，再由∠ABO=∠CDB+∠DCB=45°，∠OAD+∠DAB=45°，推出∠OAD=∠CDB；
（2）如图，连接CM交OB于T．证明△AOD≌△DTC（AAS），求出点C的坐标，再根据对称性确定点M的坐标；
（3）证明∠MDB=∠OAD，再根据三角形的外角的性质证明∠ADM=∠AOD=90°即可．
【详解详析】
（1）证明：∵A（0，6），B（6，0），
∴OA＝OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵DA＝DC，
∴∠DAB＝∠DCA，
∵∠ABO＝∠CDB+∠DCB＝45°，∠OAD+∠DAB＝45°，
∴∠OAD＝∠CDB；
（2）解：如图，连接CM交OB于T．
∵D是OB的中点，OB＝6，
∴OD＝DB＝3，
∵DC，DM关于x轴对称，
∴CM⊥x轴，
在△AOD和△DTC中，
，
∴△AOD≌△DTC（AAS），
∴OA＝DT＝6，OD＝CT＝3，
∴OT＝OD+DT＝9，
∴C（9，﹣3），
∵C，M关于x轴对称，
∴M（9，3）．
（3）解：结论：∠ADM＝90°，不变．
理由：∵C，M关于x轴对称，
∴∠CDB＝∠MDB，
∵∠OAD＝∠CDB，
∴∠MDB＝∠OAD，
∵∠ADB＝∠AOD+∠OAD＝∠ADM+∠MDB，
∴∠ADM＝∠AOD＝90°．
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【名师指路】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，．21·cn·jy·com
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（1）请直接写出，两点的坐标；
（2）如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论；
（3）在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．21*cnjy*com
【标准答案】（1），；（2），理由见解析；（3）存在，，，，
【思路指引】
（1）根据绝对值的非负性、偶次 ( http: / / www.21cnjy.com )方的非负性分别求出a、b，得到点A，B的坐标；
（2）求出五边形QPOBD的内角和，根据平行线的性质得到∠QDB+∠OBD=180°，计算即可；
（3）根据题意求出△ACD的面积，分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解详析】
解：（1）∵|2a+6|+ ( http: / / www.21cnjy.com )（2a-3b+12）2=0，
∴|2a+6|=0，（2a-3b+12）2=0，
解得，a=-3，b=2，
则点A，B的坐标分别为A（-3，0），B（2，0）；
（2）∠PQD+∠OPQ+∠POB=360°，
理由如下：五边形QPOBD的内角和=（5-2）×180°=540°，
∵有题意可知CD∥AB，
∴∠QDB+∠OBD=180°，
∴∠PQD+∠OPQ+∠POB=540°-（∠QDB+∠OBD）=360°；
（3）由题意得，点C的坐标为（-5，2），点D的坐标为（0，2），
则△ACD的面积=×5×2=5，
当点M在x轴上时，设点M的坐标为（x，0），
则AM=|-3-x|，
由题意得，×|-3-x|×2=5，
解得，x=2或-8，
当点M在y轴上时，设点M的坐标为（0，y），
则AM=|2-y|，
由题意得，×|2-y|×3=5，
解得，y=-或，
综上所述，三角形MAD的面积与三角形ACD的面积相等时，点M的坐标为（2，0）或（-8，0）或（0，-）或（0，）．
【名师指路】
本题考查的是非负数的性质、平移变换、三角形的面积计算，掌握坐标与图形的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
22．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y ( http: / / www.21cnjy.com )轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点(1，0)，第二分钟，它从点(1，0)运动到点(1，1)，而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是___________．
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【标准答案】（44，3）
【思路指引】
要弄清粒子的运动规律，先观察横坐标和纵坐标的相同点：（0，0），粒子运动了0分钟，（1，1）表示粒子运动了分钟，将向左运动，（2，2）表示粒子运动了分钟，将向下运动，（3，3）表示粒子运动了分钟，将向左运动，…，（44，44）表示粒子运动了分钟，此时粒子将会向下运动，进而得出答案．
【详解详析】
由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
（1，1）表示粒子运动了分钟，将向左运动，
（2，2）表示粒子运动了分钟，将向下运动，
（3，3）表示粒子运动了分钟，将向左运动，
…
于是会出现：
（44，44）表示粒子运动了分钟，此时粒子将会向下运动，
在第2021分钟时，粒子又向下移动了2021-1980=41个单位长度，
粒子的位置为（44，3）．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了点的坐标的确定，本题也是一个阅 ( http: / / www.21cnjy.com )读理解并猜想规律的题目，解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后可以进一步推得点的坐标．【出处：21教育名师】
23．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A满足，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C．
（1）则a＝ ，b＝ ，点C坐标为 ；
（2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m，n满足的关系式；
（3）如图2，E是线段OB上一动点，以OB为边作∠BOG＝∠AOB，交BC于点G，连CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，的值是否会发生变化？若变化请说明理由，若不变，请求出其值．
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【标准答案】（1）；（2）；（3）不变，值为2．
【思路指引】
（1）根据，即可得出a，b的值，再根据平移的性质得出，因为点C在y轴负半轴，即可得出点C的坐标；
（2）过点D分别作DM⊥x轴于点M， DN⊥y轴于点N，连接OD，在中用等面积法即可求出m和n的关系式；
（3）分别过点E，F作EP∥OA， FQ∥OA分别交y轴于点P，点Q，根据平行线的性质，得出 进而得到的值．
【详解详析】
（1）解：∵，
∴
∴
∵且C在y轴负半轴上，
∴,
故填：；
（2）如图1，过点D分别作DM⊥x轴于点M， DN⊥y轴于点N，连接OD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB⊥ x轴于点B，且点A，D，C三点的坐标分别为：
∴，
∴,
又∵S△BOC = S△BOD＋S△COD
=OB×MD＋OC×ND
，
∴；
（3）解：的值不变，值为2．理由如下：
如图所示，分别过点E，F作EP∥OA， FQ∥OA分别交y轴于点P，点Q，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵线段OC是由线段AB平移得到，
∴BC∥OA，
又∵EP∥OA，
∴EP∥BC，
∴∠GCF=∠PEC，
∵EP∥OA，
∴∠AOE=∠OEP，
∴∠OEC=∠OEP+∠PEC=∠AOE+∠GCF，
同理：∠OFC=∠AOF+∠GCF，
又∵∠AOB=∠BOG，
∴∠OFC=2∠AOE+∠GCF，
∴
．
【名师指路】
本题主要考查了非负数的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )坐标与图形，平行线的判定与性质，以及平移的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用等面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解．2-1-c-n-j-y
24．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．
（1）如图1，求点，的坐标及四边形的面积；
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图1
（2）如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
图2
（4）在坐标平面内是否存在点，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标的规律；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1），，；（2）存在，或；（3）存在，或；（4）存在，的纵坐标总是4或．或者：点在平行于轴且与轴的距离等于4的两条直线上；或者：点在直线或直线上
【思路指引】
（1）根据点的平移规律，即可得到对应点坐标；
（2）由，可以得到，即可得到P点坐标；
（3）由，可以得到，结合点C坐标，就可以求得点Q坐标；
（4）由，可以AB边上的高的长度，从而得到点的坐标规律．
【详解详析】
（1）∵点，点
∴向上平移3个单位，再向右平移1个单位之后对应点坐标为，点
∴
∴
（2）存在，理由如下：
∵
即：=12
∴
∴或
（3）存在，理由如下：
∵
即：
∵
∴
∵
∴或
（4）存在：理由如下：
∵
∴
设中，AB边上的高为h
则：
∴
∴点在直线或直线上
【名师指路】
本题考查直角坐标系中点的坐标平移规律，由点到坐标轴的距离确定点坐标等知识点，根据相关内容解题是关键．
25．在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（a，b），且，点E（6，0），将线段AB向下平移m个单位（m＞0）得到线段CD，其中A、B的对应点分别为C、D．
（1）求点的坐标及三角形ABE的面积；
（2）当线段CD与轴有公共点时，求的取值范围；
（3）设三角形CDE的面积为，当时，求的取值范围．
【标准答案】（1）B（3，4），7；（2）；（3）或
【思路指引】
（1）由算术平方根的意义可求出a，b的 ( http: / / www.21cnjy.com )值，可求出B点的坐标，过点B作BH⊥x轴于点H，过点A作AM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AM于点N，连接EM，由三角形面积公式可得出答案；
（2）当点C在x轴上时，此时m=2，当点D在x轴上时，m=4，由题意可得出答案；
（3）根据点C和点D不同的位置，由坐标与图形的性质及三角形面积公式可得出答案．
【详解详析】
解：（1）∵，
∴，
∴b=4，
∴=0，
∴a-3=0，
∴a=3，
∴B（3，4），
∴过点B作BH⊥x轴于点H，过点A作AM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AM于点N，连接EM，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则S△ABE=S△ABM+S△EBM+S△AME
=×2×2+×2×3+×2×2
=7；
（2）当点C在x轴上时，此时m=2，
当点D在x轴上时，m=4，
∴2≤m≤4时，线段CD与x轴有公共点；
（3）当点C在x轴上时，此时m=2，C（1，0），D（3，2），S△CDE=5，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当点D在x轴上时，此时m=4，C（1，-2），D（3，0），S△CDE=3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当点C在x轴下方时，点D在x轴上方时，且S△CDE=4，如图2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
分别过点C，D作x轴，y轴平行线交于点G，连接GE，过点E作EH⊥CG于点H，
∵C（1，2-m），D（3，4-m），
∴CG=2，DG=2，EH=m-2，
∴S△CDE=S△CDG+S△EDG-S△CEG，
∴4=×2×2+×2×3 ×2 (m 2)，
∴m=3．
∴当2≤m≤3时，4≤S≤5；
当C，D均为x轴下方时，如图3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CG=DG=2，GH=3，EH=m-2，
∴S△CDE=S△ECG-S△CDG-S△EDG，
∴S△CDE=×2 (m 2)-×2×2 ×2×3=m-7，
当m-7=4时，m=11，当m-7=5时，m=12，
∴当11≤m≤12时，4≤S≤5．
综合以上可得，当2≤m≤3或11≤m≤12时，4≤S≤5．
【名师指路】
本题是几何变换综合题，考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，平移的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．21教育网
26．已知整点（横纵坐标都是整数）P在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系内做“跳马运动”（即中国象棋字型跳跃）．例如在图1中，从点A做一次“跳马运动”，可以到点B，也可以到达点C．设P0做一次跳马运动到点P1，做第二次跳马运动到点P2，做第三次跳马运动到点P3，…，如此依次进行．www.21-cn-jy.com
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（1）若P0（1，0），则P1可能是下列的点 ．
D（﹣1，2）；E（﹣2，0）；F（0，2）
（2）已知点P0（4，2），P2（1，3），则点P1的所有可能坐标为 ；
（3）若P0（0，0），则、可能与P0重合的是 ．
（4）如图2，点P0（1 ( http: / / www.21cnjy.com )，0）沿x轴正方向向右上方做跳马运动，若P跳到Q1位置，称为做一次“正横跳马”；若P跳到Q2位置，称为做一次“正竖跳马”．当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点Pn（14，11），求a+b的值．
【标准答案】（1）F（0，2）；（2）P1（2，1）或（3，4）；（3）；（4）．
【思路指引】
（1）根据跳马运动一次，则有2种情况， ( http: / / www.21cnjy.com )一种为横坐标之差的绝对值为1个单位，纵坐标之差的绝对值为2个单位；另一种为横坐标之差的绝对值为2个单位，纵坐标之差的绝对值为1个单位可得答案；
（2）分类讨论，根据规律求解可得答案；
（3）假设第一次跳马跳到（1，2），第二次跳马跳到（0，0），，寻找规律，由n为偶数时，与重合，据此即可求解；
（4）根据题意得出方程组，解方程组可得答案．
【详解详析】
（1）由题意得：与的横坐标之差的绝对值为1个单位，纵坐标之差的绝对值为2个单位或横坐标之差的绝对值为2个单位，纵坐标之差的绝对值为1个单位，21·世纪*教育网
，=2，不满足条件；
，，不满足条件；
，，满足条件；
则P1可能是点F（0，2）；
故答案为：F（0，2）；
（2）∵，∴或，
①当即时，，
当，即时，，，
∴满足条件，此时P1（3，4）；
当，即时，，，
∴此时，不满足条件；
②当即时，，
当，即时，，，
∴此时，不满足条件；
当，即时，，，
∴满足条件，此时P1（2，1）；
综上，P1（2，1）或（3，4）；
（3）假设第一次跳马跳到（1，2），第二次跳马跳到（0，0），
第三次跳马跳到（1，2），第四次跳马跳到（0，0），
，
依此类推，由n为偶数时，与重合，
则、可能与重合的是；
故答案为：；
（4）做正横跳马时，横坐标增加2，纵坐标增加1；
做正竖跳马时，横坐标增加1，纵坐标增加2；
∴，
解得：，
∴．
【名师指路】
本题考查的是点的坐标以及二元一次方程组，掌握其规律是解决此题的关键．
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