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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。www.21-cn-jy.com
专题04 几何思想之特殊平行四边形压轴题综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）21·世纪*教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·上海虹口·二模）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B
3．（2021·上海黄浦·八年级期末）如图，将正方形绕点逆时针旋转得到．如果，点与的距离为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
4．（2021·上海浦东新·八年级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形是正方形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
5．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在菱形中，，，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①；②；③﹒正确的是（ ）
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A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2021·上海奉贤·八年级期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形
7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB= ，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B．3 C．2 D．2
8．已知在直角梯形ABCD中， AD∥BC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BCD＝90°, BC＝CD＝2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连结BF、DE交于点P，连结CP并延长交AB于点Q，连结AF，则下列结论不正确的是（ ）
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A．CP 平分∠BCD B．四边形 ABED 为平行四边形
C．CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分 D．△ABF为等腰三角形
9．（2021·上海青浦·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形
C．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形
D．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形
10．如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（ ）
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A． B． C． D．4
二、填空题
11．（2021·上海市奉贤区实验中学 ( http: / / www.21cnjy.com )九年级期中）如图矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么BC边上的高的长是____cm.【来源：21·世纪·教育·网】
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12．（2021·上海市松江九峰实验学校九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为_______________．
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13．四边形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直，AC=4，BD=6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________2·1·c·n·j·y
14．如图，在矩形纸片ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处．在EF上任取一点G，连接GC，GA'，CA’，则△CGA'的周长的最小值为__．【来源：21cnj*y.co*m】
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15．如图，已知矩形ABCD（AB＞ ( http: / / www.21cnjy.com )CD），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是_____．【版权所有：21教育】
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16．（2021·上海闵行·二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________．21教育名师原创作品
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17．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．21·cn·jy·com
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18．（2021·上海崇明·八年级期末）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线AC是该四边形的“等腰线”，其中， ，那么的度数为_________．21*cnjy*com
19．（2021·上海松江·八年级期末）如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙重叠的四边形，若，，则边的长是____．
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20．（2021·上海·上外附中 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图， ABCD中，AE⊥BC与E，AF⊥CD于F，H是△AEF三条高的交点，已知AE＝a，EC＝b，EF＝c，则AH＝___．
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三、解答题
21．（2021·上海长宁·八年级期末）如图1，直角梯形，，，，点B在底边上，，，过点B做底边的垂线交的延长线于点G．
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（1）求线段的长度；
（2）联结，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P到达点C后即停止运动，设运动时间为t．
①如图2，当点P在的角平分线上，求t的值；
②如果在线段上存在点Q，使得四边形是平行四边形，请直接写出平行四边形的面积．
22．（2021·上海杨浦·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．
(1)求证：CG=CE；
(2)联结CF，求证：∠BFC=45°；
(3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．
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23．（2021·上海松江·八年级期末）如图，已知点、分别是正方形边以及边延长线上的点（与正方形顶点不重合)，满足．联结，交对角线于点．
（1）联结，，求证：；
（2）求证：；
（3）如果正方形边长为，设，的面积为，求关于的函数关系式．
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24．（2021·上海青浦·八年级期末）已知：在边长为的正方形中，点为对角线上一点，且．将三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与直线交于点，另一条直角边与射线交于点（点不与点重合），将三角板绕点旋转．21cnjy.com
（1）如图，当点、在线段、上时，求证：；
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（2）当时，求的面积；
（3）当为等腰三角形时，求线段的长．
25．（2021·上海金山·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝45°，BC＝8，DE⊥BC，垂足为E，延长DE至F，使得DE＝EF，联结AC、BF、CF．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）设AD＝x，梯形ABCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）联结AF交BC于点O，如果△AOB是等腰三角形，求AD的长．
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26．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作于点，作交于点，过点作射线垂线段，垂足为点，得到矩形，设点的运动时间为秒．21世纪教育网版权所有
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（1）求点与点重合时的值；
（2）设矩形与菱形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）设矩形的对角线与相交于点，
①当时，的值为________；
②时，求出的值．
27．（2021·上海·上外附中八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图1，点Q是正方形ABCD边BC的中点，点P在BC延长线上，CR平分∠DCP，AQ⊥QR于Q．（本题不需要写理由）21教育网
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（1）求证AQ＝QR；
（2）如图2，若将条件中的点Q改为BC边上的任意一点，其余条件不变，AQ＝QR是否依然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）若将第（2）小题中的正方形改为 ( http: / / www.21cnjy.com )正n边型ABCD…（n为大于等于3的正整数），点Q为BC边上的任意一点，点P在BC延长线上，CR平分∠DCP，则当∠AQR＝ °时，AQ＝QR．（用n表示，直接写出结果，无需证明）
28．（2021·上海市民办华育中学八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）已知：在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，AE=2
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求GFC的面积
（2）如图2，当四边形EFGH为菱形时，设BF=，GFC的面积为s，求s关于的函数关系式，并写出函数的定义域
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29．（2021·上海市第四中学八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．21*cnjy*com
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（1）求直线的解析式；
（2）以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，射线交轴的负半轴于点．当绕着点旋转时，的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；
（3）如图2，点是轴上的一个点，点是坐标平面内一点．若、、、四点能构成菱形，请写出满足条件的所有点的坐标（不要解题过程）．
30．（2021·上海宝山·八年级期末）将两张宽度相等的纸片叠放在一起，得到如图的四边形．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图，联结，过点A、D分别作的垂线、，垂足分别为点F、E．
①设M为中点，联结、，求证：；
②如果，P是线段上一点（不与点A、C重合），当为等腰三角形时，求的值．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 几何思想之特殊平行四边形压轴题综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
【详解详析】
解：顺次连接四边形的中点，得到的四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．21·世纪*教育网
①新的四边形成为矩形，符合条件；
②四边形是平行四边形，．
．
根据等腰三角形的性质可知．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③四边形是平行四边形，．
．
．
四边形是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④，
，即平行四边形的对角线互相垂直，
新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．
故选：．
【名师指路】
本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
2．（2021·上海虹口·二模）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B
【标准答案】C
【思路指引】
根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可；
【详解详析】
解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C不符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键．
3．（2021·上海黄浦·八年级期末）如图，将正方形绕点逆时针旋转得到．如果，点与的距离为（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
连接，，，过作于，依据旋转的性质求得，进而得出，利用勾股定理，即可得到△中，．
【详解详析】
解：如图，连接，，，过作于，
由旋转可得，，，
，
同理可得，，
，
，
，
，
，
，
△中，
，
故选：D．
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【名师指路】
本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造含角的直角三角形，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
4．（2021·上海浦东新·八年级期末）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形是正方形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
【标准答案】D
【思路指引】
利用正方形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【详解详析】
解：A、对角线相等且垂直的平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形是正方形，原命题错误；
B、一组对边平行，且有一个角是直角，一组邻边相等的四边形可能是直角梯形，不一定是正方形，原命题错误；
C、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题错误；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题正确；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．
5．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在菱形中，，，BF与DE相交于点G，CG与BD相交于点H．下列结论中：①；②；③﹒正确的是（ ）
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A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【标准答案】D
【思路指引】
由菱形的性质及AB=BD，得△ABD是等边三角形，故可判断①正确；由△ABD是等边三角形及AE=DF，可得，故可得②正确；根据全等的性质可判断③正确．
【详解详析】
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD，AD∥BC
∵AB=BD
∴AB=BD=AD
∴△ABD是等边三角形
∴∠A=∠ADB=60°
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB=60°
故①正确
在△AED和△DFB中
∴
故②正确
∵
∴∠ADE=∠DBF
∵∠BGE=∠GDB+∠DBF=∠GDB+∠ADE=∠ADB=60°
故③正确正确
所以正确的有：①②③
故选：D．
【名师指路】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明△ABD是等边三角形是解答本题的关键．
6．（2021·上海奉贤·八年级期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形
【标准答案】C
【思路指引】
根据矩形、菱形、正方形的判定和性质，一一判断即可得出．
【详解详析】
解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，对角线互相垂直的四边形除了菱形还有可能是梯形或者其他一般的四边形．
B、对角线互相垂直的平行四边形是正方形，是假命题，对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形判定定理）．
C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题．
D、对角线平分一组对角且相等的四边形是正方形，是假命题，有可能是菱形或者其他一般四边形．
证明C选项：设平行四边形ABCD的对角线AC平分和，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC（平行四边形对边平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵AC平分，
∴，
∴（等量代换），
∴AB=BC（等角对等边），
∴四边形ABCD是菱形（菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
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故选：C．
【名师指路】
题目主要考察命题与定理的知识，掌握矩形、菱形、正方形的判定和性质是解题关键．
7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB= ，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B．3 C．2 D．2
【标准答案】B
【详解详析】
试题分析：由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可．21·cn·jy·com
解：连接CC1.
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在Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB=，
∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,∠AEB1=∠AEB=60°，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠C1AE=∠AEB=60°，
∴△AEC1为等边三角形，
同理△CC1E也为等边三角形，
∴EC=EC1=AE=2，
∴BC=BE+EC=3，
故选B.
8．已知在直角梯形ABCD中， AD∥B ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠BCD＝90°, BC＝CD＝2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连结BF、DE交于点P，连结CP并延长交AB于点Q，连结AF，则下列结论不正确的是（ ）
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A．CP 平分∠BCD B．四边形 ABED 为平行四边形
C．CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分 D．△ABF为等腰三角形
【标准答案】C
【思路指引】
A.根据边角边”证明△BCF ( http: / / www.21cnjy.com )≌△DCE，然后利用“角边角”证明△BEP≌△DFP，再利用“边角边”证明△BCP≌△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP；
B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；
C. 连接QD，利用“边角边” ( http: / / www.21cnjy.com )证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．
D. 根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；
【详解详析】
解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE=CE=CF=DF，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，
∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，
即∠BEP=∠DFP，
在△BEP和△DFP中，
，
∴△BEP≌△DFP（ASA），
∴BP=DP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠BCP=∠DCP，
∴CP平分∠BCD，故A选项结论正确；
∵BC=2AD，E是BC的中点，
∴BE=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确；
∴AB=DE，
又∵DE=BF（已证），
∴AE=BF，
∴△ABF为等腰三角形，故D选项结论正确；
连接QD，
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在△BCQ和△DCQ中，
，
∴△BCQ≌△DCQ（SAS），
∴S△BCQ=S△DCQ，
∴CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确．
故选C．
【名师指路】
本题考查了直角梯形，全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．
9．（2021·上海青浦·二模）下列命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形
C．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形
D．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形
【标准答案】D
【思路指引】
通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理判断即可．
【详解详析】
解：A、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项说法是假命题；
B、一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形，本选项说法是假命题；
C、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形或直角梯形，故本选项说法是假命题；
D、一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，故本选项说法是真命题；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了真命题的定义、平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的判定、等腰梯形的判定、矩形的判定和菱形的判定等知识，要求学生能根据已知条件推导出其对应的图形，考查了学生对相关概念的理解与应用，该题对学生的推理分析能力有较高要求．
10．如图，中，，，垂足为，若，，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．4
【标准答案】D
【思路指引】
做分别关于的对称图形延长交于点，连接,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．
【详解详析】
做分别关于的轴对称图形延长交于点，连接，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵是的对称三角形
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴四边形是正方形
设，在 中：即：
解得：（舍）
∴的长为4．
【名师指路】
本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键．
二、填空题
11．（2021·上海市奉 ( http: / / www.21cnjy.com )贤区实验中学九年级期中）如图矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么BC边上的高的长是____cm.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】4
【思路指引】
过点作于点，交于点，先根据矩形的性质可得，再设，根据三角形的面积公式、矩形的面积公式建立方程，解方程即可得．
【详解详析】
解：如图，过点作于点，交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
矩形中，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
即，
整理得：，
解得，
即，
则边上的高的长是，
故答案为：4．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
12．（2021·上海市松江九峰实验 ( http: / / www.21cnjy.com )学校九年级期中）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为_______________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】2
【思路指引】
连接AF，过O作OH⊥BC于H，由将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，可得AF＝CF＝5，BF＝＝3，BC＝BF＋CF＝8，根据折叠证明出OH是△ABC的中位线，故BH＝BC＝4，OH＝AB＝2，在Rt△BOH中，用勾股定理即得OB＝2．
【详解详析】
解：连接AF，过O作OH⊥BC于H，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，
∴AF＝CF＝5，OA＝OC，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝3，
∴BC＝BF＋CF＝8，
∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC，
∴O为AC中点，OH∥AB，
∴ ，
∴H为BC中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴BH＝CH＝BC＝4，OH＝AB＝2，
在Rt△BOH中，OB＝＝＝2，
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查矩形性质及应用，涉及对称、勾股定理、三角形中位线等知识，解题的关键是证明OH是是△ABC的中位线．
13．四边形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直，AC=4，BD=6，顺次联结这个四边形中点所得的四边形的面积等于________
【标准答案】6
【思路指引】
根据E、F、G、H分别为各边的中点，得到EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF=AC=2，EH=BD=3，证得四边形EFGH是平行四边形，根据AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，求出∠EMO=∠ENO=90°，证得四边形EMON是矩形，得到∠MEN=90°，由此证得四边形EFGH是矩形，再利用面积公式计算即可.
【详解详析】
如图：
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF=AC=2，EH=BD=3，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=，
故答案为：6.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，矩形的判定定理.
14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处．在EF上任取一点G，连接GC，GA'，CA’，则△CGA'的周长的最小值为__．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】7+
【思路指引】
如图，当点F固定时，连接AC交 ( http: / / www.21cnjy.com )EF于G，连接A′G，此时△CGA′的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．当CA′最小时，△CGA′的周长最小，求出CA′的最小值即可解决问题．
【详解详析】
解：如图，当点F固定时，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接AC交EF于G，连接A′G，此时△A′GC的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，
∴AC＝，
∴△A′CG的周长的最小值＝10+CA′，
当CA′最小时，△CGA′的周长最小，
∵AE＝DE＝EA′＝3，
∴CE＝，
∵CA′≥EC﹣EA′，
∴CA′≥﹣3，
∴CA′的最小值为﹣3，
∴△CGA′的周长的最小值为7+，
故答案为：7+．
【名师指路】
本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．如图，已知矩形ABCD（AB＞ ( http: / / www.21cnjy.com )CD），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】1
【思路指引】
连接BD，BF，EG，利用四点共圆证明∠BEG＝∠BFD＝45°即可.
【详解详析】
解：连接BD，BF，EG．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°，
∵DG＝GF，
∴BG⊥DF，
∴∠BGF＝∠BEF＝90°，
∴B，G，E，F四点共圆，∠BEG＝∠BFD＝45°，
∴∠BEG的正切值是1．
故答案为：1.
【名师指路】
此题考查矩形的性质，旋转的性质，四点共圆的证明，圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，题中辅助线的引出是解题的关键.
16．（2021·上海闵行·二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
由的面积为m可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可．
【详解详析】
解：∵的面积为m
∴边BC上的高为
如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或MN上一重合重合，
如图：过A作AD⊥BC，垂足为D
∵等边三角形ABC,BC=4
∴∠ABC=60°,BC=4，∠BAD=30°
∴BD=2,
∴AD==2
∴，即m=4；
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图：当高取最大值时，菱形为正方形，
∴A在中点，
∴，即m=8
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴．
故填：．
【名师指路】
本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
17．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】或
【思路指引】
根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．21教育网
【详解详析】
解：根据题意，
∵点称为点的“倒数点”，
∴，，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数的图像上，
设点A为，则点B为，
∵点C为，
∴，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了反比例函数的图像 ( http: / / www.21cnjy.com )和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．
18．（2021·上海崇明·八年级期末）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线AC是该四边形的“等腰线”，其中， ，那么的度数为_________．
【标准答案】
【思路指引】
根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线是该四边形的“等腰线”，所以和为等腰三角形，由于，中分两种情形：①，②．当时，由于，可得为等边三角形，，则，结论可得；当时，过点作，根据等腰三角形的三线合一，，过点作，交延长线于点，根据四边形为矩形，，可得，由于，可得，从而可求．
【详解详析】
解：凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，
和为等腰三角形．
由于，在中分两种情形：①，②．
当①时，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
，．
．
为等边三角形．
．
，
．
，
．
当②时，如下图，
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过点作，过点作，交延长线于点，
，，
．
，，，
四边形为矩形．
．
，
．
在中，，
．
，
．
，
．
，
．
综上，．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了等腰三角形，多边形的对角线，等腰直角三角形等知识点．本题是阅读题，正确理解题意是解题的关键．【版权所有：21教育】
19．（2021·上海松江·八年级期末）如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙重叠的四边形，若，，则边的长是____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
由折叠的性质和矩形的性质可得∠H ( http: / / www.21cnjy.com )EF=90°，EA=EB=3，证明△HNG≌△FME，求出HF，设AH=x，在△AEH，△BEF和△EFH中，利用勾股定理列出方程，求出x，即可得到EH．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，
由折叠可知：△EAH≌△EMH，△HNG≌△HDG，△FBE≌△FME，
∴EA=EM，AH=MH，HD=HN，EB=EM，FB=FM，
∠AEH=∠MEH，∠BEF=∠MEF，∠BME=∠B=90°，∠HNG=∠D=90°，
∴EA=EB=AB=3，
∵∠AEH+∠MEH+∠BEF+∠MEF=180°，
∴2∠MEH+2∠MEF=180°，
∴∠HEF=90°，
同理可知：∠EHG=∠EFG=∠HGF=90°，
∴四边形EHGF是矩形，
∴HG∥FE，HG=FE，
∴∠GHN=∠EFM，
在△HNG和△FME中，
，
∴△HNG≌△FME（AAS），
∴HN=FM，
∴HD=FM，
∴HF=HM+FM=AH+HD=AD=10，
设AH=x，则HD=FM=FB=10-x，
∵，，，
∴，
即，
解得：x=1或x=9（舍），
∴AH=1，
∴，
故答案为：．
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【名师指路】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
20．（2021·上海·上外附中八年级期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图， ABCD中，AE⊥BC与E，AF⊥CD于F，H是△AEF三条高的交点，已知AE＝a，EC＝b，EF＝c，则AH＝___．
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【标准答案】
【思路指引】
过点C作CM⊥AD于点M，连结M ( http: / / www.21cnjy.com )E，MF，构造平行四边形ECFH，矩形AECM，平行四边形AHFM，利用平行四边形的性质推知FM⊥EF，利用勾股定理求出FM，即可得解．
【详解详析】
解：如图，连结AC，过点C作CM⊥AD于点M，连结ME，MF，
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∵EH⊥AF，AF⊥CD，
∴EH∥CF，
同理，FH∥EC，
∴四边形ECFH是平行四边形，
∴FH=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，CM⊥AD，
∴∠AEC=90°，AE∥CM，
∴四边形AECM是矩形，
∴AM=EC，AC=EM，
∴AM∥FH，AM=FH，
∴四边形AHFM是平行四边形，
∴AH∥FM，AH=FM，
∵H是△AEF三条高的交点，
∴AH⊥EF，
∴FM⊥EF，
在Rt△AEC中，AE=a，EC=b，
∴AC2=AE2+EC2=a2+b2，
∴EM2=a2+b2，
在Rt△EFM中，EF=c，
∴FM==，
∴AH=，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三、解答题
21．（2021·上海长宁·八年级期末）如图1，直角梯形，，，，点B在底边上，，，过点B做底边的垂线交的延长线于点G．
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（1）求线段的长度；
（2）联结，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P到达点C后即停止运动，设运动时间为t．
①如图2，当点P在的角平分线上，求t的值；
②如果在线段上存在点Q，使得四边形是平行四边形，请直接写出平行四边形的面积．
【标准答案】（1）2cm；（2）①；②
【思路指引】
（1）证明四边形是正方形，推出，解直角三角形求出，可得结论．
（2）①如图2中，过点作于，用表示出，，构建方程求出即可．
②如图3中，过点作于．设，则，构建方程求出，可得结论．
【详解详析】
解：（1）如图1中，
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，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，，，
，
．
（2）①如图2中，过点作于．
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，是等腰直角三角形，
，
，
，
．
②如图3中，过点作于．
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四边形是平行四边形，
，
，
，
设，则，
，
，
，
平行四边形的面积．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形的判定和性质，直角梯形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
22．（2021·上海杨浦·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．21世纪教育网版权所有
(1)求证：CG=CE；
(2)联结CF，求证：∠BFC=45°；
(3)如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．
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【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【思路指引】
（1）由ASA证得△BCG≌△DCE，即可得出结论；
（2）过点C作CM⊥BF，CN⊥DE，垂足分别为M，N，证明△CMG≌△CNE，可得CM=CN，再根据角平分线的判定可得结论；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）由正方形的性质得出∠BCG=90°，AB=BC=CD=2，BD=AB，由G为DC中点，得CG=1，在Rt△BCG中，由勾股定理得BG，设GF=x，在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得到方程，求出x，由（1）知△BCG≌△DCE，可得BG=DE．
【详解详析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠DFG=∠BCG=90°，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠GBC=∠EDC，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG=CE；
（2）如图，过点C作CM⊥BF，CN⊥DE，垂足分别为M，N，
∵△BCG≌△DCE，
∴CG=CE，∠CGM=∠CEN，
又∵∠CMG=∠CNE=90°，
∴△CMG≌△CNE（AAS），
∴CM=CN，
∴CF平分∠BFE，
∴∠BFC=∠BFE=45°；
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（3）连接BD
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∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=90°，AB=BC=CD=2，BD=AB=，
∵G为DC中点，
∴CG=GD=CD=1，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=，
设GF=x，
在Rt△BDF和Rt△DFG中，由勾股定理得：BD2-BF2=DF2，DG2-GF2=DF2，
∴，
解得：x=，
∴DF=，
由（1）知：△BCG≌△DCE，
∴BG=DE=，
∴EF=DE-DF==．
【名师指路】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（2021·上海松江·八年级期末）如图，已知点、分别是正方形边以及边延长线上的点（与正方形顶点不重合)，满足．联结，交对角线于点．21*cnjy*com
（1）联结，，求证：；
（2）求证：；
（3）如果正方形边长为，设，的面积为，求关于的函数关系式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【思路指引】
（1）根据正方形性质可得，，进而证明，即可证得结论；
（2）过点作交于点，证明，即可证得结论；
（3）过点作于点，连结，由，可得出，，利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解详析】
解：（1）四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
；
（2）如图1，过点作交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）如图2，过点作于点，连结，
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形是正方形且边长为1，
，，
又，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
的面积为，
，
关于的函数关系式为．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了正方形性质，全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形判定和性质，直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形面积公式等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
24．（2021·上海青浦·八年级期末）已知：在边长为的正方形中，点为对角线上一点，且．将三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与直线交于点，另一条直角边与射线交于点（点不与点重合），将三角板绕点旋转．
（1）如图，当点、在线段、上时，求证：；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）当时，求的面积；
（3）当为等腰三角形时，求线段的长．
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3），或
【思路指引】
（1）如图1，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，垂足分别为点G、H．由正方形的性质可证△PEH≌△PFG，即可证明PE=PF；
（2）如图2，过点E作EM⊥BD于点M，当∠FPB=30°时，∠EPB=60°，在Rt△MPE中和Rt△MBE中，设MP=a，则EP=2a，EM=a．可分别表示出EM=BM=a，BP=a+a=3，解得a=，再根据三角形的面积公式求解；
（3）分两大类情况讨论：(一)：当点E在射线BC上时，只有BE=BP，如图3，可证△EPH≌△FPG，从而可得BF的长；（二）：当点E在射线BC上时，又可再分三小类情况，①如图4，当EP=BE时，可得BF=BE=3；②当PE=PB时，易证△BPE为等腰直角三角形，F与B重合，舍去；③如图5，当PB=BE时，同理可证△EPH≌△FPG，FG=HE=，BF=BG-FG=．
【详解详析】
解：（1）如图1，过点作，，垂足分别为点、．
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形为正方形，
，．
．
四边形为正方形．
，
∵，
，
即．
在和中，
．
．
（2）如图2，过点作，垂足为点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当时，，
在中，设，则，．
在中，，．
，
．
．
（3）（一）当点在延长线上时，
因为，
所以只有．
如图3，同理可证：，
( http: / / www.21cnjy.com / )
．
，
．
．
（二）当点在射线上时，
①如图4，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
．
②．
，
，
此时，点和点重合，舍去．
③如图5，．同理可证：，
( http: / / www.21cnjy.com / )
．
．
综上所述，的长为，或．
【名师指路】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形面积计算、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想的运用，综合运用这些性质、判定进行推理是解题的关键．
25．（2021·上海金山·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝45°，BC＝8，DE⊥BC，垂足为E，延长DE至F，使得DE＝EF，联结AC、BF、CF．2·1·c·n·j·y
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）设AD＝x，梯形ABCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）联结AF交BC于点O，如果△AOB是等腰三角形，求AD的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）4或
【思路指引】
（1）连接，利用等腰梯形的性质得到，再利用证明，根据垂直平分线的性质得到，从而得到，然后证得，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）过点作于，先证明四边形是矩形，设，则，运用梯形面积公式即可得出答案；
（3）分三种情况：①当时，可得出时等腰直角三角形，根据，即，可求得答案；②当时，得出与重合，与四边形是梯形不符，故此情况不存在；③当时，求出BM，利用ME=BC-BM-EC=BC-2BM求出ME，可得AD，即可求得答案．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：（1）连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
梯形中，，，
，
在和中，
，
．
．
又，，
，，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）如图2，过点作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
设，
，
，
．
（3）作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（2）得：，，
是等腰三角形，
或或，
①当时，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
②当时，，
，
，
与重合，与四边形是梯形不符，
③当时，
则，
∴ME=BC-BM-EC=BC-2BM=，
，
综上所述，的长为4或．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了等腰直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，梯形面积公式等，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题关键．21*cnjy*com
26．（2021·上海浦东新·八年级期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点与点不重合时，过点作于点，作交于点，过点作射线垂线段，垂足为点，得到矩形，设点的运动时间为秒．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点与点重合时的值；
（2）设矩形与菱形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）设矩形的对角线与相交于点，
①当时，的值为________；
②时，求出的值．
【标准答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）①4；②3
【思路指引】
（1）用时间t表示AH即可；
（2）分两种情况：当H在边AD上、当H在边AD延长线上，讨论求解即可；
（3）①当O'O∥AD时，证明O'O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与B重合，
②当OO'⊥AD时，延长OO'交AD于 ( http: / / www.21cnjy.com )N，证明O'N是△FGH的中位线，从而可得AN=AF+FN=2t，而在Rt△AON中即可列出方程求解．
【详解详析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=30°，
∵GE∥AD，
∴∠GEB=∠BAD=60°，
∴∠EGA=∠GEB-∠BAC=30°，
∴∠EGA=∠BAC=30°，
∴GE=AE=2t，
∵四边形EFHG是矩形，
∴FH=GE=2t，
在Rt△AEF中，AF=AE=t，，
∴AH=AF+FH=3t，
当点与点重合时
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）当H在边AD上时，
矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积，
当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积
．
∴
（3）①，是的中点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形EFHG是矩形，
∴O ( http: / / www.21cnjy.com )'是FG的中点，
∵O'O∥AD，
∴O'O是△AFG的中位线，
∴O是AG中点，
∴OA=OG，
又∵O是AC中点，OA=OC，
∴G与C重合，此时，E与B重合，
∴．
②当OO'⊥AD时，延长OO'交AD于N，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OO'⊥AD，
∴OO'∥GH，
∵O'是FG的中点，
∴O'N是△FGH的中位线，
∴N是FH的中点，
∵FH=2t，
∴FN=HN=t，
∴AN=AF+FN=2t，
在Rt△AOB中，AB=8，∠OAB=30°，
∴OB=4，OA=，
在Rt△AON中，∠DAC=30°，
∴，
∴
∴2t=6，
∴t=3．
【名师指路】
本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用， ( http: / / www.21cnjy.com )涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题．
27．（2021·上海·上 ( http: / / www.21cnjy.com )外附中八年级期末）如图1，点Q是正方形ABCD边BC的中点，点P在BC延长线上，CR平分∠DCP，AQ⊥QR于Q．（本题不需要写理由）
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证AQ＝QR；
（2）如图2，若将条件中的点Q改为BC边上的任意一点，其余条件不变，AQ＝QR是否依然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3）若将第（2）小题中的正方形改为正n边 ( http: / / www.21cnjy.com )型ABCD…（n为大于等于3的正整数），点Q为BC边上的任意一点，点P在BC延长线上，CR平分∠DCP，则当∠AQR＝ °时，AQ＝QR．（用n表示，直接写出结果，无需证明）【出处：21教育名师】
【标准答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）
【思路指引】
（1）如图1中，取AB的中点E，连接EQ．证明△AEQ≌△QCR（ASA），可得AQ=QR．
（2）结论成立；在边AB上截取AE=QC，连接QE．证明△AEQ≌△QCR（ASA），可得AQ=QR．
（3）在AB上截取BM=B ( http: / / www.21cnjy.com )Q，连接MQ，求出∠AMQ和∠QCR的度数，证明∠BAQ=∠CQR，利用ASA证明△AMQ≌△QCR，可得AQ=QR．
【详解详析】
解：（1）证明：如图1中，取AB的中点E，连接EQ．
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∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠RQC=180°-∠AQR-∠AQB=180°-∠B-∠AQB=∠QAB=∠QAE，
∵AB=BC，AE=EB，BQ=QC，
∴BE=BQ，AE=CQ，
∴∠BEQ=45°，
∴∠AEQ=135°．
∵R是∠DCP的平分线上一点，
∴∠RCP=45°，
∴∠QCR=135°．
在△AEQ与△QCR中，∠QAE=∠RQC，AE=QC，∠AEQ=∠QCR，
∴△AEQ≌△QCR（ASA），
∴AQ=QR．
（2）结论成立；
理由：在边AB上截取AE=QC，连接QE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠RQC=180°-∠AQR-∠AQB=180°-∠B-∠AQB=∠QAB=∠QAE，
BE=AB-AE=BC-QC=BQ，
∴∠BEQ=45°，
∴∠AEQ=135°．
∵R是∠DCP的平分线上一点，
∴∠RCP=45°，
∴∠QCR=135°．
在△AEQ与△QCR中，∠QAE=∠RQC，AE=QC，∠AEQ=∠QCR，
∴△AEQ≌△QCR（ASA），
∴AQ=QR．
（3）当∠AQR=时，AQ=QR，
在AB上截取BM=BQ，连接MQ，
∵AB=BC，
∴∠BMQ=∠BQM，
∵∠ABC=180°-，
∴∠BMQ=∠BQM=，
∴∠AMQ=180°-，
∵CR平分∠DCP，
∴∠PCR=∠DCR=∠DCP=×=，
∴∠QCR=180°-∠PCR=180°-，
∴∠AMQ=∠QCR，
∵AB-BM=BC-BQ，
∴AM=QC，
∵∠BAQ+∠AQB=，
∠AQB+∠CQR=180°-∠AQR=，
∴∠BAQ=∠CQR，
在△AMQ和△QCR中，
，
∴△AMQ≌△QCR（ASA），
∴AQ=QR，
∴当∠AQR=时，AQ=QR．
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【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．（2021·上海市民办华 ( http: / / www.21cnjy.com )育中学八年级期中）已知：在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，AE=2
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求GFC的面积
（2）如图2，当四边形EFGH为菱形时，设BF=，GFC的面积为s，求s关于的函数关系式，并写出函数的定义域
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）10；（2）S=12 x（0 x ）
【思路指引】
（1）过点G作GM⊥BC于M，可以证明△MFG≌△BEF，就可以求出GM的长，进而就可以求出FC，求出面积；
（2）证明△AHE≌△MFG，得到GM的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积
【详解详析】
解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M
在正方形EFGH中，∠HEF=90°，EH=EF
∴∠AEH+∠BEF=90°
∵∠AEH+∠AHE=90°
∴∠AHE=∠BEF
又∵∠A=∠B=90°
∴△AHE≌△BEF(SAS)
同理可证: △MFG≌△BEF
∴GM=BF=AE=2
∴FC=BC-BF=10
则
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（2）如图2，过点G作GM⊥BC于M，连接HF
∵AD∥BC
∴∠AHF=∠MFH
∵EH∥FG
∴∠EHF=∠GFH
∴∠AHE=∠MFG
又∵∠A=∠GMF=90°，EH=GF
∴△AHE≌△MFG
∴GM=AE=2
∵
∴
∴
即
∵，，
∴
∴
∵H在AD上
∴
∴
解得
∵F在BC上
∴即
∴
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【名师指路】
此题考查全等三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质，解题关键在于做辅助线和利用全等三角形的性质.www.21-cn-jy.com
29．（2021·上海市第四中学八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．
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（1）求直线的解析式；
（2）以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，射线交轴的负半轴于点．当绕着点旋转时，的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；
（3）如图2，点是轴上的一个点，点是坐标平面内一点．若、、、四点能构成菱形，请写出满足条件的所有点的坐标（不要解题过程）．
【标准答案】（1）y＝ x＋2；（2）OC OD的值不发生变化，值为8；（3）（ 8，2），（2，-2），（-2，-2），（，6）
【思路指引】
（1）由A、B两点的坐标利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为E、F，可证明△AEC≌△AFD，可得到EC＝FD，从而可把OC OD转化为FD OD，再利用线段的和差可求得OC OD＝OE＋OF＝8；
（3）分AM为对角线、AB为对角线和BM为对角线，分别利用菱形的性质，画出图形，求出M点的坐标，进而即可求出P的坐标．
【详解详析】
解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx＋b（k≠0）．
∵点A（ 4，4），点B（0，2）在直线AB上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为：y＝ x＋2；
（2）不变．理由如下：
过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，如图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠AEC＝∠AFD＝90°，
又∵∠BOC＝90°，
∴∠EAF＝90°，
∴∠DAE＋∠DAF＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DAF．
∵A（ 4，4），
∴OE＝AF＝AE＝OF＝4．
在△AEC和△AFD中
，
∴△AEC≌△AFD（ASA），
∴EC＝FD．
∴OC OD＝（OE＋EC） （FD OF）＝OE＋OF＝8．
故OC OD的值不发生变化，值为8；
（3）①AM为对角线时，连接BP交AM于点H，连接PA、PM，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABMP为菱形，
∴PB⊥AM，且AH＝HM，PH＝HB，
∵∵A（ 4，4），B（0，2），
∴P点坐标为（ 8，2）；
②BM为对角线时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
设M（m，0），
∵四边形ABPM为菱形，
∴AM=AB，即：，解得：m=-6或-2，
∴M（-6，0）或（-2，0），
∴P（2，-2）或（-2，-2）；
③AB为对角线时，如图，
∵四边形AMBP为菱形，
∴AM=BM，即：，解得：m=，
∴M（，0），
∴P（，6）；
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上可知满足条件的所有点P的坐标为（ 8，2），（2，-2），（-2，-2），（，6）．
【名师指路】
本题为一次函数的综合应用，涉及 ( http: / / www.21cnjy.com )知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中构造三角形全等是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
30．（2021·上海宝山·八年级期末）将两张宽度相等的纸片叠放在一起，得到如图的四边形．
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（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图，联结，过点A、D分别作的垂线、，垂足分别为点F、E．
①设M为中点，联结、，求证：；
②如果，P是线段上一点（不与点A、C重合），当为等腰三角形时，求的值．
【标准答案】（1）见解析；（2）①见解析；②或
【思路指引】
（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
（2）①过点作于，连接，由，可得，再证明，利用三角形内角和定理即可得出答案；
②设，则，设，则，根据勾股定理可得，即，从而得出，即可得到，根据是线段上一点（不与点、重合），不存在，可得出当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，分类讨论即可求得答案．
【详解详析】
解：（1）如图1，过点作于，于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
，
四边形是菱形；
（2）①如图2，过点作于，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
经过点，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，
设，则，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
是线段上一点（不与点、重合），
不存在，
当为等腰三角形时，仅有两种情形：或，
Ⅰ．当时，则，如图3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
，
，
，
；
Ⅱ．当时，如图4，过点作于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，，
，
，
，
；
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形判定和性质，三角形面积公式，菱形面积，等腰三角形性质，勾股定理等，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．21教育名师原创作品
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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