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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题01 几何思想之多边形及其内角和综合（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1080° D．1440°
2．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
3．若正多边形的内角和是720°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．20° B．30° C．45 D．60°
4．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
5．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
6．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线21cnjy.com
7．如图，小明从A点出发， ( http: / / www.21cnjy.com )沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为____米．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为_____．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为__________21教育网
10．如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A 处,若∠A=33°,则∠1+∠2的度数是____.
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分，这个图案中的等腰梯形的内角度数分别是________.【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．一个多边形的内角中,锐角的个数最多有_____个.
13．从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是_____．
14．一个边长为的正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个正多边形的半径_______．
15．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．
三、解答题
17．在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少．
18．附加题：
探究题：我们知道等腰三角形的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题：21·世纪*教育网
已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______．
19．如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,M、N分别是BA、BC上的点,且∠MDN+∠MBN=180°.
求证:DM=DN
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20．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连结DE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数；
（2）若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE．
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21．在等边中，点是线段的中点，与线段相交于点与射线相交于点．
如图1，若，垂足为求的长；
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图2，将中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点．求证：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图3，将中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线交于点作于点，若设，写出关于的函数关系式．21·cn·jy·com
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本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题01 几何思想之多边形及其内角和综合（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1080° D．1440°
【标准答案】C
【思路指引】
多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解详析】
解：多边形的边数是：360÷45＝8．
则内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：C．
【名师指路】
本题考查正多边形的外角和、内角和，熟知公式是关键，利用外角和解决正多边形边数问题是常用思路
2．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
【标准答案】B
【思路指引】
分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解．
【详解详析】
解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°，
若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°，
若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况．
3．若正多边形的内角和是720°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．20° B．30° C．45 D．60°
【标准答案】D
【思路指引】
先计算出正多边形的边数，再根据正多边形内外角互为邻补角即可求出一个外角的度数．
【详解详析】
解：设这个正多边形有n条边，
由题意得，
解得n=6，
∴每个内角的度数是．
故选：D
【名师指路】
本题考查了正多边形的内角和公式，熟知正多边形的内角和公式并据此求出边数是解题关键．
4．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
根据正多边形的中心角和为36 ( http: / / www.21cnjy.com )0°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．21·cn·jy·com
【详解详析】
解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，
∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．
故选：B．
【名师指路】
本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
5．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【标准答案】B
【思路指引】
本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【详解详析】
解：设这个多边形的边数为n，
则有（n-2）180°=900°，
解得：n=7，
∴这个多边形的边数为7．
故选B．
【名师指路】
本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.
二、填空题
6．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线21教育网
【标准答案】11
【思路指引】
先根据题意求出多边形的边数，再根据从n边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答．
【详解详析】
设多边形的边数为n，则有
(n-2) 180＋360=2520，
解得：n=14，
14-3=11，即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线，
故答案为11．
【名师指路】
本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，得到多边形的边数是解本题的关键．
7．如图，小明从A点出发，沿直线前进8 ( http: / / www.21cnjy.com )米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为____米．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】64
【思路指引】
根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
【详解详析】
解：设边数为n，
多边形外角和为360°，所以n=360°÷45°=8，总边长为8×8=64米，
故答案为：64．
【名师指路】
此题考查多边形的外角和，正多边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为_____．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】18°．
【思路指引】
根据正五边形内角和可以求出∠ABC的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠BAF的度数．
【详解详析】
解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠ABC==108°，
∵∠AFC=126°，
∴∠BAF=∠AFC﹣∠ABF=126°﹣108°=18°．
故答案为：18°．
【名师指路】
本题考查了正多边形和圆、多边形内角与外角，三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握正多边形内角和定理．【来源：21cnj*y.co*m】
9．我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为__________【版权所有：21教育】
【标准答案】8
【思路指引】
设正多边形的边数为n，内角和为，根据定义列方程求解.
【详解详析】
设正多边形的边数为n，
∵内角和为，外角和为360°，
∴一个内角度数为，一个外角度数为，
∴=，
解得n=8，
经检验n=8是方程的解且符合题意，
故答案为：8.
【名师指路】
此题考查正多边形的内角和公式，外角和度数，正确理解题意列分式方程解决问题.
10．如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A 处,若∠A=33°,则∠1+∠2的度数是____.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】66°
【思路指引】
根据折叠的性质得∠A=∠A′，根据四边形的内角和，以及平角等于180°求解即可得出∠1+∠2的度数．
【详解详析】
解：∵∠A=∠A′=33°，
∴在四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形A′EAD中，
∠A′EA+∠A′DA=360°-66°=294°，
又∵∠1+∠A′EA=180°，∠2+∠A′DA=180°，
∴∠1+∠2=360°-（∠A′EA+∠A′DA）=66°．2·1·c·n·j·y
故答案为66°
【名师指路】
本题考查了四边形的内角和以及折叠的性质，熟练掌握知识点并学会综合运用是解题得关键．
11．如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分，这个图案中的等腰梯形的内角度数分别是________.21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】60°,60°,120°,120°.
【思路指引】
因为与∠1相邻的三个角相等，所以∠1=120°，根据等腰梯形的性质可求得其它各角的度数，则可求得答案．
【详解详析】
如图是形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴各等腰梯形全等，
∴3∠1=360°，
∴∠1=120°，
∴∠ABC=∠1=120°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠BAD=180° ∠1=60°.
∴这个图案中的等腰梯形的内角度数分别是：60°,60°,120°,120°.
【名师指路】
此题考查平面镶嵌（密铺），解题关键在于掌握等腰梯形的性质.
12．一个多边形的内角中,锐角的个数最多有_____个.
【标准答案】3
【思路指引】
根据多边形的外角和为360°可得多边形外角最多有3个钝角，再利用多边形的内角与外角互为邻补角即可得答案.2-1-c-n-j-y
【详解详析】
∵一个多边形的外角和360度，
∴外角最多可以有3个钝角，
又∵多边形的内角与外角互为邻补角，
∴一个多边形中，它的内角最多可以有3个锐角．
故答案为3．
【名师指路】
考查了多边形内角与外角，考虑多边形的内角的问题，由于内角和不确定，而外角和是一个定值，因而转化为考虑外角和的问题比较简单．21教育名师原创作品
13．从正多边形一个顶点最多可以作7条对角线，这个正多边形每个内角的大小是_____．
【标准答案】144°
【思路指引】
先由n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求出多边形的边数，再根据正多边形的内角和定理可得答案．
【详解详析】
解：设这个正多边形的边数为n，则：n﹣3=7
解得：n=10
∴这个多边形有10条边，
∴此正多边形的内角和为：（10﹣2）×180°＝1440°，
∴这个正多边形每个内角的大小是：144°．
故答案为：144°．
【名师指路】
本题考查了多边形的对角线：连接多 ( http: / / www.21cnjy.com )边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．熟记n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．
14．一个边长为的正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个正多边形的半径_______．
【标准答案】
【思路指引】
先求出正多边形边数为6，再根据正六边形性质即可求解．
【详解详析】
解：设正多边形的边数为n，由题意得
，
解得 n=6
∴正多边形为正六边形，
∵边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，
∴该正多边形的半径等于4．
故答案为：4
【名师指路】
本题考查了正多边形的相关概念，和正六边形的性质，熟知相关概念是解题关键．
15．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】36°
【思路指引】
由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解详析】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=108°，AB=CB，
∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；
故答案为36°．
16．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．
【标准答案】720°．
【详解详析】
【思路指引】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】这个正多边形的边数为=6，
所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，
故答案为720°．
【名师指路】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2） 180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．【出处：21教育名师】
三、解答题
17．在四边形ABCD中，相对的两个内角互补，且满足，求四个内角的度数分别是多少．
【标准答案】，，，.
【思路指引】
先根据四边形ABCD的相对的两个内角互补，及已知求出∠A，从而得出∠C，∠B，∠D的度数．
【详解详析】
由
设，，
因为，
得，
解得，
，，，
因为，
所以.
【名师指路】
本题考查多边形的内角，解题关键是根据补角的定义及比例式找到相互间的关系．
18．附加题：
探究题：我们知道等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA．利用这条性质，解决下面的问题：21*cnjy*com
已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a.如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
正五边形α=_____；正六边形α=______；正八边α=_____；当正多边形的边数是n时，α=______．
【标准答案】α5=172°；α6=60°，α8=45°，α=．
【思路指引】
如图，延长BA到F，根据多边形外 ( http: / / www.21cnjy.com )角和为360°可得∠EAF的度数，根据正多边形内角和可得∠ABC=∠BAE=108°，利用等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA=36°，利用三角形外角性质可得α=∠EAF，即可得正五边形中α的值，讨论可得α6、α8的值，根据所得规律即可得当正多边形的边数是n时α的值.
【详解详析】
如图，延长BA到F，
∵∠EAF是正五边形ABCDE的外角，
∴∠EAF=360°÷5=72°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠BEA==36°，
∵α=∠ABE+∠BAC，∠EAF=∠ABE+∠AEB，
∴α=∠EAF=72°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理：α6=360°÷6=60°，α8=360°÷8=45°，
当正多边形的边数是n时，α=．
故答案为36°；60°；45°；
【名师指路】
本题考查多边形内角与外角及等腰三角形的性质．通过特例分析从而归纳总结出一般结论是解题关键.
19．如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,M、N分别是BA、BC上的点,且∠MDN+∠MBN=180°.
求证:DM=DN
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【标准答案】证明见解析
【思路指引】
如图（见解析），过点D作于E，过点D作于F，根据四边形的内角和定理得，在四边形BEDF中有，又因，，联立可得，由角的非负性得，也就是说与重合，与重合，则，，最后根据角平分线的性质可得.
【详解详析】
如图，过点D作于E，过点D作于F
则
在四边形BEDF中，根据四边形的内角和定理得：
即
又因
联立得
由角的非负性得
则与重合，与重合
所以，
又因BD平分
则（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了四边形的内角和定理、角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），联想到利用角平分线的性质来证明是解题关键.21cnjy.com
20．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连结DE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数；
（2）若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）30°；（2）证明过程见解析．
【思路指引】
（1）根据四边形的内角和求出∠A+∠BCD ( http: / / www.21cnjy.com )=180°，可得∠BCD的度数，根据CE平分∠BCD可得∠BCE的度数，根据三角形内角和定理即可得解；
（2）根据三角形内角和定理及∠A+∠BCD=180°求出∠CDE=∠BCE即可得出答案．
【详解详析】
（1）解：∵∠B+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD=180°-50°=130°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD=65°，
∵∠B＝85°，
∴∠BEC=180°-∠BCE-∠B=30°；
（2）证明：由（1）知，∠A+∠BCD=180°，
∴∠A+∠BCE+∠DCE=180°，
∵∠CDE+∠DCE+∠1=180°，∠A＝∠1，
∴∠BCE=∠CDE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CDE=∠DCE．
【名师指路】
本题考查了多边形的内角和，角 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线定义等知识点．能正确根据多边形的内角和定理进行推理是解题的关键．注意：边数为n的多边形内角和=(n-2)×180°．
21．在等边中，点是线段的中点，与线段相交于点与射线相交于点．
如图1，若，垂足为求的长；
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如图2，将中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点．求证：．
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如图3，将中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线交于点作于点，若设，写出关于的函数关系式．
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【标准答案】（1）BE＝1；（2）见解析；（3）
【思路指引】
（1）如图1，根据等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和四边形的内角和定理可得∠BED＝90°，进而可得∠BDE=30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于 ( http: / / www.21cnjy.com )N，如图2，根据AAS易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可根据ASA证明△EMD≌△FND，可得EM＝FN，再根据线段的和差即可推出结论；
（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM＝DN＝FN＝EM，然后根据线段的和差关系可得BE+CF＝2DM，BE﹣CF＝2BM，在Rt△BMD中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM＝BM，进而可得BE+CF＝（BE﹣CF），代入x、y后整理即得结果．
【详解详析】
解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．
∵点D是线段BC的中点，
∴BD＝DC＝BC＝2．
∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，
∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，
∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，
∴BE＝BD＝1；
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（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，
∴△MBD≌△NCD（AAS），
∴BM＝CN，DM＝DN．
在△EMD和△FND中，
∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，
∴△EMD≌△FND（ASA），
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝BC＝AB；
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（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．
∵DN＝FN，
∴DM＝DN＝FN＝EM，
∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y，
BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y，
在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，
∴DM＝，
∴，整理，得．
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【名师指路】
本题考查了等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
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