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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解 ( http: / / www.21cnjy.com )答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题04 运算能力之二元二次方程组及其解法易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2019·上海杨浦·八年级期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据二元二次方程组的定义逐一进行分析判断即可.
【详解详析】
A、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以A选项正确；21*cnjy*com
B、有一个方程是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；
C、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以C选项不正确；
D、有一个方程带根号，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以D选项不正确，
故选A.
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组，熟知方程组中共有两个未知数，并且最高次数为2次，方程均为整式方程是解题的关键.21教育名师原创作品
2．已知下列四对数值不是方程的解是（ ）：
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
将各选项代入方程进行验证即可．
【详解详析】
解：A、当x=-5，y=-2 ( http: / / www.21cnjy.com )时，左边=(-5) +(-2) =29≠13，左边≠右边，故A错误；
B、当x=-2，y=3时，左边=(-2) +3 =13，左边=右边，故B正确；
C、当x=2，y=3时，左边=2 +3 =13，左边=右边，故C正确；
D、当x=-3，y=2时，左边=(-3) +2 =13，左边=右边，故D正确；
故选A．
【名师指路】
本题考查了二元二次方程的解的定义，掌握二元二次方程的解得定义是解题的关键．
3．方程组有两组不同的实数解，则（ ）
A．≥ B．＞ C．＜＜ D．以上答案都不对
【标准答案】B
【思路指引】
将y=x 与y=x+m函数联立，根据解的个数求解即可．
【详解详析】
方程组有两组不同的实数解，两个方程消去y得，，需要△＞0，即1+4m＞0，所以＞,故选B.
【名师指路】
本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m的值．2-1-c-n-j-y
4．下列方程组中，（ ）是二元二次方程组？
A． B．
C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据二元二次方程组的定义进行解答即可．
【详解详析】
解：A项此方程组第二个方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )无理方程，不是整式方程，故本选项错误；
B项此方程组是二元二次方程组，符合题意，故本选项正确；
C项此方程组是二元一次方程组，不符合题意，故本选项错误；
D项此方程组第二个方程是无理方程，不是整式方程，故本选项错误.
故选B．
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组的定义，关键在于根据定义逐个分析确定．
5．已知下列四对数值是方程组的解是（ ）：
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
先根据所给的条件分别代入方程组的每一项，使原方程组成立的就是本题的答案．
【详解详析】
解：A、把代入方程组得：，式子不成立，
∴本选项错误；
B、把 代入方程组得：，式子不成立，
∴本选项错误；
C、把代入原方程组得： ，式子成立，
∴本选项正确；
D、把代入原方程组得：，式子不成立，
∴本选项错误．
故选C．【出处：21教育名师】
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组的解，在解题时要根据已知条件代入原二元二次方程组是本题的关键．
6．方程组的实数解的个数是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【标准答案】B
【思路指引】
由①得 原方程组转化为2个方程组分别求解即可．
【详解详析】
解：
由①得
原方程组可以转化为 解得
或无解．
故方程组的实数解的个数是2个．
故选：B．
【名师指路】
考查二元二次方程组的解法，解决二元二次方程的基本思想是转化，将二次转化为一次进行降次，是解题的故关键．
7．下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
此题根据方程组的解的定义，运用代入排除法即可作出选择．
【详解详析】
把四个选项的答案分别代入方程组，发现只有A中的答案适合两个方程．
故选A．
【名师指路】
本题主要考查了方程组的解的定义．
8．二元二次方程组的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：或，然后用代入消元法求解即可．
【详解详析】
，
由①得
(x-y)(x+2y)=0，
∴x-y=0或x+2y=0，
∴原方程组可变为：
或，
由③得
x=y，
把x=y代入④得
y2+4y=-2，
解得
y=-2±，
∴，；
由⑤得
x=-2y，
把x=-2y代入⑥得
4y2+4y+2=0，即2y2+2y+1=0，
=4-8=-4＜0，
∴此时方程无实数根，
综上可知，方程组有两组解：，．
故选B．
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．
9．方程的整数解的组数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【标准答案】B
【思路指引】
首先将原方程变形为：（x+y） ( http: / / www.21cnjy.com )2+2y2=34，可得x+y必须是偶数，然后设x+y=2t，可得新方程2t2+y2=17，，求得此方程的整数解，即可求得答案．
【详解详析】
把方程变形得：(x+y)2+2y2=34，
∵34与2y2是偶数，
∴x+y必须是偶数，
设x+y=2t，则原方程变为：(2t)2+2y2=34，
∴2t2+y2=17，
它的整数解为：，
∴当y=3，t=2时，x=1；
当y=3，t= 2时，x= 7；
当y= 3，t=2时，x=7；
当y= 3，t= 2时，x= 1．
∴原方程的整数解为：(1，3)，( 7，3)，(7， 3)，( 1， 3)，共4组．
故选B．
【名师指路】
本题主要考查二元二次方程的整数解，熟练掌握完全平方公式以及等式的基本性质，对原方程进行变形化简，是解题的关键．
10．已知且，那么的值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【标准答案】B
【思路指引】
根据，用①+②可得③，再由②可得x=，所以得，再代入③可得到，求出y的值，再把y的值代入②求出x的值，即可得出答案.
【详解详析】
解：
由①+②可得③，
由②可得x=，
∴，把代入③得：
，
，
∵x＞0，y＞0，
∴y=或y=，
当y=时，代入②得x=-不合题意，舍去；
∴y=，当y=时代入②得x=，
∴=（+）2=3.
故选：B.
【名师指路】
本题考查解二元二次方程组，利用加减消元和代入消元法进行解答，解题关键在计算过程中运用正确的方法进行解答.21*cnjy*com
二、填空题
11．如图，图1和图2都是由8个一样大小的小 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形拼成的，且图2中的小正方形（阴影部分）的面积为1cm2，则小长方形的周长等于__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】16cm．
【详解详析】
仔细观察图形，发现本题中2个等量关 ( http: / / www.21cnjy.com )系为：小长方形的长×3=小长方形的宽×5，（小长方形的长+小长方形的宽×2）2=小长方形的长×小长方形的宽×8+1．根据这两个等量关系可列出方程组，即可求出小长方形的周长．
解：设这8个大小一样的小长方形的长为xcm，宽为ycm．
由题意，得，解得．
小长方形的周长为2×（3+5）=16，
故答案为16cm．
“点睛”此题主要考查了二元二次方程组的应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的对边相等及正方形的面积=8个小长方形的面积+小正方形的面积是关键．
12．方程组的解是_____．
【标准答案】，
【详解详析】
【思路指引】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．
【详解详析】，
②+①得：x2+x=2，
解得：x=﹣2或1，
把x=﹣2代入①得：y=﹣2，
把x=1代入①得：y=1，
所以原方程组的解为，，
故答案为，．
【名师指路】本题考查了解二元二次方程组，根据方程组的结构特点灵活选取合适的方法求解是关键.这里体现的消元与转化的数学思想.
13．将二次方程化成两个一次方程，这两个一次方程是________和________．
【标准答案】
【思路指引】
首先移项，然后利用完全平方公式变形，接着利用平方差公式分解因式即可求解．
【详解详析】
解：4x2-12xy+9y2=16，
4x2-12xy+9y2-16=0，
（2x-3y）2-16=0，
（2x-3y+4）（2x-3y-4）=0，
∴2x-3y=-4或2x-3y=4．
故答案为2x-3y=-4或2x-3y=4．
【名师指路】
此题主要考查了二元二次方程的解法，解题的关键把分解因式达到降次的目的．
14．解方程组 的解为_______________
【标准答案】
【思路指引】
首先把方程②变形为y=，然后利用代入法消去y，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x，然后就可以求出y，从而求解．
【详解详析】
解：，
由②得:y=③
把③代入①得:x2-+4()2+x--2=0.
整理得:4x2-21x+27=0
∴x1=3 x2=.
把x=3代入③ 得:y=1
把x=代入④ 得:y=.
∴原方程组的解为:
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组的解法，解答 ( http: / / www.21cnjy.com )此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
15．当取值为________时，关于的方程与只有一个相同的实数根．
【标准答案】
【思路指引】
两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否是只有一个相同的实数根．
【详解详析】
解：设相同实根是a ，根据题意可得：
－②，得（k﹣1）a﹣1﹣k+2=0，即（k﹣1）a=k﹣1
若k=1，则两个方程都是x2+x﹣1=0，有两个相同的根，不合题意 所以k≠1．
所以a==1 即相同实根是x=1，代入方程 12+k×1﹣1=0，k=0，符合k为非负数，所以k=0．
故答案为0．
【名师指路】
本题考查了一元二次方程的解，此题有两个关键点 ( http: / / www.21cnjy.com )，一个是要设出两个方程的相同实数根，代入运算．另外一根为验证所求得的k值是否符合题意．为易错题．
16．方程组的解是____．
【标准答案】,
【思路指引】
首先把方程①变形为，然后利用代入法消去x，得到关于y的一元二次方程，解方程求出y，然后就可以求出x，从而求解．
【详解详析】
解：，
由①得③，
把③代入②式，整理得，
解得，．
把代入，得，
把代入，得．
故原方程组的解为，．
故答案为：，．
【名师指路】
此题主要考查了二元二次方程组的解法，解答此 ( http: / / www.21cnjy.com )类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．21世纪教育网版权所有
17．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）方程组的解是______．
【标准答案】，
【思路指引】
把第一个方程变形，用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二方程中，得到一元二次方程，求得其解，即可求出方程组的解．
【详解详析】
由（1）式得：b=10-a
把上式代入（2）中，整理得：
解方程得：，
当时，；当时，
所以方程组的解为，
故答案为：，
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组的解法，解方程组的关键是消去未知数，化为一元一（二）次方程来解决．
18．（2021·上海长宁·二模）方程组的解是__________________．
【标准答案】或．
【思路指引】
根据x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）把原方程组变为或再求解即可 ．
【详解详析】
解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
∴x2﹣y2＝0可改写成：x+y＝0或者x﹣y＝0．
∴方程组可以改写为：或．
解得：或．
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查二元二次方程组的应用，根据乘法公式把二元二次方程组变形为二元一次方程组是解题关键．
19．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）．www-2-1-cnjy-com
【标准答案】
【思路指引】
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.
【详解详析】
解：根据方程组的解可看出：xy=8，y=2x，
∴符合要求的方程组为.
【名师指路】
根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关系或倍数关系等）来表示方程组的解.
20．如果，那么的值为_________________．
【标准答案】
【思路指引】
方程组的三个方程轮循环对称，可把组中的三个方程相加，利用完全平方公式和非负数的和先求出、、的值，再计算．
【详解详析】
解：
①②③，得，
整理，得
所以
即
因为，，，
所以，，
所以，，，
所以．
故答案为：
【名师指路】
本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点．观察题目，发现三个方程的特点是解决本题的关键．
三、解答题
21．（2021·上海闵行·八年级期末）解方程组：
【标准答案】
【详解详析】
x2-2xy-3y2="0"
(x-y)2-4y2=0
又因：x-y=2代入上式
4-4y2=0
y=1或y=-1
再将y=1、y=-1分别代入x-y=2
则 x=1、x=3
∴
22．阅读材料，解答问题
材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组．
如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程：
，
将代入得：，方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
请你用代入消元法解方程组：
【标准答案】，
【详解详析】
解：由（1）得，代入（2）得
化简得：
，
把，分别代入得：，
，．
【名师指路】
这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可．21·世纪*教育网
23．（2021·上海金山·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）在2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出白变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中，甲、乙 ( http: / / www.21cnjy.com )两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）甲品牌的小电器单价为200元，乙品牌的小电器单价为180元
【思路指引】
（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）设甲品牌的小电器单价m元，则乙品牌 ( http: / / www.21cnjy.com )的小电器单价为（m-20）元，根据甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，即可得出关于m的方程组，解之即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）设关于的函数解析式为．
将，代入得：
，
解得：，
关于的函数解析式为；
（2）设甲品牌的小电器单价元，则乙品牌的小电器单价为元，
依题意得：，
解得：，．
小电器的单价大于100元，
，
（元），
答：甲品牌的小电器单价为200元，则乙品牌的小电器单价为180元．
【名师指路】
本题考查了方程组的应用以及一次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出方程组．21·cn·jy·com
24．（2021·上海浦东新·八年级期末）解方程组：
【标准答案】，
【思路指引】
根据完全平方公式和平方根的性质，将二元二次方程组变换为二元一次方程组并求解，即可得到答案．
【详解详析】
∵
∴或
原方程组的解集为，．
【名师指路】
本题考查了解二元二次方程组，涉及完全平方公 ( http: / / www.21cnjy.com )式、平方根、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式、二元一次方程组的性质，从而完成求解．www.21-cn-jy.com
25．（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）解方程组：；
【标准答案】，
【思路指引】
利用完全平方公式，把组中的方程②转化为两个二元一次方程，与组中的①组成新的二元一次方程组，求解即可．2·1·c·n·j·y
【详解详析】
解：
由②得，
∴③或④．
由①③、①④组成新的方程组或，
解这两个方程组，得，
∴原方程组的解为：，
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组，掌握完全平方公式、平方根的意义和二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
26．（2021·上海闵行·八年级期中）（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
【标准答案】（1）或；（2）
【思路指引】
（1）先将方程②因式分解为或，再组成两个二元一次方程组求解；
（2）设，，将原方程组化为求出m、n的值，再计算，并进行检验．
【详解详析】
.解：（1）
由②得，或，
∴或，
解得或，
∴原方程组的解是或；
（2）设，，
∴原方程组可化为，
解得，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程组的解，
∴原方程组的解为．
【名师指路】
此题考查解二元一次方程组及特殊法解分式方程，正确掌握各自的解法并应用是解题的关键．
27．（2021·上海市进才中学北校八年级期中）解方程组：．
【标准答案】，，，
【思路指引】
根据十字相乘法和公式法将方程左边因式分解，进而列出关于的二元一次方程组，解二元一次方程组即可．
【详解详析】
由①得
或
由②得
即
或
，解得
，解得
，解得
，解得
原方程组的解为：，，，．
【名师指路】
本题考查了解二元二次方程组，将将方程的左边因式分解是解题的关键．
28．（2021·上海市第四中学八年级期中）解方程组：
【标准答案】，，，．
【思路指引】
通过因式分解，把二次方程化为一次方程，再利用二元一次方程组的解法，即可求解．
【详解详析】
解：，
由②得：，即：x-3y=±2，
由①得：，
∴原方程组化为：，，，，
解得：，，，．
【名师指路】
本题主要考查二元二次方程组，通过因式分解，把二次方程化为一次方程，是解题的关键．
29．（2021·上海市第四中学八年级月考）（1）解方程组：
（2）解方程组：
【标准答案】（1）或；（2）或或或
【思路指引】
（1）由①得：，将代入②中即可得到关于一元二次方程，求解代回原式分别求出的值即可；
（2）由①得：，分当或两种情况分别讨论求值即可．
【详解详析】
解：（1），
由①得：，
将代入②中得：，
整理得：
解得：或，
当时，，
当时，，
∴方程组得解为：或；
（2），
由①得：，
由②得：，
当，，
将代入中，
得：，，
∴或；
当，，
将代入，
得：，，
∴或；
综上，方程组的解为：或或或．
【名师指路】
本题考查了二元二次方程组的求解，涉及到代入消元法，解一元二次方程的知识点，熟练掌握消元的方法以及解一元二次方程的解法是本题的关键．21cnjy.com
30．解方程组：
【标准答案】,.
【思路指引】
先将方程①变形为（x+6y）（x﹣y）=0得x+6y=0或x﹣y=0，分别与方程组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解详析】
解：方程①可变形为（x+6y）（x﹣y）=0
得x+6y=0或x﹣y=0
将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）或（Ⅱ）
解方程组（Ⅰ），解方程组（Ⅱ），
所以原方程组的解是,．
故答案为,.
【名师指路】
此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
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错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2019·上海杨浦·八年级期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知下列四对数值不是方程的解是（ ）：
A． B． C． D．
3．方程组有两组不同的实数解，则（ ）
A．≥ B．＞ C．＜＜ D．以上答案都不对
4．下列方程组中，（ ）是二元二次方程组？
A． B．
C． D．
5．已知下列四对数值是方程组的解是（ ）：
A． B． C． D．
6．方程组的实数解的个数是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
7．下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
8．二元二次方程组的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．方程的整数解的组数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知且，那么的值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．如图，图1和图2都是由8个一样大小的 ( http: / / www.21cnjy.com )小长方形拼成的，且图2中的小正方形（阴影部分）的面积为1cm2，则小长方形的周长等于__________．21教育网
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12．方程组的解是_____．
13．将二次方程化成两个一次方程，这两个一次方程是________和________．
14．解方程组 的解为_______________
15．当取值为________时，关于的方程与只有一个相同的实数根．
16．方程组的解是____．
17．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）方程组的解是______．
18．（2021·上海长宁·二模）方程组的解是__________________．
19．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）．21cnjy.com
20．如果，那么的值为_________________．
三、解答题
21．（2021·上海闵行·八年级期末）解方程组：
22．阅读材料，解答问题
材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组．
如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程：
，
将代入得：，方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com / )
请你用代入消元法解方程组：
23．（2021·上海金山·八年级期末）在 ( http: / / www.21cnjy.com )2021“五五购物节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．21·cn·jy·com
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出白变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中，甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）www.21-cn-jy.com
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24．（2021·上海浦东新·八年级期末）解方程组：
25．（2021·上海市松江区新桥中学八年级期中）解方程组：；
26．（2021·上海闵行·八年级期中）（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
27．（2021·上海市进才中学北校八年级期中）解方程组：．
28．（2021·上海市第四中学八年级期中）解方程组：
29．（2021·上海市第四中学八年级月考）（1）解方程组：
（2）解方程组：
30．解方程组：
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