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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三 ( http: / / www.21cnjy.com )种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。【来源：21·世纪·教育·网】
专题03 运算能力之无理方程易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市进才中学北校八年级期中）下列方程中，有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【详解详析】
A. ，
两边平方得，
即，
解得，，
经检验是原方程的解，
故该选项有实数解，符合题意；
B. ，即，
原方程无实数解，不符合题意；
C.
移项得
两边平方得
原方程无实数解，不符合题意；
D.
两边平方得：
即
原方程无实数解，不符合题意；
故选A
【名师指路】
本题考查了无理方程，解无理方 ( http: / / www.21cnjy.com )程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．
2．（2021·上海杨浦·八年级期中）下列方程中，在实数范围内有解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0 B．+2＝0
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
利用一元二次方程根的判别式,二次根式的非负性,解分式方程的方法逐一判定即可．
【详解详析】
解：A、a＝1，b＝﹣1，c＝1，△＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，方程无实数根，
故A不符合题意；
B、非负数与正数的和是正数，得
+2≥2，
故B错误；
C、方程两边都乘以（x﹣5），得
x﹣4＝1，
解得x＝5，
经检验：x＝5不是分式方程的根，原分式方程的解，
故C不符合题意；
D、由，得
x﹣2≥0且2﹣x≥0，
解得x＝2，故D符合题意，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程根的判别式，分式方程的解法，二次根式的非负性，熟练掌握根的判别式，灵活解分式方程，活用二次根式的非负性是解题的关键．www.21-cn-jy.com
3．（2021·上海闵行·八年级期末）如果关于的方程有实数根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【详解详析】
解：把代入方程，
得：，
两边平方得：，
解得：，
经检验是方程的解，
即，
故选：A．
【名师指路】
本题考查了解无理方程和方程的解，能把无理方程转化为有理方程是解此题的关键．
4．（2021·上海普陀·八年级期末）下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由无理方程、一元二次方程的解法，分别解各方程，即可得出答案．
【详解详析】
解：A、由得：，
∵一个数的算术平方根不能为负数，
∴原方程无实数解，故A不符合题意；
B、由x2+1=0得：x2=-1，
∵一个数的平方不能为负数，
∴原方程无实数解，故B不符合题意；
C、由=x得x2-x=0，
解得x=0或x=1，
经检验，x=0或x=1均是原方程的根，
故C符合题意；
D、x2-x+1=0得判别式Δ=-3＜0，
∴x2-x+1=0无实数根，
故D不符合题意，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了一元二次方程、分式方程及无理方程的解，熟练应用相关方法进行求解是解决本题的关键，特别注意分式方程和无理方程都要检验．21·世纪*教育网
5．（2021·上海杨浦·二模）下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．x4+1＝0 B．＝﹣1
C．＝﹣x D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用乘方的意义可对进行判断；通过二次根式的性质可对、进行判断；通过解分式方程可对进行判断．
【详解详析】
解：、，，方程 没有实数解；
、，故无实数解；
、两边平方得，解得， ，经检验，原方程的解为；
、去分母得，经检验原方程没有实数解，
故选：．
【名师指路】
本题考查了乘方的意义，分式方程，无理方程和二次根式的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
6．（2021·上海长宁·二模）下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0 B．x2+1＝0
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
解各个方程，根据解的情况得结论．
【详解详析】
解：方程的根的判别式△=1-4=-3＜0，
所以方程A没有实数解；
方程的根的判别式△=0-4=-4＜0，
故方程B没有实数解；
方程可变形为，整理得．
解得x=1，当x=1时，分式方程无解．故方程C没有实数解；
方程的解为．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，掌握一元二次方程、分式方程及无理方程的解法是解决本题的关键．www-2-1-cnjy-com
7．下列方程中，有实数根的是( )
A．=0 B． C．2x4+3＝0 D．
【标准答案】D
【思路指引】
A、移项根据二次根式的性质即可判断；B、去分母后，化为整式方程即可判断；C、根据乘方的意义即可判断；D、去分母化为整式方程即可判断；21世纪教育网版权所有
【详解详析】
解：A、由题意＝﹣1＜0，方程没有实数根；
B、去分母得到：x2﹣x+1＝0，△＜0，没有实数根；
C、由题意x4＝﹣＜0，没有实数根，
D、去分母得到：x＝﹣1，有实数根，
故选D．
【名师指路】
本题考查了无理方程，解题的关键要注意是否有实数根，有实数根时是否有意义，用到的知识点是根的判别式．
8．下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
首先逐个对每一项的方程分析求解，即可得出结论．
【详解详析】
A. 通过移项得, 原方程有实数解，故本选项错误，
B.方程 ，△=16>0，原方程有实数解，故本选项正确，
C.解方程得，此时最简公分母为0，原方程没有实数解，故本选项错误，
D项通过移项可知任何数的算术平方根都不可能为负数，故等式不成立，故本选项错误.
故选B.
【名师指路】
考查了无理方程，根的判别式以及分式方程的解法，在解无理方程时最常用的方法是两边平方法.
9．下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A． B．=1-x
C．x2-x-1=0 D．x2-x+1=0
【标准答案】C
【思路指引】
根据解分式方程、无理方程的步骤和方法以及根的判别式逐一判定即可．
【详解详析】
A、去分母的2-1-x=0，解得x=1，x-1=0，此方程无解，此选项错误；
B、两边平方的x-2=x2-2x+1，x2-3x+3=0，△=（-3）2-4×1×3＜0，此方程无解，此选项错误；
C、△=（-1）2-4×1×（-1）＞0，此方程有两个不相等的实数根，此选项正确；
D、△=（-1）2-4×1×1＜0，此方程无解，此选项错误．
故选C．
10．（2021·上海浦东新·八年级期末）下列方程中，有一个根是的方程是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
解方程再检验，或把x=2代入选项中的每个方程，再逐个判断．
【详解详析】
A.解方程，
方程两边都乘以x-2，得x=2，
检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2是增根，
即x=2不是原方程的解，故A选项不符合题意；21cnjy.com
B.当x=2时，分母不等于0，
方程的左边=， 右边=0，
即左边=右边，
所以x=2是原方程的解，故本选项符合题意；
C．当x=2时，中x-3＜0，
所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意；
D．当x=2时，中x-6＜0，
所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意；
故选：B．2-1-c-n-j-y
【名师指路】
本题考查了解分式方程和解无理方程，注意：解分式方程和解无理方程的过程中都必须进行检验．
二、填空题
11．（2021·上海闵行·八年级期中）方程的根是_______．
【标准答案】
【思路指引】
先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案．21*cnjy*com
【详解详析】
方程两边平方得：
∴，
∵
∴
∴不符合题意，故舍去
∴原方程的根为
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．【来源：21cnj*y.co*m】
12．方程的解是___________．
【标准答案】
【思路指引】
由可以得出或且，由此求得原方程的解即可．
【详解详析】
∵，
∴或且，
解得：且，
，不合题意，舍去，
∴．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．
13．已知方程组，则____________．
【标准答案】3
【思路指引】
设a＝，b＝，从而将方程组转化为，再将第一个方程平方并展开利用加减消元法求出ab的值，从而得解．【出处：21教育名师】
【详解详析】
解：设a＝，b＝，
则x+y＝（x+1）+（y﹣2）+1＝20，
所以，（x+1）+（y﹣2）＝19，
即a2+b2＝19，
因此，方程组可化为，
①平方得，a2+2ab+b2＝25③，
③﹣②得，2ab＝6，
解得ab＝3，
所以，＝ ＝ab＝3．
故答案为：3．
【名师指路】
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，利用换元法求解更简便．【版权所有：21教育】
14．方程＝0的根为______．
【标准答案】x＝4
【思路指引】
利用有理数积的乘法得到x﹣4＝0或x+2＝0，然后解一元一次方程后进行检验确定原方程的解．
【详解详析】
解：根据题意得x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
经检验x＝4为原方程的解．
故答案为:x＝4．
【名师指路】
考查了解无理方程，解题关键是熟 ( http: / / www.21cnjy.com )记解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．21教育名师原创作品
15．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学八年级期中）方程的根是________________.
【标准答案】x=2
【思路指引】
根据二次根式的乘法对方程的左边进行计算,然后两边同时平方可得x-4=0;接下来,移项后利用直接开方法解这个一元二次方程得到方程的根,然后代入原方程中检验即可确定方程的根
【详解详析】
∵，
,
,
x=4,
x=±2
当x=-2时,无意义
故方程的根是x=2
【名师指路】
此题考查无理方程,掌握无理方程的求解方法是关键;
16．（2021·上海金山·二模）方程的解是_____．
【标准答案】x＝﹣1．
【思路指引】
把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解详析】
把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
【名师指路】
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
17．方程的解是_________
【标准答案】
【思路指引】
左右两边同时乘方得到，解一元二次方程并验根即可.
【详解详析】
，
，
，
（x+2）（x-1）=0，
解得：，，
∵，
∴，
∴x=1，
故答案为：x=1.
【名师指路】
此题考查解无理方程，需将方程两边同时平方，把它化为有理方程求出方程的解，注意验根.
18．方程的根是____．
【标准答案】x=1
【思路指引】
将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．
【详解详析】
原方程变形为x（x-1）=0，
∴x=0或x-1=0，
∴x=0或x=1，
∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，
∴x=0不符合题意，舍去，
∴方程的根为x=1，
故答案为x=1．
【名师指路】
本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．
19．方程的解是_____________.
【标准答案】x=2
【思路指引】
根据题意可得x=2或x=1，然后根据二次根式的性质舍去x=1.
【详解详析】
解：∵，
∴x﹣2=0或x﹣1=0，
解得x=2或x=1，
当x=1时，x﹣2=1﹣2=﹣1＜0，舍去，
则原方程的解为x=2.
故答案为x=2.
【名师指路】
本题主要考查解方程，二次根式的性质，解此题的关键在于求出的方程的解要使二次根式有意义.
20．方程的根为____．
【标准答案】
【思路指引】
方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再进行检验即可得出结果．
【详解详析】
解：方程两边同时平方得：，
∴，
即，
∴x1=x2=1，
经检验，x=1是原方程的根，
故答案为：x=1．
【名师指路】
本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题的关键．
三、解答题
21．（2021·上海奉贤·八年级期中）计算：
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）解方程组：．
【标准答案】（1）x=1（2）方程无解；（3），
【思路指引】
（1）去分母，化为整式方程，然后检验；
（2）两边平方，化为有理方程求解，然后检验；
（3）先因式分解组中的②为两个一次方程，与原方程组中的①组成新的方程组，求解即可．
【详解详析】
解：（1）原方程可变形为：，
去分母，得x(x﹣3)+6＝x+3，
整理，得x2﹣4x+3＝0，
∴（x-1）（x-3）=0
∴x1=1，x2=3
经检验，x＝1是原方程的解．x=3不是原方程的解
∴x=1
（2）＝2﹣x，
两边平方，得2x﹣5＝4﹣4x+x2，
整理，得x2﹣6x+9＝0，
∴（x﹣3）2＝0，
∴x1＝x2＝3；
经检验，x＝3不是原方程的解，
所以原方程无解；
（3），
由②，得(x﹣2)(x+y)＝0，
∴x﹣2y＝0③或x+y＝0④．
由①③、①④组成新的方程组，得
或，
解得，．
【名师指路】
本题考查了分式方程、无理方程、二元二次方程组的解法，解分式方程和无理方程结果都要验根．
22．（2021·上海普陀·八年级期末）解方程：．
【标准答案】
【思路指引】
根据二次根式和乘方的性质，得一元二次方程、一元一次不等式，通过求解即可得到答案．
【详解详析】
∵
∴
∴，且，
∴，，
∴，，，
∴为方程的解．
【名师指路】
本题考查了二次根式、乘方、一元二次方程、一 ( http: / / www.21cnjy.com )元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、乘方、一元二次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解．21教育网
23．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）解方程：
【标准答案】
【思路指引】
把方程两边进行平方，化简得到，再两边平方得到一元一次方程即可求解．
【详解详析】
y=4．
【名师指路】
此题主要考查无理方程的求解，解题的关键是将方程两边平方得到有理方程进行求解．
24．解方程组：
【标准答案】，.
【思路指引】
先设=m，=n，则x=m2-1，y=n2+2，然后将方程化为一元二次方程，然后解答即可．
【详解详析】
解：设=m，=n，则x=m2-1，y=n2+2，
原方程组可化为
把m+n=5看作①，把看作②，
由①，得m =5-n③
③代入②，得（5-n）2+n2=13，
整理，得2n2-10n+12=0，
即n2-5n+6=0，
解这个方程，得n =2或3，
∴
∴原方程组的解为．
【名师指路】
本题考查了解二元一次方程组与无理方程，将二次根式与无理方程转化为一元二次方程是解题的关键．
25．解方程：．
【标准答案】
【思路指引】
利用换元方法，将无理方程转化为一元二次方程，解这个方程求出设元，再分类讨论求解即可．
【详解详析】
解：设，则有
原方程可化为：
解得：y1＝－5，y2＝1，
当y＝－5时，，此方程无解，舍去；
当y＝1时，，则x2+2x＝1，
解得，；
经检验，原方程的解为，．
【名师指路】
本题考查无理方程的解法，换元法，掌握换元法是解高次方程的比较好的方法，恰当设元是简化运算的关键．
26．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为连个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解；各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知来求解. 21·cn·jy·com
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.
例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解.
再例如，解根号下含有来知数的方程：，通过两边同时平方把它转化为，解得：. 因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解.
（1）问题：方程的解是，__________，__________；
（2）拓展：求方程的解.
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）利用因式分解法，即可得出结论；
（2）先方程两边平方转化成整式方程，再求一元二次方程的解，最后必须检验.
【详解详析】
（1）∵x3+x2-2x=0，
∴x（x-1）（x+2）=0
∴x=0或x-1=0或x+2=0，
∴x1=0，x2=1，x3=-2，
故答案为1，-2；；
（2），（）
给方程两边平方得：
解得：，（不合题意舍去），
∴是原方程的解；
【名师指路】
主要考查了根据材料提供的方法解高次方程，无理方程，理解和掌握材料提供的方法是解题的关键.
27．（2021·上海浦东新·八年级期末）解方程：
【标准答案】
【思路指引】
先移项，两边平方，然后整理求得x的值，最后进行检验即可.
【详解详析】
解：原方程化为：
两边平方，得 ，
整理，得，
解得，
经检验：是原方程的根，是原方程的增根，
∴原方程的根为 .
【名师指路】
本题主要考查解一元二次方程，二次根式的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
28．解方程： +=1．
【标准答案】无解
【详解详析】
试题分析：先把移到等号右边，两边平方，再把含根号的项放到等号左边，两边再一次平方化为一个一元二次方程，即可求解，最后要验根.2·1·c·n·j·y
解：，
，
．
，
，
，
经检验：都是增根，所以原方程无解．
29．（2021·上海市民办华育中学八年级期中）解方程：
【标准答案】．
【思路指引】
令，先解方程求出的值，从而可得的值，再转化为一元二次方程，解一元二次方程即可得．
【详解详析】
解：可化为，
令，则，且，
，
，
，（舍去），
经检验，是方程的解，
则，即，
，
，
，
经检验，都是原方程的解，
故原方程的解为．
【名师指路】
本题考查了解无理方程、解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握各方程的解法是解题关键．
30．（2021·上海市第四中学八年级期中）解方程：
【标准答案】x=-4
【思路指引】
先把无理方程化为整式方程，进而即可求解．
【详解详析】
解：，
整理得：，
两边同平方得：，即：
解得：，，
经检验：x=1不是方程的解，
∴原方程的解为：x=-4．
【名师指路】
本题主要考查解无理方程以及解一元二次方程，把无理方程化为整式方程是解题的关键．
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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题03 运算能力之无理方程易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·上海市进才中学北校八年级期中）下列方程中，有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海杨浦·八年级期中）下列方程中，在实数范围内有解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0 B．+2＝0
C． D．
3．（2021·上海闵行·八年级期末）如果关于的方程有实数根，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·上海普陀·八年级期末）下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·上海杨浦·二模）下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．x4+1＝0 B．＝﹣1
C．＝﹣x D．
6．（2021·上海长宁·二模）下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0 B．x2+1＝0
C． D．
7．下列方程中，有实数根的是( )
A．=0 B． C．2x4+3＝0 D．
8．下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A． B．=1-x
C．x2-x-1=0 D．x2-x+1=0
10．（2021·上海浦东新·八年级期末）下列方程中，有一个根是的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·上海闵行·八年级期中）方程的根是_______．
12．方程的解是___________．
13．已知方程组，则____________．
14．方程＝0的根为______．
15．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学八年级期中）方程的根是________________.
16．（2021·上海金山·二模）方程的解是_____．
17．方程的解是_________
18．方程的根是____．
19．方程的解是_____________.
20．方程的根为____．
三、解答题
21．（2021·上海奉贤·八年级期中）计算：
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）解方程组：．
22．（2021·上海普陀·八年级期末）解方程：．
23．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）解方程：
24．解方程组：
25．解方程：．
26．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为连个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解；各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知来求解. 21教育网
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.
例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解.
再例如，解根号下含有来知数的方程：，通过两边同时平方把它转化为，解得：. 因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解.
（1）问题：方程的解是，__________，__________；
（2）拓展：求方程的解.
27．（2021·上海浦东新·八年级期末）解方程：
28．解方程： +=1．
29．（2021·上海市民办华育中学八年级期中）解方程：
30．（2021·上海市第四中学八年级期中）解方程：
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