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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www-2-1-cnjy-com
专题03 规律探究之点坐标规律综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0) ( http: / / www.21cnjy.com )，点A第一次跳动至点A1(﹣1，1)，第四次向右跳动5 个单位至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．(﹣2020，1010) B．(﹣1011，1010) C．(1011，1010) D．(2020，1010)
【标准答案】C
【思路指引】
根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．21教育网
【详解详析】
解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
∴第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
∴第2020次跳动至点的坐标是（1010+1，1010）即（1011，1010）．
故选C．
【名师指路】
本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．2-1-c-n-j-y
2．一只跳蚤在第一象限及x轴、y ( http: / / www.21cnjy.com )轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即（0，0）→（0，1）→（1，1） →（1，0）→ … ］，且每秒跳动一个单位，那么第25秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（4，0） B．（5，0） C．（0，5） D．（5，5）
【标准答案】C
【思路指引】
根据题意，找出其运动规律，质 ( http: / / www.21cnjy.com )点每秒移动一个单位，质点到达(1，0)时，共用3秒；质点到达(2，0)时，共用4秒；质点到达(0，2)时，共用4+4=8秒；质点到达(0，3)时，共用9秒；质点到达(3，0)时，共用9+6=15秒；以此类推， 即可得出答案．
【详解详析】
解：由题意可知，质点每秒移动一个单位
质点到达(1，0)时，共用3秒；
质点到达(2，0)时，共用4秒；
质点到达(0，2)时，共用4+4=8秒；
质点到达(0，3)时，共用9秒；
质点到达(3，0)时，共用9+6=15秒；
以此类推，质点到达(4，0)时，共用16秒；
质点到达(0，4)时，共用16+8=24秒；
质点到达(0，5)时，共用25秒；
故选：C．
【名师指路】
本题考查图形变化与运动规律，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )所给质点运动的特点能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．找出规律是解题的关键．2·1·c·n·j·y
3．在平面直角坐标系中，李明做走棋 ( http: / / www.21cnjy.com )游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度……依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度；当n被3除，余数是1时，则向右走1个单位长度；当n被3除，余数是2时，则向右走2个单位长度．当走完第12步时，棋子所处位置的坐标是（ ）【版权所有：21教育】
A．（9，3） B．（9，4） C．（12，3） D．（12，4）
【标准答案】D
【思路指引】
设走完第n步，棋子的坐标用 ( http: / / www.21cnjy.com )An来表示．列出部分A点坐标，发现规律“A3n（3n，n），A3n+1（3n+1，n），A3n+2（3n+3，n）”，根据该规律即可解决问题．
【详解详析】
解：设走完第n步，棋子的坐标用An来表示．
观察，发现规律：A0（0，0），A1（1，0），A2（3，0），A3（3，1），A4（4，1），A5（6，1），A6（6，2），…，
∴A3n（3n，n），A3n+1（3n+1，n），A3n+2（3n+3，n）．
∵12＝4×3，
∴A12（12，4）．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了规律型中的点的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标，解题的关键是发现规律“A3n（3n，n），A3n+1（3n+1，n），A3n+2（3n+3，n）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据棋子的运动情况，罗列出部分A点的坐标，根据坐标的变化发现规律是关键．
4．如图，在平面直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P2021的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（1011，1011） B．（1010，﹣1011） C．（504，﹣505） D．（505，﹣504）
【标准答案】A
【思路指引】
求出图中写出点的坐标，发现规律再解决即可．
【详解详析】
解：P0（1，0）
P1（1，1）
P2（-1，1）
P3（-1，-2）
P4（3，-2）
P5（3，3）
P6（-3，3）
P7（-3，-4）
P8（5，-4）
P9（5，5）
看了上述之后就会发现P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5）的横纵坐标相等，均为序数加1再除以2的结果，【来源：21·世纪·教育·网】
∵，，
∴P2021的坐标为（1011，1011），
故选：A．
【名师指路】
此题考查坐标的规律探究，根据图形得到点的坐标并发现坐标的变化规律，并能运用规律解决问题，能总结特殊点的坐标并总结运用规律是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中， ( http: / / www.21cnjy.com )存在动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．(2022，1) B．(2021，0) C．(2021，1) D．(2021，2)
【标准答案】C
【思路指引】
观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．
【详解详析】
解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点 ( http: / / www.21cnjy.com )运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0；4个数一个循环，
所以2021÷4＝505…1，
所以经过第2021次运动后，
动点P的坐标是（2021，1）．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了规律型 点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．
6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如、、、、、、……，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
观察可知，纵坐标的数值与点 ( http: / / www.21cnjy.com )的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．
【详解详析】
解：（0，1），共1个，
（0，2），（1，2），共2个，
（1，3），（0，3），（ 1，3），共3个，
…，
依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，
1＋2＋3＋…＋n＝，
当n＝13时，，
所以，第90个点的纵坐标为13，
（13 1）÷2＝6，
∴第91个点的坐标为（ 6，13），
第92个点的坐标为（ 6，14），
第93个点的坐标为（ 5，14），
第94个点的坐标为（ 4，14），
第95个点的坐标为（ 3，14），
第96个点的坐标为（ 2，14），
第97个点的坐标为（ 1，14），
第98个点的坐标为（0，14），
第99个点的坐标为（1，14），
第100个点的坐标为（2，14），
故选：A．
【名师指路】
本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．
7．如图，点A(O，1)、点A1(2， ( http: / / www.21cnjy.com )0)、点A2(3，2)、点A3(5，1)、…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为 ( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．(2022，2021) B．(3032，1010) C．(3033， 1011) D．(2021，1012)
【标准答案】B
【思路指引】
观察图形得到奇数点的规律为：，由2021是奇数，且2021＝2n 1，则可求A2n 1（3032，1010）．
【详解详析】
解：由图像可得：
∵
∴
故选B．
【名师指路】
本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中方向排列，即，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先由题意写出前10个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案.
【详解详析】
解：
，
观察发现：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标为：
而这些点为：第4个，第7个，第10个，
归纳得到第19个点的坐标为： 即
而这样的点的后面一个点是再沿轴正方向平移一个单位长度，
第20个点的坐标为：
故选：C
【名师指路】
本题考查的是坐标规律的探究，掌握从具体到一般的探究方法是解题的关键.
9．如图，动点P在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（-1，1），第2次接着运动到点（-2，0），第3次接着运动到点（-3，2），……，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（-2021，2） B．（-2021，0） C．（-2021，1） D．（-2021，-3）
【标准答案】C
【思路指引】
观察点的坐标变化，发现每个点的 ( http: / / www.21cnjy.com )横坐标的相反数与次数相等，纵坐标分别是1，0，2，0，…，4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．21世纪教育网版权所有
【详解详析】
观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点(-1，1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，第2次接着运动到点(-2，0)，第3次接着运动到点(-3，2)，第4次接着运动到点(-4，0)，第5次接着运动到点(-5，1)，…，按这样的运动规律，发现每个点的横坐标的相反数与次数相等，纵坐标分别是1，0，2，0，…，4个数一次循环，所以2021÷4=505…1，所以经过2021次运动后，点P的纵坐标为1，横坐标为-2021，故点P的坐标为（-2021，1）．
故选：C．
【名师指路】
本题是规律型问题，考查了点的坐标，关键是观察点的坐标变化并寻找规律．
10．如图，动点P从（0，3）出发，每当 ( http: / / www.21cnjy.com )碰到边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第1次碰到长方形的边时的位置P（3，0），当点P1第2021次碰到长方形的边时，点P2021的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（1，4） B．（5，0） C．（0，3） D．（7，4）
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意可以画出相应的图形，从而可以求得点P2021的坐标．
【详解详析】
解：如图所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
2021÷6=336 5，
∴点P2021的坐标是（1，4），
故选：A．
【名师指路】
本题考查点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的变化规律．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2021次变换后所得的点的坐标是___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
由题意根据点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到初始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环进行分析即可得出答案．
【详解详析】
解：根据题意可知：点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到初始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4=505…1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次关于x轴对称变换的位置相同，在第四象限，坐标为.
故答案为：．
【名师指路】
本题考查轴对称的性质以及点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A ( http: / / www.21cnjy.com )，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2021的坐标为_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（-2，0）
【思路指引】
根据中心对称的性质找出部分Pn的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标，根据坐标的变化找出变化规律“P6n（0，0），P6n＋1（2，0），P6n＋2（ 2，2），P6n＋3（0， 2），P6n＋4（2，2），P6n＋5（ 2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
【详解详析】
解：观察，发现规律：
P0（0，0） ( http: / / www.21cnjy.com )，P1（2，0），P2（ 2，2），P3（0， 2），P4（2，2），P5（ 2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，
∴P6n（0，0），P6n＋1（2，0），P6n＋2（ 2，2），P6n＋3（0， 2），P6n＋4（2，2），P6n＋5（ 2，0）（n为自然数）．
∵2021＝6×336＋5，
∴P2020（-2，0）．
故答案为：（-2，0）．
【名师指路】
本题考查了规律型中的点的坐标以及中心 ( http: / / www.21cnjy.com )对称的性质，解题的关键是找出变化规律“P6n（0，0），P6n＋1（2，0），P6n＋2（ 2，2），P6n＋3（0， 2），P6n＋4（2，2），P6n＋5（ 2，0）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据题意列出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自 ( http: / / www.21cnjy.com )P0(1，0)处向上运动1个单位至P1(1，1)，然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P2020的坐标为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】(1011，﹣1010)
【思路指引】
根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题．
【详解详析】
解：由题意P1（1，1），P5（3，3），P9（5，5）， P2021（1011，1011），
∴P2020（1011，-1010），
故答案为：（1011，-1010）．
【名师指路】
本题考查坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．
14．在平面直角坐标系中，一个智能 ( http: / / www.21cnjy.com )机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点An，则点A2022的坐标是__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1011，-1）．
【思路指引】
由点的移动规律发现每移动8次构成一个循环，一个循环相当于向右平移4个单位，用2022÷8即可解决问题．21*cnjy*com
【详解详析】
解：由题意知：A1 （0，1）， ( http: / / www.21cnjy.com )A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，-1），A6（3，-1），A7（3，0），A8（4，0），
可以发现每移动8次构成一个循环，一个循环相当于向右平移4个单位，
∴2022÷8=252 6，
∴252×4=1008，
∴A2022 （1011，-1），
故答案为：（1011，-1）．
【名师指路】
本题考查了平面直角坐标系中的点的规律探索问题，仔细观察图形，得出每移动8次构成一个循环，一个循环相当于向右平移4个单位结论是解题的关键．
15．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2020次碰到长方形的边时，点的坐标为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解详析】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题意得：P0（0，3），P1（ ( http: / / www.21cnjy.com )3，0），P2（7，4），P3（8，3），P4（5，0），P5（1，4），P6（0，3），P7（3，0），…，
∴点Pn的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2020÷6＝336…4，
∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为（5，0）．
故答案为：（5，0）．
【名师指路】
此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
16．在平面直角坐标系xOy中，对于点 ( http: / / www.21cnjy.com )P（x，y）我们把P（﹣y＋1，x＋1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到A1，A2，A3，…An，若点A1的坐标为（3，1），则点A2021的坐标为_________．
【标准答案】（3，1）
【思路指引】
根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．21*cnjy*com
【详解详析】
解：的坐标为，
，，，，
，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
，
点的坐标与的坐标相同，为．
故答案是：．
【名师指路】
本题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，解题的关键是求出每4个点为一个循环组依次循环．
17．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……若点，，则点的坐标为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
由勾股定理可计算出AB的长 ( http: / / www.21cnjy.com )，其周长为p=6，△AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2，即B6(18，2)；…；一般地，△AOB经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n（OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，B2n(6n，2)．从而根据规律可求得B2022的坐标．
【详解详析】
∵，
∴
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
∴△AOB的周长为
△AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；
△AOB再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；
再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2，即B6(18，2)；
…；
一般地，经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n（OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，即B2n(6n，2)．
∵2022是偶数
∴B2022(6066，2)
故答案为：
【名师指路】
本题是平面直角坐标系中坐标规律探索 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，先由特殊情况出发，得出一般性规律，再回到特殊情况，体现了数学中的归纳思想，这是问题的关键．注意数形结合．
18．如图，动点P从坐标原点（0，0） ( http: / / www.21cnjy.com )出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到点（1，1），第3秒运动到点（0，1），第4秒运动到点（0，2）……则第2021秒点P所在位置的坐标是 ___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（44，3）
【思路指引】
分析点P的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．
【详解详析】
解：由题意分析可得，
动点P第8=2×4秒运动到（2，0），
动点P第24=4×6秒运动到（4，0），
动点P第48=6×8秒运动到（6，0），
以此类推，动点P第2n（2n+2）秒运动到（2n，0），
∴动点P第2024=44×46秒运动到（44，0），
2024-2021=3，
∴按照运动路线，差3个单位点P到达（44，0），
∴第2021秒点P所在位置的坐标是（44，3），
故答案为：（44，3）．
【名师指路】
本题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第个阴影三角形的面积是______，第个阴影三角形的面积是______．
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【标准答案】32
【思路指引】
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，结合等腰直角三角形的性质及三角形的面积可得出点的坐及△的面积，同理可求出△和△的面积，设第个阴影三角形的面积为为正整数），根据三角形面积的变化，即可找出变化规律“为正整数）”，再代入即可求出结论．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：当时，，
点的坐标为．
△为等腰直角三角形，
，
点的坐标为，；
当时，，
点的坐标为．
△为等腰直角三角形，
点的坐标为，；
当时，，
点的坐标为，
△为等腰直角三角形，
点的坐标为，．
设第个阴影三角形的面积为为正整数），则，
．
故答案为：32；．
【名师指路】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、规律型：点的坐标以及三角形的面积，解题的关键是根据三角形面积的变化，找出“为正整数）”．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知等边中，规定先沿x轴翻折，再向右移动两个单位为一次变换，经过连续2021次这样的变换得到则点的坐标是______．
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【标准答案】
【思路指引】
经过四次变换后根据点A对应的点A′的坐标变化情况，发现坐标的变化规律，即可解决问题．
【详解详析】
解：∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是、，
∴点A的坐标为，
根据题意得：第1次变换后的点A的对应点的坐标为，即，
第2次变换后的点A的对应点的坐标为，即，
第3次变换后的点A的对应点的坐标为，即，
第n次变换后的点A的对应点的为：当n为奇数时为，当n为偶数时为，
∴把等边△ABC经过连续2021次这样的变换得到△A′B′C′，
则点A的对应点A′的坐标是：．即，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了对称与平移的性质，解题的关键是注意得到规律，即第n次变换后的点A的对应点的分两种情况，当n为奇数时为是解此题的关键．21cnjy.com
三、解答题
21．在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka＋kc，kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．
（1）点A和点B的系和点的坐标为________（直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；
②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，求k的值．
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【标准答案】（1）；（2）①0；②或
【思路指引】
（1）根据题意计算即可；
（2）①根据题意可得，再根据点D在第一、三象限的角平分线上计算即可；②根据题意作出图形，得到当或时满足条件，计算即可；【出处：21教育名师】
【详解详析】
（1）由题意得：，，
∴点A和点B的系和点的坐标为；
故答案为：．
（2）∵为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，
∴，，
即，
∵D在第一、三象限的角平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图，由题意可知，当或时满足条件，
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∵，，
∴或，
∴或；
【名师指路】
本题主要考查了平面直角坐标系的有关计算，准确计算是解题的关键．
22．在如图所示的平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系内，已知△OA1B1中，点A1、点B1的坐标分别为A1（1，1）、B1（1，0），将线段OA1绕点O逆时针旋转，使OA1落在y轴的正半轴上得到线段OB2，以OB2为直角边作等腰直角三角形△OB2A2，且斜边OA2在第二象限；再将线段OA2绕点O逆时针旋转，使OA2落在x轴的负半轴上得到线段OB3，以OB3为直角边作等腰直角三角形△OB3A3，且斜边OA3在第三象限：……，如此作下去，则点A2021的坐标为 ___．
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【标准答案】A2021（21010，2 1010）
【思路指引】
先求出A2（-，），A3（-2，-2），A4（2，-2），A5（4，4），找到变化规律，再判断点A2021在第一象限，进而即可求解．
【详解详析】
解：∵A1（1，1），
∴OA1=，
∵将线段OA1绕点O逆时针旋转，使OA1落在y轴的正半轴上得到线段OB2，
∴OB2= O A1=，
∵以OB2为直角边作等腰直角三角形△OB2A2，
∴A2（-，），
同理：A3（-2，-2），A4（2，-2），A5（4，4），
∵2021÷4=505..1，
∴点A2021在第一象限，
∴A2021（（）2020，（）2020），即：A2021（21010，2 1010）．
故答案是：A2021（21010，2 1010）．
【名师指路】
本题主要考查图形与坐标，勾股定理，通过计算，找出点的坐标变化规律是解题的关键．
23．如图所示，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．21教育名师原创作品
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（1）观察每次变换前后的三角形有何变化 ( http: / / www.21cnjy.com )？找出规律，按此规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是________，B4的坐标是________；
（2）若按（1）中找到的规律将三角形OA ( http: / / www.21cnjy.com )B进行n次变换，得到三角形OAnBn，推测An的坐标是________，Bn的坐标是________．
（3）求出△OAnBn的面积．
【标准答案】（1）(16，2)， (32，0)；（2）(2n，2)， (2n+1，0)；（3）．
【思路指引】
（1）观察图形并结合已知条件，找到An的横坐标、纵坐标的规律，及Bn的横坐标、纵坐标的规律，即可解题；21·cn·jy·com
（2）根据规律：An的横坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标是2n，纵坐标都是2，得到An 的坐标是(2n，2)，Bn的横坐标是2n＋1，纵坐标都是0，得到Bn的坐标是(2n＋1，0)；
（3）分别计算、、的面积，找到面积规律的面积为: .
【详解详析】
解：（1）A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）
的横坐标的横坐标 的横坐标的横坐标，三个点的纵坐标都是2，
的横坐标是，纵坐标是0，
，
又B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），
的横坐标的横坐标 的横坐标，三个点的纵坐标都是0，
的横坐标，纵坐标是2，
故答案为：(16，2), (32，0)；
（2）由A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）
可以发现它们各点坐标的关系为：横坐标是2n，纵坐标都是2，得到An 的坐标是(2n，2)，
由B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）
可以发现，它们各点坐标的关系为：横坐标是2n＋1，纵坐标都是0，得到Bn的坐标是(2n＋1，0)，
故答案为：(2n，2)，(2n＋1，0)；
（3）的面积为，的面积为，的面积为，
据此规律可得的面积为: .
【名师指路】
本题考查平面直角坐标系与图形规律，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.
24．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和美点”．
例如，点的一对“和美点”是点与点
（1）点的一对“和美点”坐标是_______与_______；
（2）若点的一对“和美点”重合，则y的值为_______．
（3）若点C的一个“和美点”坐标为，求点C的坐标；
【标准答案】（1）（-4，3），（3，-4）；（2）4；（3）（2，-5）或（-7，-5）
【思路指引】
（1）直接根据和美点的定义求解即可；
（2）由和美点重合可得a=b，可得方程，即可求出y值；
（3）分和美点坐标（a，b）和（b，a）分别为（-2，7）两种情况分别计算．
【详解详析】
解：（1）∵a=-x，b=x-y，A（4，1），
∴a=-4，b=x-y=4-1=3，
∴和美点的坐标为（-4，3），（3，-4）；
（2）∵和美点重合，
∴a=b，a=-2，b=x-y=2-y，
∴-2=2-y，
∴y=4；
（3）当和美点坐标（a，b）为（-2，7），
则a=-x=-2，x=2，
b=x-y=7，y=-5，
∴C（2，-5）；
当和美点坐标（b，a）为（-2，7），
b=x-y=-2，a=-x=7，
∴x=-7，y=-5，
∴C（-7，-5）．
综上所述，C（2，-5）或C（-7，-5）.
【名师指路】
此题主要考查了新定义，点的坐标，理解和应用新定义是解本题的关键．
25．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为…，这样依次得到点…，．
（1）若点的坐标为，则点的坐标为________，点的坐标为________．
（2）若点的坐标为，求点的坐标．
（3）若点的坐标为，对于任意的正整数n，当a，b满足什么条件时，点均在x轴上方．
【标准答案】（1），；（2）；（3）
【思路指引】
（1）根据题中信息，对于点，我们把点叫做点P的伴随点的定义，通过反复运算可以直接求出；
（2）根据点的坐标为，依次求出，通过观察呈现出循环组，利用循环组作为解题的突破口；
（3）根据（2）每4个点为一个循环组依次循环，要使得点均在x轴上方，只要求每个点的纵坐标大于，分别列出关于的不等式组，求解即可．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解．（1），．
点的坐标为，
根据题中对于点，我们把点叫做点P的伴随点的定义进行反复使用，求出：
．
（2）∵点的坐标为，
∴，…
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环．
∵，
∴点的坐标与点的坐标相同，为．
（3）∵点的坐标为，
∴，…
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环．
∵对于任意的正整数n，点均在x轴上方，
∴
解得．
【名师指路】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变化和解一元一次不等式组解集问题，解题的关键：是理解伴随点的产生过程，再根据题目要求进行解答．【来源：21cnj*y.co*m】
26．电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网，例如，再下一步即．
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（1）若则坐标是______，的坐标是_______．
（2）分别取坐标，根据你对蜘蛛织网的理解，请在网格上画出这两张网．
（3）在电子蜘蛛织网过程中，第n步的坐标，请你写出第1步所有可能的结果．
（4）进一步思考：若点那么点有没有可能始终在y轴的右侧，若有可能直接写出a，b的取值范围．若不可能说明理由．
【标准答案】（1）（9，-3），（5，7）；（2）见解析；（3）（-5，3）或（5，7）或（9，-3）或（-1，-7）；（4）
【思路指引】
（1）根据题中的规律，烈出方程组，计算可得P1，再继续得出后面的点的坐标，得到规律，可得P2022；
（2）分别取P1的坐标为（0，0），（0，2），得到之后点的坐标，画出图形即可；
（3）根据（1）中所得一个周期内点的坐标，可得P1的可能坐标；
（4）分别用a，b表示出一个周期内P点坐标，根据点在y轴右侧得到不等式组，解之即可．
【详解详析】
解：（1）由意题意可知：
P1（a，b），则P3[-（a-2）+2，（-b+2）-2]，
即P3（-a+4，-b），
∴，解得：，
∴P1（9，-3），
同理：P1（9，-3），P2（5，7），P3（-5，3），P4（-1，-7），P5（9，-3），4个为一周期，
2022÷4=505...2，
∴P2022（5，7）；
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（2）①P1（0，0），P2（2，-2），P3（4，0），P4（2，2）；
②P1（0，2），P2（0，-2），P3（4，-2），P4（4，2）；
如图所示：
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（3）由（1）知：4个为一周期，
Pm（9，-3），Pm+1（5，7），Pm+2（-5，3），Pm+4（-1，-7），
n=1时，P1（-5，3），
n=2时，P1（5，7），
n=3时，P1（9，-3），
n=4时，P1（-1，-7），
n≥5时，又出现周期变化，
综上：P1（-5，3）或（5，7）或（9，-3）或（-1，-7）；
（4）由题意可得：P1（a，b），P2（-b+2，a-2），P3（-a+4，-b），P4（b+2，-a+2），
∵周期为4，P1，P2，P3，P4在y轴右侧，即可满足题意，
∴，则，
∴．
【名师指路】
本题考查了坐标与图形，点的坐标规律，不等式组的应用，解题的关键是由题中的织网方式得到4个为一周期．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题03 规律探究之点坐标规律综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系上有点A(1， ( http: / / www.21cnjy.com )0)，点A第一次跳动至点A1(﹣1，1)，第四次向右跳动5 个单位至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．(﹣2020，1010) B．(﹣1011，1010) C．(1011，1010) D．(2020，1010)
2．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳 ( http: / / www.21cnjy.com )动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即（0，0）→（0，1）→（1，1） →（1，0）→ … ］，且每秒跳动一个单位，那么第25秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）21·cn·jy·com
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A．（4，0） B．（5，0） C．（0，5） D．（5，5）
3．在平面直角坐标系中，李明 ( http: / / www.21cnjy.com )做走棋游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度……依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位长度；当n被3除，余数是1时，则向右走1个单位长度；当n被3除，余数是2时，则向右走2个单位长度．当走完第12步时，棋子所处位置的坐标是（ ）www.21-cn-jy.com
A．（9，3） B．（9，4） C．（12，3） D．（12，4）
4．如图，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P2021的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．（1011，1011） B．（1010，﹣1011） C．（504，﹣505） D．（505，﹣504）
5．如图，在平面直角坐标系中，存在动点P按图 ( http: / / www.21cnjy.com )中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，点P的坐标是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．(2022，1) B．(2021，0) C．(2021，1) D．(2021，2)
6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如、、、、、、……，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
7．如图，点A(O，1)、点A1 ( http: / / www.21cnjy.com )(2，0)、点A2(3，2)、点A3(5，1)、…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为 ( ) 21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．(2022，2021) B．(3032，1010) C．(3033， 1011) D．(2021，1012)
8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中方向排列，即，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
9．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头 ( http: / / www.21cnjy.com )所示方向运动，第1次从原点运动到点（-1，1），第2次接着运动到点（-2，0），第3次接着运动到点（-3，2），……，按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）【版权所有：21教育】
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A．（-2021，2） B．（-2021，0） C．（-2021，1） D．（-2021，-3）
10．如图，动点P从（0，3 ( http: / / www.21cnjy.com )）出发，每当碰到边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第1次碰到长方形的边时的位置P（3，0），当点P1第2021次碰到长方形的边时，点P2021的坐标是（ ）
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A．（1，4） B．（5，0） C．（0，3） D．（7，4）
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2021次变换后所得的点的坐标是___________．21世纪教育网版权所有
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12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B， ( http: / / www.21cnjy.com )C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2021的坐标为_____．21教育名师原创作品
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13．如图，在平面直角坐标系中，设一质 ( http: / / www.21cnjy.com )点M自P0(1，0)处向上运动1个单位至P1(1，1)，然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…，如此继续运动下去，则P2020的坐标为________．21*cnjy*com
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14．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到 ( http: / / www.21cnjy.com )的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点An，则点A2022的坐标是__________．
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15．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2020次碰到长方形的边时，点的坐标为________．
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16．在平面直角坐标系xOy ( http: / / www.21cnjy.com )中，对于点P（x，y）我们把P（﹣y＋1，x＋1）叫做点P的伴随点，已知A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到A1，A2，A3，…An，若点A1的坐标为（3，1），则点A2021的坐标为_________．
17．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……若点，，则点的坐标为________．21·世纪*教育网
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18．如图，动点P从坐标原点（0，0 ( http: / / www.21cnjy.com )）出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点（1，0），第2秒运动到点（1，1），第3秒运动到点（0，1），第4秒运动到点（0，2）……则第2021秒点P所在位置的坐标是 ___．2-1-c-n-j-y
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19．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第个阴影三角形的面积是______，第个阴影三角形的面积是______．
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20．如图，在平面直角坐标系中，已知等边中，规定先沿x轴翻折，再向右移动两个单位为一次变换，经过连续2021次这样的变换得到则点的坐标是______．
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三、解答题
21．在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka＋kc，kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．2·1·c·n·j·y
（1）点A和点B的系和点的坐标为________（直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；
②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，求k的值．
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22．在如图所示的平面直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系内，已知△OA1B1中，点A1、点B1的坐标分别为A1（1，1）、B1（1，0），将线段OA1绕点O逆时针旋转，使OA1落在y轴的正半轴上得到线段OB2，以OB2为直角边作等腰直角三角形△OB2A2，且斜边OA2在第二象限；再将线段OA2绕点O逆时针旋转，使OA2落在x轴的负半轴上得到线段OB3，以OB3为直角边作等腰直角三角形△OB3A3，且斜边OA3在第三象限：……，如此作下去，则点A2021的坐标为 ___．
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23．如图所示，在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
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（1）观察每次变换前后的三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是________，B4的坐标是________；
（2）若按（1）中找到的规律将三角形OAB进 ( http: / / www.21cnjy.com )行n次变换，得到三角形OAnBn，推测An的坐标是________，Bn的坐标是________．【来源：21cnj*y.co*m】
（3）求出△OAnBn的面积．
24．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和美点”．
例如，点的一对“和美点”是点与点
（1）点的一对“和美点”坐标是_______与_______；
（2）若点的一对“和美点”重合，则y的值为_______．
（3）若点C的一个“和美点”坐标为，求点C的坐标；
25．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为…，这样依次得到点…，．
（1）若点的坐标为，则点的坐标为________，点的坐标为________．
（2）若点的坐标为，求点的坐标．
（3）若点的坐标为，对于任意的正整数n，当a，b满足什么条件时，点均在x轴上方．
26．电子蜘蛛在边长为1的正方形网格上织网，若电子蜘蛛从出发，先爬到，再下一步爬到……以这样的规律织网，例如，再下一步即．
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（1）若则坐标是______，的坐标是_______．
（2）分别取坐标，根据你对蜘蛛织网的理解，请在网格上画出这两张网．
（3）在电子蜘蛛织网过程中，第n步的坐标，请你写出第1步所有可能的结果．
（4）进一步思考：若点那么点有没有可能始终在y轴的右侧，若有可能直接写出a，b的取值范围．若不可能说明理由．21cnjy.com
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